4.2.1 等差数列的概念
第1课时 等差数列的概念与通项公式
(概念课逐点理清式教学)
逐点清(一) 等差数列的有关概念
[多维度理解]
(1)文字语言:一般地,如果一个数列从第 项起,每一项与它的 的差都等于 常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个 叫做等差数列的 ,公差通常用字母 表示.
(2)递推公式:an+1-an=d(d为常数).
微点助解
对等差数列概念的解读
(1)作差的起始项:“从第2项起”,因为第1项没有前一项;
(2)作差的顺序:“每一项与它的前一项的差”,即作差的顺序为后项减去它前面相邻的一项,不可颠倒;
(3)等差的含义:“同一个常数”指所有的差都相等,即a2-a1=a3-a2=…=an-an-1=…=d,其中d是与n无关的常数;
(4)公差d的取值范围:可正、可负、也可为0(常数列是公差为0的等差数列),它是一个与n无关的常数,因此公差d的取值范围为(-∞,+∞).
[细微点练明]
1.下列说法正确的是 ( )
A.若a-b=b-c,则a,b,c成等差数列
B.若an+1-an=n(n∈N*),则{an}是等差数列
C.等差数列是相邻的后项与前项之差等于非零常数的数列
D.等差数列的公差是该数列中任意相邻两项的差
2.[多选]下列数列是递增的等差数列的是 ( )
A.7,13,19,25,31
B.1,1,2,3,…,n
C.9,9,9,9,…
D.数列{an}满足an+1-an=3
3.判断下列数列是否是等差数列.如果是,写出它的公差.
(1)95,82,69,56,43,30;
(2)1,1.1,1.11,1.111,1.111 1,1.111 11;
(3)1,-2,3,-4,5,-6;
(4)1,,,,,,.
逐点清(二) 等差中项
[多维度理解]
等差中项
(1)条件:如果a,A,b成等差数列.
(2)结论:那么A叫做a与b的等差中项.
(3)满足的关系式是 .
微点助解
(1)任意两个实数都有等差中项,且唯一.
(2)等差中项的几何意义是两个实数的平均数,即A=.
(3)等差数列{an}中,an是an-k与an+k的等差中项,注意序号间的关系.
[细微点练明]
1.x+1与y-1的等差中项为10,则x+y等于 ( )
A.0 B.10
C.20 D.不确定
2.在△ABC中,三内角A,B,C成等差数列,则B等于 .
3.在-1与7之间顺次插入三个数a,b,c,使这五个数成等差数列,求此数列.
逐点清(三) 等差数列的通项公式
等差数列的通项公式
首项为a1,公差为d的等差数列{an}的通项公式为an= .
微点助解
(1)等差数列通项公式与一次函数的关系
由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d可得an=dn+(a1-d),如果设p=d,q=a1-d,那么an=pn+q,其中p,q是常数.当p≠0时,an是关于n的一次函数;当p=0时,an=q,等差数列为常数列.
(2)等差数列通项公式中的四个参数及其关系
等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d
四个参数 a1,d,n,an
“知三求一” 知a1,d,n求an
知a1,d,an求n
知a1,n,an求d
知d,n,an求a1
[典例] (1)若{an}是等差数列,a15=8,a60=20,求a75.
(2)已知递减等差数列{an}的前三项和为18,前三项的乘积为66.求数列的通项公式,并判断-34是该数列的项吗
听课记录:
[思维建模] 求等差数列通项公式的步骤
[针对训练]
在等差数列{an}中,a3+a4+a5=84,a9=73.求:
(1) a4;
(2)数列{an}的通项公式.
第1课时 等差数列的概念与通项公式
[逐点清(一)]
[多维度理解] (1)2 前一项 同一个 常数 公差 d
[细微点练明]
1.选A 对于A,由a-b=b-c,可得b-a=c-b,因此a,b,c成等差数列,故A正确;对于B,n不是固定常数,因此该数列不是等差数列,故B不正确;对于C,公差d可以等于0,故C不正确;对于D,d=an-an-1(n≥2,n∈N*),而an-1-an=-d(n≥2,n∈N*),但-d不是等差数列的公差,故D不正确.
2.选AD 因为13-7=19-13=25-19=31-25=6>0,所以A中数列是公差为6的递增等差数列.因为1-1=0≠2-1,所以B中数列不是等差数列.因为9-9=9-9=…=0,所以C中数列是公差为0的等差数列,但不是递增数列.因为an+1-an=3>0,所以D中数列{an}是公差为3的递增等差数列.
3.解:(1)由82-95=69-82=56-69=43-56=30-43=-13,即该数列从第二项起,每一项与前一项之差为同一个常数-13,所以由等差数列的定义知该数列为等差数列,公差为-13.
(2)通过观察可知,1.1-1=0.1,1.11-1.1=0.01,…该数列从第二项起,每一项与前一项之差不是同一个常数,所以由等差数列的定义知该数列不是等差数列.
(3)通过观察可知,-2-1=-3,3-(-2)=5,…该数列从第二项起,每一项与前一项之差不是同一个常数,所以由等差数列的定义知该数列不是等差数列.
(4)由-1=-=-=-=-=-=-,即该数列从第二项起,每一项与前一项之差为同一个常数-,所以由等差数列的定义知该数列为等差数列,公差为-.
[逐点清(二)][多维度理解]
(3)2A=a+b
[细微点练明]
1.选C 因为x+1与y-1的等差中项为10,所以(x+1)+(y-1)=2×10,所以x+y=20.
2.解析:因为三内角A,B,C成等差数列,所以2B=A+C,又因为A+B+C=180°,所以3B=180°,所以B=60°.
答案:60°
3.解:∵-1,a,b,c,7成等差数列,∴b是-1与7的等差中项,∴b==3.
又a是-1与3的等差中项,∴a==1.
又c是3与7的等差中项,∴c==5.
∴该数列为-1,1,3,5,7.
[逐点清(三)]a1+(n-1)d
[典例] 解:(1)设{an}的公差为d.
由题意知解得
所以a75=a1+74d=+74×=24.
(2)依题意得
∴
解得或
∵数列{an}是递减等差数列,∴d<0.
故取a1=11,d=-5,
∴an=11+(n-1)·(-5)=-5n+16.
即等差数列{an}的通项公式为an=-5n+16.
令an=-34,即-5n+16=-34,得n=10.
∴-34是数列{an}的第10项.
[针对训练]
解:(1)因为{an}是等差数列且a3+a4+a5=84,
所以3a4=84,所以a4=28.
(2)因为{an}是等差数列且a3+a4+a5=84,a9=73,
所以解得
得an=a1+(n-1)d=1+9(n-1)=9n-8,
所以an=9n-8.(共55张PPT)
4.2.1
等差数列的概念
等差数列的概念与通项公式
(概念课——逐点理清式教学)
第1课时
课时目标
1.通过生活中的实例,理解等差数列的概念.掌握等差数列通项公式的意义.
2.理解等差中项,能运用通项公式解决一些简单的问题.
CONTENTS
目录
1
2
3
逐点清(一) 等差数列的有关概念
逐点清(二) 等差中项
逐点清(三) 等差数列的通项公式
4
课时跟踪检测
逐点清(一) 等差数列的有关概念
01
多维度理解
(1)文字语言:一般地,如果一个数列从第____项起,每一项与它的_______的差都等于_______常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个_____叫做等差数列的_____,公差通常用字母____表示.
(2)递推公式:an+1-an=d(d为常数).
2
前一项
同一个
常数
公差
d
微点助解
对等差数列概念的解读
(1)作差的起始项:“从第2项起”,因为第1项没有前一项;
(2)作差的顺序:“每一项与它的前一项的差”,即作差的顺序为后项减去它前面相邻的一项,不可颠倒;
(3)等差的含义:“同一个常数”指所有的差都相等,即a2-a1=a3-a2=…=an-an-1=…=d,其中d是与n无关的常数;
(4)公差d的取值范围:可正、可负、也可为0(常数列是公差为0的等差数列),它是一个与n无关的常数,因此公差d的取值范围为(-∞,+∞).
细微点练明
√
1.下列说法正确的是 ( )
A.若a-b=b-c,则a,b,c成等差数列
B.若an+1-an=n(n∈N*),则{an}是等差数列
C.等差数列是相邻的后项与前项之差等于非零常数的数列
D.等差数列的公差是该数列中任意相邻两项的差
解析:对于A,由a-b=b-c,
可得b-a=c-b,
因此a,b,c成等差数列,故A正确;
对于B,n不是固定常数,
因此该数列不是等差数列,故B不正确;
对于C,公差d可以等于0,故C不正确;
对于D,d=an-an-1(n≥2,n∈N*),
而an-1-an=-d(n≥2,n∈N*),
但-d不是等差数列的公差,故D不正确.
2.[多选]下列数列是递增的等差数列的是 ( )
A.7,13,19,25,31
B.1,1,2,3,…,n
C.9,9,9,9,…
D.数列{an}满足an+1-an=3
√
√
解析:因为13-7=19-13=25-19=31-25=6>0,
所以A中数列是公差为6的递增等差数列.
因为1-1=0≠2-1,
所以B中数列不是等差数列.
因为9-9=9-9=…=0,
所以C中数列是公差为0的等差数列,
但不是递增数列.
因为an+1-an=3>0,
所以D中数列{an}是公差为3的递增等差数列.
3.判断下列数列是否是等差数列.如果是,写出它的公差.
(1)95,82,69,56,43,30;
(2)1,1.1,1.11,1.111,1.111 1,1.111 11;
(3)1,-2,3,-4,5,-6;
(4)1,,,,,,.
解:(1)由82-95=69-82=56-69=43-56=30-43=-13,
即该数列从第二项起,
每一项与前一项之差为同一个常数-13,
所以由等差数列的定义知该数列为等差数列,公差为-13.
(2)通过观察可知,1.1-1=0.1,1.11-1.1=0.01,…该数列从第二项起,
每一项与前一项之差不是同一个常数,
所以由等差数列的定义知该数列不是等差数列.
(3)通过观察可知,-2-1=-3,3-(-2)=5,…该数列从第二项起,
每一项与前一项之差不是同一个常数,
所以由等差数列的定义知该数列不是等差数列.
(4)由-1=-=-=-=-=-=-,
即该数列从第二项起,
每一项与前一项之差为同一个常数-,
所以由等差数列的定义知该数列为等差数列,公差为-.
逐点清(二) 等差中项
02
多维度理解
等差中项
(1)条件:如果a,A,b成等差数列.
(2)结论:那么A叫做a与b的等差中项.
(3)满足的关系式是_________.
2A=a+b
微点助解
(1)任意两个实数都有等差中项,且唯一.
(2)等差中项的几何意义是两个实数的平均数,即A=.
(3)等差数列{an}中,an是an-k与an+k的等差中项,注意序号间的关系.
细微点练明
1.x+1与y-1的等差中项为10,则x+y等于 ( )
A.0 B.10
C.20 D.不确定
解析:因为x+1与y-1的等差中项为10,
所以(x+1)+(y-1)=2×10,
所以x+y=20.
√
2.在△ABC中,三内角A,B,C成等差数列,则B等于 .
解析:因为三内角A,B,C成等差数列,
所以2B=A+C,
又因为A+B+C=180°,
所以3B=180°,
所以B=60°.
60°
3.在-1与7之间顺次插入三个数a,b,c,使这五个数成等差数列,求此数列.
解:∵-1,a,b,c,7成等差数列,
∴b是-1与7的等差中项,
∴b==3.
又a是-1与3的等差中项,
∴a==1.
又c是3与7的等差中项,
∴c==5.
∴该数列为-1,1,3,5,7.
逐点清(三) 等差数列的通项公式
03
等差数列的通项公式
首项为a1,公差为d的等差数列{an}的通项公式为an=___________.
a1+(n-1)d
微点助解
(1)等差数列通项公式与一次函数的关系
由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d可得an=dn+(a1-d),如果设p=d,
q=a1-d,那么an=pn+q,其中p,q是常数.当p≠0时,an是关于n的一次函数;当p=0时,an=q,等差数列为常数列.
(2)等差数列通项公式中的四个参数及其关系
等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d
四个参数 a1,d,n,an
“知三求一” 知a1,d,n求an
知a1,d,an求n
知a1,n,an求d
知d,n,an求a1
[典例] (1)若{an}是等差数列,a15=8,a60=20,求a75.
(2)已知递减等差数列{an}的前三项和为18,前三项的乘积为66.求数列的通项公式,并判断-34是该数列的项吗
解:(1)设{an}的公差为d.
由题意知
解得
∴a75=a1+74d=+74×=24.
(2)依题意得
∴
解得或
∵数列{an}是递减等差数列,
∴d<0.
故取a1=11,d=-5,
∴an=11+(n-1)·(-5)=-5n+16.
即等差数列{an}的通项公式为an=-5n+16.
令an=-34,
即-5n+16=-34,
得n=10.
∴-34是数列{an}的第10项.
[思维建模] 求等差数列通项公式的步骤
针对训练
在等差数列{an}中,a3+a4+a5=84,a9=73.求:
(1) a4;
(2)数列{an}的通项公式.
解:(1)因为{an}是等差数列且a3+a4+a5=84,
所以3a4=84,
所以a4=28.
(2)因为{an}是等差数列且a3+a4+a5=84,a9=73,
所以
解得
得an=a1+(n-1)d=1+9(n-1)=9n-8,
所以an=9n-8.
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1.[多选]下列数列中,是等差数列的是 ( )
A.1,4,7,10 B.lg 2,lg 4,lg 8,lg 16
C.25,24,23,22 D.10,8,6,4,2
解析:A、B、D项满足等差数列的定义,是等差数列;
C中,因为24-25≠23-24≠22-23,不满足等差数列的定义,
所以不是等差数列.
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2.已知等差数列{an}中,a2=6,a4=2,则公差d= ( )
A.-2 B.2
C.3 D.-4
解析:由题意得a4=a2+2d,
即6+2d=2,
解得d=-2.故选A.
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√
3.若1,x,2成等差数列,则x= ( )
A. B.3
C.2 D.±
解析:因为1,x,2成等差数列,
所以x==.故选A.
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4.在等差数列{an}中,a1=1,公差d=-2,则a5= ( )
A.-5 B.-11
C.-9 D.-7
解析:a5=a1+4d=1+4×(-2)=-7,故选D.
√
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5.已知等差数列{an}中,a6=-24 ,a30=-48 ,则首项a1与公差d分别为 ( )
A.-18,-2 B.-18,-1
C.-19,-2 D.-19,-1
解析:依题意得
解得故选D.
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6.已知等差数列{an}满足4a3=3a2,则{an}中一定为零的项是 ( )
A.a6 B.a4
C.a10 D.a12
解析:由4a3=3a2得4(a1+2d)=3(a1+d),
即a1=-5d,
所以an=a1+(n-1)d=-5d+(n-1)d=(n-6)d,
所以a6=0.
√
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7.设a>0,b>0,若lg a和lg b的等差中项是0,则a+b的最小值为 ( )
A.1 B.2
C.4 D.2
解析:∵lg a,lg b的等差中项是0,
∴lg a+lg b=0,
即lg ab=0,ab=1,
∴a+b≥2=2,
当且仅当a=b=1时取等号,
故a+b的最小值为2.
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8.记等差数列{an}的公差为d(d≥0),若是与-2的等差中项,则d的值为( )
A.0 B.
C.1 D.2
解析:等差数列{an}的公差为d,
由是与-2的等差中项,
得2=+-2,
√
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即2(a1+d)2=+(a1+2d)2-2,
整理得d2=1,
而d≥0,
解得d=1,
所以d的值为1.故选C.
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9.“中国剩余定理”又称“孙子定理”,1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年,英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题:将正整数中能被3除余2(如2,5,8,…)且被5除余2的数按由小到大的顺序排成一列,构成数列{an},则a4= ( )
A.32 B.47 C.62 D.77
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解析:根据题意可知an-2既是3的倍数,
又是5的倍数,
即是15的倍数,
可得an-2=15(n-1),n∈N*,
即an=15n-13,
所以a4=15×4-13=47.
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10.已知递增数列{an}是等差数列,若a4=8,3(a2+a6)=a2a6,则a2 024= ( )
A.2 024 B.2 023
C.4 048 D.4 046
解析:设数列{an}的公差为d(d>0),
因为a4=8,3(a2+a6)=a2a6,
则
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解得
所以a2 024=2+2×(2 024-1)=4 048.
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11.已知a,m∈R,m是a和10-a的等差中项,则m的值等于 .
解析:因为m是a和10-a的等差中项,
故2m=a+(10-a)=10,
则m=5.
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12.已知{an}为等差数列,且a7-2a4=-1,a3=0,则公差d= .
解析:根据题意得a7-2a4=a1+6d-2(a1+3d)=-a1=-1,
∴a1=1.
又a3=a1+2d=1+2d=0,
∴d=-.
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13.已知等差数列{an}单调递增且满足a1+a10=4,则a8的取值范围是 .
解析:设等差数列{an}的公差为d,
因为{an}单调递增,
所以d>0,
由a1+a10=4得2a1+9d=4,
所以a1==2-,
(2,+∞)
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则a8=a1+7d=2-d+7d=2+d>2,
所以a8的取值范围是(2,+∞).
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14.已知数列{log2(an-1)}(n∈N*)为等差数列,且a1=3,a3=9,则数列{an}的通项公式为 .
解析:设等差数列{log2(an-1)}的公差为d,
由a1=3,a3=9,
得log2(a3-1)= log2(a1-1)+2d,
解得d=1,
所以log2(an-1)=1+(n-1)×1=n,
即an=2n+1.
an=2n+1
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15.在等差数列{an}中:
(1)已知a5=-1,a8=2,求a1与d;
(2)已知a1+a6=12,a4=7,求a9.
解:(1)由题意知
解得
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(2)由题意知
解得
∴a9=a1+(9-1)d=1+8×2=17.
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16.若数列是等差数列,则称数列{an}为调和数列.若实数a,b,c依次成调和数列,则称b是a和c的调和中项.
(1)求和1的调和中项;
(2)已知调和数列{an},a1=6,a4=2,求{an}的通项公式.
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解:(1)设和1的调和中项为b,
依题意得3,,1成等差数列,
所以==2,
解得b=,
故和1的调和中项为.
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(2)依题意,是等差数列,设其公差为d,
则3d=- d=,
所以=+(n-1)d=+(n-1)=,
故an=.
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5课时跟踪检测(三) 等差数列的概念与通项公式
1.[多选]下列数列中,是等差数列的是 ( )
A.1,4,7,10 B.lg 2,lg 4,lg 8,lg 16
C.25,24,23,22 D.10,8,6,4,2
2.已知等差数列{an}中,a2=6,a4=2,则公差d= ( )
A.-2 B.2
C.3 D.-4
3.若1,x,2成等差数列,则x= ( )
A. B.3
C.2 D.±
4.在等差数列{an}中,a1=1,公差d=-2,则a5= ( )
A.-5 B.-11
C.-9 D.-7
5.已知等差数列{an}中,a6=-24 ,a30=-48 ,则首项a1与公差d分别为 ( )
A.-18,-2 B.-18,-1
C.-19,-2 D.-19,-1
6.已知等差数列{an}满足4a3=3a2,则{an}中一定为零的项是 ( )
A.a6 B.a4
C.a10 D.a12
7.设a>0,b>0,若lg a和lg b的等差中项是0,则a+b的最小值为 ( )
A.1 B.2
C.4 D.2
8.记等差数列{an}的公差为d(d≥0),若是与-2的等差中项,则d的值为 ( )
A.0 B.
C.1 D.2
9.“中国剩余定理”又称“孙子定理”,1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年,英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题:将正整数中能被3除余2(如2,5,8,…)且被5除余2的数按由小到大的顺序排成一列,构成数列{an},则a4= ( )
A.32 B.47
C.62 D.77
10.已知递增数列{an}是等差数列,若a4=8,3(a2+a6)=a2a6,则a2 024= ( )
A.2 024 B.2 023
C.4 048 D.4 046
11.已知a,m∈R,m是a和10-a的等差中项,则m的值等于 .
12.已知{an}为等差数列,且a7-2a4=-1,a3=0,则公差d= .
13.已知等差数列{an}单调递增且满足a1+a10=4,则a8的取值范围是 .
14.已知数列{log2(an-1)}(n∈N*)为等差数列,且a1=3,a3=9,则数列{an}的通项公式为 .
15.在等差数列{an}中:
(1)已知a5=-1,a8=2,求a1与d;
(2)已知a1+a6=12,a4=7,求a9.
16.若数列是等差数列,则称数列{an}为调和数列.若实数a,b,c依次成调和数列,则称b是a和c的调和中项.
(1)求和1的调和中项;
(2)已知调和数列{an},a1=6,a4=2,求{an}的通项公式.
课时跟踪检测(三)
1.选ABD A、B、D项满足等差数列的定义,是等差数列;C中,因为24-25≠23-24≠22-23,不满足等差数列的定义,所以不是等差数列.
2.选A 由题意得a4=a2+2d,即6+2d=2,解得d=-2.故选A.
3.选A 因为1,x,2成等差数列,所以x==.故选A.
4.选D a5=a1+4d=1+4×(-2)=-7,故选D.
5.选D 依题意得解得故选D.
6.选A 由4a3=3a2得4(a1+2d)=3(a1+d),即a1=-5d,所以an=a1+(n-1)d=-5d+(n-1)d=(n-6)d,所以a6=0.
7.选B ∵lg a,lg b的等差中项是0,∴lg a+lg b=0,即lg ab=0,ab=1,∴a+b≥2=2,当且仅当a=b=1时取等号,故a+b的最小值为2.
8.选C 等差数列{an}的公差为d,由是与-2的等差中项,得2=+-2,即2(a1+d)2=+(a1+2d)2-2,整理得d2=1,而d≥0,解得d=1,所以d的值为1.故选C.
9.选B 根据题意可知an-2既是3的倍数,又是5的倍数,即是15的倍数,可得an-2=15(n-1),n∈N*,即an=15n-13,所以a4=15×4-13=47.
10.选C 设数列{an}的公差为d(d>0),因为a4=8,3(a2+a6)=a2a6,
则解得所以a2 024=2+2×(2 024-1)=4 048.
11.解析:因为m是a和10-a的等差中项,故2m=a+(10-a)=10,则m=5.
答案:5
12.解析:根据题意得a7-2a4=a1+6d-2(a1+3d)=-a1=-1,∴a1=1.又a3=a1+2d=1+2d=0,∴d=-.
答案:-
13.解析:设等差数列{an}的公差为d,因为{an}单调递增,所以d>0,由a1+a10=4得2a1+9d=4,所以a1==2-,则a8=a1+7d=2-d+7d=2+d>2,所以a8的取值范围是(2,+∞).
答案:(2,+∞)
14.解析:设等差数列{log2(an-1)}的公差为d,由a1=3,a3=9,得log2(a3-1)= log2(a1-1)+2d,解得d=1,所以log2(an-1)=1+(n-1)×1=n,即an=2n+1.
答案:an=2n+1
15.解:(1)由题意知解得
(2)由题意知
解得∴a9=a1+(9-1)d=1+8×2=17.
16.解:(1)设和1的调和中项为b,依题意得3,,1成等差数列,所以==2,解得b=,
故和1的调和中项为.
(2)依题意,是等差数列,设其公差为d,
则3d=- d=,
所以=+(n-1)d=+(n-1)=,
故an=.
