第2课时 数列的递推公式与前n项和
(强基课梯度进阶式教学)
1.数列的递推公式
如果一个数列的 或 之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式.
微点助解
(1)通项公式与递推公式的区别:①通项公式反映的是an与n的关系,递推公式反映的是项与项之间的关系;②若已知n的值,则由通项公式可直接求出an的值,而通过递推公式只能间接求出an的值.
(2)利用递推公式求一个数列,必须具备:①数列第1项或前几项,②递推关系,这两个条件缺一不可.
2.数列的前n项和公式
(1)数列{an}的前n项和
把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列{an}的前n项和,记作Sn,即Sn= .
(2)数列{an}的前n项和公式
如果数列{an}的前n项和Sn与 之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.
(3)an与Sn的关系: .
微点助解
(1)连续项的和可以用两个和的式子表示,如a5+a6+…+a9=S9-S4.
(2)an=Sn-Sn-1,n≥2中不包括a1,故一定要检验n=1时,S1是否满足首项.
[基点训练]
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)递推公式也是表示数列的一种方法. ( )
(2)所有数列都有递推公式. ( )
(3)仅由数列{an}的关系式an=an-1+2(n≥2,n∈N*)就能确定这个数列. ( )
2.在数列{an}中,a1=-1,=an-3,则a3等于 ( )
A.-7 B.-4
C.-1 D.2
3.数列{an}的前n项和Sn,若Sn-Sn-1=2n-1(n≥2),且S2=3,则a1+a3的值为 ( )
A.1 B.3
C.5 D.6
4.已知数列{an}的前n项和公式为Sn=-2n2,则an= .
题型(一) 数列的递推公式及应用
[例1] 已知数列{an}中,a1=1,a2=2,以后各项由an=an-1+an-2(n≥3)给出.
(1)写出此数列的前5项;
(2)通过公式bn=(n≥1)构造一个新的数列{bn},写出数列{bn}的前4项.
听课记录:
[思维建模]
由递推关系写出数列的项的方法
(1)根据递推公式写出数列的前几项,首先要弄清楚公式中各部分的关系,依次代入计算即可;
(2)若知道的是末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式,如an=2an+1+1;
(3)若知道的是首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式,如an+1=.
[针对训练]
1.已知数列{an}的第1项a1=1,以后的各项由公式an+1=给出,试写出这个数列的前5项.
题型(二) 由递推公式求数列的通项公式
方法1 累加法求通项公式
[例2] 在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln,则an= ( )
A.2+ln n B.2+(n-1)ln n
C.2+nln n D.1+n+ln n
听课记录:
[思维建模]
累加法求数列通项公式
形如an+1-an=f(n)的递推公式,可以利用a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=an(n≥2,n∈N*)求通项公式.
方法2 累乘法求通项公式
[例3] 设数列{an}中,a1=1,an=(n≥2),求通项公式.
听课记录:
[思维建模]
累乘法求数列通项公式
形如=f(n)的递推公式,可以利用a1···…·=an(n≥2,n∈N*)求通项公式.以上方法叫做累乘法.
[针对训练]
2.已知在数列{an}中,a1=2,an+1=an,则a2 020的值为 ( )
A. B.
C. D.
3.已知数列{an}满足a1=1,an+1=an+2,n∈N*,则an= .
4.已知数列{an}满足a1=1,an+1-an=2n-1,n∈N*,求数列{an}的通项公式.
题型(三) 数列的前n项和公式及应用
[例4] 设Sn为数列{an}的前n项和,Sn=2n2-30n.求a1及an.
听课记录:
[变式拓展]
将本例的条件“Sn=2n2-30n”改为“Sn=2n2-30n+1”,其他条件不变,求an.
[思维建模] 已知Sn求an的3个步骤
(1)先利用a1=S1求出a1;
(2)用n-1替换Sn中的n得到一个新的关系,利用an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式;
(3)注意检验n=1时的表达式是否可以与n≥2的表达式合并.
[针对训练]
5.[多选]已知数列{an}的前n项和满足Sn=2n+1-1,则下列说法正确的是 ( )
A.a1=3 B.an=2n(n≥2)
C.an=2n D.an=2n(n≥2)
6.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-8n,第k项满足4
第2课时 数列的递推公式与前n项和
课前环节
1.相邻两项 多项 2.(1)a1+a2+…+an (2)它的序号n (3)an=
[基点训练]
1.(1)√ (2)× (3)×
2.选A a2=a1-3=-1-3=-4,a3=a2-3=-4-3=-7.
3.选C ∵Sn-Sn-1=2n-1(n≥2),且S2=3,∴S1=0,S3=8,∴a1=0,a2=3,a3=5,a1+a3=5.
4.解析:当n=1时,a1=S1=-2;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-4n+2.显然n=1时符合,故an=-4n+2.
答案:-4n+2
课堂环节
[题型(一)][例1] 解:(1)∵an=an-1+an-2(n≥3),且a1=1,a2=2,∴a3=a2+a1=3,a4=a3+a2=3+2=5,a5=a4+a3=5+3=8.
故数列{an}的前5项依次为a1=1,a2=2,a3=3,a4=5,a5=8.
(2)∵bn=,且a1=1,a2=2,a3=3,a4=5,a5=8,∴b1==,b2==,b3==,b4==.
故数列{bn}的前4项依次为b1=,b2=,b3=,b4=.
[针对训练]
1.解:∵a1=1,an+1=,
∴a2==,a3===,
a4===,a5===.
故该数列的前5项为1,,,,.
[题型(二)][例2] 选A 法一:归纳法 由题意得数列的前5项分别为a1=2,a2=2+ln=2+ln 2,a3=(2+ln 2)+ln=2+ln 3,a4=(2+ln 3)+ln=2+ln 4,a5=(2+ln 4)+ln=2+ln 5,…,由此猜想数列的一个通项公式为an=2+ln n.经检验符合题意.
法二:迭代法 由题意得an=an-1+ln=an-1+ln (n≥2),则an=an-1+ln=an-2+ln+ln=…=a1+ln+ln+ln+…+ln=a1+ln=2+ln n(n≥2).
又a1=2=2+ln 1,符合上式,所以an=2+ln n.
法三:累加法 由题意得an+1-an=ln=ln=ln(n+1)-ln n,因此,a1=2,a2-a1=ln 2,a3-a2=ln 3-ln 2,a4-a3=ln 4-ln 3,
…,
an-an-1=ln n-ln(n-1)(n≥2),
以上各式两边分别相加,
得an=2+ln 2+(ln 3-ln 2)+(ln 4-ln 3)+…+[ln n-ln(n-1)](n≥2).所以an=2+ln n(n≥2).
因为a1=2也适合上式,所以an=2+ln n.
[例3] 解:∵a1=1,an=an-1(n≥2),
∴=,an=···…···a1=···…···1=.
又a1=1也符合上式,∴an=.
[针对训练]
2.选C ∵an+1=an,即=,∴an=···…···a1=···…···2=,∴a2 020==.
3.解析:由题意得,an=an-1+2=an-2+2×2=…=a1+2×(n-1)=2n-1,n≥2,又a1=1适合上式,∴an=2n-1,n∈N*.
答案:2n-1
4.解:因为an+1-an=2n-1,n∈N*,所以当n>1,n∈N*时,有an-an-1=2n-3,因此有an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+…+(a2-a1)+a1,即an=(2n-3)+(2n-5)+(2n-7)+…+1+1=+1=n2-2n+2,当n=1时,适合上式,所以an=n2-2n+2,n∈N*.
[题型(三)][例4] 解:因为Sn=2n2-30n,所以当n=1时,a1=S1=2×12-30×1=-28,
当n≥2时,an=Sn-=2n2-30n-[2(n-1)2-30(n-1)]=4n-32.
验证当n=1时上式成立,所以an=4n-32,n∈N*.
[变式拓展]
解:因为Sn=2n2-30n+1,所以当n=1时,a1=S1=2×12-30×1+1=-27,
当n≥2时,an=Sn-=2n2-30n+1-[2(n-1)2-30(n-1)+1]=4n-32.
当n=1时不符合上式.所以an=
[针对训练]
5.选AD 因为Sn=2n+1-1,所以当n=1时,a1=S1=21+1-1=3;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n+1-1)-(2n-1)=2n.当n=1时,不符合上式,故an=
6.解析:a1=S1=-7,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-8n-(n-1)2+8(n-1)=2n-9,由4答案:7(共62张PPT)
数列的递推公式与前n项和
(强基课 梯度进阶式教学)
第2课时
课时目标
1.理解数列的递推公式是数列表示方法中的一种.
2.掌握由数列的递推公式求数列的通项公式的方法.
3.理解数列的前n项和,会由数列的前n项和公式求数列的通项公式.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
课时跟踪检测
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
1.数列的递推公式
如果一个数列的__________或______之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式.
相邻两项
多项
微点助解
(1)通项公式与递推公式的区别:①通项公式反映的是an与n的关系,递推公式反映的是项与项之间的关系;②若已知n的值,则由通项公式可直接求出an的值,而通过递推公式只能间接求出an的值.
(2)利用递推公式求一个数列,必须具备:①数列第1项或前几项,
②递推关系,这两个条件缺一不可.
2.数列的前n项和公式
(1)数列{an}的前n项和
把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列{an}的前n项和,记作Sn,即Sn=______________.
(2)数列{an}的前n项和公式
如果数列{an}的前n项和Sn与__________之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.
(3)an与Sn的关系:_________________________.
a1+a2+…+an
它的序号n
an=
微点助解
(1)连续项的和可以用两个和的式子表示,如a5+a6+…+a9=S9-S4.
(2)an=Sn-Sn-1,n≥2中不包括a1,故一定要检验n=1时,S1是否满足首项.
基点训练
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)递推公式也是表示数列的一种方法. ( )
(2)所有数列都有递推公式. ( )
(3)仅由数列{an}的关系式an=an-1+2(n≥2,n∈N*)就能确定这个数列.( )
√
×
×
2.在数列{an}中,a1=-1,=an-3,则a3等于( )
A.-7 B.-4
C.-1 D.2
解析:a2=a1-3=-1-3=-4,a3=a2-3=-4-3=-7.
√
3.数列{an}的前n项和Sn,若Sn-Sn-1=2n-1(n≥2),且S2=3,则a1+a3的值为 ( )
A.1 B.3
C.5 D.6
解析:∵Sn-Sn-1=2n-1(n≥2),
且S2=3,
∴S1=0,S3=8,
∴a1=0,a2=3,a3=5,a1+a3=5.
√
4.已知数列{an}的前n项和公式为Sn=-2n2,则an= .
解析:当n=1时,
a1=S1=-2;
当n≥2时,
an=Sn-Sn-1=-4n+2.
显然n=1时符合,
故an=-4n+2.
-4n+2
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
[例1] 已知数列{an}中,a1=1,a2=2,以后各项由an=an-1+an-2(n≥3)给出.
(1)写出此数列的前5项;
(2)通过公式bn=(n≥1)构造一个新的数列{bn},写出数列{bn}的前4项.
解:(1)∵an=an-1+an-2(n≥3),
且a1=1,a2=2,
∴a3=a2+a1=3,a4=a3+a2=3+2=5,a5=a4+a3=5+3=8.
故数列{an}的前5项依次为a1=1,a2=2,a3=3,a4=5,a5=8.
题型(一) 数列的递推公式及应用
(2)∵bn=,
且a1=1,a2=2,a3=3,a4=5,a5=8,
∴b1==,b2==,b3==,b4==.
故数列{bn}的前4项依次为b1=,b2=,b3=,b4=.
[思维建模]
由递推关系写出数列的项的方法
(1)根据递推公式写出数列的前几项,首先要弄清楚公式中各部分的关系,依次代入计算即可;
(2)若知道的是末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式,如an=2an+1+1;
(3)若知道的是首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式,如an+1=.
1.已知数列{an}的第1项a1=1,以后的各项由公式an+1=给出,试写出这个数列的前5项.
解:∵a1=1,an+1=,
∴a2==,a3===,
a4===,a5===.
故该数列的前5项为1,,,,.
针对训练
方法1 累加法求通项公式
[例2] 在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln,则an=( )
A.2+ln n B.2+(n-1)ln n
C.2+nln n D.1+n+ln n
题型(二) 由递推公式求数列的通项公式
√
解析:法一:归纳法 由题意得数列的前5项分别为a1=2,a2=2+ln=
2+ln 2,a3=(2+ln 2)+ln=2+ln 3,a4=(2+ln 3)+ln=2+ln 4,a5=
(2+ln 4)+ln=2+ln 5,…,由此猜想数列的一个通项公式为an=2+ln n.经检验符合题意.
法二:迭代法 由题意得an=an-1+ln=an-1+ln (n≥2),
则an=an-1+ln=an-2+ln+ln=…=a1+ln+ln+ln+…+ln=
a1+ln=2+ln n(n≥2).
又a1=2=2+ln 1,符合上式,
所以an=2+ln n.
法三:累加法 由题意得an+1-an=ln=ln=ln(n+1)-ln n,
因此,a1=2,a2-a1=ln 2,a3-a2=ln 3-ln 2,a4-a3=ln 4-ln 3,
…,
an-an-1=ln n-ln(n-1)(n≥2),
以上各式两边分别相加,
得an=2+ln 2+(ln 3-ln 2)+(ln 4-ln 3)+…+[ln n-ln(n-1)](n≥2).
所以an=2+ln n(n≥2).
因为a1=2也适合上式,
所以an=2+ln n.
[思维建模]
累加法求数列通项公式
形如an+1-an=f(n)的递推公式,可以利用a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+
(an-an-1)=an(n≥2,n∈N*)求通项公式.
方法2 累乘法求通项公式
[例3] 设数列{an}中,a1=1,an=(n≥2),求通项公式.
解:∵a1=1,an=an-1(n≥2),
∴=,an=···…···a1=···…···1=.
又a1=1也符合上式,
∴an=.
[思维建模]
累乘法求数列通项公式
形如=f(n)的递推公式,可以利用a1···…·=
an(n≥2,n∈N*)求通项公式.以上方法叫做累乘法.
2.已知在数列{an}中,a1=2,an+1=an,则a2 020的值为( )
A. B. C. D.
解析:∵an+1=an,
即=,
∴an=···…···a1=···…···2=,
∴a2 020==.
针对训练
√
3.已知数列{an}满足a1=1,an+1=an+2,n∈N*,则an= .
解析:由题意得,an=an-1+2=an-2+2×2=…=a1+2×(n-1)=2n-1,n≥2,
又a1=1适合上式,
∴an=2n-1,n∈N*.
2n-1
4.已知数列{an}满足a1=1,an+1-an=2n-1,n∈N*,求数列{an}的通项公式.
解:因为an+1-an=2n-1,n∈N*,
所以当n>1,
n∈N*时,
有an-an-1=2n-3,
因此有an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+…+(a2-a1)+a1,
即an=(2n-3)+(2n-5)+(2n-7)+…+1+1=+1=n2-2n+2,
当n=1时,
适合上式,
所以an=n2-2n+2,n∈N*.
[例4] 设Sn为数列{an}的前n项和,Sn=2n2-30n.求a1及an.
解:因为Sn=2n2-30n,
所以当n=1时,a1=S1=2×12-30×1=-28,
当n≥2时,
an=Sn-=2n2-30n-[2(n-1)2-30(n-1)]=4n-32.
验证当n=1时上式成立,
所以an=4n-32,n∈N*.
题型(三) 数列的前n项和公式及应用
[变式拓展]
将本例的条件“Sn=2n2-30n”改为“Sn=2n2-30n+1”,其他条件不变,求an.
解:因为Sn=2n2-30n+1,
所以当n=1时,
a1=S1=2×12-30×1+1=-27,
当n≥2时,
an=Sn-=2n2-30n+1-[2(n-1)2-30(n-1)+1]=4n-32.
当n=1时不符合上式.
所以an=
[思维建模]
已知Sn求an的3个步骤
(1)先利用a1=S1求出a1;
(2)用n-1替换Sn中的n得到一个新的关系,利用an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式;
(3)注意检验n=1时的表达式是否可以与n≥2的表达式合并.
5.[多选]已知数列{an}的前n项和满足Sn=2n+1-1,则下列说法正确的是 ( )
A.a1=3 B.an=2n(n≥2)
C.an=2n D.an=2n(n≥2)
解析:因为Sn=2n+1-1,
所以当n=1时,
a1=S1=21+1-1=3;
当n≥2时,
针对训练
√
√
an=Sn-Sn-1=(2n+1-1)-(2n-1)=2n.
当n=1时,
不符合上式,
故an=
6.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-8n,第k项满足4解析:a1=S1=-7,
当n≥2时,
an=Sn-Sn-1=n2-8n-(n-1)2+8(n-1)=2n-9,
由4得因为k为正整数,
所以k=7.
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√
A级——综合提能
1.已知数列{an}满足a1=2,an=1+(n≥2),则a3=( )
A. B. C. D.
解析:因为a1=2,
所以a2=1+=,a3=1+=1+=.故选C.
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√
2.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=2n2,则a5= ( )
A.16 B.18
C.20 D.25
解析:依题意,a5=S5-S4=2×52-2×42=18.故选B.
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√
3.记Sn为数列{an}的前n项和,若Sn=则a6=( )
A.1 B.5
C.7 D.9
解析:因为Sn为数列{an}的前n项和,
且Sn=
则a6=S6-S5=(5×6-4)-52=1.故选A.
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4.已知数列{an}中,a1=1,=,则数列{an}的通项公式是( )
A.an=2n B.an=
C.an= D.an=
解析法一 由已知可知,a1=1,a2=,a3=,a4=,…,
∴an=.
法二 an=··…···a1=·1=.
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5.在数列{an}中,若a1=2,an=1-(n≥2),则a2 024=( )
A.-1 B.
C.2 D.1
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解析:由题意得a1=2,a2=1-=1-=,a3=1-=1-2=-1,a4=1-=1+1=2,…,
故{an}为周期数列,
周期为3,
故a2 024=a674×3+2=a2=.故选B.
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6.已知数列{an}的通项公式为an=k∈N*,则a1·a2=
.
解析:由题意知,当n为奇数时,
an=2n;
当n为偶数时,
an=2n+1,
所以a1·a2=(2×1)×(2×2+1)=10.
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7.数列{an}的前n项和Sn=nan,a1=1,则an= .
解析:当n≥2时,
有Sn=nan,Sn-1=(n-1)an-1,
两式作差可得,Sn-Sn-1=nan-(n-1)an-1,
整理可得an=an-1.
又a1=1,
所以an=1.
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8.在数列{an}中,a1=,an=n(an+1-an)(n∈N*),则a2 024= .
解析:因为an=n(an+1-an)(n∈N*),
所以(n+1)an=nan+1,
所以=,
所以是常数列,
又==,
所以a2 024=2 025.
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9.已知数列{an}的前n项和Sn=-(n∈N*).求数列{an}的通项公式.
解:因为Sn=-(n∈N*),
当n=1时,
a1=S1=-=4,
当n≥2时,
an=Sn-Sn-1=-===4n,
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因为a1=4也满足an=4n.
综上,an=4n(n∈N*).
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10.数列{an}满足a1=1,an+1+2anan+1-an=0.
(1)写出数列的前5项;
(2)由(1)写出数列{an}的一个通项公式;
(3)实数是否为这个数列中的一项 若是,应为第几项
解:(1)由已知可得a1=1,a2=,a3=,a4=,a5=.
(2)由(1)可得数列的每一项的分子均为1,分母分别为1,3,5,7,9,…,
所以它的一个通项公式为an=.
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(3)令=,
解得n=50,
故是这个数列的第50项.
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B级——应用创新
11.已知数列{an}满足a1=1,且an+1=,则a10=( )
A. B. C. D.
√
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解析:∵an+1=,
则==+n,
∴-=1,-=2,…,-=9,以上各式相加可得,-=1+2+
3+…+9=45,
∴a10=.故选B.
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12.唐代大诗人李白喜好饮酒作诗,民间有“李白斗酒诗百篇”之说.《算法统宗》中记载了一个“李白沽酒”的故事.诗云:今携一壶酒,游春郊外走.逢朋加一倍,入店饮半斗.注:古代一斗是10升.大意是:李白在郊外春游时,做出这样一条约定:遇见朋友,先到酒店里将壶里的酒增加一倍(假定每次加酒不会溢出),再喝掉其中的5升酒.那么根据这个规则,若李白酒壶中原来有酒6升,则李白在第5家店饮酒后所剩酒量是 ( )
A.37升 B.21升
C.26升 D.32升
√
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解析:由题意,可将李白在每家店饮酒后所剩酒量构造成一个数列{an},
则李白在每家店饮酒后所剩酒量均为在前一家店饮酒后所剩酒量的2倍减去5,
即an+1=2an-5,
∵a1=6×2-5=7,
∴a2=2a1-5=2×7-5=9,a3=2a2-5=2×9-5=13,a4=2a3-5=2×13-5=21,
a5=2a4-5=2×21-5=37.
故李白在第5家店饮酒后所剩酒量是37升.故选A.
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13.若数列{an}对任意正整数n,满足a1a2…an=n2,则数列{an}的通项公式an= .
解析:当n=1时,
a1=1;
当n≥2时,
由a1a2…an=n2可得a1a2…an-1=(n-1)2,
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两式作商可得an=,
又a1=12不符合上式,
所以an=
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14.已知数列{an}的前n项和为Sn,若a1=-1,Sn-an=0(n≥2,n∈N*),则a6= .
解析:因为a1=-1,Sn-an=0(n≥2,n∈N*),
所以当n=2时,
S2-a2=0,
即a1+a2-a2=a1+a2=-1+a2=0,
所以a2=2,
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当n≥3时,
Sn-1-an-1=0,
由
可得an=-an-1,
所以a6=-a5=a4=-a3=a2=2.
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15.已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2n+3.
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)若数列{bn}满足bn=,求数列{bn}的最大项.
解:(1)Sn=2n+3中,
令n=1得a1=2+3=5,
当n≥2时,
an=Sn-Sn-1=2n+3-2n-1-3=2n-1,
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其中21-1=1≠5,
故an=
(2)当n=1时,
b1==,
当n≥2时,
bn=>0,
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则=·==,
当n=2时,
=>1,
当n≥3时,
+1≤,≤×<1,
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故<1,
故n≥2时,
{bn}的最大项为b3=,
又b3>b1,
故数列{bn}的最大项为b3=.课时跟踪检测(二) 数列的递推公式与前n项和
A级——综合提能
1.已知数列{an}满足a1=2,an=1+(n≥2),则a3= ( )
A. B.
C. D.
2.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=2n2,则a5= ( )
A.16 B.18
C.20 D.25
3.记Sn为数列{an}的前n项和,若Sn=则a6= ( )
A.1 B.5
C.7 D.9
4.已知数列{an}中,a1=1,=,则数列{an}的通项公式是 ( )
A.an=2n B.an=
C.an= D.an=
5.在数列{an}中,若a1=2,an=1-(n≥2),则a2 024= ( )
A.-1 B.
C.2 D.1
6.已知数列{an}的通项公式为an=k∈N*,则a1·a2= .
7.数列{an}的前n项和Sn=nan,a1=1,则an= .
8.在数列{an}中,a1=,an=n(an+1-an)(n∈N*),则a2 024= .
9.已知数列{an}的前n项和Sn=-(n∈N*).求数列{an}的通项公式.
10.数列{an}满足a1=1,an+1+2anan+1-an=0.
(1)写出数列的前5项;
(2)由(1)写出数列{an}的一个通项公式;
(3)实数是否为这个数列中的一项 若是,应为第几项
B级——应用创新
11.已知数列{an}满足a1=1,且an+1=,则a10= ( )
A. B.
C. D.
12.唐代大诗人李白喜好饮酒作诗,民间有“李白斗酒诗百篇”之说.《算法统宗》中记载了一个“李白沽酒”的故事.诗云:今携一壶酒,游春郊外走.逢朋加一倍,入店饮半斗.注:古代一斗是10升.大意是:李白在郊外春游时,做出这样一条约定:遇见朋友,先到酒店里将壶里的酒增加一倍(假定每次加酒不会溢出),再喝掉其中的5升酒.那么根据这个规则,若李白酒壶中原来有酒6升,则李白在第5家店饮酒后所剩酒量是 ( )
A.37升 B.21升
C.26升 D.32升
13.若数列{an}对任意正整数n,满足a1a2…an=n2,则数列{an}的通项公式an= .
14.已知数列{an}的前n项和为Sn,若a1=-1,Sn-an=0(n≥2,n∈N*),则a6= .
15.已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2n+3.
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)若数列{bn}满足bn=,求数列{bn}的最大项.
课时跟踪检测(二)
1.选C 因为a1=2,所以a2=1+=,a3=1+=1+=.故选C.
2.选B 依题意,a5=S5-S4=2×52-2×42=18.故选B.
3.选A 因为Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=则a6=S6-S5=(5×6-4)-52=1.故选A.
4.选C 法一 由已知可知,a1=1,a2=,a3=,a4=,…,∴an=.
法二 an=··…···a1=·1=.
5.选B 由题意得a1=2,a2=1-=1-=,a3=1-=1-2=-1,a4=1-=1+1=2,…,故{an}为周期数列,周期为3,故a2 024=a674×3+2=a2=.故选B.
6.解析:由题意知,当n为奇数时,an=2n;当n为偶数时,an=2n+1,所以a1·a2=(2×1)×(2×2+1)=10.
答案:10
7.解析:当n≥2时,有Sn=nan,Sn-1=(n-1)an-1,两式作差可得,Sn-Sn-1=nan-(n-1)an-1,整理可得an=an-1.又a1=1,所以an=1.
答案:1
8.解析:因为an=n(an+1-an)(n∈N*),所以(n+1)an=nan+1,所以=,所以是常数列,又==,所以a2 024=2 025.
答案:2 025
9.解:因为Sn=-(n∈N*),
当n=1时,a1=S1=-=4,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-===4n,因为a1=4也满足an=4n.
综上,an=4n(n∈N*).
10.解:(1)由已知可得a1=1,a2=,a3=,a4=,a5=.
(2)由(1)可得数列的每一项的分子均为1,分母分别为1,3,5,7,9,…,
所以它的一个通项公式为an=.
(3)令=,解得n=50,
故是这个数列的第50项.
11.选B ∵an+1=,则==+n,∴-=1,-=2,…,-=9,以上各式相加可得,-=1+2+3+…+9=45,∴a10=.故选B.
12.选A 由题意,可将李白在每家店饮酒后所剩酒量构造成一个数列{an},则李白在每家店饮酒后所剩酒量均为在前一家店饮酒后所剩酒量的2倍减去5,即an+1=2an-5,∵a1=6×2-5=7,∴a2=2a1-5=2×7-5=9,a3=2a2-5=2×9-5=13,a4=2a3-5=2×13-5=21,a5=2a4-5=2×21-5=37.故李白在第5家店饮酒后所剩酒量是37升.故选A.
13.解析:当n=1时,a1=1;当n≥2时,由a1a2…an=n2可得a1a2…an-1=(n-1)2,两式作商可得an=,又a1=12不符合上式,所以an=
答案:
14.解析:因为a1=-1,Sn-an=0(n≥2,n∈N*),所以当n=2时,S2-a2=0,即a1+a2-a2=a1+a2=-1+a2=0,所以a2=2,当n≥3时,Sn-1-an-1=0,由可得an=-an-1,所以a6=-a5=a4=-a3=a2=2.
答案:2
15.解:(1)Sn=2n+3中,令n=1得a1=2+3=5,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+3-2n-1-3=2n-1,其中21-1=1≠5,故an=
(2)当n=1时,b1==,
当n≥2时,bn=>0,则=·==,
当n=2时,=>1,
当n≥3时,+1≤,≤×<1,故<1,故n≥2时,{bn}的最大项为b3=,
又b3>b1,故数列{bn}的最大项为b3=.