吉林省长春市2025年中考真题数学试题
1．（2025·长春）中国是最早使用正、负数表示具有相反意义的量的国家．如果水位下降记作，那么水位上升记作（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·长春）下面几何体中为圆锥的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·长春）下列计算一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·长春）下列不等式组无解的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·长春）如图，已知某山峰的海拔高度为米，一位登山者到达海拔高度为米的点处．测得山峰顶端的仰角为．则、两点之间的距离为（ ）
A．米 B．米
C．米 D．米
6．（2025·长春）已知点、在同一正比例函数的图象上，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·长春）将直角三角形纸片（）按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025·长春）在功一定的条件下，功率与做功时间成反比例，与之间的函数关系如图所示．当时，的值可以为（ ）
A．24 B．27 C．45 D．50
9．（2025·长春）8的立方根是 ．
10．（2025·长春）写出的一个同类项： ．
11．（2025·长春）已知，则代数式的值为 ．
12．（2025·长春）若扇形的面积是它所在圆的面积的，则这个扇形的圆心角的大小是 度．
13．（2025·长春）图①是一个正十二面体，它的每个面都是正五边形，图②是其表面展开图，则为 度．
14．（2025·长春）如图，在边长为4的正方形中，对角线、相交于点．点在线段上．连接，作于点，交于点．给出下面四个结论：
①；②；③当时，；④点与点之间的距离的最小值为．
上述结论中，正确结论的序号有 ．
15．（2025·长春）先化简．再求值：，其中．
16．（2025·长春）长春市人民广场是中心景观类环岛型交通广场，以开阔的空间、精美的建筑和多彩的绿化而驰名．甲、乙两辆车从人民大街由南向北驶入人民广场，它们各自从A、B、C三个出口中随机选择一个出口驶出．用画树状图（或列表）的方法，求甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率．
17．（2025·长春）如图，的对角线、相交于点．求证：是菱形．
18．（2025·长春）小吉和小林从同一地点出发跑800米，小吉的平均速度是小林的1.25倍，结果小吉比小林少用40秒到达终点．求小林跑步的平均速度．
19．（2025·长春）图①、图②、图③均是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，使的顶点均在格点上．
（1）在图①中，是面积最大的等腰三角形；
（2）在图②中，是面积最大的直角三角形；
（3）在图③中，是面积最大的等腰直角三角形．
20．（2025·长春）某校综合实践活动中，数学活动小组要研究九年级男生臂展（两臂左右平伸时两手中指指尖之间的距离）与身高的关系．小组成员在本校九年级男生中随机抽取20名男生，测量他们的臂展与身高，并对得到的数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分的信息：
a.20名男生的臂展与身高数据如下表：
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
身高 166 169 169 171 172 173 173 173 174 174
臂展 161 162 164 166 164 165 167 169 169 170
编号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
身高 175 176 177 177 178 179 180 180 181 183
臂展 169 167 173 172 173 170 177 174 176 185
b.20名男生臂展与身高数据的平均数、中位数、众数如下表：
平均数 中位数 众数
身高 175 m 173
臂展 170 169
c.20名男生臂展的频数分布直方图如图①：（将臂展数据分成5组：，）
d.20名男生臂展与身高的散点图如图②，活动小组发现图中大部分点落在一条直线附近的狭长带形区域内．他们利用计算机和简单统计软件得到了描述臂展与身高之间关联关系的直线．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中、的值： ， ；
（2）该校九年级有男生240人，估计其中臂展大于或等于的男生人数；
（3）图②中直线近似的函数关系式为，根据直线反映的趋势，估计身高为男生的臂展长度．
21．（2025·长春）随着我国人工智能科技的快速发展，智能机器人已经走进我们的生活．某快递公司使用甲、乙两台不同型号的智能机器人进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度均保持不变．已知某天它们同时开始工作，甲机器人工作一段时间后、停工保养．保养结束后又和乙机器人一起继续工作．甲、乙两台机器人分拣快递的总数量（件）与乙机器人工作时间（分钟）之间的函数关系如图所示．
（1）甲机器人停工保养的时间为 分钟， ；
（2）求所在直线对应的函数表达式；
（3）若该快递公司当天分拣快递的总数批为5450件，则乙机器人工作时间为 分钟．
22．（2025·长春）数学活动：探究平面图形的最小覆盖圆
【定义】我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆．
（1）【探究一】线段的最小覆盖圆
线段的覆盖圆有无数个，其中，以为直径的圆是其最小覆盖圆．
理由如下：易知线段的最小覆盖圆一定经过点、点．如图①，以为直径作，再过、两点作（与不重合），连结．在中，有（）．
，
，即的直径大于的直径．
是线段的最小覆盖圆．“”处应填写的推理依据为 ．
（2）【探究二】直角三角形的最小覆盖圆
要确定直角三角形的最小覆盖圆，我们可先将其转化为【探究一】中线段的最小覆盖圆问题．这样就可以先确定直角三角形最长边（斜边）的最小覆盖圆，再判断直角顶点与这个圆的位置关系，从而确定直角三角形的最小覆盖圆．如图②，在中，．是以为直径的圆．请你判断点与的位置关系，并说明理由．
又由【探究一】可知，是最长边的最小覆盖圆，所以，是的最小覆盖圆．
（3）【拓展应用】矩形的最小覆盖圆
如图③，在矩形中，，．
①用圆规和无刻度的直尺在图③中作矩形的最小覆盖圆：（不写做法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描点）
②该矩形的最小覆盖圆的直径为 ；
③若用两个等圆完全覆盖矩形．则这样的两个等圆的最小直径为 ．
23．（2025·长春）如图，在中，，，点为边的中点，点为边上一动点，连接．将线段绕点顺时针旋转得到线段．
（1）线段的长为 ；
（2）当时，求的长；
（3）当点在边上时，求证：；
（4）当点到的距离是点到距离的2倍时，直接写出的长．
24．（2025·长春）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点．点、是该抛物线上的两点，横坐标分别为、，已知点，作点关于点的对称点，作点关于点的对称点，构造四边形．
（1）求该抛物线所对应的函数表达式；
（2）当两点关于该抛物线的对称轴对称时，求点的坐标；
（3）设抛物线在、两点之间的部分（含、两点）为图象．当时，若图象的最高点与最低点的纵坐标之差为．求的值；
（4）连结、，当时，直接写出的取值范围（这里、、均是大于且小于的角）．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解：“正”和“负”相对，所以，如果水位下降2m记作 ，那么水位上升3m记作
故答案为：B.
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为负，则另一个就用正表示.
2．【答案】C
【知识点】立体图形的概念与分类
【解析】【解答】解：A：是正方体，故此选项错误；
B：是球体，故此选项错误；
C：是圆锥，故此选项正确；
D：是三棱锥，故此选项错误；
故答案为：C.
【分析】根据圆锥的底面是圆，侧面是曲面进行判断即可.
3．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解： ，故A符合题意；
B： ，故B不符合题意；
C： ， 故C不符合题意；
D： ， 故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据合并同类项，同底数幂的除法，同底数幂的乘法，积的乘方的运算法则，进行计算逐一判断即可.
4．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：A.∵判断不等式组解集的口诀：同大取大，∴不等式组的解集为： 故此选项不符合题意；
B.∵判断不等式组解集的口诀：大大小小无解，∴不等式组无解，故此选项符合题意；
C.判断不等式组解集的口诀：同小取小，∴不等式组的解集为： 故此选项不符合题意；
D.判断不等式组解集的口诀：大小小大中间找，∴不等式组的解集为 故此选项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据判断不等式组解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”求出各个选项中的不等式组的解集，然后进行判断即可.
5．【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：∵依题意， 在. 中， 米，
故答案为：B.
【分析】根据题意，结合图形，中，根据 计算得到结果.
6．【答案】A
【知识点】正比例函数的图象
【解析】【解答】解：根据题意得， 故选项C错误；
故选项D错误；
故选项B错误，选项A正确.
故答案为：A.
【分析】根据题意得， 然后判断四个选项是否正确.
7．【答案】D
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由折叠可得： DE⊥AC， PQ⊥AC， MN⊥AC，AM=MD=DP=PC，
故A正确，不符合题意；
∴△ADE∽△ACB∽△AMN，
∴BC=2DE， DE=2MN，
∴BC =4MN，
∴BC=2DE=4MN， 故B正确， 不符合题意；
∵MN∥PQ∥BC，
故C正确，不符合题意；
∵△ADE∽△ACB∽△AMN∽△APQ，
故D错误，符合题意，
故答案为：D.
【分析】由折叠可得： DE⊥AC， PQ⊥AC， MN⊥AC，AM=MD=DP=PC， 则MN∥DE∥PQ∥BC，那么△ADE∽△ACB∽△AMN∽△APQ， 继而根据相似三角形的性质以及平行线分线段成比例定理逐一判断即可.
8．【答案】C
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设功率P(单位：w)与做功的时间t(单位：s)的函数解析式为
把 代入解析式得：
解得：
∴功率P(单位：w)与做功的时间t(单位：s)的函数解析式为
∵反比例函数的图象在第一象限内，P随t的增大而减小，
∴当 时，
当 时，
故答案为：C.
【分析】先根据待定系数法求出反比例函数解析式，再求出当 和 时的函数值，根据反比例函数的性质即可得到答案.
9．【答案】2
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】解：8的立方根为2，
故答案为：2．
【分析】利用立方根的定义计算即可得到结果．此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．
10．【答案】（答案不唯一）
【知识点】同类项的概念
【解析】【解答】解：的一个同类项为2ab.
故答案为：2ab(答案不唯一)。
【分析】根据同类项的定义解答即可.
11．【答案】3
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：，
故答案为：3.
【分析】原式化为，整体代入计算解答即可.
12．【答案】240
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵扇形的面积是它所在圆的面积的
∴这个扇形的圆心角的大小是：
故答案为： 240.
【分析】根据扇形的面积是它所在圆的面积的 可知这个扇形的圆心角占 的 从而可以求得这个扇形的圆心角的度数.
13．【答案】36
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵正五边形每个外角为：
∴正五边形每个内角为1
故答案为：36.
【分析】先根据正五边形的性质求出它的一个外角，再求出每个内角的度数，再根据 与3个内角的和是一个周角，求出答案即可.
14．【答案】①②④
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；定点定长辅助圆模型
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD，
∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AC⊥BD， OA=OB =OC =OD，
∵CF⊥BE，
∴∠COP=90°=∠BFP，
∵∠CPO=∠BPF，
∴∠OCP=∠OBE， 故①符合题意；
∵∠COP=90°=∠BOE， OC=OB，
∴△COP≌△BOE(ASA)，
∴OP =OE， 故②符合题意；
当CE=CB时， CF⊥BE，
∴EF=BF， ∠BFP=90°，
∴BP>BF=EF，
故③不符合题意；
如图， 取BC的中点R， 连接AF， RF，
∴F在以R为圆心，BC为直径的圆上，当A， F， R共线时， AF最小，
∴点A与点F之间的距离的最小值为 故④符合题意；
故答案为： ①②④.
【分析】根据正方形的性质可得， 结合 可得 故①符合题意；证明 可得 ，故②符合题意； 当 时， 可得 可得 故③不符合题意；如图，取BC的中点R，连接AF，RF，可得F在以R为圆心，BC为直径的圆上，当A，F，R共线时，AF最小， 再进一步可判断④.
15．【答案】解：
解： ，
当 时，原式.
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】运用完全平方公式展开合并化简，然后代入x的值计算解题.
16．【答案】解： 由题意得，可画树状图为：
由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，其中甲、乙两辆车从同一出口驶出的结果数有3种，
∴这甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率是 .
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可.
17．【答案】解：∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形．
【知识点】勾股定理的逆定理；菱形的判定
【解析】【分析】由勾股定理定理的逆定理可证，由对角线互相垂直的平行四边形是菱形解答即可.
18．【答案】解：设小林跑步的平均速度为米每秒，则小吉的平均速度为米每秒，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴原方程的解为：，
答：小林跑步的平均速度为4米每秒．
【知识点】分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】设小林跑步的平均速度为x米/秒，则小吉的平均速度为1.25x米/秒，根据小吉和小林从同一地点出发路800米，结果小吉比小林少用40秒到达终点，列出分式方程，解分式方程即可.
19．【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：如图所示，即为所求．
【知识点】等腰直角三角形；等腰三角形的概念；直角三角形的概念
【解析】【分析】(1)根据等腰三角形的定义以及题目要求画出图形即可；
(2)根据直角三角形的定义以及题目要求画出图形即可；
(3)作一个腰为 的等腰直角三角形即可.
20．【答案】（1）；
（2）解：该校九年级有男生240人，估计臂展大于或等于170cm的男生人数为：
（人）；
（3）解：∵，
当时，，
∴身高为男生的臂展长度约为.
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；一次函数的其他应用；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由表格信息可得：；
；
故答案为：，；
【分析】(1)根据中位数与众数的含义可得答案；
(2)由表格信息可得臂展大于或等于170cm的男生人数的占比为 再乘以总人数即可；
(3) 把 代入 即可得到答案.
21．【答案】（1）20；3800
（2）解：∵甲乙机器人的效率为每分钟件，
∴所在直线对应的函数表达式为：
（3）110
【知识点】一次函数的实际应用-工程问题
【解析】【解答】解：（1）由图象可得：甲机器人停工保养的时间为分钟；
∵，
∴（件）；
故答案为：20，3800；
（3）当时，
∴，
解得：，
∴该快递公司当天分拣快递的总数批为5450件，则乙机器人工作时间为分钟.
故答案为：110；
【分析】(1)由图象可得：甲机器人停工保养的时间，再计算甲乙机器人的工作效率，再列式计算求解m的值即可；
(2)由甲乙机器人的效率为每分钟55件，可得AB所在直线对应的函数表达式求出y值即可；
(3) 把 代入解析式，求出x值，进一步即可得到答案.
22．【答案】（1）三角形的任意两边之和大于第三边
（2）解：∵，为的中点，
∴，
∴在上；
（3）解：①如图，即为矩形的最小覆盖圆；
②；③
【知识点】三角形三边关系；勾股定理；矩形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：（1）探究一：
理由如下：易知线段的最小覆盖圆一定经过点、点．如图①，以为直径作，再过、两点作（与不重合），连结．在中，有（三角形的任意两边之和大于第三边）．
，
，即的直径大于的直径．
是线段的最小覆盖圆．“”处应填写的推理依据为三角形的任意两边之和大于第三边．
故答案为：三角形的任意两边之和大于第三边；
（3）拓展应用：①∵矩形，，，
∴，；
②作的垂直平分线，交于，交于，
∴四边形，是两个全等的矩形，
∴，
∵用两个等圆完全覆盖矩形，
∴两圆一定过，
连接，交点分别为，
同理可得：这样的两个等圆的最小直径为或或或，
∴最小直径为，
如图，作的垂直平分线交于，
同法作，，此时不是直径最小的等圆；
综上：用两个等圆完全覆盖矩形．则这样的两个等圆的最小直径为.
故答案为：；.
【分析】探究一：根据三角形的三边关系可得答案；
探究二：利用直角三角形斜边上的中线的性质证明 即可得到答案；
拓展应用：①连接AC， BD， 交于点O， 以O为圆心，OA为半径作圆即可；
②结合矩形性质与勾股定理计算即可；
③作AD的垂直平分线LJ，交AD于L， 交BC于J， 可得四边形ABJL， DCJL是两个全等的矩形， ，用两个等圆完全覆盖矩形ABCD，可得两圆一定过L，J，再进一步解答即可.
23．【答案】（1）
（2）解：如图，在中，，，点为边的中点，
∴，，
∵，
∴，而，
∴，
∴；
（3）证明：∵旋转，
∴，
如图，∵，，
∴，
∵，，
∴；
（4）解：的长为或.
【知识点】旋转的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—边角关系；一线三等角全等模型（钝角）
【解析】【解答】（1）解：∵在中，，，
∴；
故答案为：；
（4）解：如图，当在的左边时，结合题意可得：，，，
过作于，过作于，
∴四边形为矩形，
∴，
结合（1）可得：，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图，当在的右边时，过作于，过作于，
同理：，
四边形四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
同理可得：，，
∴；
综上：的长为或.
故答案为：或.
【分析】（1）利用勾股定理解答即可；
（2）根据平行得到∠DEB=90°，然后利用余弦的定义解答即可；
（3）根据旋转的性质，利用AAS证明两三角形全等即可；
（4）分为在的左边或在的右边两种情况，过作于，过作于，证明，即可得到，然后根据勾股定理求出BE长，然后利用线段的和差解答即可.
24．【答案】（1）解：将点代入中得：
解得：，
∴．
（2）解：根据抛物线对称轴公式可知：
抛物线的对称轴为，
∵、关于对称轴对称，且横坐标分别为、，
∴、中点在对称轴上，
∴，
，
解得：，
∵点是该抛物线上的点，
将代入抛物线解析式得，
，
即
设是A关于的对称点，则：
解得，，
∴点坐标为．
（3）解：∵抛物线顶点为，开口向上，，，
当时，包含，最低点为。
当时，，最高点为A，纵坐标差为：，
解得：；
当时，，最高点为B，纵坐标差为： ，
解得：．
综上，m的值为或．
（4）解：∵点是点关于点的对称点，点是点关于点的对称点，结合题意可知：∴，，，，
∴，，，，
当、运动到平行四边形内部时（即、、共线），如图：
过点作，如图：
此时，满足，
由一次函数的性质可的大小决定了直线的倾斜方向和函数的增减性，
所以当两条一次函数的直线平行时的大小相同，
∴
∴
解得
当、、共线时，如图，同理：
∴，
∴，
∴，
解得．
综上，．
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】(1)将点(3，3)代入： 求出b即可求解析式；
(2)先求抛物线的对称轴为直线。 由A，B两点关于该抛物线的对称轴对称，可得： 求出 再由A、C关于M点对称，求出C点即可；
(3)当 时，最高点纵坐标为 最低点为 当 时，最高点纵坐标为 最低点为 ，分别求出相应的m的值即可；
(4)根据题意可知四边形ABCD是平行四边形，过点O作直线 ，满足条件的m的临界位置分别为当OA与AD重合时，当OB与BC重合时，根据列方程解答即可.
1 / 1吉林省长春市2025年中考真题数学试题
1．（2025·长春）中国是最早使用正、负数表示具有相反意义的量的国家．如果水位下降记作，那么水位上升记作（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解：“正”和“负”相对，所以，如果水位下降2m记作 ，那么水位上升3m记作
故答案为：B.
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为负，则另一个就用正表示.
2．（2025·长春）下面几何体中为圆锥的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】立体图形的概念与分类
【解析】【解答】解：A：是正方体，故此选项错误；
B：是球体，故此选项错误；
C：是圆锥，故此选项正确；
D：是三棱锥，故此选项错误；
故答案为：C.
【分析】根据圆锥的底面是圆，侧面是曲面进行判断即可.
3．（2025·长春）下列计算一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解： ，故A符合题意；
B： ，故B不符合题意；
C： ， 故C不符合题意；
D： ， 故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据合并同类项，同底数幂的除法，同底数幂的乘法，积的乘方的运算法则，进行计算逐一判断即可.
4．（2025·长春）下列不等式组无解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：A.∵判断不等式组解集的口诀：同大取大，∴不等式组的解集为： 故此选项不符合题意；
B.∵判断不等式组解集的口诀：大大小小无解，∴不等式组无解，故此选项符合题意；
C.判断不等式组解集的口诀：同小取小，∴不等式组的解集为： 故此选项不符合题意；
D.判断不等式组解集的口诀：大小小大中间找，∴不等式组的解集为 故此选项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据判断不等式组解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”求出各个选项中的不等式组的解集，然后进行判断即可.
5．（2025·长春）如图，已知某山峰的海拔高度为米，一位登山者到达海拔高度为米的点处．测得山峰顶端的仰角为．则、两点之间的距离为（ ）
A．米 B．米
C．米 D．米
【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：∵依题意， 在. 中， 米，
故答案为：B.
【分析】根据题意，结合图形，中，根据 计算得到结果.
6．（2025·长春）已知点、在同一正比例函数的图象上，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正比例函数的图象
【解析】【解答】解：根据题意得， 故选项C错误；
故选项D错误；
故选项B错误，选项A正确.
故答案为：A.
【分析】根据题意得， 然后判断四个选项是否正确.
7．（2025·长春）将直角三角形纸片（）按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由折叠可得： DE⊥AC， PQ⊥AC， MN⊥AC，AM=MD=DP=PC，
故A正确，不符合题意；
∴△ADE∽△ACB∽△AMN，
∴BC=2DE， DE=2MN，
∴BC =4MN，
∴BC=2DE=4MN， 故B正确， 不符合题意；
∵MN∥PQ∥BC，
故C正确，不符合题意；
∵△ADE∽△ACB∽△AMN∽△APQ，
故D错误，符合题意，
故答案为：D.
【分析】由折叠可得： DE⊥AC， PQ⊥AC， MN⊥AC，AM=MD=DP=PC， 则MN∥DE∥PQ∥BC，那么△ADE∽△ACB∽△AMN∽△APQ， 继而根据相似三角形的性质以及平行线分线段成比例定理逐一判断即可.
8．（2025·长春）在功一定的条件下，功率与做功时间成反比例，与之间的函数关系如图所示．当时，的值可以为（ ）
A．24 B．27 C．45 D．50
【答案】C
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设功率P(单位：w)与做功的时间t(单位：s)的函数解析式为
把 代入解析式得：
解得：
∴功率P(单位：w)与做功的时间t(单位：s)的函数解析式为
∵反比例函数的图象在第一象限内，P随t的增大而减小，
∴当 时，
当 时，
故答案为：C.
【分析】先根据待定系数法求出反比例函数解析式，再求出当 和 时的函数值，根据反比例函数的性质即可得到答案.
9．（2025·长春）8的立方根是 ．
【答案】2
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】解：8的立方根为2，
故答案为：2．
【分析】利用立方根的定义计算即可得到结果．此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．
10．（2025·长春）写出的一个同类项： ．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】同类项的概念
【解析】【解答】解：的一个同类项为2ab.
故答案为：2ab(答案不唯一)。
【分析】根据同类项的定义解答即可.
11．（2025·长春）已知，则代数式的值为 ．
【答案】3
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：，
故答案为：3.
【分析】原式化为，整体代入计算解答即可.
12．（2025·长春）若扇形的面积是它所在圆的面积的，则这个扇形的圆心角的大小是 度．
【答案】240
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵扇形的面积是它所在圆的面积的
∴这个扇形的圆心角的大小是：
故答案为： 240.
【分析】根据扇形的面积是它所在圆的面积的 可知这个扇形的圆心角占 的 从而可以求得这个扇形的圆心角的度数.
13．（2025·长春）图①是一个正十二面体，它的每个面都是正五边形，图②是其表面展开图，则为 度．
【答案】36
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵正五边形每个外角为：
∴正五边形每个内角为1
故答案为：36.
【分析】先根据正五边形的性质求出它的一个外角，再求出每个内角的度数，再根据 与3个内角的和是一个周角，求出答案即可.
14．（2025·长春）如图，在边长为4的正方形中，对角线、相交于点．点在线段上．连接，作于点，交于点．给出下面四个结论：
①；②；③当时，；④点与点之间的距离的最小值为．
上述结论中，正确结论的序号有 ．
【答案】①②④
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；定点定长辅助圆模型
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD，
∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AC⊥BD， OA=OB =OC =OD，
∵CF⊥BE，
∴∠COP=90°=∠BFP，
∵∠CPO=∠BPF，
∴∠OCP=∠OBE， 故①符合题意；
∵∠COP=90°=∠BOE， OC=OB，
∴△COP≌△BOE(ASA)，
∴OP =OE， 故②符合题意；
当CE=CB时， CF⊥BE，
∴EF=BF， ∠BFP=90°，
∴BP>BF=EF，
故③不符合题意；
如图， 取BC的中点R， 连接AF， RF，
∴F在以R为圆心，BC为直径的圆上，当A， F， R共线时， AF最小，
∴点A与点F之间的距离的最小值为 故④符合题意；
故答案为： ①②④.
【分析】根据正方形的性质可得， 结合 可得 故①符合题意；证明 可得 ，故②符合题意； 当 时， 可得 可得 故③不符合题意；如图，取BC的中点R，连接AF，RF，可得F在以R为圆心，BC为直径的圆上，当A，F，R共线时，AF最小， 再进一步可判断④.
15．（2025·长春）先化简．再求值：，其中．
【答案】解：
解： ，
当 时，原式.
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】运用完全平方公式展开合并化简，然后代入x的值计算解题.
16．（2025·长春）长春市人民广场是中心景观类环岛型交通广场，以开阔的空间、精美的建筑和多彩的绿化而驰名．甲、乙两辆车从人民大街由南向北驶入人民广场，它们各自从A、B、C三个出口中随机选择一个出口驶出．用画树状图（或列表）的方法，求甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率．
【答案】解： 由题意得，可画树状图为：
由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，其中甲、乙两辆车从同一出口驶出的结果数有3种，
∴这甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率是 .
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可.
17．（2025·长春）如图，的对角线、相交于点．求证：是菱形．
【答案】解：∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形．
【知识点】勾股定理的逆定理；菱形的判定
【解析】【分析】由勾股定理定理的逆定理可证，由对角线互相垂直的平行四边形是菱形解答即可.
18．（2025·长春）小吉和小林从同一地点出发跑800米，小吉的平均速度是小林的1.25倍，结果小吉比小林少用40秒到达终点．求小林跑步的平均速度．
【答案】解：设小林跑步的平均速度为米每秒，则小吉的平均速度为米每秒，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴原方程的解为：，
答：小林跑步的平均速度为4米每秒．
【知识点】分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】设小林跑步的平均速度为x米/秒，则小吉的平均速度为1.25x米/秒，根据小吉和小林从同一地点出发路800米，结果小吉比小林少用40秒到达终点，列出分式方程，解分式方程即可.
19．（2025·长春）图①、图②、图③均是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，使的顶点均在格点上．
（1）在图①中，是面积最大的等腰三角形；
（2）在图②中，是面积最大的直角三角形；
（3）在图③中，是面积最大的等腰直角三角形．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：如图所示，即为所求．
【知识点】等腰直角三角形；等腰三角形的概念；直角三角形的概念
【解析】【分析】(1)根据等腰三角形的定义以及题目要求画出图形即可；
(2)根据直角三角形的定义以及题目要求画出图形即可；
(3)作一个腰为 的等腰直角三角形即可.
20．（2025·长春）某校综合实践活动中，数学活动小组要研究九年级男生臂展（两臂左右平伸时两手中指指尖之间的距离）与身高的关系．小组成员在本校九年级男生中随机抽取20名男生，测量他们的臂展与身高，并对得到的数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分的信息：
a.20名男生的臂展与身高数据如下表：
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
身高 166 169 169 171 172 173 173 173 174 174
臂展 161 162 164 166 164 165 167 169 169 170
编号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
身高 175 176 177 177 178 179 180 180 181 183
臂展 169 167 173 172 173 170 177 174 176 185
b.20名男生臂展与身高数据的平均数、中位数、众数如下表：
平均数 中位数 众数
身高 175 m 173
臂展 170 169
c.20名男生臂展的频数分布直方图如图①：（将臂展数据分成5组：，）
d.20名男生臂展与身高的散点图如图②，活动小组发现图中大部分点落在一条直线附近的狭长带形区域内．他们利用计算机和简单统计软件得到了描述臂展与身高之间关联关系的直线．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中、的值： ， ；
（2）该校九年级有男生240人，估计其中臂展大于或等于的男生人数；
（3）图②中直线近似的函数关系式为，根据直线反映的趋势，估计身高为男生的臂展长度．
【答案】（1）；
（2）解：该校九年级有男生240人，估计臂展大于或等于170cm的男生人数为：
（人）；
（3）解：∵，
当时，，
∴身高为男生的臂展长度约为.
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；一次函数的其他应用；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由表格信息可得：；
；
故答案为：，；
【分析】(1)根据中位数与众数的含义可得答案；
(2)由表格信息可得臂展大于或等于170cm的男生人数的占比为 再乘以总人数即可；
(3) 把 代入 即可得到答案.
21．（2025·长春）随着我国人工智能科技的快速发展，智能机器人已经走进我们的生活．某快递公司使用甲、乙两台不同型号的智能机器人进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度均保持不变．已知某天它们同时开始工作，甲机器人工作一段时间后、停工保养．保养结束后又和乙机器人一起继续工作．甲、乙两台机器人分拣快递的总数量（件）与乙机器人工作时间（分钟）之间的函数关系如图所示．
（1）甲机器人停工保养的时间为 分钟， ；
（2）求所在直线对应的函数表达式；
（3）若该快递公司当天分拣快递的总数批为5450件，则乙机器人工作时间为 分钟．
【答案】（1）20；3800
（2）解：∵甲乙机器人的效率为每分钟件，
∴所在直线对应的函数表达式为：
（3）110
【知识点】一次函数的实际应用-工程问题
【解析】【解答】解：（1）由图象可得：甲机器人停工保养的时间为分钟；
∵，
∴（件）；
故答案为：20，3800；
（3）当时，
∴，
解得：，
∴该快递公司当天分拣快递的总数批为5450件，则乙机器人工作时间为分钟.
故答案为：110；
【分析】(1)由图象可得：甲机器人停工保养的时间，再计算甲乙机器人的工作效率，再列式计算求解m的值即可；
(2)由甲乙机器人的效率为每分钟55件，可得AB所在直线对应的函数表达式求出y值即可；
(3) 把 代入解析式，求出x值，进一步即可得到答案.
22．（2025·长春）数学活动：探究平面图形的最小覆盖圆
【定义】我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆．
（1）【探究一】线段的最小覆盖圆
线段的覆盖圆有无数个，其中，以为直径的圆是其最小覆盖圆．
理由如下：易知线段的最小覆盖圆一定经过点、点．如图①，以为直径作，再过、两点作（与不重合），连结．在中，有（）．
，
，即的直径大于的直径．
是线段的最小覆盖圆．“”处应填写的推理依据为 ．
（2）【探究二】直角三角形的最小覆盖圆
要确定直角三角形的最小覆盖圆，我们可先将其转化为【探究一】中线段的最小覆盖圆问题．这样就可以先确定直角三角形最长边（斜边）的最小覆盖圆，再判断直角顶点与这个圆的位置关系，从而确定直角三角形的最小覆盖圆．如图②，在中，．是以为直径的圆．请你判断点与的位置关系，并说明理由．
又由【探究一】可知，是最长边的最小覆盖圆，所以，是的最小覆盖圆．
（3）【拓展应用】矩形的最小覆盖圆
如图③，在矩形中，，．
①用圆规和无刻度的直尺在图③中作矩形的最小覆盖圆：（不写做法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描点）
②该矩形的最小覆盖圆的直径为 ；
③若用两个等圆完全覆盖矩形．则这样的两个等圆的最小直径为 ．
【答案】（1）三角形的任意两边之和大于第三边
（2）解：∵，为的中点，
∴，
∴在上；
（3）解：①如图，即为矩形的最小覆盖圆；
②；③
【知识点】三角形三边关系；勾股定理；矩形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：（1）探究一：
理由如下：易知线段的最小覆盖圆一定经过点、点．如图①，以为直径作，再过、两点作（与不重合），连结．在中，有（三角形的任意两边之和大于第三边）．
，
，即的直径大于的直径．
是线段的最小覆盖圆．“”处应填写的推理依据为三角形的任意两边之和大于第三边．
故答案为：三角形的任意两边之和大于第三边；
（3）拓展应用：①∵矩形，，，
∴，；
②作的垂直平分线，交于，交于，
∴四边形，是两个全等的矩形，
∴，
∵用两个等圆完全覆盖矩形，
∴两圆一定过，
连接，交点分别为，
同理可得：这样的两个等圆的最小直径为或或或，
∴最小直径为，
如图，作的垂直平分线交于，
同法作，，此时不是直径最小的等圆；
综上：用两个等圆完全覆盖矩形．则这样的两个等圆的最小直径为.
故答案为：；.
【分析】探究一：根据三角形的三边关系可得答案；
探究二：利用直角三角形斜边上的中线的性质证明 即可得到答案；
拓展应用：①连接AC， BD， 交于点O， 以O为圆心，OA为半径作圆即可；
②结合矩形性质与勾股定理计算即可；
③作AD的垂直平分线LJ，交AD于L， 交BC于J， 可得四边形ABJL， DCJL是两个全等的矩形， ，用两个等圆完全覆盖矩形ABCD，可得两圆一定过L，J，再进一步解答即可.
23．（2025·长春）如图，在中，，，点为边的中点，点为边上一动点，连接．将线段绕点顺时针旋转得到线段．
（1）线段的长为 ；
（2）当时，求的长；
（3）当点在边上时，求证：；
（4）当点到的距离是点到距离的2倍时，直接写出的长．
【答案】（1）
（2）解：如图，在中，，，点为边的中点，
∴，，
∵，
∴，而，
∴，
∴；
（3）证明：∵旋转，
∴，
如图，∵，，
∴，
∵，，
∴；
（4）解：的长为或.
【知识点】旋转的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—边角关系；一线三等角全等模型（钝角）
【解析】【解答】（1）解：∵在中，，，
∴；
故答案为：；
（4）解：如图，当在的左边时，结合题意可得：，，，
过作于，过作于，
∴四边形为矩形，
∴，
结合（1）可得：，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图，当在的右边时，过作于，过作于，
同理：，
四边形四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
同理可得：，，
∴；
综上：的长为或.
故答案为：或.
【分析】（1）利用勾股定理解答即可；
（2）根据平行得到∠DEB=90°，然后利用余弦的定义解答即可；
（3）根据旋转的性质，利用AAS证明两三角形全等即可；
（4）分为在的左边或在的右边两种情况，过作于，过作于，证明，即可得到，然后根据勾股定理求出BE长，然后利用线段的和差解答即可.
24．（2025·长春）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点．点、是该抛物线上的两点，横坐标分别为、，已知点，作点关于点的对称点，作点关于点的对称点，构造四边形．
（1）求该抛物线所对应的函数表达式；
（2）当两点关于该抛物线的对称轴对称时，求点的坐标；
（3）设抛物线在、两点之间的部分（含、两点）为图象．当时，若图象的最高点与最低点的纵坐标之差为．求的值；
（4）连结、，当时，直接写出的取值范围（这里、、均是大于且小于的角）．
【答案】（1）解：将点代入中得：
解得：，
∴．
（2）解：根据抛物线对称轴公式可知：
抛物线的对称轴为，
∵、关于对称轴对称，且横坐标分别为、，
∴、中点在对称轴上，
∴，
，
解得：，
∵点是该抛物线上的点，
将代入抛物线解析式得，
，
即
设是A关于的对称点，则：
解得，，
∴点坐标为．
（3）解：∵抛物线顶点为，开口向上，，，
当时，包含，最低点为。
当时，，最高点为A，纵坐标差为：，
解得：；
当时，，最高点为B，纵坐标差为： ，
解得：．
综上，m的值为或．
（4）解：∵点是点关于点的对称点，点是点关于点的对称点，结合题意可知：∴，，，，
∴，，，，
当、运动到平行四边形内部时（即、、共线），如图：
过点作，如图：
此时，满足，
由一次函数的性质可的大小决定了直线的倾斜方向和函数的增减性，
所以当两条一次函数的直线平行时的大小相同，
∴
∴
解得
当、、共线时，如图，同理：
∴，
∴，
∴，
解得．
综上，．
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】(1)将点(3，3)代入： 求出b即可求解析式；
(2)先求抛物线的对称轴为直线。 由A，B两点关于该抛物线的对称轴对称，可得： 求出 再由A、C关于M点对称，求出C点即可；
(3)当 时，最高点纵坐标为 最低点为 当 时，最高点纵坐标为 最低点为 ，分别求出相应的m的值即可；
(4)根据题意可知四边形ABCD是平行四边形，过点O作直线 ，满足条件的m的临界位置分别为当OA与AD重合时，当OB与BC重合时，根据列方程解答即可.
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