广东省肇庆市封开县2025年中考二模数学试题
1．（2025·封开模拟）下列各数是无理数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A，是有限小数，属于有理数，不合题意；
B，，2是整数，属于有理数，不合题意；
C，是无限不循环小数，属于无理数，符合题意；
D，是分数，属于有理数，不合题意；
故答案为：C．
【分析】常见的无理数有：开不尽方的数，消不掉的数，有一定规律的无限不循环小数．据此逐项判断即可．
2．（2025·封开模拟）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项符合题意；
故答案为：D
【分析】根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
3．（2025·封开模拟）“好山好水迎贵客，最美遵义人气旺”，2024年春节假期，遵义市累计接待游客4988000人次，将数据“4988000”用科学记数法表示为，则的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：4988000，
∴；
故选B．
【分析】本题考查科学记数法.根据科学记数法的表示方法：为整数，其中的绝对值与小数点移动的位数相同，据此可得n=6，进而可选出答案．
4．（2025·封开模拟）如图，已知直线a，b被直线c所截，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】邻补角；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图：
∵，，
∴，
∴．
故答案为：D
【分析】先根据平行线的性质得到，进而根据邻补角即可求解。
5．（2025·封开模拟）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A.不是同类项，不能合并，不符合题意；
B.，符合题意；
C.，不符合题意；
D.，不符合题意；
故选：B．
【分析】根据合并同类项法则、幂的运算法则逐项计算即可判断．
6．（2025·封开模拟）小浙计划周末在“嘉兴南湖”“丽水浙西南革命根据地纪念馆”“宁波四明山抗日根据地旧址群”三个地点中随机选择一个地点研学．他选中“嘉兴南湖”的概率为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解： 三个地点中随机选择一个地点研学共有3种可能，选中“嘉兴南湖”的只有1种结果，
∴选中“嘉兴南湖”的概率为.
故答案为：D.
【分析】三个地点中随机选择一个地点研学共有3种可能，选中“嘉兴南湖”的只有1种结果，再根据概率公式求解即可得到答案。
7．（2025·封开模拟）已知一个正方体的表面积为12，则这个正方体的棱长为（ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】B
【知识点】几何体的表面积
【解析】【解答】解：设正方体的棱长为x，则有，
解得．
故答案为：B．
【分析】设正方体的棱长为x，再根据正方体的表面积为12，可得到关于x的方程，解方程求出符合题意的x的值即可．
8．（2025·封开模拟）抛物线的对称轴是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：抛物线的对称轴是，
即，故B正确．
故答案为：B．
【分析】利用二次函数的对称轴为直线，代入计算即可.
9．（2025·封开模拟）若，那么x的值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】B
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：∵
∴，
∴，
经检验，为原方程的解．
故答案为：B
【分析】根据分式值为0的条件即可求出答案.
10．（2025·封开模拟）已知不等式的解是，下列有可能是函数的图像的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵不等式的解是，
∴直线与x轴交点为且y随x增大而减小，
故答案为：D．
【分析】由不等式的解是可得直线与x轴交点的交点坐标，同时可得到y随x增大而减小，进而求解．
11．（2025·封开模拟）双减政策下，为了解某学校七年级1260名学生的睡眠情况，抽查了其中200名学生的睡眠时间进行统计，则本次抽样调查的样本容量是 ．
【答案】200
【知识点】总体、个体、样本、样本容量
【解析】【解答】解： 为了解某学校七年级1260名学生的睡眠情况，抽查了其中200名学生的睡眠时间进行统计，所以本次抽样调查的样本容量是200；
故答案为：200.
【分析】样本容量是指样本中个体的数目，据此解答即可.
12．（2025·封开模拟）不等式组的解集是 ．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式①得：
解不等式②得：
把不等式组的解集表示在数轴上，如图，
不等式组的解集是：，
故答案为：．
【分析】分别解出两个不等式的解集，再将两个不等式的解集表示在数轴上，找到公共解集即可．
13．（2025·封开模拟）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值是 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解之：．
故答案为：．
【分析】利用一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根，可得到b2-4ac＞0，据此可得到关于m的不等式，然后求出不等式的解集即可.
14．（2025·封开模拟）计算的结果为 ．
【答案】
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：=，
故答案为：.
【分析】利用同分母分式的加法法则进行计算.
15．（2025·封开模拟）如图，菱形的边长为2，以点为圆心，长为半径画弧至点，恰好经过点，再以为圆心，长为半径画弧至点，恰好经过点，则图中的阴影部分的面积是 （结果保留根号和）．
【答案】
【知识点】菱形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接，交于点O，
∵菱形的边长为2，
，，
，
是等边三角形，
，，，，
，
，
，
∴图中阴影部分的面积为：
故答案为：．
【分析】利用菱形的性质可证得AC⊥BD，再证明△ABC是等边三角形，利用等边三角形的性质及解直角三角形求出∠BAC的度数，OA，BD的长及∠BAD的度数，然后利用扇形的面积公式及三角形的面积公式求出阴影部分的面积.
16．（2025·封开模拟）计算：
【答案】解：
【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先算乘方和开方运算，同时化简绝对值，然后合并即可.
17．（2025·封开模拟）如图，中，．
（1）实践与操作：用尺规作图法作边的垂直平分线，交于点，交于点．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）应用与证明：在（1）的条件下，连接，求证：．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求：
（2）解：证明：如图所示，
∵为线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）利用尺规作线段垂直平分线的方法作图即可；
（2）利用线段垂直平分线的性质可证得CD=BD，利用等边对等角可知∠DCB=∠DBC，然后利用余角的性质可证得∠DCA=∠A，利用等角对等边可得结论.
（1）解：如图所示，即为所求：
（2）解：证明：如图所示，
∵为线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
18．（2025·封开模拟）消防安全事关经济发展和社会和谐稳定，是惠及民生、确保民安的一项重要基础性工作，消防车是消防救援的主要装备．图1是某种消防车云梯，图2是其侧而示意图，点、、在同一直线上，可绕着点旋转，为云梯的液压杆，点、、在同一水平线上，其中可伸缩，套管的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆，，．求的长．（参考数据：，，，，）
【答案】解：如图，过点作于点，
在中，，，
∴
，
在中，，，
∵，
∴，
答：
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】过点作于点，利用解直角三角形可求出BE的长，在中，利用解直角三角形求出OB的长.
19．（2025·封开模拟）为推动全民阅读、建设书香社会、增强青少年的爱国情感，某校举办“阅读红色经典，讲好思政故事”主题演讲活动．本次活动共有30名学生参加比赛，七名评委从演讲内容、语言表达、形象风度、综合印象四项对参赛学生评分，去掉一个最高分和一个最低分后取平均分得到每项成绩（单位：分，满分100分），再将演讲内容、语言表达、形象风度、综合印象四项成绩按的比例计算出每名学生的最终成绩.30名学生的成绩统计如下．
a.30名学生最终成绩频数分布直方图
（每组包含最小值，不包含最大值）
b．选手小华和小明的四项成绩和最终成绩统计表如下．
学生 四项成绩/分 最终成绩/分
演讲内容 语言表达 形象风度 综合印象
小华 97 96 90 94 95
小明 a 88 83 85 b
c．七名评委给小明的演讲内容打分分别为87，85，91，94，91，88，93．
请根据上述信息，解答下列问题：
（1）七名评委给小明的演讲内容打分的这组数据中，去掉一个最高分和一个最低分，剩余数据的中位数是________分，平均数是________分．
（2）请计算小明的最终成绩．
（3）学校决定根据最终成绩从高到低设立一等奖、二等奖、三等奖、优秀奖，占比分别为10%，20%，30%，40%．请你判断小华和小明分别获得几等奖，并说明理由．
【答案】（1）91，90
（2）解：
小明的最终成绩为87.5分
（3）结论：小华获一等奖，小明获三等奖．
理由：获一等奖的学生有(名)，由频数直方图可知，最终成绩不低于95 分且小于100分的学生有2名，
小华最终成绩95分在这一组，因此小华获一等奖；
获一、二等奖的学生共有(名)，
获三等奖的学生有(名)，由频数直方图可知，最终成绩不低于90分的学生获一等奖或二等奖，最终成绩不低于85分且小于90分的学生有9名，均获三等奖.又因为小明最终成绩为分，所以小明获三等奖
【知识点】频数（率）分布直方图；加权平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：（1）从小到大排列为：85、87、、91、91、93、94，去掉一个最高分和一个最低分，剩余数据为87、、91、91、93
中位数为，平均数是（分）
故答案为：91， 90．
【分析】（1）根据题意去掉一个最高分和一个最低分，将剩余的数据从小到大排列，可求出最中间两个数的平均数，就是这组数据的中位数；再利用平均数公式求出剩余的数据的平均数.
（2）利用加权平均数公式进行计算即可求解.
（3）先求出获一等奖的学生的人生，根据频数直方图求出最终成绩不低于95 分且小于100分的学生的人生，进而可得小华是否获一等奖；同理得出小明获三等奖．
20．（2025·封开模拟）万达广场以每件元购进一种商品，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不得高于元/件，试销中发现每天的销售量（件）与每件的销售价（元）满足一次函数，且销售价与销售量的关系如下表：
销售价（元）
销售量（件）
求商场每天的销售利润（元）与每件的销售价（元）的函数关系式，如果商场要想获得最大利润，每件商品的销售价定为多少为最合适？最大销售利润为多少？
【答案】解：设与之间的函数关系式为，把代入得：
，
解得：，
∴与之间的函数关系式为，
∵销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于20元/件，
∴；
设总利润为w元，根据题意可得：
∵，
∴当时，w随x的增大而增大，
∵，
∴当时，w取最大值，此时，
∴每件销售价为20元时最合适，每天的销售利润最大，最大销售利润是200元
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设与之间的函数关系式为，将点代入函数解析式，可得到关于k、b的方程组，解方程组求出k、b的值，可得到一次函数解析式；
再根据“总利润＝每件的利润×销售量”可得到w与x的函数解析式，同时可求出x的取值范围，利用二次函数的性质可求出结果.
21．（2025·封开模拟）综合与实践
主题：检测雕塑(下图)底座正面的边和边是否分别垂直于底边．
素材：一个雕塑，一把卷尺．
步骤1：利用卷尺测量边，边和底边的长度，并测量出点之间的距离；
步骤2：通过计算验证底座正面的边和边是否分别垂直于底边．
解决问题：
（1）通过测量得到边的长是60厘米，边的长是80厘米，的长是100厘米，边垂直于边吗？为什么？
（2）如果你随身只有一个长度为的刻度尺，你能有办法检验边是否垂直于边吗？如果能，请写出你的方法，并证明．
【答案】（1）解：垂直，理由为：
在中，因为，，，
所以，
，
所以，
所以
（2）能，
证明：在边上量一小段，
在边上量一小段，，
这时只要量一下是否等于即可
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）利用勾股定理逆定理可证得，由此可证得结论.
（2）在边上量一小段，在边上量一小段，利用勾股定理的逆定理证明即可.
22．（2025·封开模拟）如图1所示，等边三角形内接于圆，点是劣弧上任意一点（不与重合），连接、、．
【初步探索】
（1）将绕点顺时针旋转到，使点与点重合，可得、、三点在同一直线上，则线段、、存在的数量关系是：________________．
【知识迁移】
（2）如图1所示，若圆的半径为8，问的最大值是多少？
【拓展延伸】
（3）如图2所示，等腰内接于圆，，点是弧上任一点（不与重合），连接、、，若圆的半径为8，试求周长的最大值．
【答案】（1）
（2）∵是的弦，且的半径为8，
∴当经过圆心，即是的直径时，此时的值最大，最大值为16，
，
∴的最大值是16；
（3）∵，，
∴是的直径，且圆心在上，
∴，，
将绕点顺时针旋转到，使点与点重合，
，，
，
∵，
∴，
∴、、三点在同一条直线上，
∵，
∴
，
∵当经过圆心，即是的直径时，此时的值最大，最大值为16，
∴的最大值为，
∴的最大值为，
∴周长的最大值是
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆的相关概念；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）由旋转得，
，
，
是等边三角形，
，
，
；
故答案为：；
【分析】（1）利用旋转的性质可知，，，由等边三角形的判定及性质得是等边三角形，即可求解.
（2）当经过圆心，利用圆中最长的弦是直径，可知的值最大，最大值为16，即可求解.
（3）将绕点顺时针旋转到，使点与点重合，利用圆的内接四边形性质得，由此可知、、三点在同一条直线上，由勾股定理得，当经过圆心，即是的直径时，此时的值最大，最大值为16，然后求出△PBC的周长即可.
23．（2025·封开模拟）将一长方形纸片放在直角坐标系中，O为原点，点C在x轴上，．
（1）如图1，在上取一点E，将沿折叠，使点O落在边上的点D，求线段．
（2）如图2，在边上选取适当的点M，F，将沿折叠，使点O落在边上的点处，过点D，作垂直于于点G，交于点T．
①求证：；
②设，求y与x满足的等量关系式，并将y用含x的代数式表示．
（3）在（2）的条件下，当时，点P在直线上，问：在坐标轴上是否存在点Q，使以M，，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵长方形，∴，
由折叠的性质可知，，，
由勾股定理得，，
∴，
设，则，
由勾股定理得，，即，
解得，，
∴线段的长为4
（2）解：①证明：由折叠的性质可知，，，∵，，
∴，四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
②解：∵，
∴，，
由勾股定理得，，即，
整理得，
（3）存在，或或
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；平行四边形的判定；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】（3）解：当时，，
∴，，
∴，，
∵以M，，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，
∴当为对角线时，，如图1，，重合，
∴，
由平移的性质可得，；
当为边，为对角线时，，如图1，，重合，则，
由平移的性质可得，；
当为边，为边时，，如图1，，
设直线的解析式为，
将，代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为，
∴直线的解析式为，
将代入得，，
解得，，
∴ 直线的解析式为，
令，则，
解得，，
∴；
综上所述，在坐标轴上存在点Q，使以M，，Q，P为顶点的四边形是平行四边形， Q点坐标为或或．
【分析】（1）利用折叠的性质可证得，，，利用由勾股定理可求出BD的长，同时求出AD的长；设，可表示出DE的长，然后利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程可求出x的值，即可得到AE的长.
（2）①由折叠的性质可知，，，证明，可证得四边形是矩形，利用矩形的性质可知，，，可推出，由此可证得结论；②由，可得，可表示出DM的长，利用勾股定理可得到关于x、y的方程，可得到y关于x的关系式.
（3）将x=6代入函数解析式可求出点T的坐标及点M、D的坐标；再分情况讨论：当为对角线时；当为边，为对角线时；当为边，为边时；利用平行四边形的性质，分别求出符合题意的点Q的坐标即可.
（1）解：∵长方形，
∴，
由折叠的性质可知，，，
由勾股定理得，，
∴，
设，则，
由勾股定理得，，即，
解得，，
∴线段的长为4．
（2）①证明：由折叠的性质可知，，，
∵，，
∴，四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
②解：∵，
∴，，
由勾股定理得，，即，
整理得，；
（3）解：当时，，
∴，，
∴，，
∵以M，，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，
∴当为对角线时，，如图1，，重合，
∴，
由平移的性质可得，；
当为边，为对角线时，，如图1，，重合，则，
由平移的性质可得，；
当为边，为边时，，如图1，，
设直线的解析式为，
将，代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为，
∴直线的解析式为，
将代入得，，
解得，，
∴ 直线的解析式为，
令，则，
解得，，
∴；
综上所述，在坐标轴上存在点Q，使以M，，Q，P为顶点的四边形是平行四边形， Q点坐标为或或．
1 / 1广东省肇庆市封开县2025年中考二模数学试题
1．（2025·封开模拟）下列各数是无理数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025·封开模拟）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·封开模拟）“好山好水迎贵客，最美遵义人气旺”，2024年春节假期，遵义市累计接待游客4988000人次，将数据“4988000”用科学记数法表示为，则的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．（2025·封开模拟）如图，已知直线a，b被直线c所截，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·封开模拟）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·封开模拟）小浙计划周末在“嘉兴南湖”“丽水浙西南革命根据地纪念馆”“宁波四明山抗日根据地旧址群”三个地点中随机选择一个地点研学．他选中“嘉兴南湖”的概率为（ ）
A． B． C．1 D．
7．（2025·封开模拟）已知一个正方体的表面积为12，则这个正方体的棱长为（ ）
A．1 B． C． D．3
8．（2025·封开模拟）抛物线的对称轴是（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·封开模拟）若，那么x的值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
10．（2025·封开模拟）已知不等式的解是，下列有可能是函数的图像的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2025·封开模拟）双减政策下，为了解某学校七年级1260名学生的睡眠情况，抽查了其中200名学生的睡眠时间进行统计，则本次抽样调查的样本容量是 ．
12．（2025·封开模拟）不等式组的解集是 ．
13．（2025·封开模拟）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值是 ．
14．（2025·封开模拟）计算的结果为 ．
15．（2025·封开模拟）如图，菱形的边长为2，以点为圆心，长为半径画弧至点，恰好经过点，再以为圆心，长为半径画弧至点，恰好经过点，则图中的阴影部分的面积是 （结果保留根号和）．
16．（2025·封开模拟）计算：
17．（2025·封开模拟）如图，中，．
（1）实践与操作：用尺规作图法作边的垂直平分线，交于点，交于点．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）应用与证明：在（1）的条件下，连接，求证：．
18．（2025·封开模拟）消防安全事关经济发展和社会和谐稳定，是惠及民生、确保民安的一项重要基础性工作，消防车是消防救援的主要装备．图1是某种消防车云梯，图2是其侧而示意图，点、、在同一直线上，可绕着点旋转，为云梯的液压杆，点、、在同一水平线上，其中可伸缩，套管的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆，，．求的长．（参考数据：，，，，）
19．（2025·封开模拟）为推动全民阅读、建设书香社会、增强青少年的爱国情感，某校举办“阅读红色经典，讲好思政故事”主题演讲活动．本次活动共有30名学生参加比赛，七名评委从演讲内容、语言表达、形象风度、综合印象四项对参赛学生评分，去掉一个最高分和一个最低分后取平均分得到每项成绩（单位：分，满分100分），再将演讲内容、语言表达、形象风度、综合印象四项成绩按的比例计算出每名学生的最终成绩.30名学生的成绩统计如下．
a.30名学生最终成绩频数分布直方图
（每组包含最小值，不包含最大值）
b．选手小华和小明的四项成绩和最终成绩统计表如下．
学生 四项成绩/分 最终成绩/分
演讲内容 语言表达 形象风度 综合印象
小华 97 96 90 94 95
小明 a 88 83 85 b
c．七名评委给小明的演讲内容打分分别为87，85，91，94，91，88，93．
请根据上述信息，解答下列问题：
（1）七名评委给小明的演讲内容打分的这组数据中，去掉一个最高分和一个最低分，剩余数据的中位数是________分，平均数是________分．
（2）请计算小明的最终成绩．
（3）学校决定根据最终成绩从高到低设立一等奖、二等奖、三等奖、优秀奖，占比分别为10%，20%，30%，40%．请你判断小华和小明分别获得几等奖，并说明理由．
20．（2025·封开模拟）万达广场以每件元购进一种商品，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不得高于元/件，试销中发现每天的销售量（件）与每件的销售价（元）满足一次函数，且销售价与销售量的关系如下表：
销售价（元）
销售量（件）
求商场每天的销售利润（元）与每件的销售价（元）的函数关系式，如果商场要想获得最大利润，每件商品的销售价定为多少为最合适？最大销售利润为多少？
21．（2025·封开模拟）综合与实践
主题：检测雕塑(下图)底座正面的边和边是否分别垂直于底边．
素材：一个雕塑，一把卷尺．
步骤1：利用卷尺测量边，边和底边的长度，并测量出点之间的距离；
步骤2：通过计算验证底座正面的边和边是否分别垂直于底边．
解决问题：
（1）通过测量得到边的长是60厘米，边的长是80厘米，的长是100厘米，边垂直于边吗？为什么？
（2）如果你随身只有一个长度为的刻度尺，你能有办法检验边是否垂直于边吗？如果能，请写出你的方法，并证明．
22．（2025·封开模拟）如图1所示，等边三角形内接于圆，点是劣弧上任意一点（不与重合），连接、、．
【初步探索】
（1）将绕点顺时针旋转到，使点与点重合，可得、、三点在同一直线上，则线段、、存在的数量关系是：________________．
【知识迁移】
（2）如图1所示，若圆的半径为8，问的最大值是多少？
【拓展延伸】
（3）如图2所示，等腰内接于圆，，点是弧上任一点（不与重合），连接、、，若圆的半径为8，试求周长的最大值．
23．（2025·封开模拟）将一长方形纸片放在直角坐标系中，O为原点，点C在x轴上，．
（1）如图1，在上取一点E，将沿折叠，使点O落在边上的点D，求线段．
（2）如图2，在边上选取适当的点M，F，将沿折叠，使点O落在边上的点处，过点D，作垂直于于点G，交于点T．
①求证：；
②设，求y与x满足的等量关系式，并将y用含x的代数式表示．
（3）在（2）的条件下，当时，点P在直线上，问：在坐标轴上是否存在点Q，使以M，，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A，是有限小数，属于有理数，不合题意；
B，，2是整数，属于有理数，不合题意；
C，是无限不循环小数，属于无理数，符合题意；
D，是分数，属于有理数，不合题意；
故答案为：C．
【分析】常见的无理数有：开不尽方的数，消不掉的数，有一定规律的无限不循环小数．据此逐项判断即可．
2．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项符合题意；
故答案为：D
【分析】根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：4988000，
∴；
故选B．
【分析】本题考查科学记数法.根据科学记数法的表示方法：为整数，其中的绝对值与小数点移动的位数相同，据此可得n=6，进而可选出答案．
4．【答案】D
【知识点】邻补角；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图：
∵，，
∴，
∴．
故答案为：D
【分析】先根据平行线的性质得到，进而根据邻补角即可求解。
5．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A.不是同类项，不能合并，不符合题意；
B.，符合题意；
C.，不符合题意；
D.，不符合题意；
故选：B．
【分析】根据合并同类项法则、幂的运算法则逐项计算即可判断．
6．【答案】D
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解： 三个地点中随机选择一个地点研学共有3种可能，选中“嘉兴南湖”的只有1种结果，
∴选中“嘉兴南湖”的概率为.
故答案为：D.
【分析】三个地点中随机选择一个地点研学共有3种可能，选中“嘉兴南湖”的只有1种结果，再根据概率公式求解即可得到答案。
7．【答案】B
【知识点】几何体的表面积
【解析】【解答】解：设正方体的棱长为x，则有，
解得．
故答案为：B．
【分析】设正方体的棱长为x，再根据正方体的表面积为12，可得到关于x的方程，解方程求出符合题意的x的值即可．
8．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：抛物线的对称轴是，
即，故B正确．
故答案为：B．
【分析】利用二次函数的对称轴为直线，代入计算即可.
9．【答案】B
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：∵
∴，
∴，
经检验，为原方程的解．
故答案为：B
【分析】根据分式值为0的条件即可求出答案.
10．【答案】D
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵不等式的解是，
∴直线与x轴交点为且y随x增大而减小，
故答案为：D．
【分析】由不等式的解是可得直线与x轴交点的交点坐标，同时可得到y随x增大而减小，进而求解．
11．【答案】200
【知识点】总体、个体、样本、样本容量
【解析】【解答】解： 为了解某学校七年级1260名学生的睡眠情况，抽查了其中200名学生的睡眠时间进行统计，所以本次抽样调查的样本容量是200；
故答案为：200.
【分析】样本容量是指样本中个体的数目，据此解答即可.
12．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式①得：
解不等式②得：
把不等式组的解集表示在数轴上，如图，
不等式组的解集是：，
故答案为：．
【分析】分别解出两个不等式的解集，再将两个不等式的解集表示在数轴上，找到公共解集即可．
13．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解之：．
故答案为：．
【分析】利用一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根，可得到b2-4ac＞0，据此可得到关于m的不等式，然后求出不等式的解集即可.
14．【答案】
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：=，
故答案为：.
【分析】利用同分母分式的加法法则进行计算.
15．【答案】
【知识点】菱形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接，交于点O，
∵菱形的边长为2，
，，
，
是等边三角形，
，，，，
，
，
，
∴图中阴影部分的面积为：
故答案为：．
【分析】利用菱形的性质可证得AC⊥BD，再证明△ABC是等边三角形，利用等边三角形的性质及解直角三角形求出∠BAC的度数，OA，BD的长及∠BAD的度数，然后利用扇形的面积公式及三角形的面积公式求出阴影部分的面积.
16．【答案】解：
【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先算乘方和开方运算，同时化简绝对值，然后合并即可.
17．【答案】（1）解：如图所示，即为所求：
（2）解：证明：如图所示，
∵为线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）利用尺规作线段垂直平分线的方法作图即可；
（2）利用线段垂直平分线的性质可证得CD=BD，利用等边对等角可知∠DCB=∠DBC，然后利用余角的性质可证得∠DCA=∠A，利用等角对等边可得结论.
（1）解：如图所示，即为所求：
（2）解：证明：如图所示，
∵为线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
18．【答案】解：如图，过点作于点，
在中，，，
∴
，
在中，，，
∵，
∴，
答：
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】过点作于点，利用解直角三角形可求出BE的长，在中，利用解直角三角形求出OB的长.
19．【答案】（1）91，90
（2）解：
小明的最终成绩为87.5分
（3）结论：小华获一等奖，小明获三等奖．
理由：获一等奖的学生有(名)，由频数直方图可知，最终成绩不低于95 分且小于100分的学生有2名，
小华最终成绩95分在这一组，因此小华获一等奖；
获一、二等奖的学生共有(名)，
获三等奖的学生有(名)，由频数直方图可知，最终成绩不低于90分的学生获一等奖或二等奖，最终成绩不低于85分且小于90分的学生有9名，均获三等奖.又因为小明最终成绩为分，所以小明获三等奖
【知识点】频数（率）分布直方图；加权平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：（1）从小到大排列为：85、87、、91、91、93、94，去掉一个最高分和一个最低分，剩余数据为87、、91、91、93
中位数为，平均数是（分）
故答案为：91， 90．
【分析】（1）根据题意去掉一个最高分和一个最低分，将剩余的数据从小到大排列，可求出最中间两个数的平均数，就是这组数据的中位数；再利用平均数公式求出剩余的数据的平均数.
（2）利用加权平均数公式进行计算即可求解.
（3）先求出获一等奖的学生的人生，根据频数直方图求出最终成绩不低于95 分且小于100分的学生的人生，进而可得小华是否获一等奖；同理得出小明获三等奖．
20．【答案】解：设与之间的函数关系式为，把代入得：
，
解得：，
∴与之间的函数关系式为，
∵销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于20元/件，
∴；
设总利润为w元，根据题意可得：
∵，
∴当时，w随x的增大而增大，
∵，
∴当时，w取最大值，此时，
∴每件销售价为20元时最合适，每天的销售利润最大，最大销售利润是200元
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设与之间的函数关系式为，将点代入函数解析式，可得到关于k、b的方程组，解方程组求出k、b的值，可得到一次函数解析式；
再根据“总利润＝每件的利润×销售量”可得到w与x的函数解析式，同时可求出x的取值范围，利用二次函数的性质可求出结果.
21．【答案】（1）解：垂直，理由为：
在中，因为，，，
所以，
，
所以，
所以
（2）能，
证明：在边上量一小段，
在边上量一小段，，
这时只要量一下是否等于即可
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）利用勾股定理逆定理可证得，由此可证得结论.
（2）在边上量一小段，在边上量一小段，利用勾股定理的逆定理证明即可.
22．【答案】（1）
（2）∵是的弦，且的半径为8，
∴当经过圆心，即是的直径时，此时的值最大，最大值为16，
，
∴的最大值是16；
（3）∵，，
∴是的直径，且圆心在上，
∴，，
将绕点顺时针旋转到，使点与点重合，
，，
，
∵，
∴，
∴、、三点在同一条直线上，
∵，
∴
，
∵当经过圆心，即是的直径时，此时的值最大，最大值为16，
∴的最大值为，
∴的最大值为，
∴周长的最大值是
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆的相关概念；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）由旋转得，
，
，
是等边三角形，
，
，
；
故答案为：；
【分析】（1）利用旋转的性质可知，，，由等边三角形的判定及性质得是等边三角形，即可求解.
（2）当经过圆心，利用圆中最长的弦是直径，可知的值最大，最大值为16，即可求解.
（3）将绕点顺时针旋转到，使点与点重合，利用圆的内接四边形性质得，由此可知、、三点在同一条直线上，由勾股定理得，当经过圆心，即是的直径时，此时的值最大，最大值为16，然后求出△PBC的周长即可.
23．【答案】（1）解：∵长方形，∴，
由折叠的性质可知，，，
由勾股定理得，，
∴，
设，则，
由勾股定理得，，即，
解得，，
∴线段的长为4
（2）解：①证明：由折叠的性质可知，，，∵，，
∴，四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
②解：∵，
∴，，
由勾股定理得，，即，
整理得，
（3）存在，或或
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；平行四边形的判定；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】（3）解：当时，，
∴，，
∴，，
∵以M，，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，
∴当为对角线时，，如图1，，重合，
∴，
由平移的性质可得，；
当为边，为对角线时，，如图1，，重合，则，
由平移的性质可得，；
当为边，为边时，，如图1，，
设直线的解析式为，
将，代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为，
∴直线的解析式为，
将代入得，，
解得，，
∴ 直线的解析式为，
令，则，
解得，，
∴；
综上所述，在坐标轴上存在点Q，使以M，，Q，P为顶点的四边形是平行四边形， Q点坐标为或或．
【分析】（1）利用折叠的性质可证得，，，利用由勾股定理可求出BD的长，同时求出AD的长；设，可表示出DE的长，然后利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程可求出x的值，即可得到AE的长.
（2）①由折叠的性质可知，，，证明，可证得四边形是矩形，利用矩形的性质可知，，，可推出，由此可证得结论；②由，可得，可表示出DM的长，利用勾股定理可得到关于x、y的方程，可得到y关于x的关系式.
（3）将x=6代入函数解析式可求出点T的坐标及点M、D的坐标；再分情况讨论：当为对角线时；当为边，为对角线时；当为边，为边时；利用平行四边形的性质，分别求出符合题意的点Q的坐标即可.
（1）解：∵长方形，
∴，
由折叠的性质可知，，，
由勾股定理得，，
∴，
设，则，
由勾股定理得，，即，
解得，，
∴线段的长为4．
（2）①证明：由折叠的性质可知，，，
∵，，
∴，四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
②解：∵，
∴，，
由勾股定理得，，即，
整理得，；
（3）解：当时，，
∴，，
∴，，
∵以M，，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，
∴当为对角线时，，如图1，，重合，
∴，
由平移的性质可得，；
当为边，为对角线时，，如图1，，重合，则，
由平移的性质可得，；
当为边，为边时，，如图1，，
设直线的解析式为，
将，代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为，
∴直线的解析式为，
将代入得，，
解得，，
∴ 直线的解析式为，
令，则，
解得，，
∴；
综上所述，在坐标轴上存在点Q，使以M，，Q，P为顶点的四边形是平行四边形， Q点坐标为或或．
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