第3课时 等差数列的性质及综合应用
(深化课题型研究式教学)
课时目标能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质;能运用等差数列的性质简化计算.
题型(一) 等差数列的性质
等差数列的性质
(1)an=am+(n-m)d,此式也称为通项公式的推广式,还可以变形为d= .
(2){an}是公差为d的等差数列,若正整数m,n,p,q满足m+n=p+q,则am+an= .
①特别地,当m+n=2k(m,n,k∈N*)时,am+an= .
②对有穷等差数列,与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的 ,即a1+an=a2+an-1=…=ak+=….
微点助解
(1)推广:若m+n+p=x+y+z,则am+an+ap=ax+ay+az.
(2)由am+an=ap+aq不能得到m+n=p+q,如常数列.
[例1] 在等差数列{an}中,a10=18,a2=2,则公差d= ( )
A.-1 B.2
C.4 D.6
听课记录:
[例2] [多选]已知各项均为正数的等差数列{an}单调递增,且a5=2,则 ( )
A.公差d的取值范围是
B.2a7=a9+2
C.a8+a4>a6+a5
D.a1+a9=4
听课记录:
[变式拓展]
1.例1改为“a10=18,d=2”,则a5= .
2.例1改为“若已知a3+a11=6”,则S13= .
[思维建模]
(1)灵活利用等差数列的性质,可以减少运算.令m=1,an=am+(n-m)d即变为an=a1+(n-1)d,可以减少记忆负担.
(2)等差数列运算的两种常用思路
①基本量法:根据已知条件,列出关于a1,d的方程(组),确定a1,d,然后求其他量.
②巧用性质法:观察等差数列中项的序号,若满足m+n=p+q=2r(m,n,p,q,r∈N*),则am+an=ap+aq=2ar.
[针对训练]
1.在等差数列{an}中,a3+a11=40,则a4-a5+a6+a7+a8-a9+a10的值为 ( )
A.84 B.72
C.60 D.48
2.[多选]已知单调递增的等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0,则下列各式一定成立的有 ( )
A.a1+a101>0 B.a2+a100=0
C.a3+a100≤0 D.a51=0
题型(二) 由等差数列构造新数列
[例3] 已知{an}为等差数列,且a1=2,a2=3,若在每相邻两项之间插入三个数,使它们和原数列的数构成一个新的等差数列,求:
(1)原数列的第12项是新数列的第几项
(2)新数列的第29项是原数列的第几项
听课记录:
[思维建模]
对于任何形式的构造数列,判断是否为等差数列,一般从两个方面进行判断:
(1)定义:an+1-an是否为常数;
(2)通项公式是否为关于n的一次函数.
[针对训练]
3.在等差数列{an}中每相邻两项之间都插入2个数,使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn},则b97是数列{an}的第 ( )
A.32项 B.33项
C.34项 D.35项
4.有两个等差数列2,6,10,…,190和2,8,14,…,200,由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列,则这个新数列的项数为 ( )
A.15 B.16
C.17 D.18
题型(三) 等差数列的综合应用
[例4] 首项为a1,公差为d的整数等差数列{an}满足下列两个条件:
①a3+a5+a7=93;
②满足an>100的n的最小值是15.试求公差d和首项a1的值.
听课记录:
[思维建模]
解决等差数列综合问题的方法
(1)结合等差数列的性质或利用等差中项.
(2)利用通项公式,得到一个以首项a1和公差d为未知数的方程或不等式.
(3)利用函数或不等式的有关方法解决.
[针对训练]
5.已知{an}为等差数列,若a1+a5+a9=π,则tan(a4+a6)的值为 ( )
A.- B.-
C.- D.
6.在正项无穷等差数列{an}中,已知a5a7=12,a2+a10=7.
(1)求通项公式an.
(2)设bn=an+t,且对一切n∈N*,恒有b2n=2bn,求t的值.对一切k,n∈N*,是否恒有bkn=kbn 请说明理由.
第3课时 等差数列的性质及综合应用
[题型(一)](1) (2)ap+aq 2ak 和
[例1] 选B 由题意知a10-a2=8d,即8d=16,d=2.
[例2] 选BCD 由题意得d>0,a1>0,a5=2,
所以a1=2-4d>0,解得d<,所以d∈,故A错误;由2a7-a9=(a5+a9)-a9=a5=2,故B正确;由a8+a4-(a6+a5)=a8-a6-(a5-a4)=2d-d=d>0,故a8+a4>a6+a5,C正确;由等差数列性质,a1+a9=2a5=4,故D正确.
[变式拓展]
1.解析:由a10=a5+5d得a5=a10-5d=18-5×2=8.
答案:8
2.解析:S13=a1+a2+a3+…+a11+a12+a13=(a1+a13)+(a2+a12)+(a3+a11)+…+(a6+a8)+a7=2a7+2a7+…+2a7+a7=6×2a7+a7=13a7.又a3+a11=2a7=6,故a7=3,S13=13×3=39.
答案:39
[针对训练]
1.选C 在等差数列{an}中,a3+a11=2a7=40,可得a7=20,所以a4-a5+a6+a7+a8-a9+a10=(a4+a10)-(a5+a9)+(a6+a7+a8)=3a7=60.故选C.
2.选BD 设等差数列{an}的公差为d,易知d>0,∵等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0,且a1+a101=a2+a100=…=a50+a52=2a51,∴a1+a2+a3+…+a101=(a1+a101)+(a2+a100)+…+(a50+a52)+a51=101a51=0,∴a51=0,a1+a101=a2+a100=2a51=0,故B、D正确,A错误;又∵a51=a1+50d=0,∴a1=-50d,∴a3+a100=(a1+2d)+(a1+99d)=2a1+101d=2×(-50d)+101d=d>0,故C错误.
[题型(二)][例3] 解:(1)设新数列为{bn},则b1=a1=2,b5=a2=3,根据bn=b1+(n-1)d,有b5=b1+4d,即3=2+4d,所以d=,所以bn=2+(n-1)×=.又因为an=a1+(n-1)×1=n+1=,所以an=b4n-3,即原数列的第n项为新数列的第4n-3项.
当n=12时,4n-3=45,故原数列的第12项为新数列的第45项.
(2)由(1)知an=b4n-3,令4n-3=29,得n=8,
即新数列的第29项是原数列的第8项.
[针对训练]
3.选B 设等差数列{an}的公差为d,等差数列{bn}的公差为d1,等差数列{an}各项为a1,a1+d,a1+2d,…,等差数列{bn}各项为a1,a1+d1,a1+2d1,a1+3d1,a1+4d1,…,显然有a1+d=a1+3d1 d=3d1 d1=d,b97=a1+96d1=a1+32d=a33,故选B.
4.选B 易知,第一个数列的公差为4,第二个数列的公差为6,故新数列的公差为具有相同首项的两个数列公差的最小公倍数,其公差为12,首项为2,所以通项公式为an=12n-10,所以12n-10≤190,解得n≤,又n∈N*,所以n的最大值为16.
[题型(三)][例4] 解:由a3+a5+a7=93得a5=31,
∴an=a5+(n-5)d>100,n>+5.
∵n的最小值是15,故14≤+5<15,
∴6.9
∵d为整数,∴d=7,∴a1=a5-4d=3.
[针对训练]
5.选C 因为{an}为等差数列,a1+a5+a9=3a5=π,所以a5=,所以tan(a4+a6)=tan 2a5=tan =-.
6.解:(1)∵a2+a10=a5+a7=7,又∵a5a7=12,
∴或
当时,an=-n+,不恒为正,舍去.
∴∴an=n+.
(2)bn=an+t=n+t+,b2n=n+t+,
∴n+t+=n+2t+1,∴t=-,∴bn=n.
因为bkn=kn=kbn,所以恒有bkn=kbn.(共58张PPT)
第3课时 等差数列的性质及综合应用
(深化课——题型研究式教学)
第3课时
课时目标
能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质;能运用等差数列的性质简化计算.
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一) 等差数列的性质
题型(二) 由等差数列构造新数列
题型(三) 等差数列的综合应用
4
课时跟踪检测
题型(一) 等差数列的性质
01
等差数列的性质
(1)an=am+(n-m)d,此式也称为通项公式的推广式,还可以变形为d=_____________.
(2){an}是公差为d的等差数列,若正整数m,n,p,q满足m+n=p+q,则am+an=_______.
①特别地,当m+n=2k(m,n,k∈N*)时,am+an=_____.
②对有穷等差数列,与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的____,即a1+an=a2+an-1=…=ak+=….
ap+aq
2ak
和
微点助解
(1)推广:若m+n+p=x+y+z,则am+an+ap=ax+ay+az.
(2)由am+an=ap+aq不能得到m+n=p+q,如常数列.
[例1] 在等差数列{an}中,a10=18,a2=2,则公差d= ( )
A.-1 B.2
C.4 D.6
解析:由题意知a10-a2=8d,
即8d=16,d=2.
√
[例2] [多选]已知各项均为正数的等差数列{an}单调递增,且a5=2,则 ( )
A.公差d的取值范围是
B.2a7=a9+2
C.a8+a4>a6+a5
D.a1+a9=4
√
√
√
解析:由题意得d>0,a1>0,a5=2,
所以a1=2-4d>0,
解得d<,
所以d∈,故A错误;
由2a7-a9=(a5+a9)-a9=a5=2,故B正确;
由a8+a4-(a6+a5)=a8-a6-(a5-a4)=2d-d=d>0,故a8+a4>a6+a5,C正确;
由等差数列性质,a1+a9=2a5=4,故D正确.
[变式拓展]
1.例1改为“a10=18,d=2”,则a5= .
解析:由a10=a5+5d得a5=a10-5d=18-5×2=8.
2.例1改为“若已知a3+a11=6”,则S13= .
解析:S13=a1+a2+a3+…+a11+a12+a13=(a1+a13)+(a2+a12)+(a3+a11)+…+
(a6+a8)+a7=2a7+2a7+…+2a7+a7=6×2a7+a7=13a7.
又a3+a11=2a7=6,
故a7=3,S13=13×3=39.
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39
[思维建模]
(1)灵活利用等差数列的性质,可以减少运算.令m=1,an=am+(n-m)d即变为an=a1+(n-1)d,可以减少记忆负担.
(2)等差数列运算的两种常用思路
①基本量法:根据已知条件,列出关于a1,d的方程(组),确定a1,d,然后求其他量.
②巧用性质法:观察等差数列中项的序号,若满足m+n=p+q=2r(m,n,p,q,r∈N*),则am+an=ap+aq=2ar.
针对训练
1.在等差数列{an}中,a3+a11=40,则a4-a5+a6+a7+a8-a9+a10的值为 ( )
A.84 B.72
C.60 D.48
解析:在等差数列{an}中,
a3+a11=2a7=40,
可得a7=20,
所以a4-a5+a6+a7+a8-a9+a10=(a4+a10)-(a5+a9)+(a6+a7+a8)=3a7=60.故选C.
√
√
2.[多选]已知单调递增的等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0,则下列各式一定成立的有 ( )
A.a1+a101>0 B.a2+a100=0
C.a3+a100≤0 D.a51=0
√
解析:设等差数列{an}的公差为d,易知d>0,
∵等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0,
且a1+a101=a2+a100=…=a50+a52=2a51,
∴a1+a2+a3+…+a101=(a1+a101)+(a2+a100)+…+(a50+a52)+a51=101a51=0,
∴a51=0,a1+a101=a2+a100=2a51=0,故B、D正确,A错误;
又∵a51=a1+50d=0,
∴a1=-50d,
∴a3+a100=(a1+2d)+(a1+99d)=2a1+101d=2×(-50d)+101d=d>0,故C错误.
题型(二) 由等差数列构造新数列
02
[例3] 已知{an}为等差数列,且a1=2,a2=3,若在每相邻两项之间插入三个数,使它们和原数列的数构成一个新的等差数列,求:
(1)原数列的第12项是新数列的第几项
(2)新数列的第29项是原数列的第几项
解:(1)设新数列为{bn},
则b1=a1=2,b5=a2=3,
根据bn=b1+(n-1)d,
有b5=b1+4d,
即3=2+4d,
所以d=,
所以bn=2+(n-1)×=.
又因为an=a1+(n-1)×1=n+1=,
所以an=b4n-3,
即原数列的第n项为新数列的第4n-3项.
当n=12时,
4n-3=45,故原数列的第12项为新数列的第45项.
(2)由(1)知an=b4n-3,
令4n-3=29,
得n=8,
即新数列的第29项是原数列的第8项.
[思维建模]
对于任何形式的构造数列,判断是否为等差数列,一般从两个方面进行判断:
(1)定义:an+1-an是否为常数;
(2)通项公式是否为关于n的一次函数.
针对训练
3.在等差数列{an}中每相邻两项之间都插入2个数,使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn},则b97是数列{an}的第 ( )
A.32项 B.33项
C.34项 D.35项
√
解析:设等差数列{an}的公差为d,等差数列{bn}的公差为d1,等差数列{an}各项为a1,a1+d,a1+2d,…,等差数列{bn}各项为a1,a1+d1,a1+2d1,
a1+3d1,a1+4d1,…,显然有a1+d=a1+3d1 d=3d1 d1=d,b97=a1+96d1=
a1+32d=a33,故选B.
4.有两个等差数列2,6,10,…,190和2,8,14,…,200,由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列,则这个新数列的项数为 ( )
A.15 B.16 C.17 D.18
√
解析:易知,第一个数列的公差为4,第二个数列的公差为6,
故新数列的公差为具有相同首项的两个数列公差的最小公倍数,
其公差为12,
首项为2,
所以通项公式为an=12n-10,
所以12n-10≤190,
解得n≤,
又n∈N*,
所以n的最大值为16.
题型(三) 等差数列的综合应用
03
[例4] 首项为a1,公差为d的整数等差数列{an}满足下列两个条件:
①a3+a5+a7=93;
②满足an>100的n的最小值是15.试求公差d和首项a1的值.
解:由a3+a5+a7=93得a5=31,
∴an=a5+(n-5)d>100,n>+5.
∵n的最小值是15,
故14≤+5<15,
∴6.9∵d为整数,
∴d=7,
∴a1=a5-4d=3.
[思维建模]
解决等差数列综合问题的方法
(1)结合等差数列的性质或利用等差中项.
(2)利用通项公式,得到一个以首项a1和公差d为未知数的方程或不等式.
(3)利用函数或不等式的有关方法解决.
针对训练
5.已知{an}为等差数列,若a1+a5+a9=π,则tan(a4+a6)的值为 ( )
A.- B.- C.- D.
解析:因为{an}为等差数列,a1+a5+a9=3a5=π,
所以a5=,
所以tan(a4+a6)=tan 2a5=tan =-.
√
6.在正项无穷等差数列{an}中,已知a5a7=12,a2+a10=7.
(1)求通项公式an.
(2)设bn=an+t,且对一切n∈N*,恒有b2n=2bn,求t的值.对一切k,n∈N*,是否恒有bkn=kbn 请说明理由.
解:(1)∵a2+a10=a5+a7=7,
又∵a5a7=12,
∴或
当时,
an=-n+,不恒为正,舍去.
∴
∴an=n+.
(2)bn=an+t=n+t+,b2n=n+t+,
∴n+t+=n+2t+1,
∴t=-,
∴bn=n.
因为bkn=kn=kbn,
所以恒有bkn=kbn.
课时跟踪检测
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√
A级——综合提能
1.在等差数列{an}中,已知a3=10,a8=-20,则公差d等于( )
A.3 B.-6
C.4 D.-3
解析:由等差数列的性质得a8-a3=(8-3)d=5d,
所以d==-6.
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2.已知等差数列{an}的公差为d(d≠0),且a3+a6+a10+a13=32,若am=8,则m= ( )
A.12 B.8
C.6 D.4
解析:由等差数列的性质得a3+a6+a10+a13=(a3+a13)+(a6+a10)=2a8+
2a8=4a8=32,
∴a8=8.
又d≠0,
∴m=8.
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3.已知等差数列{an}的首项a1=2,公差d=8,在{an}中每相邻两项之间都插入3个数,使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn},则b2 023= ( )
A.4 044 B.4 046
C.4 048 D.4 050
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解析:设数列{bn}的公差为d1,由题意可知,b1=a1,b5=a2,b5-b1=a2-a1=
8=4d1,
故d1=2,
故bn=2n,
则b2 023=2 023×2=4 046.
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4.已知等差数列{an}单调递增且满足a1+a8=6,则a6的取值范围是 ( )
A.(-∞,3) B.(3,6)
C.(3,+∞) D.(6,+∞)
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解析:因为{an}为等差数列,设公差为d,
因为数列{an}单调递增,
所以d>0,
所以a1+ a8= a3+ a6=2a6-3d=6,
则2a6-6=3d>0,
解得a6>3,故选C.
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√
5.将2至2 024这2 023个整数中能被3除余2且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列构成一数列,则此数列的项数是 ( )
A.132 B.133
C.134 D.135
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解析:设所求数列为{an},该数列为11,26,41,56,…,
所以数列{an}为等差数列,
且首项为a1=11,公差为d=26-11=15,
所以an=a1+(n-1)d=11+15(n-1)=15n-4,
则2≤an≤2 024,
即2≤15n-4≤2 024,
解得≤n≤135,
则满足≤n≤135的正整数n的个数为135,因此该数列共有135项.
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6.各项都为正数的等差数列{an}中,2a3-+2a11=0,则a5+a9= .
解析:因为{an}为各项都为正数的等差数列,
又2a3-+2a11=0,
所以4a7-=0,
即a7=4,
所以a5+a9=2a7=8.
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7.设{an}是公差为正数的等差数列,若a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,则a11+a12+a13= .
解析:∵a1+a2+a3=3a2=15,
∴a2=5.
设公差为d>0,
则a1a2a3=(a2-d)a2(a2+d)=5(25-d2)=80,
又d为正数,
∴d=3.
∴a11+a12+a13=3a12=3(a2+10d)=3×(5+30)=105.
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2
8.在下面的数表中,已知每行、每列中的数都成等差数列.
第1列 第2列 第3列 …
第1行 1 2 3 …
第2行 2 4 6 …
第3行 3 6 9 …
… … … … …
那么位于表中的第n行第n+1列的数是 .
n2+n
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6
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9
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11
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14
3
4
2
解析:第n行的第一个数是n,
第n行的数构成以n为公差的等差数列,
其第n+1项为n+n·n=n2+n.
所以数表中的第n行第n+1列的数是n2+n.
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2
9.已知{an}为等差数列,且a1+a3+a5=18,a2+a4+a6=24.
(1)求a20的值;
(2)若bn=an-,试判断数列{bn}从哪一项开始大于0.
解:(1)因为a1+a3+a5=18,a2+a4+a6=24,
所以a3=6,a4=8,
则公差d=2,
所以a20=a3+17d=40.
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3
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2
(2)由(1)得an=a3+(n-3)d=6+(n-3)×2=2n,
所以bn=×2n-=3n-.
由bn>0,
即3n->0,
得n>,
所以数列{bn}从第7项开始大于0.
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2
10.已知无穷等差数列{an}中,首项a1=3,公差d=-5,依次取出序号能被4除余3的项组成数列{bn}.
(1)求b1和b2;
(2)求{bn}的通项公式;
(3){bn}中的第506项是{an}中的第几项
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2
解:数列{bn}是数列{an}的一个子数列,其序号构成以3为首项,4为公差的等差数列.
(1)因为a1=3,d=-5,
所以an=3+(n-1)×(-5)=8-5n.
数列{an}中序号能被4除余3的项是{an}中的第3项,第7项,第11项,…,
所以b1=a3=-7,b2=a7=-27.
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2
(2)设{an}中的第m项是{bn}中的第n项,
即bn=am,
则m=3+4(n-1)=4n-1,
所以bn=am=a4n-1=8-5(4n-1)=13-20n,
即{bn}的通项公式为bn=13-20n(n∈N*).
(3)由(2)得m=4n-1=4×506-1=2 023,
即{bn}中的第506项是{an}中的第2 023项.
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4
2
√
B级——应用创新
11.已知正项等差数列{an}满足tan a5tan a7+tan a5+tan a7=1,a6<,则a1+a4+a6+a8+a11的值为( )
A. B.
C. D.
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2
解析:因为tan a5tan a7+tan a5+tan a7=1,
所以=1,
即tan(a5+a7)=1,
所以a5+a7=+kπ,k∈Z.
又0所以a5+a7==2a6,
解得a6=,
故a1+a4+a6+a8+a11=5a6=.
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3
4
2
√
12.已知数列{an},{bn}的通项公式分别为an=3n-2,bn=4n-3,n∈N*,将{an},{bn}各项并在一起,相等的项即为一项,从小到大排列成一个新的数列{cn},则c2 023= ( )
A.14 155 B.6 073
C.4 047 D.4 045
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14
3
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2
解析:根据题意,得{an}:1,4,7,10,13,…;{bn}:1,5,9,13,17,….
故{cn}:1,4,5,7,9,10,13,…,把{cn}中的项按6个一组划分,
则第k组可表示为12(k-1)+1,12(k-1)+4,12(k-1)+5,12(k-1)+7,12(k-1)+9,
12(k-1)+10(k∈N*),
又2 023=337×6+1,
故c2 023是第338组的第一个数,
则c2 023=12×337+1=4 045.
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3
4
2
13.已知函数f(x)在(-1,+∞)上具有单调性,且函数y=f(x-2)的图象关于x=1对称,若数列{an}是公差不为0的等差数列,且f(a50)=f(a51),则a1+a100等于 .
-2
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3
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2
解析:由题意函数y=f(x-2)的图象关于x=1对称,
则函数f(x)的图象关于x=-1对称,
且在(-1,+∞)上具有单调性,
因为f(a50)=f(a51),
所以a50+a51=-2.
因为数列{an}是公差不为0的等差数列,
所以a1+a100=a50+a51=-2.
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14.已知正项数列{an}满足a1=1,+=2,且a4-a2=.
(1)求数列{}的通项公式;
(2)求满足不等式+1<2an的正整数n的最小值.
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解:(1)由已知得-=-,
所以数列{}是等差数列,设其公差为d.
由a4-a2=,
得-=2.
所以2d=2,
即d=1,
所以=+(n-1)d=n.
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2
(2)由an>0,
得an=,
所以原不等式可化为+1<2,
两边平方可得n+6+2<4n,
即2<3n-6,
所以4(n+5)<(3n-6)2,
整理得(n-4)(9n-4)>0,
解得n>4或n<.
所以正整数n的最小值为5.
5课时跟踪检测(五) 等差数列的性质及综合应用
A级——综合提能
1.在等差数列{an}中,已知a3=10,a8=-20,则公差d等于 ( )
A.3 B.-6
C.4 D.-3
2.已知等差数列{an}的公差为d(d≠0),且a3+a6+a10+a13=32,若am=8,则m= ( )
A.12 B.8
C.6 D.4
3.已知等差数列{an}的首项a1=2,公差d=8,在{an}中每相邻两项之间都插入3个数,使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn},则b2 023= ( )
A.4 044 B.4 046
C.4 048 D.4 050
4.已知等差数列{an}单调递增且满足a1+ a8=6,则a6的取值范围是 ( )
A.(-∞,3) B.(3,6)
C.(3,+∞) D.(6,+∞)
5.将2至2 024这2 023个整数中能被3除余2且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列构成一数列,则此数列的项数是 ( )
A.132 B.133
C.134 D.135
6.各项都为正数的等差数列{an}中,2a3-+2a11=0,则a5+a9= .
7.设{an}是公差为正数的等差数列,若a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,则a11+a12+a13= .
8.在下面的数表中,已知每行、每列中的数都成等差数列.
第1列 第2列 第3列 …
第1行 1 2 3 …
第2行 2 4 6 …
第3行 3 6 9 …
… … … … …
那么位于表中的第n行第n+1列的数是 .
9.已知{an}为等差数列,且a1+a3+a5=18,a2+a4+a6=24.
(1)求a20的值;
(2)若bn=an-,试判断数列{bn}从哪一项开始大于0.
10.已知无穷等差数列{an}中,首项a1=3,公差d=-5,依次取出序号能被4除余3的项组成数列{bn}.
(1)求b1和b2;
(2)求{bn}的通项公式;
(3){bn}中的第506项是{an}中的第几项
B级——应用创新
11.已知正项等差数列{an}满足tan a5tan a7+tan a5+tan a7=1,a6<,则a1+a4+a6+a8+a11的值为 ( )
A. B.
C. D.
12.已知数列{an},{bn}的通项公式分别为an=3n-2,bn=4n-3,n∈N*,将{an},{bn}各项并在一起,相等的项即为一项,
从小到大排列成一个新的数列{cn},则c2 023= ( )
A.14 155 B.6 073
C.4 047 D.4 045
13.已知函数f(x)在(-1,+∞)上具有单调性,且函数y=f(x-2)的图象关于x=1对称,若数列{an}是公差不为0的等差数列,且f(a50)=f(a51),则a1+a100等于 .
14.已知正项数列{an}满足a1=1,+=2,且a4-a2=.
(1)求数列{}的通项公式;
(2)求满足不等式+1<2an的正整数n的最小值.
课时跟踪检测(五)
1.选B 由等差数列的性质得a8-a3=(8-3)d=5d,所以d==-6.
2.选B 由等差数列的性质得a3+a6+a10+a13=(a3+a13)+(a6+a10)=2a8+2a8=4a8=32,∴a8=8.又d≠0,∴m=8.
3.选B 设数列{bn}的公差为d1,由题意可知,b1=a1,b5=a2,b5-b1=a2-a1=8=4d1,故d1=2,故bn=2n,则b2 023=2 023×2=4 046.
4.选C 因为{an}为等差数列,设公差为d,因为数列{an}单调递增,所以d>0,所以a1+ a8= a3+ a6=2a6-3d=6,则2a6-6=3d>0,解得a6>3,故选C.
5.选D 设所求数列为{an},该数列为11,26,41,56,…,所以数列{an}为等差数列,且首项为a1=11,公差为d=26-11=15,所以an=a1+(n-1)d=11+15(n-1)=15n-4,则2≤an≤2 024,即2≤15n-4≤2 024,解得≤n≤135,则满足≤n≤135的正整数n的个数为135,因此该数列共有135项.
6.解析:因为{an}为各项都为正数的等差数列,又2a3-+2a11=0,所以4a7-=0,即a7=4,所以a5+a9=2a7=8.
答案:8
7.解析:∵a1+a2+a3=3a2=15,∴a2=5.设公差为d>0,则a1a2a3=(a2-d)a2(a2+d)=5(25-d2)=80,又d为正数,∴d=3.∴a11+a12+a13=3a12=3(a2+10d)=3×(5+30)=105.
答案:105
8.解析:第n行的第一个数是n,第n行的数构成以n为公差的等差数列,其第n+1项为n+n·n=n2+n.所以数表中的第n行第n+1列的数是n2+n.
答案:n2+n
9.解:(1)因为a1+a3+a5=18,a2+a4+a6=24,所以a3=6,a4=8,则公差d=2,
所以a20=a3+17d=40.
(2)由(1)得an=a3+(n-3)d=6+(n-3)×2=2n,所以bn=×2n-=3n-.
由bn>0,即3n->0,得n>,
所以数列{bn}从第7项开始大于0.
10.解:数列{bn}是数列{an}的一个子数列,其序号构成以3为首项,4为公差的等差数列.
(1)因为a1=3,d=-5,
所以an=3+(n-1)×(-5)=8-5n.
数列{an}中序号能被4除余3的项是{an}中的第3项,第7项,第11项,…,
所以b1=a3=-7,b2=a7=-27.
(2)设{an}中的第m项是{bn}中的第n项,
即bn=am,则m=3+4(n-1)=4n-1,
所以bn=am=a4n-1=8-5(4n-1)=13-20n,
即{bn}的通项公式为bn=13-20n(n∈N*).
(3)由(2)得m=4n-1=4×506-1=2 023,
即{bn}中的第506项是{an}中的第2 023项.
11.选B 因为tan a5tan a7+tan a5+tan a7=1,所以=1,即tan(a5+a7)=1,所以a5+a7=+kπ,k∈Z.又012.选D 根据题意,得{an}:1,4,7,10,13,…;{bn}:1,5,9,13,17,….故{cn}:1,4,5,7,9,10,13,…,把{cn}中的项按6个一组划分,则第k组可表示为12(k-1)+1,12(k-1)+4,12(k-1)+5,12(k-1)+7,12(k-1)+9,12(k-1)+10(k∈N*),又2 023=337×6+1,故c2 023是第338组的第一个数,则c2 023=12×337+1=4 045.
13.解析:由题意函数y=f(x-2)的图象关于x=1对称,则函数f(x)的图象关于x=-1对称,且在(-1,+∞)上具有单调性,因为f(a50)=f(a51),所以a50+a51=-2.因为数列{an}是公差不为0的等差数列,所以a1+a100=a50+a51=-2.
答案:-2
14.解:(1)由已知得-=-,所以数列{}是等差数列,设其公差为d.
由a4-a2=,得-=2.
所以2d=2,即d=1,所以=+(n-1)d=n.
(2)由an>0,得an=,
所以原不等式可化为+1<2,
两边平方可得n+6+2<4n,
即2<3n-6,所以4(n+5)<(3n-6)2,
整理得(n-4)(9n-4)>0,解得n>4或n<.
所以正整数n的最小值为5.