第2课时 等比数列的性质及判定
(深化课题型研究式教学)
课时目标
1.掌握等比数列的判定及证明方法;灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形.
2.能根据等比数列的定义推出等比数列的性质,并能运用这些性质简化运算.
题型(一) 等比数列项的设法与求解
[例1] 有四个数,前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,第一个数与第四个数的和为21,中间的两个数的和为18,求这四个数.
听课记录:
[思维建模]
等比数列中的设项方法与技巧
(1)若三个数成等比数列,可设三个数为a,aq,aq2或,a,aq.
(2)若四个数成等比数列,可设为a,aq,aq2,aq3;若四个数均为正(负)数,可设为,,aq,aq3;若四个数成公比为负数的等比数列,可设为,-,aq,-aq3.
[针对训练]
1.已知四个数前三个成等差数列,后三个成等比数列,中间两数之积为16,首尾两数之积为-128,求这四个数.
题型(二) 等比数列的性质
1.等比数列通项公式的推广
通项公式 通项公式的推广
an=a1qn-1 (揭示首末两项的关系) an= (揭示任意两项之间的关系)
2.等比数列项的运算性质
若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am·an= .
(1)当m+n=2k(m,n,k∈N*)时,am·an=.
(2)对有穷等比数列,与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项之积,即a1·an=a2·an-1=…=ak·an-k+1=….
微点助解
等比数列的常用结论
(1)若{an}是公比为q的等比数列,则:
①{can}(c为任一非零常数)是公比为q的等比数列;
②{|an|}是公比为|q|的等比数列;
③{}(m为常数,n∈N*)是公比为qm的等比数列.
(2)若{an},{bn}分别是公比为q1,q2的等比数列,则数列{an·bn}是公比为q1·q2的等比数列.
[例2] 已知{an}为等比数列,
(1)若a2a4=,求a1a5;
(2)若an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,求a3+a5;
(3)若an>0,a5a6=9,求log3a1+log3a2+…+log3a10的值.
听课记录:
[变式拓展]
1.本例(3)改为“a5+a6=3,a15+a16=6”,求a25+a26的值.
2.本例(1)条件变为“若a5a6a7=-27”,求a2a6+a2a10+a6a10的最大值.
[思维建模]
等比数列的运算常用的两条思路
(1)根据已知条件,寻找、列出两个方程,确定a1,q,然后求其他;
(2)利用性质巧解,其中m+n=k+l=2s(m,n,k,l,s∈N*) am·an=ak·al=.
[针对训练]
2.在等比数列{an}中,若a5a7a9a11=36,则a2a14= ( )
A.6 B.9
C.±6 D.±9
3.已知等比数列{an}满足a2+a4+a6+a8=20,a2a8=2,则+++的值为 ( )
A.20 B.10
C.5 D.
题型(三) 等比数列的判定与证明
[例3] 已知数列{an}中,a1=1,Sn是数列{an}的前n项和,且对任意n∈N*,有an+1=kSn+1(k为常数).
(1)当k=2时,求a2,a3的值;
(2)试判断数列{an}是否为等比数列 请说明理由.
听课记录:
[思维建模]
判断数列是等比数列的常用方法
(1)定义法:若数列{an}满足=q(n∈N*,q为常数且不为零)或=q(n≥2,且n∈N*,q为常数且不为零),则数列{an}是等比数列.
(2)通项公式法:若数列{an}的通项公式为an=a1qn-1(a1≠0,q≠0),则数列{an}是等比数列.
(3)等比中项法:若=anan+2(n∈N*且an≠0),则数列{an}为等比数列.
[针对训练]
4.已知数列{an}满足a1=1,nan+1=2(n+1)an.设bn=.
(1)求b1,b2,b3;
(2)判断数列{bn}是否为等比数列,并说明理由;
(3)求{an}的通项公式.
第2课时 等比数列的性质及判定
[题型(一)]
[例1] 解:法一 设前三个数分别为,a,aq(q≠0),则第四个数为2aq-a.
由题意得解得q=2或q=.
当q=2时,a=6,这四个数为3,6,12,18;当q=时,a=,这四个数为,,,.
法二 设后三个数分别为a-d,a,a+d,则第一个数为,所以这四个数为,a-d,a,a+d.
由题意得解得或故这四个数为3,6,12,18或,,,.
[针对训练]
1.解:设四个数为-a,,a,aq,
则由题意得
解得或
因此所求的四个数为-4,2,8,32或4,-2,-8,-32.
[题型(二)]
1.amqn-m 2.ap·aq
[例2] 解:(1)等比数列{an}中,∵a2a4=,
∴=a1a5=a2a4=,∴a1a5=.
(2)由等比中项,化简条件得+2a3a5+=25,即(a3+a5)2=25,
∵an>0,∴a3+a5=5.
(3)由等比数列的性质知a5a6=a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=9,
∴log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1a2·…·a10)=log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)]=log395=10.
[变式拓展]
1.解:∵数列{an}为等比数列,∴a5+a6,a15+a16,a25+a26也成等比数列,∴a25+a26===12.
2.解:法一 因为数列{an}是等比数列,所以a5a6a7==-27,所以a6=-3,所以a2=<0,所以a2a6+a2a10+a6a10=a2a6++=-3a2+9-≥2+9=27,
当且仅当-3a2=-,即a2=-3时取等号.
法二 因为数列{an}是等比数列,所以a5a6a7==-27,所以a6=-3,所以a2a6+a2a10+a6a10=++≥2a4a8+9=2+9=2×9+9=27,当且仅当a4=a8=-3时取等号.
[针对训练]
2.选A 因为a5a7a9a11= =36,所以=6(负值舍去),所以a2a14==6.故选A.
3.选B 在等比数列{an}中,由等比数列的性质可得a4a6=a2a8=2.所以+++=+===10.故选B.
[题型(三)]
[例3] 解:(1)由题意可得,a2=2S1+1=3,a3=2S2+1=2×(1+3)+1=9.
(2)当n≥2时,an=kSn-1+1.由an+1=kSn+1,an=kSn-1+1两式相减得an+1=(k+1)an.
当k=-1时,{an}不是等比数列;当k≠-1时,可得=k+1(n≥2),当n=1时,a1=1,a2=k+1,所以=k+1,故对任意的n∈N*都有=k+1,此时数列{an}是等比数列.综上,当k=-1时,{an}不是等比数列;当k≠-1时,{an}是等比数列.
[针对训练]
4.解:(1)由条件可得an+1=an.
将n=1代入得,a2=4a1,而a1=1,所以a2=4.
将n=2代入得,a3=3a2,所以a3=12.
从而b1=1,b2=2,b3=4.
(2){bn}是首项为1,公比为2的等比数列.理由如下:
由条件可得=,即bn+1=2bn,
又b1=1,所以{bn}是首项为1,公比为2的等比数列.
(3)由(2)可得=2n-1,所以an=n·2n-1.(共62张PPT)
等比数列的性质及判定
(深化课——题型研究式教学)
第2课时
课时目标
1.掌握等比数列的判定及证明方法;灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形.
2.能根据等比数列的定义推出等比数列的性质,并能运用这些性质简化运算.
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一) 等比数列项的设法与求解
题型(二) 等比数列的性质
题型(三) 等比数列的判定与证明
4
课时跟踪检测
题型(一) 等比数列项的设法与求解
01
[例1] 有四个数,前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,第一个数与
第四个数的和为21,中间的两个数的和为18,求这四个数.
解:法一 设前三个数分别为,a,aq(q≠0),
则第四个数为2aq-a.
由题意得
解得q=2或q=.
当q=2时,
a=6,这四个数为3,6,12,18;
当q=时,
a=,这四个数为,,,.
法二 设后三个数分别为a-d,a,a+d,
则第一个数为,
所以这四个数为,a-d,a,a+d.
由题意得
解得或
故这四个数为3,6,12,18或,,,.
[思维建模]
等比数列中的设项方法与技巧
(1)若三个数成等比数列,可设三个数为a,aq,aq2或,a,aq.
(2)若四个数成等比数列,可设为a,aq,aq2,aq3;若四个数均为正(负)数,可设为,,aq,aq3;若四个数成公比为负数的等比数列,可设为,-,
aq,-aq3.
针对训练
1.已知四个数前三个成等差数列,后三个成等比数列,中间两数之积为16,首尾两数之积为-128,求这四个数.
解:设四个数为-a,,a,aq,
则由题意得
解得或
因此所求的四个数为-4,2,8,32或4,-2,-8,-32.
题型(二) 等比数列的性质
02
1.等比数列通项公式的推广
通项公式 通项公式的推广
an=a1qn-1 (揭示首末两项的关系) an=________
(揭示任意两项之间的关系)
amqn-m
2.等比数列项的运算性质
若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am·an=_____.
(1)当m+n=2k(m,n,k∈N*)时,am·an=.
(2)对有穷等比数列,与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项之积,即a1·an=a2·an-1=…=ak·an-k+1=….
ap·aq
微点助解
等比数列的常用结论
(1)若{an}是公比为q的等比数列,则:
①{can}(c为任一非零常数)是公比为q的等比数列;
②{|an|}是公比为|q|的等比数列;
③{}(m为常数,n∈N*)是公比为qm的等比数列.
(2)若{an},{bn}分别是公比为q1,q2的等比数列,则数列{an·bn}是公比为q1·q2的等比数列.
[例2] 已知{an}为等比数列,
(1)若a2a4=,求a1a5;
(2)若an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,求a3+a5;
(3)若an>0,a5a6=9,求log3a1+log3a2+…+log3a10的值.
解:(1)等比数列{an}中,
∵a2a4=,
∴=a1a5=a2a4=,
∴a1a5=.
(2)由等比中项,化简条件得+2a3a5+=25,
即(a3+a5)2=25,
∵an>0,
∴a3+a5=5.
(3)由等比数列的性质知a5a6=a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=9,
∴log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1a2·…·a10)=log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)]=log395=10.
[变式拓展]
1.本例(3)改为“a5+a6=3,a15+a16=6”,求a25+a26的值.
解:∵数列{an}为等比数列,
∴a5+a6,a15+a16,a25+a26也成等比数列,
∴a25+a26===12.
2.本例(1)条件变为“若a5a6a7=-27”,求a2a6+a2a10+a6a10的最大值.
解:法一 因为数列{an}是等比数列,
所以a5a6a7==-27,
所以a6=-3,
所以a2=<0,
所以a2a6+a2a10+a6a10=a2a6++=-3a2+9-≥2+9=27,
当且仅当-3a2=-,
即a2=-3时取等号.
法二 因为数列{an}是等比数列,
所以a5a6a7==-27,
所以a6=-3,
所以a2a6+a2a10+a6a10=++≥2a4a8+9=2+9=2×9+9=27,
当且仅当a4=a8=-3时取等号.
[思维建模]
等比数列的运算常用的两条思路
(1)根据已知条件,寻找、列出两个方程,确定a1,q,然后求其他;
(2)利用性质巧解,其中m+n=k+l=2s(m,n,k,l,s∈N*) am·an=ak·al=.
针对训练
2.在等比数列{an}中,若a5a7a9a11=36,则a2a14= ( )
A.6 B.9
C.±6 D.±9
解析:因为a5a7a9a11= =36,
所以=6(负值舍去),
所以a2a14==6.故选A.
√
3.已知等比数列{an}满足a2+a4+a6+a8=20,a2a8=2,则+++的值为( )
A.20 B.10 C.5 D.
解析:在等比数列{an}中,由等比数列的性质可得a4a6=a2a8=2.
所以+++=+===10.故选B.
√
题型(三) 等比数列的判定与证明
03
[例3] 已知数列{an}中,a1=1,Sn是数列{an}的前n项和,且对任意n∈N*,有an+1=kSn+1(k为常数).
(1)当k=2时,求a2,a3的值;
(2)试判断数列{an}是否为等比数列 请说明理由.
解:(1)由题意可得,a2=2S1+1=3,a3=2S2+1=2×(1+3)+1=9.
(2)当n≥2时,
an=kSn-1+1.
由an+1=kSn+1,an=kSn-1+1两式相减得an+1=(k+1)an.
当k=-1时,
{an}不是等比数列;
当k≠-1时,
可得=k+1(n≥2),
当n=1时,
a1=1,a2=k+1,
所以=k+1,
故对任意的n∈N*都有=k+1,此时数列{an}是等比数列.
综上,当k=-1时,{an}不是等比数列;
当k≠-1时,{an}是等比数列.
[思维建模] 判断数列是等比数列的常用方法
(1)定义法:若数列{an}满足=q(n∈N*,q为常数且不为零)或=
q(n≥2,且n∈N*,q为常数且不为零),则数列{an}是等比数列.
(2)通项公式法:若数列{an}的通项公式为an=a1qn-1(a1≠0,q≠0),则数列{an}是等比数列.
(3)等比中项法:若=anan+2(n∈N*且an≠0),则数列{an}为等比数列.
针对训练
4.已知数列{an}满足a1=1,nan+1=2(n+1)an.设bn=.
(1)求b1,b2,b3;
(2)判断数列{bn}是否为等比数列,并说明理由;
(3)求{an}的通项公式.
解:(1)由条件可得an+1=an.
将n=1代入得,
a2=4a1,
而a1=1,
所以a2=4.
将n=2代入得,
a3=3a2,
所以a3=12.
从而b1=1,b2=2,b3=4.
(2){bn}是首项为1,公比为2的等比数列.理由如下:
由条件可得=,
即bn+1=2bn,
又b1=1,
所以{bn}是首项为1,公比为2的等比数列.
(3)由(2)可得=2n-1,
所以an=n·2n-1.
课时跟踪检测
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√
A级——综合提能
1.等比数列{an}中,若a2a6+=π,则a3a5等于( )
A. B.
C. D.
解析:∵a2a6==a3a5,
∴a3a5=.
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2.[多选]已知数列{an}是等比数列,下列数列一定是等比数列的为 ( )
A.{|an|} B.{an-}
C. D.{kan}
√
√
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解析:当数列{an}为1,1,1,1,…时,
数列{an-an+1}不是等比数列;
当k=0时,
数列{kan}不是等比数列,
而{|an|}和一定是等比数列.
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√
3.已知各项均为正数的等比数列{an},a1a7=3,a2a8=27,则a4a5= ( )
A.7 B.8
C.9 D.10
解析:由等比数列{an},
得a1a7=,a2a8=,
有=a1a7a2a8=3×27=81,
又因为各项均为正数,
所以a4a5=9.故选C.
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√
4.等比数列{an}中,若a12=4,a18=8,则a36为 ( )
A.32 B.64
C.128 D.256
解析:设等比数列{an}的公比为q,
由等比数列的性质可知,a12,a18,a24,a30,a36成等比数列,
且=2=q6,
故a36=a18q18=8×23=64.
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√
5.[多选]设公比为q的等比数列{an},若a1a5a9=64,则 ( )
A.a5=4
B.当a1=1时,q=±
C.a1和a9的等比中项为4
D.+≥32
√
√
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解析:由题意,a1a5a9==64,
即a5=4,故A正确;
当a1=1时,
a5=a1q4=4,
所以q=±,故B正确;
因为a1a9==16,
所以a1和a9的等比中项为4或-4,故C错误;
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由+≥2a1a9=32,
当且仅当a1=a9=4时,
等号成立,故D正确.故选ABD.
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6.在等比数列{an}中,存在正整数m,若am=3,=24,则=
.
解析:由题意知q5==8,am+15=amq15=3×83=1 536.
1 536
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7.在等比数列{an}中,若a2a3a6a9a10=32,则的值为 .
解析:因为==a6,
又a2a3a6a9a10=(a2a10)a6(a3a9)==32,
所以a6=2,
故=a6=2.
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8.在正项等比数列{an}中,a1=,a2·a4=9,记数列{an}的前n项的积为Tn,若Tn∈(1,1 000),请写出一个满足条件的n的值为 .
解析:因为{an}为正项等比数列且a2·a4==9,
所以a3=3.
又因为a1=,
所以q2==9.
又q>0,
4(答案不唯一)
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所以q=3.
则an=×3n-1=3n-2,
Tn=a1a2…an=3-1×30×…×3n-2=,
因为Tn∈(1,1 000),
所以当n=4时满足要求.
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9.在正项等比数列{an}中,a1a5-2a3a5+a3a7=36,a2a4+2a2a6+a4a6=100,求数列{an}的通项公式.
解:∵a1a5=,a3a7=,
∴由题意,得-2a3a5+=36,
同理得+2a3a5+=100,
∴
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∵an>0,
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解得或
分别解得或
∴an=a1qn-1=2n-2或an=a1qn-1=26-n.
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10.已知数列{an}满足a1=,且an+1=an+,n∈N*.
(1)求证:是等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
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解:(1)证明:由已知,得an+1-=an-=,
即=,
因为a1=,
所以a1-=,所以是以为首项,为公比的等比数列.
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(2)由(1)知,是以为首项,为公比的等比数列,
所以an-=×,
所以an=×+.
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√
B级——应用创新
11.若数列{an}是公比为4的等比数列,且a1=2,则数列{log2an}是( )
A.公差为2的等差数列
B.公差为lg 2的等差数列
C.公比为2的等比数列
D.公比为lg 2的等比数列
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解析:因为数列{an}是公比为4的等比数列,
且a1=2,
所以an=2×4n-1=22n-1,log2an=log222n-1=2n-1,
所以数列{log2an}是公差为2的等差数列.
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12.[多选]已知数列{an}为等差数列,{bn}为等比数列,{an}的前n项和为Sn,若a1+a6+a11=3π,b1b5b9=8,则 ( )
A.S11=11π B.sin=
C.a3+a7+a8=3π D.b3+b7≥4
√
√
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解析:因为数列{an}为等差数列,{bn}为等比数列,a1+a6+a11=3π,b1b5b9=8,
所以a1+a6+a11=3a6=3π,
即a6=π,b1b5b9==8,
即b5=2.
对于A,S11==11a6=11π,故A正确;
对于B,a2+a10=2a6=2π,b4b6==4,
所以sin=sin=1,故B错误;
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对于C,设等差数列{an}的公差为d,
则a3+a7+a8=a6-3d+a6+d+a6+2d=3a6=3π,故C正确;
对于D,由b5=2,
得b3>0,b7>0,
故b3+b7≥2=2=4,
当且仅当b3=b7=2时等号成立,故D正确.
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13.若数列{an}满足-=0,则称{an}为“梦想数列”,已知正项数列为“梦想数列”,且b1+b2+b3=1,则b6+b7+b8= .
解析:由题意可知,若数列{an}为“梦想数列”,
则-=0,
可得=,
所以“梦想数列”{an}是公比为的等比数列,
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若正项数列为“梦想数列”,
则=,
所以=2,
即正项数列{bn}是公比为2的等比数列,
因为b1+b2+b3=1,
因此,b6+b7+b8=25(b1+b2+b3)=32.
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14.在4与之间插入3个数,使这5个数成等比数列,求插入的3个数.
解:法一 依题意,a1=4,a5=,由等比数列的通项公式,得=4q4,
解得q=±.
当q=时,插入的3个数分别为4×=2,2×=1,1×=;
当q=-时,插入的3个数分别为4×=-2,(-2)×=1,1×=-.
因此,插入的3个数分别为2,1,或-2,1,-.
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法二 因为等比数列共有5项,
即a1,a2,a3,a4,a5.
又因为2×3=1+5,
所以=a1a5=4×=1,
即a3=±1.
又因为a3要与a1同号,
因此a3=1.
类似地,有=a1a3,=a3a5,而且a2与a4同号.
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因此,当a2===2时,
a4===;
当a2=-=-=-2时,
a4=-=-=-.
因此,插入的3个数分别为2,1,或-2,1,-.
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15.已知数列{an}和{bn}满足a1=λ,an+1=an+n-4,bn=(-1)n(an-3n+21),其中λ为实数,n为正整数.
(1)求证:对任意实数λ,数列{an}不是等比数列;
(2)试判断{bn}是否为等比数列.
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解:(1)证明:∵an+1=an+n-4且a1=λ,
∴a2=λ-3,a3=λ-4.
假设存在一个实数λ,使{an}是等比数列,则=a1a3,即=
λ,
即λ2-4λ+9=λ2-4λ,该方程无解,∴对任意实数λ,数列{an}不是等比数列.
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(2)∵bn=(-1)n(an-3n+21),
∴bn+1=(-1)n+1[an+1-3(n+1)+21]=(-1)n+1=
-(-1)n(an-3n+21)=-bn.
∵b1=-(λ+18),
∴当λ=-18时,b1=0,
此时数列{bn}不是等比数列;
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当λ≠-18时,b1≠0,
此时=-(n∈N*),
数列{bn}是等比数列.
综上,当λ=-18时,
{bn}不是等比数列;
当λ≠-18时,{bn}是等比数列.
5课时跟踪检测(九) 等比数列的性质及判定
A级——综合提能
1.等比数列{an}中,若a2a6+=π,则a3a5等于 ( )
A. B.
C. D.
2.[多选]已知数列{an}是等比数列,下列数列一定是等比数列的为 ( )
A.{|an|} B.{an-}
C. D.{kan}
3.已知各项均为正数的等比数列{an},a1a7=3,a2a8=27,则a4a5= ( )
A.7 B.8
C.9 D.10
4.等比数列{an}中,若a12=4,a18=8,则a36为 ( )
A.32 B.64
C.128 D.256
5.[多选]设公比为q的等比数列{an},若a1a5a9=64,则 ( )
A.a5=4
B.当a1=1时,q=±
C.a1和a9的等比中项为4
D.+≥32
6.在等比数列{an}中,存在正整数m,若am=3,=24,则= .
7.在等比数列{an}中,若a2a3a6a9a10=32,则的值为 .
8.在正项等比数列{an}中,a1=,a2·a4=9,记数列{an}的前n项的积为Tn,若Tn∈(1,1 000),请写出一个满足条件的n的值为 .
9.在正项等比数列{an}中,a1a5-2a3a5+a3a7=36,a2a4+2a2a6+a4a6=100,求数列{an}的通项公式.
10.已知数列{an}满足a1=,且an+1=an+,n∈N*.
(1)求证:是等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
B级——应用创新
11.若数列{an}是公比为4的等比数列,且a1=2,则数列{log2an}是 ( )
A.公差为2的等差数列
B.公差为lg 2的等差数列
C.公比为2的等比数列
D.公比为lg 2的等比数列
12.[多选]已知数列{an}为等差数列,{bn}为等比数列,{an}的前n项和为Sn,若a1+a6+a11=3π,b1b5b9=8,则 ( )
A.S11=11π B.sin=
C.a3+a7+a8=3π D.b3+b7≥4
13.若数列{an}满足-=0,则称{an}为“梦想数列”,已知正项数列为“梦想数列”,且b1+b2+b3=1,则b6+b7+b8= .
14.在4与之间插入3个数,使这5个数成等比数列,求插入的3个数.
15.已知数列{an}和{bn}满足a1=λ,an+1=an+n-4,bn=(-1)n(an-3n+21),其中λ为实数,n为正整数.
(1)求证:对任意实数λ,数列{an}不是等比数列;
(2)试判断{bn}是否为等比数列.
课时跟踪检测(九)
1.选C ∵a2a6==a3a5,∴a3a5=.
2.选AC 当数列{an}为1,1,1,1,…时,数列{an-an+1}不是等比数列;当k=0时,数列{kan}不是等比数列,而{|an|}和一定是等比数列.
3.选C 由等比数列{an},得a1a7=,a2a8=,有=a1a7a2a8=3×27=81,又因为各项均为正数,所以a4a5=9.故选C.
4.选B 设等比数列{an}的公比为q,由等比数列的性质可知,a12,a18,a24,a30,a36成等比数列,且=2=q6,故a36=a18q18=8×23=64.
5.选ABD 由题意,a1a5a9==64,即a5=4,故A正确;当a1=1时,a5=a1q4=4,所以q=±,故B正确;因为a1a9==16,所以a1和a9的等比中项为4或-4,故C错误;由+≥2a1a9=32,当且仅当a1=a9=4时,等号成立,故D正确.故选ABD.
6.解析:由题意知q5==8,am+15=amq15=3×83=1 536.
答案:1 536
7.解析:因为==a6,又a2a3a6a9a10=(a2a10)a6(a3a9)==32,所以a6=2,故=a6=2.
答案:2
8.解析:因为{an}为正项等比数列且a2·a4==9,所以a3=3.又因为a1=,所以q2==9.又q>0,所以q=3.则an=×3n-1=3n-2,Tn=a1a2…an=3-1×30×…×3n-2=,
因为Tn∈(1,1 000),所以当n=4时满足要求.
答案:4(答案不唯一)
9.解:∵a1a5=,a3a7=,
∴由题意,得-2a3a5+=36,
同理得+2a3a5+=100,∴
∵an>0,∴解得或
分别解得或
∴an=a1qn-1=2n-2或an=a1qn-1=26-n.
10.解:(1)证明:由已知,得an+1-=an-=,即=,因为a1=,所以a1-=,所以是以为首项,为公比的等比数列.
(2)由(1)知,是以为首项,为公比的等比数列,所以an-=×,所以an=×+.
11.选A 因为数列{an}是公比为4的等比数列,且a1=2,所以an=2×4n-1=22n-1,log2an=log222n-1=2n-1,所以数列{log2an}是公差为2的等差数列.
12.选ACD 因为数列{an}为等差数列,{bn}为等比数列,a1+a6+a11=3π,b1b5b9=8,所以a1+a6+a11=3a6=3π,即a6=π,b1b5b9==8,即b5=2.对于A,S11==11a6=11π,故A正确;对于B,a2+a10=2a6=2π,b4b6==4,所以sin=sin=1,故B错误;对于C,设等差数列{an}的公差为d,则a3+a7+a8=a6-3d+a6+d+a6+2d=3a6=3π,故C正确;对于D,由b5=2,得b3>0,b7>0,故b3+b7≥2=2=4,当且仅当b3=b7=2时等号成立,故D正确.
13.解析:由题意可知,若数列{an}为“梦想数列”,则-=0,可得=,所以“梦想数列”{an}是公比为的等比数列,若正项数列为“梦想数列”,则=,所以=2,即正项数列{bn}是公比为2的等比数列,因为b1+b2+b3=1,因此,b6+b7+b8=25(b1+b2+b3)=32.
答案:32
14.解:法一 依题意,a1=4,a5=,由等比数列的通项公式,得=4q4,解得q=±.
当q=时,插入的3个数分别为4×=2,2×=1,1×=;
当q=-时,插入的3个数分别为4×=-2,(-2)×=1,1×=-.
因此,插入的3个数分别为2,1,或-2,1,-.
法二 因为等比数列共有5项,即a1,a2,a3,a4,a5.
又因为2×3=1+5,所以=a1a5=4×=1,即a3=±1.
又因为a3要与a1同号,因此a3=1.
类似地,有=a1a3,=a3a5,而且a2与a4同号.
因此,当a2===2时,a4===;当a2=-=-=-2时,a4=-=-=-.
因此,插入的3个数分别为2,1,或-2,1,-.
15.解:(1)证明:∵an+1=an+n-4且a1=λ,∴a2=λ-3,a3=λ-4.
假设存在一个实数λ,使{an}是等比数列,则=a1a3,即=λ,即λ2-4λ+9=λ2-4λ,该方程无解,∴对任意实数λ,数列{an}不是等比数列.
(2)∵bn=(-1)n(an-3n+21),∴bn+1=(-1)n+1[an+1-3(n+1)+21]=(-1)n+1=-(-1)n(an-3n+21)=-bn.∵b1=-(λ+18),∴当λ=-18时,b1=0,此时数列{bn}不是等比数列;当λ≠-18时,b1≠0,此时=-(n∈N*),数列{bn}是等比数列.
综上,当λ=-18时,{bn}不是等比数列;当λ≠-18时,{bn}是等比数列.
