4.3.1 等比数列的概念
第1课时 等比数列的概念与通项公式
(概念课逐点理清式教学)
课时目标
1.通过生活中的实例,理解等比数列的概念,掌握等比数列通项公式的意义.
2.掌握等比数列的通项公式及其推导过程,能利用公式进行简单运算.
逐点清(一) 等比数列的有关概念
[多维度理解]
1.等比数列的概念
一般地,如果一个数列从第 项起,每一项与它的 一项的 都等于 常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的 ,公比通常用字母q表示(q≠0).
2.等比数列定义的符号表示
=q(n∈N*且n≥2)或=q(n∈N*).
微点助解
(1)定义强调“从第2项起”,因为第一项没有前一项.
(2)等比数列的公比q可正可负,但不能为0,等比数列中任一项不为0.
(3)常数列(除0,0,0,…外)都是公比为1的等比数列.
[细微点练明]
1.以下条件中,能判定数列是等比数列的有 ( )
①数列1,2,6,18,…; ②数列{an}中,已知=2,=2;③常数列a,a,…,a,…;④数列{an}中,=q(q≠0),其中n∈N*.
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
2.下列通项公式中代表等比数列的是 ( )
A.an=c B.an=n+1
C.an=n2 D.an=2n
3.判断下列数列是否为等比数列,并写出公比.
(1)1,3,32,33,…,3n-1,…;
(2)-1,1,2,4,8,…;
(3)a1,a2,a3,…,an,….
逐点清(二) 等比中项
[多维度理解]
如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的 ,此时,G2=ab.
微点助解
(1)若G2=ab,则a,G,b不一定成等比数列,如G=a=b=0.
(2)只有同号的两个实数才有等比中项.
(3)若两个实数有等比中项,则一定有两个,它们互为相反数,即G=±.
[细微点练明]
1.“G=”是“G是a,b的等比中项”的 ( )
A.既不充分也不必要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.充要条件
2.在等比数列{an}中,a1=8,q=,则a4与a8的等比中项是 ( )
A.± B.4
C.±4 D.
3.若1,a,3成等差数列,1,b,4成等比数列,则的值为 .
4.在等差数列{an}中,公差d≠0,且a3是a1和a9的等比中项,则= .
逐点清(三) 等比数列的通项公式
等比数列的通项公式
以a1为首项,q为公比的等比数列{an}的通项公式是an= (q≠0).
微点助解
(1)在已知首项a1,公比q的条件下,利用通项公式可求出等比数列中的任意一项.
(2)可以利用通项公式判断数列是否为等比数列.
(3)an=a1·qn-1=a2·qn-2=a3·qn-3=….
[例1] 在等比数列{an}中,a1=,q=,an=,则项数n为 ( )
A.3 B.4
C.5 D.6
[例2] 已知等比数列{an}为递增数列,且=a10,2(an+)=5an+1,则数列{an}的通项公式为an= .
听课记录:
[思维建模]
a1和q的求法通常有以下两种
(1)根据已知条件,建立关于a1,q的方程组,求出a1,q后再求an,这是常规方法.
(2)充分利用各项之间的关系,直接求出q后,再求a1,最后求an,这种方法带有一定的技巧性,能简化运算.
[针对训练]
1.已知等比数列{an}满足a1=3,且4a1,2a2,a3成等差数列,则此数列的公比等于 ( )
A.1 B.2
C.-2 D.-1
2.在等比数列{an}中,已知a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求n.
第1课时 等比数列的概念与通项公式
[逐点清(一)]
[多维度理解] 1.2 前 比 同一个 公比
[细微点练明]
1.选A ①中,数列不符合等比数列的定义,故不是等比数列;②中,前3项是等比数列,多于3项时,无法判定,故不能判定是等比数列;③中,当a=0时,不是等比数列;④中,数列符合等比数列的定义,是等比数列.故选A.
2.选D 利用逐个检验,A中,c如果为0,显然不是等比数列;B,C不符合常数;D中,==2为常数,符合.
3.解:(1)记数列为{an},显然a1=1,a2=3,…,an=3n-1,….∵==3(n≥2,n∈N*),
∴数列为等比数列,且公比为3.
(2)记数列为{an},显然a1=-1,a2=1,a3=2,…,∵=-1≠=2,∴此数列不是等比数列.
(3)当a=0时,数列为0,0,0,…是常数列,不是等比数列;当a≠0时,数列为a1,a2,a3,…,an,…,显然此数列为等比数列,且公比为a.
[逐点清(二)]
[多维度理解] 等比中项
[细微点练明]
1.选A 当G=a=b=0时,满足G=,不满足G是a,b的等比中项;当G是a,b的等比中项时,如a=1,b=4,G=-2,但不满足G=,故“G=”是“G是a,b的等比中项”的既不充分也不必要条件.故选A.
2.选A 由已知可得a6=a1q5=8×=,由等比中项的性质可得a4a8==,因此,a4与a8的等比中项是±.
3.解析:∵1,a,3成等差数列,∴a==2,∵1,b,4成等比数列,∴b2=1×4,b=±2,∴==±1.
答案:±1
4.解析:由题意知,a3是a1和a9的等比中项,∴=a1a9.∴(a1+2d)2=a1(a1+8d),解得a1=d,∴==.
答案:
[逐点清(三)]
a1qn-1
[例1] 选C 因为an=a1qn-1,所以×=,即=,解得n=5.
[例2] 解析:设等比数列{an}的公比为q,由2(an+an+2)=5an+1 2q2-5q+2=0 q=2或q=,由=a10=a1q9>0 a1>0,又数列{an}递增,所以q=2.=a10 (a1q4)2=a1q9 a1=q=2,所以数列{an}的通项公式为an=2n.
答案:2n
[针对训练]
1.选B 设等比数列{an}的公比为q,因为4a1,2a2,a3成等差数列,所以4a1q=4a1+a1q2,即q2-4q+4=0,解得q=2.
2.解:设公比为q,由题意,得
由得q=,∴a1=32.又an=1,∴32×=1,即26-n=20,∴n=6.(共61张PPT)
4.3.1
等比数列的概念
等比数列的概念与通项公式
(概念课——逐点理清式教学)
第1课时
课时目标
1.通过生活中的实例,理解等比数列的概念,掌握等比数列通项公式的意义.
2.掌握等比数列的通项公式及其推导过程,能利用公式进行简单运算.
CONTENTS
目录
1
2
3
逐点清(一) 等比数列的有关概念
逐点清(二) 等比中项
逐点清(三) 等比数列的通项公式
4
课时跟踪检测
逐点清(一) 等比数列的有关概念
01
多维度理解
1.等比数列的概念
一般地,如果一个数列从第____项起,每一项与它的____一项的____都等于_______常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的_____,公比通常用字母q表示(q≠0).
2.等比数列定义的符号表示
=q(n∈N*且n≥2)或=q(n∈N*).
2
前
比
同一个
公比
微点助解
(1)定义强调“从第2项起”,因为第一项没有前一项.
(2)等比数列的公比q可正可负,但不能为0,等比数列中任一项不为0.
(3)常数列(除0,0,0,…外)都是公比为1的等比数列.
细微点练明
√
1.以下条件中,能判定数列是等比数列的有 ( )
①数列1,2,6,18,…; ②数列{an}中,已知=2,=2;
③常数列a,a,…,a,…;④数列{an}中,=q(q≠0),其中n∈N*.
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
解析:①中,数列不符合等比数列的定义,故不是等比数列;②中,前3项是等比数列,多于3项时,无法判定,故不能判定是等比数列;③中,当a=0时,不是等比数列;④中,数列符合等比数列的定义,是等比数列.故选A.
√
2.下列通项公式中代表等比数列的是 ( )
A.an=c B.an=n+1
C.an=n2 D.an=2n
解析:利用逐个检验,A中,c如果为0,
显然不是等比数列;
B,C不符合常数;
D中,==2为常数,符合.
3.判断下列数列是否为等比数列,并写出公比.
(1)1,3,32,33,…,3n-1,…;
(2)-1,1,2,4,8,…;
(3)a1,a2,a3,…,an,….
解:(1)记数列为{an},显然a1=1,a2=3,…,an=3n-1,….
∵==3(n≥2,n∈N*),
∴数列为等比数列,且公比为3.
(2)记数列为{an},显然a1=-1,a2=1,a3=2,…,
∵=-1≠=2,
∴此数列不是等比数列.
(3)当a=0时,
数列为0,0,0,…是常数列,
不是等比数列;
当a≠0时,
数列为a1,a2,a3,…,an,…,
显然此数列为等比数列,
且公比为a.
逐点清(二) 等比中项
02
多维度理解
如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的___________,此时,G2=ab.
等比中项
微点助解
(1)若G2=ab,则a,G,b不一定成等比数列,如G=a=b=0.
(2)只有同号的两个实数才有等比中项.
(3)若两个实数有等比中项,则一定有两个,它们互为相反数,即G=±.
细微点练明
√
1.“G=”是“G是a,b的等比中项”的( )
A.既不充分也不必要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.充要条件
解析:当G=a=b=0时,
满足G=,
不满足G是a,b的等比中项;
当G是a,b的等比中项时,
如a=1,b=4,G=-2,
但不满足G=,
故“G=”是“G是a,b的等比中项”的既不充分也不必要条件.故选A.
2.在等比数列{an}中,a1=8,q=,则a4与a8的等比中项是( )
A.± B.4
C.±4 D.
解析:由已知可得a6=a1q5=8×=,
由等比中项的性质可得a4a8==,
因此,a4与a8的等比中项是±.
√
3.若1,a,3成等差数列,1,b,4成等比数列,则的值为 .
解析:∵1,a,3成等差数列,
∴a==2,
∵1,b,4成等比数列,
∴b2=1×4,b=±2,
∴==±1.
±1
4.在等差数列{an}中,公差d≠0,且a3是a1和a9的等比中项,则=
.
解析:由题意知,a3是a1和a9的等比中项,
∴=a1a9.
∴(a1+2d)2=a1(a1+8d),
解得a1=d,
∴==.
逐点清(三) 等比数列的通项公式
03
等比数列的通项公式
以a1为首项,q为公比的等比数列{an}的通项公式是an=______(q≠0).
a1qn-1
微点助解
(1)在已知首项a1,公比q的条件下,利用通项公式可求出等比数列中的任意一项.
(2)可以利用通项公式判断数列是否为等比数列.
(3)an=a1·qn-1=a2·qn-2=a3·qn-3=….
[例1] 在等比数列{an}中,a1=,q=,an=,则项数n为( )
A.3 B.4
C.5 D.6
解析:因为an=a1qn-1,
所以×=,
即=,
解得n=5.
√
[例2] 已知等比数列{an}为递增数列,且=a10,2(an+)=5an+1,则数列{an}的通项公式为an= .
解析:设等比数列{an}的公比为q,
由2(an+an+2)=5an+1 2q2-5q+2=0 q=2或q=,
由=a10=a1q9>0 a1>0,
又数列{an}递增,
所以q=2.
=a10 (a1q4)2=a1q9 a1=q=2,
所以数列{an}的通项公式为an=2n.
2n
[思维建模]
a1和q的求法通常有以下两种
(1)根据已知条件,建立关于a1,q的方程组,求出a1,q后再求an,这是常规方法.
(2)充分利用各项之间的关系,直接求出q后,再求a1,最后求an,这种方法带有一定的技巧性,能简化运算.
针对训练
1.已知等比数列{an}满足a1=3,且4a1,2a2,a3成等差数列,则此数列的公比等于 ( )
A.1 B.2 C.-2 D.-1
解析:设等比数列{an}的公比为q,
因为4a1,2a2,a3成等差数列,
所以4a1q=4a1+a1q2,
即q2-4q+4=0,
解得q=2.
√
2.在等比数列{an}中,已知a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求n.
解:设公比为q,由题意,得
由得q=,
∴a1=32.
又an=1,
∴32×=1,
即26-n=20,
∴n=6.
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A级——综合提能
1.下列三个数依次成等比数列的是( )
A.1,4,8 B.-1,2,4
C.9,6,4 D.4,6,8
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解析:42≠1×8,A错误;
22≠-1×4,B错误;
因为==,
所以9,6,4依次成等比数列,C正确;
62≠4×8,D错误.故选C.
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2.已知等比数列{an}中,a1=1,a4=-8,则公比q= ( )
A.2 B.-4
C.4 D.-2
解析:依题意a4=a1q3=q3=-8,q=-2.故选D.
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3.已知实数m是2,8的等比中项,则m= ( )
A.±4 B.-4
C.4 D.5
解析:因为实数m是2,8的等比中项,
所以m2=2×8=16,
得m=±4,故选A.
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√
4.我国古代哲学著作《庄子》中有一句话:“一尺之棰,日取其半,万世不竭.” 这句话的意思是:一尺长的木棍,每天截去一半,永远也截不完.从数学上来说,如果木棍初始长度为1,记第n天截去一半之后木棍剩余的长度为an,则数列{an}的各项依次为 ( )
A.1,,,,… B.,,,,…
C.,,,,… D.,,,,…
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解析:根据题意,a1=1×=,a2=×=,a3=×=,
a4=×=,….故选B.
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5.数列{an}中,“=2an”是“{an}是公比为2的等比数列”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
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解析:对数列{an},an+1=2an,
若a1=0,
则可得a2=a3=…=an=0,此时{an}不是公比为2的等比数列;
若{an}是公比为2的等比数列,
则=2,
即an+1=2an.
故“an+1=2an”是“{an}是公比为2的等比数列”的必要不充分条件,故选B.
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6.已知等比数列{an}中的前三项为a,2a+2,3a+3,则实数a的值为 .
解析:因为2a+2为a与3a+3的等比中项,
所以
解得a=-4.
-4
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7.在等比数列{an}中,若a1=1,=2a6,则公比q= .
解析:∵=2a6,a1=1,
∴(q3)2=2q5,
得q=2.
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8.在160与5中间插入4个数,使它们同这两个数成等比数列,则这4个数依次为 .
解析:设这6个数所成等比数列的公比为q,
则5=160q5,
∴q5=,
∴q=.
∴这4个数依次为80,40,20,10.
80,40,20,10
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9.若等比数列{an}的第4项和第6项分别为48和12,求{an}的第5项.
解:法一 由a4=48,a6=12,设该等比数列的公比为q,
得
②的两边分别除以①的两边,
得q2=,
解得q=或q=-.
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把q=代入①,
得a1=384.
此时a5=a1q4=384×=24.
把q=-代入①,
得a1=-384.
此时a5=a1q4=-384×=-24.
所以{an}的第5项是24或-24.
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法二 因为a5是a4与a6的等比中项,
所以=a4a6=48×12=576.
所以a5=±=±24.
所以{an}的第5项是24或-24.
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10.(1)一个等比数列{an}的第3项与第4项分别是12与18,求这个数列的通项公式;
(2)已知等比数列{an}中,a5=3,a7=27,求q及an.
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解:(1)法一 设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,
由题意得
解得
∴an=a1qn-1=×.
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法二 ∵{an}为等比数列,
∴q===.
∴an=a3qn-3=12×=×.
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(2)由a7=a5q2,
得q2==9,
∴q=±3,
则a1=,
当q=3时,
an=a1qn-1=×3n-1=3n-4;
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当q=-3时,
an=a1qn-1=×(-3)n-1=-(-3)n-4.
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B级——应用创新
11.“lg x,lg y,lg z成等差数列”是“y2=xz”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
√
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解析:lg x,lg y,lg z成等差数列,
∴2lg y=lg x+lg z,
∴lg(x·z)=lg y2,
∴y2=xz,但y2=xz不能保证x,y,z均为正数,故选A.
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12.[多选]已知数列{an}满足a1=10,a2=5,an-an+2=2(n∈N*),则下列说法正确的有 ( )
A.数列{an}是等差数列
B.a2k=7-2k(k∈N*)
C.a2k-1=12-2k(k∈N*)
D.an+an+1=18-3n
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解析:由an-an+2=2,
得a3=a1-2=8,
因为2a2≠a1+a3,
所以{an}不是等差数列,A不正确;
由an-an+2=2,知{an}的偶数项、奇数项分别构成等差数列,公差都为-2,
当n=2k(k∈N*)时,
a2k=a2+(k-1)×(-2)=7-2k,
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当n=2k-1(k∈N*)时,
a2k-1=a1+(k-1)×(-2)=12-2k,故B,C都正确;
当n=2时,
a2+a3=5+8=13≠18-3×2,故D不正确.故选BC.
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13.已知等比数列{an}满足a1-a3=-,a2-a4=-,则使得a1a2·…·an取得最小值的n为 .
解析:设公比为q,
则q==3,
∴a1-a3=-8a1=-,
∴a1=,a2=,a3=,a4=1,…,
3或4
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即{an}是递增的等比数列,
∴n=3或n=4时,
a1a2·…·an取得最小值.
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14.各项均为正数的等比数列{an},其公比q≠1,且a3a7=4,请写出一个
符合条件的通项公式an=_______________________________________
.
解析:因为{an}为正项等比数列,
所以a3a7==4,
所以a5=2,
又q≠1,
不妨令q=2,
所以an=a1qn-1= a5qn-5=2×2n-5=2n-4.
2n-4 (只要{an}为正项等比数列(不为常数列)
且a5=2即可)
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15.已知无穷数列1,1,…,1,…,求证:
(1)这个数列是等比数列;
(2)这个数列中的任一项是其后第5项的;
(3)数列中任两项之积仍为数列中的项.
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证明:(1)任取数列中的相邻两项an=1,an+1=1,
则==1,
且a1=1=1≠0.
由等比数列定义可知这个数列为等比数列.
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(2)任取数列中的一项am=1,
则其后第5项应为am+5=1.
则==1=10-1=,得证.
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(3)任取数列中两项=1,=1,
则=1·1=1.
∵n1≥1,n2≥1,
且n1,n2∈N*,n1≠n2,
∴n1+n2-2>0,且n1+n2-2∈N*,
∴符合已知数列中的项的特点,
即为数列中的项.
5课时跟踪检测(八) 等比数列的概念与通项公式
A级——综合提能
1.下列三个数依次成等比数列的是 ( )
A.1,4,8 B.-1,2,4
C.9,6,4 D.4,6,8
2.已知等比数列{an}中,a1=1,a4=-8,则公比q= ( )
A.2 B.-4
C.4 D.-2
3.已知实数m是2,8的等比中项,则m= ( )
A.±4 B.-4
C.4 D.5
4.我国古代哲学著作《庄子》中有一句话:“一尺之棰,日取其半,万世不竭.” 这句话的意思是:一尺长的木棍,每天截去一半,永远也截不完.从数学上来说,如果木棍初始长度为1,记第n天截去一半之后木棍剩余的长度为an,则数列{an}的各项依次为 ( )
A.1,,,,… B.,,,,…
C.,,,,… D.,,,,…
5.数列{an}中,“=2an”是“{an}是公比为2的等比数列”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.已知等比数列{an}中的前三项为a,2a+2,3a+3,则实数a的值为 .
7.在等比数列{an}中,若a1=1,=2a6,则公比q= .
8.在160与5中间插入4个数,使它们同这两个数成等比数列,则这4个数依次为 .
9.若等比数列{an}的第4项和第6项分别为48和12,求{an}的第5项.
10.(1)一个等比数列{an}的第3项与第4项分别是12与18,求这个数列的通项公式;
(2)已知等比数列{an}中,a5=3,a7=27,求q及an.
B级——应用创新
11.“lg x,lg y,lg z成等差数列”是“y2=xz”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
12.[多选]已知数列{an}满足a1=10,a2=5,an-an+2=2(n∈N*),则下列说法正确的有 ( )
A.数列{an}是等差数列
B.a2k=7-2k(k∈N*)
C.a2k-1=12-2k(k∈N*)
D.an+an+1=18-3n
13.已知等比数列{an}满足a1-a3=-,a2-a4=-,则使得a1a2·…·an取得最小值的n为 .
14.各项均为正数的等比数列{an},其公比q≠1,且a3a7=4,请写出一个符合条件的通项公式an= .
15.已知无穷数列1,1,…,1,…,求证:
(1)这个数列是等比数列;
(2)这个数列中的任一项是其后第5项的;
(3)数列中任两项之积仍为数列中的项.
课时跟踪检测(八)
1.选C 42≠1×8,A错误;22≠-1×4,B错误;因为==,所以9,6,4依次成等比数列,C正确;62≠4×8,D错误.故选C.
2.选D 依题意a4=a1q3=q3=-8,q=-2.故选D.
3.选A 因为实数m是2,8的等比中项,所以m2=2×8=16,得m=±4,故选A.
4.选B 根据题意,a1=1×=,a2=×=,a3=×=,a4=×=,….故选B.
5.选B 对数列{an},an+1=2an,若a1=0,则可得a2=a3=…=an=0,此时{an}不是公比为2的等比数列;若{an}是公比为2的等比数列,则=2,即an+1=2an.故“an+1=2an”是“{an}是公比为2的等比数列”的必要不充分条件,故选B.
6.解析:因为2a+2为a与3a+3的等比中项,所以解得a=-4.
答案:-4
7.解析:∵=2a6,a1=1,∴(q3)2=2q5,得q=2.
答案:2
8.解析:设这6个数所成等比数列的公比为q,则5=160q5,∴q5=,∴q=.∴这4个数依次为80,40,20,10.
答案:80,40,20,10
9.解:法一 由a4=48,a6=12,设该等比数列的公比为q,得
②的两边分别除以①的两边,得q2=,解得q=或q=-.
把q=代入①,得a1=384.此时a5=a1q4=384×=24.把q=-代入①,得a1=-384.
此时a5=a1q4=-384×=-24.所以{an}的第5项是24或-24.
法二 因为a5是a4与a6的等比中项,所以=a4a6=48×12=576.所以a5=±=±24.
所以{an}的第5项是24或-24.
10.解:(1)法一 设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,由题意得解得
∴an=a1qn-1=×.
法二 ∵{an}为等比数列,∴q===.
∴an=a3qn-3=12×=×.
(2)由a7=a5q2,得q2==9,∴q=±3,则a1=,
当q=3时,an=a1qn-1=×3n-1=3n-4;
当q=-3时,an=a1qn-1=×(-3)n-1=-(-3)n-4.
11.选A lg x,lg y,lg z成等差数列,∴2lg y=lg x+lg z,∴lg(x·z)=lg y2,∴y2=xz,但y2=xz不能保证x,y,z均为正数,故选A.
12.选BC 由an-an+2=2,得a3=a1-2=8,因为2a2≠a1+a3,所以{an}不是等差数列,A不正确;由an-an+2=2,知{an}的偶数项、奇数项分别构成等差数列,公差都为-2,当n=2k(k∈N*)时,a2k=a2+(k-1)×(-2)=7-2k,当n=2k-1(k∈N*)时,a2k-1=a1+(k-1)×(-2)=12-2k,故B,C都正确;当n=2时,a2+a3=5+8=13≠18-3×2,故D不正确.故选BC.
13.解析:设公比为q,则q==3,∴a1-a3=-8a1=-,∴a1=,a2=,a3=,a4=1,…,即{an}是递增的等比数列,∴n=3或n=4时,a1a2·…·an取得最小值.
答案:3或4
14.解析:因为{an}为正项等比数列,所以a3a7==4,所以a5=2,又q≠1,不妨令q=2,所以an=a1qn-1= a5qn-5=2×2n-5=2n-4.
答案:2n-4 (只要{an}为正项等比数列(不为常数列)且a5=2即可)
15.证明:(1)任取数列中的相邻两项an=1,an+1=1,则==1,且a1=1=1≠0.由等比数列定义可知这个数列为等比数列.
(2)任取数列中的一项am=1,则其后第5项应为am+5=1.则==1=10-1=,得证.
(3)任取数列中两项=1,=1,则=1·1=1.
∵n1≥1,n2≥1,且n1,n2∈N*,n1≠n2,∴n1+n2-2>0,且n1+n2-2∈N*,
∴符合已知数列中的项的特点,即为数列中的项.
