4.1 数列的概念
第1课时 数列的概念与表示(概念课逐点理清式教学)
课时目标
1.理解数列的概念和表示方法;能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式.
2.会由通项公式写出数列的任一项,理解数列是一种特殊函数.
逐点清(一) 数列的概念与分类
[多维度理解]
1.数列的概念
(1)一般地,我们把按照 排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的 .数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第 项,常用符号a1表示,第二个位置上的数叫做这个数列的第 项,用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项,用 表示.其中第1项也叫做 .
(2)数列的一般形式是a1,a2,…,an,…,简记为 .
2.数列的分类
分类标准 名称 含义
按项的 个数 有穷数列 项数 的数列
无穷数列 项数 的数列
按项的 变化趋势 递增数列 从第2项起,每一项都 它的前一项的数列
递减数列 从第2项起,每一项都 它的前一项的数列
常数列 各项都 的数列
周期数列 项呈现周期性变化
摆动数列 从第2项起,有些项 它的前一项,有些项 它的前一项
微点助解
(1){an}与an的含义完全不同:{an}表示一个数列,an表示数列的第n项.
(2)如果组成两个数列的数相同而排列次序不同,那么它们就是不同的数列.
(3)同一个数在数列中可以重复出现.
[细微点练明]
1.下列各项表示数列的是 ( )
A.a,b,c,…,x,y,z
B.2 019,2 020,2 021,…,2 025
C.锐角三角形,直角三角形,钝角三角形
D.a+b,a-b,ab,2a
2.下列有关数列的说法正确的是 ( )
A.同一数列的任意两项均不可能相同
B.数列-2,0,2与数列2,0,-2是同一个数列
C.数列2,4,6,8可表示为{2,4,6,8}
D.数列中的每一项都与它的序号有关
3.已知下列数列:
①2 019,2 020,2 021,2 022,2 023,2 024;②1,,,…,,…;③1,-,,…,,…;④1,0,-1,…,sin,…;⑤2,4,8,16,32,…;⑥-1,-1,-1,-1.
其中,有穷数列是 ,无穷数列是 ,递增数列是 ,递减数列是 ,常数列是 ,摆动数列是 .(填序号)
逐点清(二) 数列的通项公式
[多维度理解]
如果数列{an}的第n项an与它的 之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
微点助解
(1)数列的通项公式实际上就是相应函数的解析式,即an=f(n).数列的通项公式必须适合数列中的任何一项.
(2)已知通项公式an=f(n),那么只需依次用1,2,3,…代替公式中的n,就可以求出数列的各项.
(3)一个数列的通项公式可以有不同的形式,如an=(-1)n还可以写成an=(-1的形式等.
(4)并不是所有的数列都有通项公式,就像并不是所有的函数都能用解析式表示一样.
[细微点练明]
1.已知数列{an}的通项公式为an=,n∈N*,则该数列的前4项依次为 ( )
A.1,0,1,0 B.0,1,0,1
C.,0,,0 D.2,0,2,0
2.下列四个数中,是数列{n(n+1)}中的一项的是 ( )
A.380 B.392
C.321 D.232
3.若一数列为1,37,314,321,…,则398是这个数列的 ( )
A.不在此数列中 B.第13项
C.第14项 D.第15项
4.已知数列{an}的通项公式为an=2 021-3n,则使an>0成立的正整数n的最大值为 .
5.写出数列的一个通项公式,使它的前几项分别是下列各数:
(1)a,b,a,b,…;
(2),,,,…;
(3)1,-3,5,-7,9,…;
(4)-,,-,,…;
(5),2,,8,,…;
(6)-3,33,-333,3 333,….
逐点清(三) 数列的函数特性
[典例] 已知数列{an}的通项公式是an=(n+1).试问该数列有没有最大项 若有,求出最大项和最大项的序号;若没有,请说明理由.
听课记录:
[变式拓展]
若本例通项公式“an=(n+1)”变为“an=”如何求解.
[思维建模]
数列单调性的判断方法和应用思路
(1)判断数列的单调性通常是通过比较数列{an}中任意相邻两项an+1和an的大小来判断,常用方法是定义法、作差法和作商法.
(2)解决根据数列的单调性确定变量的取值范围问题,常利用以下等价关系:
数列{an}递增 an+1>an(n∈N*);
数列{an}递减 an+1
转化为不等式成立(恒成立),通过分离变量转化为代数式的最值来解决;或由数列的函数特征,通过构建有关变量的不等关系,解不等式(组)来确定变量的取值范围.
[针对训练]
已知数列{an}的通项公式为an=n2+tn,若数列{an}为递增数列,则t的取值范围是 .
第1课时 数列的概念与表示
[逐点清(一)][多维度理解]
1.(1)确定的顺序 项 1 2 an 首项 (2){an}
2.有限 无限 大于 小于 相等 大于 小于
[细微点练明]
1.选B 数列必须由数组成,A、C、D中均不是数.
2.选D 常数列中任意两项都是相同的,所以A不正确;数列-2,0,2与2,0,-2中数字的排列顺序不同,不是同一个数列,所以B不正确;{2,4,6,8}表示一个集合,不是数列,所以C不正确;根据数列的定义知,数列中的每一项与它的序号是有关的,所以D正确.故选D.
3.①⑥ ②③④⑤ ①⑤ ② ⑥ ③④
[逐点清(二)]
[多维度理解] 序号n
[细微点练明]
1.选A 当n分别等于1,2,3,4时,a1=1,a2=0,a3=1,a4=0.
2.选A n=19时,n(n+1)=380.
3.选D 因为1=37×0,37=37×1,314=37×2,321=37×3,因此符合题意的一个通项公式为an=37(n-1).由37(n-1)=398解得n=15,所以398是这个数列的第15项.
4.解析:由an=2 021-3n>0,解得n<=673+,因为n∈N*,所以正整数n的最大值为673.
答案:673
5.解:(1)数列的奇数项为a,偶数项为b,因此通项公式可用分段形式来表示,记为an=也可记为an=+(-1)n+1·,n∈N*.
(2)这个数列的前4项为,,,,
其分母都是序号n加上1,分子都是分母的平方减去1,故an=,n∈N*.
(3)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9,…,是连续的奇数,且奇数项为正,偶数项为负,故an=(-1)n+1(2n-1),n∈N*.
(4)这个数列的前4项为-,,-,,它们的绝对值都等于序号与序号加1的乘积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,故an=,n∈N*.
(5)数列的项有的是分数,有的是整数,可将各项都统一成分数再观察,该数列为,,,,,…,其分母都是2,分子都是序号的平方,故an=,n∈N*.
(6)因为-3=(-1)1××(10-1),33=(-1)2××(100-1),-333=(-1)3××(1 000-1),所以an=,n∈N*.
[逐点清(三)]
[典例] 解:法一 an+1-an=(n+2)-(n+1)=,
当n<9时,an+1-an>0,即an+1>an;
当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an;
当n>9时,an+1-an<0,即an+1则a1a11>a12>…,故数列{an}有最大项,为第9项和第10项,且a9=a10=10×.
法二 根据题意,令
即解得9≤n≤10.
又n∈N*,则n=9或n=10.
故数列{an}有最大项,为第9项和第10项,且a9=a10=10×.
[变式拓展]
解:有最大项.a1=,a2==1,a3==,a4==1,a5==,….
∵当n≥3时,=×==<1,∴an+1[针对训练]
解析:法一 由数列{an}为递增数列,
则an+1-an=(n+1)2+t(n+1)-(n2+tn)=2n+1+t>0恒成立,即t>-(2n+1)恒成立.
而n∈N*,所以t>-3,
故t的取值范围是(-3,+∞).
法二 an=n2+tn=-,
由于n∈N*,且数列{an}为递增数列,
结合二次函数的图象可得-<,
解得t>-3,故t的取值范围是(-3,+∞).
答案:(-3,+∞)(共60张PPT)
4.1
数列的概念
数列的概念与表示
(概念课——逐点理清式教学)
第1课时
课时目标
1.理解数列的概念和表示方法;能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式.
2.会由通项公式写出数列的任一项,理解数列是一种特殊函数.
CONTENTS
目录
1
2
3
逐点清(一) 数列的概念与分类
逐点清(二) 空间向量的加减运算
逐点清(三) 空间向量的数乘运算
4
课时跟踪检测
逐点清(一) 数列的概念与分类
01
多维度理解
1.数列的概念
(1)一般地,我们把按照____________排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的____.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第____项,常用符号a1表示,第二个位置上的数叫做这个数列的第____项,用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项,用____表示.其中第1项也叫做______.
(2)数列的一般形式是a1,a2,…,an,…,简记为_____.
确定的顺序
项
1
2
an
首项
{an}
2.数列的分类
分类标准 名称 含义
按项的 个数 有穷数列 项数______的数列
无穷数列 项数______的数列
按项的 变化趋势 递增数列 从第2项起,每一项都______它的前一项的数列
递减数列 从第2项起,每一项都______它的前一项的数列
常数列 各项都______的数列
周期数列 项呈现周期性变化
摆动数列 从第2项起,有些项______它的前一项,有些项______它的前一项
有限
无限
大于
小于
相等
大于
小于
微点助解
(1){an}与an的含义完全不同:{an}表示一个数列,an表示数列的第n项.
(2)如果组成两个数列的数相同而排列次序不同,那么它们就是不同的数列.
(3)同一个数在数列中可以重复出现.
细微点练明
1.下列各项表示数列的是 ( )
A.a,b,c,…,x,y,z
B.2 019,2 020,2 021,…,2 025
C.锐角三角形,直角三角形,钝角三角形
D.a+b,a-b,ab,2a
解析:数列必须由数组成,A、C、D中均不是数.
√
√
2.下列有关数列的说法正确的是 ( )
A.同一数列的任意两项均不可能相同
B.数列-2,0,2与数列2,0,-2是同一个数列
C.数列2,4,6,8可表示为{2,4,6,8}
D.数列中的每一项都与它的序号有关
解析:常数列中任意两项都是相同的,所以A不正确;
数列-2,0,2与2,0,-2中数字的排列顺序不同,不是同一个数列,所以B不正确;
{2,4,6,8}表示一个集合,不是数列,所以C不正确;
根据数列的定义知,数列中的每一项与它 的序号是有关的,所以D正确.故选D.
3.已知下列数列:
①2 019,2 020,2 021,2 022,2 023,2 024;②1,,,…,,…;
③1,-,,…,,…;④1,0,-1,…,sin,…;⑤2,4,8,16,32,…;
⑥-1,-1,-1,-1.
其中,有穷数列是 ,无穷数列是 ,递增数列是 ,递减数列是 ,常数列是 ,摆动数列是 .(填序号)
①⑥
②③④⑤
③④
①⑤
②
⑥
逐点清(二) 数列的通项公式
02
多维度理解
如果数列{an}的第n项an与它的_______之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
序号n
微点助解
(1)数列的通项公式实际上就是相应函数的解析式,即an=f(n).数列的通项公式必须适合数列中的任何一项.
(2)已知通项公式an=f(n),那么只需依次用1,2,3,…代替公式中的n,就可以求出数列的各项.
(3)一个数列的通项公式可以有不同的形式,如an=(-1)n还可以写成an=(-1的形式等.
(4)并不是所有的数列都有通项公式,就像并不是所有的函数都能用解析式表示一样.
细微点练明
1.已知数列{an}的通项公式为an=,n∈N*,则该数列的前4项依次
为( )
A.1,0,1, B.0,1,0,1
C.,0,,0 D.2,0,2,0
解析:当n分别等于1,2,3,4时,
a1=1,a2=0,a3=1,a4=0.
√
2.下列四个数中,是数列{n(n+1)}中的一项的是 ( )
A.380 B.392
C.321 D.232
解析:n=19时,
n(n+1)=380.
√
√
3.若一数列为1,37,314,321,…,则398是这个数列的 ( )
A.不在此数列中 B.第13项
C.第14项 D.第15项
解析:因为1=37×0,37=37×1,314=37×2,321=37×3,
因此符合题意的一个通项公式为an=37(n-1).
由37(n-1)=398
解得n=15,
所以398是这个数列的第15项.
4.已知数列{an}的通项公式为an=2 021-3n,则使an>0成立的正整数n的最大值为 .
解析:由an=2 021-3n>0,
解得n<=673+,
因为n∈N*,
所以正整数n的最大值为673.
673
5.写出数列的一个通项公式,使它的前几项分别是下列各数:
(1)a,b,a,b,…;
(2),,,,…;
(3)1,-3,5,-7,9,…;
(4)-,,-,,…;
(5),2,,8,,…;
(6)-3,33,-333,3 333,….
解:(1)数列的奇数项为a,偶数项为b,
因此通项公式可用分段形式来表示,记为an=
也可记为an=+(-1)n+1·,n∈N*.
(2)这个数列的前4项为,,,,
其分母都是序号n加上1,分子都是分母的平方减去1,
故an=,n∈N*.
(3)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9,…,
是连续的奇数,
且奇数项为正,
偶数项为负,
故an=(-1)n+1(2n-1),n∈N*.
(4)这个数列的前4项为-,,-,,
它们的绝对值都等于序号与序号加1的乘积的倒数,
且奇数项为负,
偶数项为正,
故an=,n∈N*.
(5)数列的项有的是分数,
有的是整数,
可将各项都统一成分数再观察,
该数列为,,,,,…,
其分母都是2,
分子都是序号的平方,
故an=,n∈N*.
(6)因为-3=(-1)1××(10-1),33=(-1)2××(100-1),-333=(-1)3××(1 000-1),
所以an=,n∈N*.
逐点清(三) 数列的函数特性
03
[典例] 已知数列{an}的通项公式是an=(n+1)·,n∈N*.试问该数列有没有最大项 若有,求出最大项和最大项的序号;若没有,请说明理由.
解:法一 an+1-an=(n+2)-(n+1)·=,
当n<9时,
an+1-an>0,
即an+1>an;
当n=9时,
an+1-an=0,
即an+1=an;
当n>9时,
an+1-an<0,
即an+1则a1且a10>a11>a12>…,
故数列{an}有最大项,
为第9项和第10项,
且a9=a10=10×.
法二 根据题意,令
即
解得9≤n≤10.
又n∈N*,
则n=9或n=10.
故数列{an}有最大项,为第9项和第10项,且a9=a10=10×.
[变式拓展]
若本例通项公式“an=(n+1)”变为“an=”如何求解.
解:有最大项.a1=,a2==1,a3==,a4==1,a5==,….
∵当n≥3时,
=×==<1,
∴an+1即n≥3时,
{an}是递减数列.
又∵a1∴an≤a3=.
∴当n=3时,
a3=为这个数列的最大项.
[思维建模]
数列单调性的判断方法和应用思路
(1)判断数列的单调性通常是通过比较数列{an}中任意相邻两项an+1和an的大小来判断,常用方法是定义法、作差法和作商法.
(2)解决根据数列的单调性确定变量的取值范围问题,常利用以下等价关系:
数列{an}递增 an+1>an(n∈N*);
数列{an}递减 an+1转化为不等式成立(恒成立),通过分离变量转化为代数式的最值来解决;或由数列的函数特征,通过构建有关变量的不等关系,解不等式(组)来确定变量的取值范围.
针对训练
已知数列{an}的通项公式为an=n2+tn,若数列{an}为递增数列,则t的取值范围是 .
解析:法一 由数列{an}为递增数列,
则an+1-an=(n+1)2+t(n+1)-(n2+tn)=2n+1+t>0恒成立,
即t>-(2n+1)恒成立.
而n∈N*,
所以t>-3,
故t的取值范围是(-3,+∞).
(-3,+∞)
法二 an=n2+tn=-,
由于n∈N*,
且数列{an}为递增数列,
结合二次函数的图象可得-<,
解得t>-3,
故t的取值范围是(-3,+∞).
课时跟踪检测
04
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
√
1.下列说法正确的是 ( )
A.数列1,3,5,7可以表示为{1,3,5,7}
B.数列-2,-1,0,1,2与数列2,1,0,-1,-2是相同的数列
C.数列若用图象表示,从图象看都是一群孤立的点
D.数列的项数一定是无限的
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
解析:对A,{1,3,5,7}表示集合,
不是数列;
对B,两个数列中包含的数虽然相同,
但排列顺序不同,
不是相同的数列;
对D,数列的项数可以是有限的也可以是无限的.故选C.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
√
2.[多选]已知数列{an}的通项公式是an=2n2-n,那么 ( )
A.30是数列{an}的一项
B.45是数列{an}的一项
C.66是数列{an}的一项
D.90是数列{an}的一项
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析:分别令2n2-n的值为30,45,66,90,
可知只有当2n2-n=45时,
n=5或n=-(舍去);
当2n2-n=66时,
n=6或n=-(舍去),
故45,66是数列{an}的一项.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
√
3.若数列{an}满足an=3n,则数列{an}是 ( )
A.递增数列 B.递减数列
C.常数列 D.摆动数列
解析:∵an+1-an=3n+1-3n=2×3n>0,
∴an+1>an,
即{an}是递增数列.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
4.数列{an}的通项公式为an=则a2a3等于( )
A.70 B.28
C.20 D.8
解析:由通项公式得a2=2×2-2=2,a3=3×3+1=10,
所以a2a3=20.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
5.数列1,,,,…的第8项是( )
A. B.
C. D.
解析:观察1,,,,…可看为,,,,…,分母是2n-1,分子为n2,故第8项为,故选A.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
6.[多选]如果数列{an}为递增数列,则{an}的通项公式可以为 ( )
A.an= B.an=2n-1
C.an=2n2-5n D.an=2n-1
解析:对于A,a1=2,a2=1,
故不是递增数列,A不符合;
对于B,an+1-an=2n+1-(2n-1)=2>0,
故是递增数列,B符合;
√
√
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
对于C,an+1-an=2(n+1)2-5(n+1)-(2n2-5n)=4n-3>0,
故为递增数列,C符合;
对于D,an+1-an=-1-(2n-1)=2n>0,
故为递增数列,D符合.故选BCD.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
7.数列{an}中,an=-2n2+29n+3,则此数列最大项的值是 ( )
A.107 B.108
C.108 D.109
解析:an=-2n2+29n+3=-2+3=-2+3+,
当n=7时,
an最大且等于108.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
8.大衍数列,来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项,都代表太极衍生过程中,曾经经历过的两仪数量总和,是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,则此数列的第40项为 ( )
A.648 B.722
C.800 D.882
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
解析:由0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,
可得偶数项的通项公式为a2n=2n2.
则此数列第40项为2×202=800.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
√
9.[多选]已知数列{an}的前5项依次如图所示,则{an}的通项公式可能为 ( )
A.an=sin
B.an=|n-3|-1
C.an=
D.an=(n-3)2-1
√
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
解析:an=sin时,
a1=sin=1,a2=sin=0,a3=sin=-1,a4=sin=0,a5=sin=1,满足题意,故A正确;
an=|n-3|-1时,
a1=|1-3|-1=1,a2=|2-3|-1=0,a3=|3-3|-1=-1,a4=|4-3|-1=0,a5=|5-3|-1=1,满足题意,故B正确;
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
an=时,
a1=-1+2=1,a2=-2+2=0,a3=-3+2=-1,a4=4-4=0,a5=5-4=1,满足题意,故C正确;
an=(n-3)2-1时,
a1=(1-3)2-1=3,不满足题意,故D错误.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
10.已知数列1,2,,,,…,则 是这个数列的第 项.
解析:原数列前几项可以看为,,,,,根据此规律可得数列通项公式为an=.
令3n-2=22,
则n=8.
8
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
11.斐波那契数列的前7项是1,1,2,3,5,8,13,则该数列的第10项为 .
解析:1,1,2,3,5,8,13,…,
则从第三项起,每一项均为前2项的数字之和,
13+21=34,
21+34=55,
故该数列的第10项为55.
55
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
12.已知数列{an}的通项公式为an=,则数列{an}的最大项是
第 项.
解析:an==,
当n≥6且n∈N*时,
an>0,且单调递减;
当n≤5且n∈N*时,
an<0,且单调递减.
∴当n=6时,an最大.
6
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
13.欧拉函数φ(n)(n∈N*)的函数值等于所有不超过正整数n,且与n互质的正整数的个数(公约数只有1的两个正整数称为互质整数),例如:φ(3)=2,φ(4)=2,则φ(8)= ;若bn=,则bn的最大值为 .
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
解析:由题设φ(2)=1,
则1~8中与8互质的数有1,3,5,7,共4个数,
故φ(8)=4.
在1~2n中,与2n互质的数为范围内的所有奇数,共2n-1个,
即φ(2n)=2n-1,
所以bn==,
则bn+1-bn=-=,
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
当n≤2时
bn+1-bn>0,
当n≥3时
bn+1-bn<0,
即b1b4>b5>…,
所以bn的最大值为b3==.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
14.在数列{an}中,an=n(n-8)-20,请回答下列问题:
(1)这个数列共有几项为负
(2)这个数列从第几项开始递增
(3)这个数列中有无最小值 若有,求出最小值;若无,请说明理由.
解:(1)由an=n(n-8)-20=n2-8n-20=(n+2)(n-10)<0,
解得1≤n<10,n∈N*,
所以数列{an}前9项为负数,
即共有9项为负数.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
(2)因为an+1-an=(n+1)(n+1-8)-20-[n(n-8)-20]=2n-7,
当an+1-an=2n-7>0,n>,n∈N*,
即从第4项开始数列{an}开始递增.
(3)an=n(n-8)-20=n2-8n-20=(n-4)2-36,根据二次函数的性质知,
当n=4时,
an取得最小值-36,
即数列中有最小值,
最小值为-36.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
15.已知数列{an}的通项公式为an=,试判断数列{an}的单调性,并判断该数列是否有最大项与最小项.
解:an+1-an=-=,
当1≤n≤3时,
an+1-an>0,
即a1当n=4时,
an+1-an=0,
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
即a5=a4,
当n≥5时,
an+1-an<0,
即a5>a6>a7>…,
所以{an}在1≤n≤4(n∈N*)时单调递增,
在n≥5(n∈N*)时单调递减,
所以数列{an}的最大项为a5=a4=,
又a11
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
当n≥3(n∈N*)时,
an=≥0,
所以数列{an}的最小项为a1=-1.课时跟踪检测(一) 数列的概念与表示
1.下列说法正确的是 ( )
A.数列1,3,5,7可以表示为{1,3,5,7}
B.数列-2,-1,0,1,2与数列2,1,0,-1,-2是相同的数列
C.数列若用图象表示,从图象看都是一群孤立的点
D.数列的项数一定是无限的
2.[多选]已知数列{an}的通项公式是an=2n2-n,那么 ( )
A.30是数列{an}的一项
B.45是数列{an}的一项
C.66是数列{an}的一项
D.90是数列{an}的一项
3.若数列{an}满足an=3n,则数列{an}是 ( )
A.递增数列 B.递减数列
C.常数列 D.摆动数列
4.数列{an}的通项公式为an=则a2a3等于 ( )
A.70 B.28
C.20 D.8
5.数列1,,,,…的第8项是 ( )
A. B.
C. D.
6.[多选]如果数列{an}为递增数列,则{an}的通项公式可以为 ( )
A.an= B.an=2n-1
C.an=2n2-5n D.an=2n-1
7.数列{an}中,an=-2n2+29n+3,则此数列最大项的值是 ( )
A.107 B.108
C.108 D.109
8.大衍数列,来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项,都代表太极衍生过程中,曾经经历过的两仪数量总和,是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,则此数列的第40项为 ( )
A.648 B.722
C.800 D.882
9.[多选]已知数列{an}的前5项依次如图所示,则{an}的通项公式可能为 ( )
A.an=sin
B.an=|n-3|-1
C.an=
D.an=(n-3)2-1
10.已知数列1,2,,,,…,则 是这个数列的第 项.
11.斐波那契数列的前7项是1,1,2,3,5,8,13,则该数列的第10项为 .
12.已知数列{an}的通项公式为an=,则数列{an}的最大项是第 项.
13.欧拉函数φ(n)(n∈N*)的函数值等于所有不超过正整数n,且与n互质的正整数的个数(公约数只有1的两个正整数称为互质整数),例如:φ(3)=2,φ(4)=2,则φ(8)= ;若bn=,则bn的最大值为 .
14.在数列{an}中,an=n(n-8)-20,请回答下列问题:
(1)这个数列共有几项为负
(2)这个数列从第几项开始递增
(3)这个数列中有无最小值 若有,求出最小值;若无,请说明理由.
15.已知数列{an}的通项公式为an=,试判断数列{an}的单调性,并判断该数列是否有最大项与最小项.
课时跟踪检测(一)
1.选C 对A,{1,3,5,7}表示集合,不是数列;对B,两个数列中包含的数虽然相同,但排列顺序不同,不是相同的数列;对D,数列的项数可以是有限的也可以是无限的.故选C.
2.选BC 分别令2n2-n的值为30,45,66,90,可知只有当2n2-n=45时,n=5或n=-(舍去);当2n2-n=66时,n=6或n=-(舍去),故45,66是数列{an}的一项.
3.选A ∵an+1-an=3n+1-3n=2×3n>0,∴an+1>an,即{an}是递增数列.
4.选C 由通项公式得a2=2×2-2=2,a3=3×3+1=10,所以a2a3=20.
5.选A 观察1,,,,…可看为,,,,…,分母是2n-1,分子为n2,故第8项为,故选A.
6.选BCD 对于A,a1=2,a2=1,故不是递增数列,A不符合;对于B,an+1-an=2n+1-(2n-1)=2>0,故是递增数列,B符合;对于C,an+1-an=2(n+1)2-5(n+1)-(2n2-5n)=4n-3>0,故为递增数列,C符合;对于D,an+1-an=-1-(2n-1)=2n>0,故为递增数列,D符合.故选BCD.
7.选B an=-2n2+29n+3=-2+3=-2+3+,当n=7时,an最大且等于108.
8.选C 由0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,可得偶数项的通项公式为a2n=2n2.则此数列第40项为2×202=800.
9.选ABC an=sin时,a1=sin=1,a2=sin=0,a3=sin=-1,a4=sin=0,a5=sin=1,满足题意,故A正确;an=|n-3|-1时,a1=|1-3|-1=1,a2=|2-3|-1=0,a3=|3-3|-1=-1,a4=|4-3|-1=0,a5=|5-3|-1=1,满足题意,故B正确;an=时,a1=-1+2=1,a2=-2+2=0,a3=-3+2=-1,a4=4-4=0,a5=5-4=1,满足题意,故C正确;an=(n-3)2-1时,a1=(1-3)2-1=3,不满足题意,故D错误.
10.解析:原数列前几项可以看为,,,,,根据此规律可得数列通项公式为an=.令3n-2=22,则n=8.
答案:8
11.解析:1,1,2,3,5,8,13,…,则从第三项起,每一项均为前2项的数字之和,13+21=34,21+34=55,故该数列的第10项为55.
答案:55
12.解析:an==,当n≥6且n∈N*时,an>0,且单调递减;当n≤5且n∈N*时,an<0,且单调递减.∴当n=6时,an最大.
答案:6
13.解析:由题设φ(2)=1,则1~8中与8互质的数有1,3,5,7,共4个数,故φ(8)=4.在1~2n中,与2n互质的数为范围内的所有奇数,共2n-1个,即φ(2n)=2n-1,所以bn==,则bn+1-bn=-=,当n≤2时bn+1-bn>0,当n≥3时bn+1-bn<0,即b1b4>b5>…,所以bn的最大值为b3==.
答案:4
14.解:(1)由an=n(n-8)-20=n2-8n-20=(n+2)(n-10)<0,解得1≤n<10,n∈N*,所以数列{an}前9项为负数,即共有9项为负数.
(2)因为an+1-an=(n+1)(n+1-8)-20-[n(n-8)-20]=2n-7,当an+1-an=2n-7>0,n>,n∈N*,即从第4项开始数列{an}开始递增.
(3)an=n(n-8)-20=n2-8n-20=(n-4)2-36,根据二次函数的性质知,当n=4时,an取得最小值-36,即数列中有最小值,最小值为-36.
15.解:an+1-an=-=,当1≤n≤3时,an+1-an>0,即a1当n=4时,an+1-an=0,即a5=a4,当n≥5时,an+1-an<0,即a5>a6>a7>…,
所以{an}在1≤n≤4(n∈N*)时单调递增,在n≥5(n∈N*)时单调递减,
所以数列{an}的最大项为a5=a4=,又a1所以数列{an}的最小项为a1=-1.