第4课时 构造法求数列通项公式
(深化课题型研究式教学)
课时目标
1.掌握利用构造法求数列通项公式的方法.
2.会用构造法公式解决一些简单的问题.
题型(一) 形如an+1=Aan+B的递推关系求通项公式
[例1] 已知数列{an}满足a1=,an+1=(an+1),求通项公式an.
听课记录:
[思维建模]
对于形如an+1=Aan+B(A≠0且A≠1,B≠0)的递推关系的递推数列,即数列相邻的次数都是一次,尾巴上有一个常数,求此类数列的通项公式,通常采用待定系数法将其转化为an+1+k=A(an+k)求解.
[针对训练]
1.已知数列{an}满足a1=2,an+1=2an+2,求数列{an}的通项公式.
题型(二) 形如an=p+pn的递推关系求通项公式
[例2] 已知数列{an}满足an=2an-1+2n(n≥2),且a1=1,求数列{an}的通项公式.
听课记录:
[变式拓展]
本例中“an=2an-1+2n”变为“an=2an-1+2n+1”,其余不变,求数列{an}的通项公式.
[思维建模]
形如an=pan-1+pn(p≠0且p≠1)的递推关系求通项公式的一般步骤
第一步:等式两边同除以pn,不管这一项是pn-1或pn+1,都同除以pn,为的是数列的下标和p的指数对应起来.
第二步:写出数列的通项公式.
第三步:写出数列{an}的通项公式.
[针对训练]
2.已知数列{an}中,a1=3,an+1=3an+2×3n+1,n∈N*,求数列{an}的通项公式.
题型(三) 形如an+1=(A,B,C为常数)的递推关系求通项公式
[例3] 已知数列{an}中,a1=1,an+1=(n∈N*),则数列{an}的通项公式an= .
听课记录:
[思维建模]
形如an+1=(A,B,C为常数且A≠0)的数列,可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解.
[针对训练]
3.已知数列{an}满足a1=,且an+1=,则数列an= .
4.已知数列{an}满足a1=1,an+1=(n∈N*),bn=,则{bn}的通项公式为 .
第4课时 构造法求数列通项公式
[题型(一)]
[例1] 解:∵an+1=an+,
∴an+1-1=(an-1).
又a1-1=-.
∴数列{an-1}是首项为-,公比为的等比数列.
∴an-1=-×,
∴an=1-×.
[针对训练]
1.解:∵an+1=2an+2,∴an+1+2=2(an+2),又a1+2=4,
∴{an+2}是以4为首项,2为公比的等比数列,
∴an+2=4×2n-1,∴an=2n+1-2(n∈N*).
[题型(二)]
[例2] 解:因为an=2an-1+2n(n≥2),等式两边同时除以2n,得=+1,即-=1,又=,所以是以为首项,1为公差的等差数列,即=+(n-1)×1,所以an=×2n.
[变式拓展]
解:等式两边同时除以2n,得=+2,即-=2,又=,所以是以为首项,2为公差的等差数列,所以=+(n-1)×2,即an=×2n.
[针对训练]
2.解:由an+1=3an+2×3n+1,得=+2,∴-=2,又=1,即数列是首项为1,公差为2的等差数列,∴=2n-1,得an=(2n-1)·3n.
[题型(三)]
[例3] 解析:因为an+1=,a1=1,所以an≠0,所以=+,即-=.又a1=1,则=1,所以是以1为首项,为公差的等差数列.所以=+(n-1)×=+.所以an=.
答案:
[针对训练]
3.解析:由an+1=可得=+3,所以数列是等差数列,且首项为2,公差为3,则=3n-1,an=.
答案:
4.解析:数列{an}满足a1=1,an+1=(n∈N*),所以=+3,所以+3=2,又+3=4,故是以4为首项,2为公比的等比数列,所以+3=4×2n-1=2n+1,所以bn==2n+1-3.
答案:bn=2n+1-3课时跟踪检测(十一) 构造法求数列通项公式
1.数列{an}满足an=4an-1+3(n≥2)且a1=0,则此数列第5项是 ( )
A.15 B.255
C.16 D.63
2.在数列{an}中,a1=2,an+1=(n∈N*),则a20= ( )
A. B.
C. D.
3.若正项数列{an}满足a1=2,=4+4an+1,则数列{an}的通项公式是 .
4.数列{an}中,a1=1,且an+1=an+3n+1,则通项公式an= .
5.已知数列{an}满足:a1=1,且an=2an-1+2n-1(n≥2,n∈N),则an= .
6.已知数列{an}满足a1=1,3an+1an=an-an+1,则通项公式an= .
7.已知数列{an}的首项是a1=1,且an+1=,则数列{an}的通项公式为 .
8.记Sn为数列{an}的前n项和,若an=-1,则S7= .
9.在数列{an}中,a1=1,a2=3,且对任意的n∈N*,都有=3an+1-2an,则数列{an}的通项公式为 .
10.数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=2,3Sn=an+1-+2(n∈N*).
(1) n∈N*时,写出an+1与an之间的递推关系;
(2)求{an}的通项公式.
11.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=3且Sn+Sn+1=2n2+6n+3,n∈N*.
(1)求S9的值;
(2)求数列{an}的通项公式.
12.在数列{an}中, a1=4且 an+1=,求数列{an}的通项公式.
课时跟踪检测(十一)
1.选B ∵an=4an-1+3(n≥2),∴an+1=4(an-1+1)(n≥2),∴{an+1}是以1为首项,4为公比的等比数列,则an+1=4n-1.∴an=4n-1-1,∴a5=44-1=255.故选B.
2.选B 因为an+1=,则==+1,又=,故是首项为,公差为1的等差数列.=+n-1=n-,an=,a20=.故选B.
3.解析:在正项数列{an}中,=4+4an+1=(2an+1)2,则有an+1=2an+1,于是得an+1+1=2(an+1),而a1+1=3,因此数列{an+1}是首项为3,公比为2的等比数列,则有an+1=3×2n-1,即an=3×2n-1-1,所以数列{an}的通项公式是an=3×2n-1-1.
答案:an=3×2n-1-1
4.解析:∵an+1=an+3n+1,∴an+1-(n+1)2+=an-n2+,∴数列为常数列,又a1=1,则a1-+=0,∴an=n2-.
答案:n2-
5.解析:由题设,=+(n≥2),即-=(n≥2),而=,∴是首项、公差均为的等差数列,即=+(n-1)=,∴an=n·2n-1.
答案:n·2n-1
6.解析:∵3an+1an=an-an+1,∴-=3,且=1,∴是以1为首项,3为公差的等差数列,∴=1+(n-1)·3=3n-2,∴an=.
答案:
7.解析:由an+1=,即(n+1)an+1=nan,故数列{nan}为常数列,a1=1,即nan=1,an=.
答案:an=
8.解析:由已知an=-1,得Sn-Sn-1=-1,所以Sn-2=2(Sn-1-2)(n≥2),又a1=-1,即S1=-2,S1-2=-4,所以{Sn-2}是以-4为首项,2为公比的等比数列,所以Sn-2=-4×2n-1,即Sn=2-,所以S7=2-28=-254.
答案:-254
9.解析:由=3an+1-2an,得-an+1=2(an+1-an).
又a1=1,a2=3,所以a2-a1=2≠0,所以{an+1-an}是首项为2,公比为2的等比数列,所以an+1-an=2n,所以an=a1+(a2-a1)+…+(an-an-1)=1+2+22+…+2n-1=2n-1,n≥2,
因为a1=1符合上式,所以an=2n-1.
答案:an=2n-1
10.解:(1)因为3Sn=an+1-2n+2+2 ①,
所以当n≥2时,3Sn-1=an-2n+1+2 ②,
①-②得3an=an+1-an-2n+1(n≥2),
即an+1=4an+2n+1 (n≥2),
在①中,令n=1得a2=3a1+23-2=12=4a1+22,也符合上式,所以an+1=4an+2n+1.
(2)因为an+1=4an+2n+1,则an+1+2n+1=4(an+2n),且a1+2=4≠0,
所以数列{an+2n}是以4为首项,4为公比的等比数列,所以an+2n=4n,故an=4n-2n.
11.解:(1)因为Sn+Sn+1=2n2+6n+3,所以Sn+2+Sn+1=2(n+1)2+6(n+1)+3.
两式相减,得an+2+an+1=4(n+2),n∈N*.所以S9=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+(a8+a9)=3+4[(1+2)+(3+2)+…+(7+2)]=3+4×=99.
(2)由(1)知an+2+an+1=4(n+2)①,可得an+an+1=4(n+1)②,n≥2.因为a1=3,S2+S1=11,所以a2=5,又S3+S2=23=2a1+2a2+a3,
所以a3=7.又由①②得an+2-an=4,n≥2.所以a2n=a2+4(n-1)=4n+1,即an=2n+1,n为偶数,则当n≥3,且为奇数时,an=4(n+1)-an+1=4(n+1)-[2(n+1)+1]=2n+1,
又a1=3,a3=7符合上式,综上得an=2n+1.
12.解:由an+1=两边减去1得,
an+1-1=-1=,两边取倒数得,===+·,
两边同加得,+=+·=·,
由a1=4,则+=≠0,所以有=,
故是以为首项,为公比的等比数列.
所以+=·,故an-1=,
解得an=.
