第2课时 等比数列的前n项和的应用
(深化课题型研究式教学)
题型(一) 等比数列前n项和的实际应用
[例1] 某家用电器一件现价2 000元,实行分期付款,每期付款数相同,每期为一月,购买后一个月开始付款,每月付款一次,共付12次,购买后一年还清,月利率为0.8%,按复利计算,那么每期应付款多少 (1.00812≈1.1)
听课记录:
[思维建模]
应用等比数列解决实际问题的一般思路
(1)实际生活中的增长率问题,分期付款问题等都是等比数列问题;
(2)解决此类问题的关键是由实际情况抽象出数列模型,利用知识求解.
[针对训练]
1.某市共有1万辆燃油型公交车.有关部门计划于2024年投入128辆电力型公交车,随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%.则:
(1)该市在2030年应该投入电力型公交车多少辆
(2)到哪一年年底,电力型公交车的数量开始超过公交车总量的
题型(二) 递推公式的实际应用
[例2] 某企业投资1 000万元用于一个高科技项目,每年可获利25%,由于企业间竞争激烈,每年底需要从利润中取出200万元进行科研、技术改造与广告投入,方能保持原有的利润增长率,问至少经过多少年,该项目的资金可以达到或超过翻两番(4倍)的目标 (lg 2≈0.3)
听课记录:
[思维建模]
理解题意,建立数列中an与an+1或an与an-1之间的关系,构造数列,确定数列的通项公式求解.
[针对训练]
2.某城市2022年末汽车保有量为30万辆,预计此后每年报废上年末汽车保有量的6%,并且每年新增汽车数量相同,为保护城市环境,要求该城市汽车保有量不超过60万辆,那么每年新增汽车数量不应超过多少辆
题型(三) 分组转化法求和
[例3] 已知数列{an}是等差数列,其前n项和为Sn,且2a2+a4=13,S7=49.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=an+,求数列{bn}的前n项和Tn.
听课记录:
[思维建模]
分组法求数列的前n项和的方法技巧
如果一个数列是等差数列与等比数列的代数和,求其前n项和需要先分组再利用公式求和.
[针对训练]
3.设数列{an}的前n项和为Sn,且a1=2,an+1=2+Sn(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足bn=2n-1+a2n,求数列{bn}的前n项和Tn.
第2课时 等比数列的前n项和的应用
[题型(一)]
[例1] 解:设每期应付款x元,则第1期付款到最后一次付款时的本息和为x(1+0.008)11,第2期付款到最后一次付款时的本息和为x(1+0.008)10,…,第12期付款没有利息,所以各期付款连同利息之和为x(1+0.008)11+x(1+0.008)10+…+x=x.
又所购电器的现价及其利息之和为2 000×1.00812,
于是有x=2 000×1.00812.
解得x=≈176(元).
所以每期应付款176元.
[针对训练]
1.解:(1)每年投入电力型公交车的数量可构成等比数列{an},其中a1=128,q=.
∴2030年应投入的数量为a7=a1q6=128×=1 458(辆).
(2)设{an}的前n项和为Sn,则Sn==256×,由Sn>(10 000+Sn)×,即Sn>5 000,解得n≥8.
∴到2031年底电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的.
[题型(二)]
[例2] 解:设经过n年后,该项目的资金为an万元.
由题意得,an=an-1(1+25%)-200(n≥2),
整理可得an-800=(an-1-800),
即{an-800}成一个等比数列,a1=1 000(1+25%)-200=1 050,a1-800=250,
∴an-800=250,即an=250+800,
令an≥4 000,得≥16,解得n≥12,
即至少经过12年,该项目的资金可以达到或超过翻两番的目标.
[针对训练]
2.解:设每年新增汽车为b万辆,该城市第n年末的汽车保有量为an,
则容易得到an和an-1的递推关系:
an=(1-6%)an-1+b=0.94an-1+b(n≥2),
即an-b=0.94.
∴是以0.94为公比,以30-b为首项的等比数列.
∴an-b=·0.94n-1,
即an=b+·0.94n-1.
①当30-b≥0,即b≤1.8时,an≤an-1≤…≤a1=30.
②当30-b<0,即b>1.8时,an趋近于b,
并且数列{an}为递增数列,因此,如果要求汽车保有量不超过60万辆,
即an≤60(n∈N*),则b≤60,
即b≤3.6.
综上,每年新增汽车不应超过3.6万辆.
[题型(三)]
[例3] 解:(1)设等差数列{an}的公差为d,
又2a2+a4=13,S7=49,
所以解得a1=1,d=2,
所以{an}的通项公式an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1.
(2)由(1)知bn=an+=2n-1+22n-1,所以Tn=b1+b2+b3+…+bn=(1+2)+(3+23)+(5+25)+…+(2n-1+22n-1)=(1+3+5+…+2n-1)+(2+23+25+…+22n-1)=+=+n2.
[针对训练]
3.解:(1)因为数列{an}的前n项和为Sn,且a1=2,an+1=2+Sn(n∈N*),
当n=1时,a2=2+a1=2+2=4,
当n≥2时,由an+1=2+Sn可得an=2+,
上述两个等式作差可得an+1-an=an,可得an+1=2an,又因为a2=2a1,所以数列{an}为等比数列,且首项为2,公比为2,所以an=2×2n-1=2n.
(2)由(1)可得bn=2n-1+a2n=2n-1+4n,
所以Tn=(1+41)+(3+42)+(5+43)+…+[(2n-1)+4n]=[1+3+5+…+(2n-1)]+(4+42+43+…+4n)=+=n2+.(共45张PPT)
等比数列的前n项和的应用
(深化课——题型研究式教学)
第2课时
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一) 等比数列前n项和的实际应用
题型(二) 递推公式的实际应用
题型(三) 分组转化法求和
4
课时跟踪检测
题型(一) 等比数列前n项和的实际应用
01
[例1] 某家用电器一件现价2 000元,实行分期付款,每期付款数相同,每期为一月,购买后一个月开始付款,每月付款一次,共付12次,购买后一年还清,月利率为0.8%,按复利计算,那么每期应付款多少 (1.00812≈1.1)
解:设每期应付款x元,
则第1期付款到最后一次付款时的本息和为x(1+0.008)11,
第2期付款到最后一次付款时的本息和为x(1+0.008)10,…,
第12期付款没有利息,
所以各期付款连同利息之和为x(1+0.008)11+x(1+0.008)10+…+x=x.
又所购电器的现价及其利息之和为2 000×1.00812,
于是有x=2 000×1.00812.
解得x=≈176(元).
所以每期应付款176元.
[思维建模]
应用等比数列解决实际问题的一般思路
(1)实际生活中的增长率问题,分期付款问题等都是等比数列问题;
(2)解决此类问题的关键是由实际情况抽象出数列模型,利用知识求解.
针对训练
1.某市共有1万辆燃油型公交车.有关部门计划于2024年投入128辆电力型公交车,随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%.则:
(1)该市在2030年应该投入电力型公交车多少辆
(2)到哪一年年底,电力型公交车的数量开始超过公交车总量的
解:(1)每年投入电力型公交车的数量可构成等比数列{an},
其中a1=128,q=.
∴2030年应投入的数量为a7=a1q6=128×=1 458(辆).
(2)设{an}的前n项和为Sn,
则Sn==256×,
由Sn>(10 000+Sn)×,
即Sn>5 000,
解得n≥8.
∴到2031年底电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的.
题型(二) 递推公式的实际应用
02
[例2] 某企业投资1 000万元用于一个高科技项目,每年可获利25%,由于企业间竞争激烈,每年底需要从利润中取出200万元进行科研、技术改造与广告投入,方能保持原有的利润增长率,问至少经过多少年,该项目的资金可以达到或超过翻两番(4倍)的目标 (lg 2≈0.3)
解:设经过n年后,该项目的资金为an万元.
由题意得,an=an-1(1+25%)-200(n≥2),
整理可得an-800=(an-1-800),
即{an-800}成一个等比数列,a1=1 000(1+25%)-200=1 050,a1-800=250,
∴an-800=250,
即an=250+800,
令an≥4 000,
得≥16,
解得n≥12,
即至少经过12年,该项目的资金可以达到或超过翻两番的目标.
[思维建模]
理解题意,建立数列中an与an+1或an与an-1之间的关系,构造数列,确定数列的通项公式求解.
针对训练
2.某城市2022年末汽车保有量为30万辆,预计此后每年报废上年末汽车保有量的6%,并且每年新增汽车数量相同,为保护城市环境,要求该城市汽车保有量不超过60万辆,那么每年新增汽车数量不应超过多少辆
解:设每年新增汽车为b万辆,该城市第n年末的汽车保有量为an,
则容易得到an和an-1的递推关系:
an=(1-6%)an-1+b=0.94an-1+b(n≥2),
即an-b=0.94.
∴是以0.94为公比,以30-b为首项的等比数列.
∴an-b=·0.94n-1,
即an=b+·0.94n-1.
①当30-b≥0,
即b≤1.8时,
an≤an-1≤…≤a1=30.
②当30-b<0,
即b>1.8时,
an趋近于b,
并且数列{an}为递增数列,因此,如果要求汽车保有量不超过60万辆,
即an≤60(n∈N*),
则b≤60,
即b≤3.6.
综上,每年新增汽车不应超过3.6万辆.
题型(三) 分组转化法求和
03
[例3] 已知数列{an}是等差数列,其前n项和为Sn,且2a2+a4=13,S7=49.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=an+,求数列{bn}的前n项和Tn.
解:(1)设等差数列{an}的公差为d,
又2a2+a4=13,S7=49,
所以
解得a1=1,d=2,
所以{an}的通项公式an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1.
(2)由(1)知bn=an+=2n-1+22n-1,
所以Tn=b1+b2+b3+…+bn=(1+2)+(3+23)+(5+25)+…+(2n-1+22n-1)=
(1+3+5+…+2n-1)+(2+23+25+…+22n-1)=+=+n2.
[思维建模]
分组法求数列的前n项和的方法技巧
如果一个数列是等差数列与等比数列的代数和,求其前n项和需要先分组再利用公式求和.
针对训练
3.设数列{an}的前n项和为Sn,且a1=2,an+1=2+Sn(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足bn=2n-1+a2n,求数列{bn}的前n项和Tn.
解:(1)因为数列{an}的前n项和为Sn,
且a1=2,an+1=2+Sn(n∈N*),
当n=1时,
a2=2+a1=2+2=4,
当n≥2时,
由an+1=2+Sn可得an=2+,
上述两个等式作差可得an+1-an=an,
可得an+1=2an,
又因为a2=2a1,
所以数列{an}为等比数列,
且首项为2,公比为2,
所以an=2×2n-1=2n.
(2)由(1)可得bn=2n-1+a2n=2n-1+4n,
所以Tn=(1+41)+(3+42)+(5+43)+…+[(2n-1)+4n]=[1+3+5+…+(2n-1)]+
(4+42+43+…+4n)=+=n2+.
课时跟踪检测
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√
A级——综合提能
1.我国古代的数学名著《九章算术》中记载:“今有蒲生一日,长三尺,蒲生日自半”.其意为今有蒲草第一日长高3尺,以后蒲草每日长高前一日的半数,则蒲草第5日的高度为( )
A.尺 B.尺
C.尺 D.尺
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解析:由题意,蒲草每日增长的高度成等比数列,等比数列的首项为3,公比为,蒲草第5日的高度为等比数列前5项和,S5==(尺).
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√
2.小李年初向银行贷款M万元用于购房,购房贷款的年利率为P,按复利计算,并从借款后次年年初开始归还,分10次等额还清,每年1次,问每年应还 ( )
A.万元 B.万元
C.万元 D.万元
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解析:设每年应还x万元,
则有x+x(1+P)+x(1+P)2+…+x(1+P)9=M(1+P)10,
得 =M(1+P)10,
解得x=.
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√
3.若数列{an}的通项公式为an=2n+2n-1,则数列{an}的前n项和为 ( )
A.2n+n2-1 B.2n+1+n2-1
C.2n+n-2 D.2n+1+n2-2
解析:由题可知,设数列{an}的前n项和为Sn,
所以Sn=a1+a2+…+an,
即Sn=(2+22+…+2n)+(1+3+…+2n-1),
所以Sn=+,
故Sn=2n+1-2+n2.
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√
4.有一座七层塔,每层所点灯的盏数都是其上面一层的两倍,这座塔一共点381盏灯,则底层所点灯的盏数是 ( )
A.190 B.191 C.192 D.193
解析:设最上面一层有x盏,
则第二层有2x盏,第三层有4x盏,第四层有8x盏,…,第七层有26x盏(层数从上面数).
由题意知x+2x+4x+8x+…+26x=x(1+2+22+23+…+26)==127x=381,
∴x=3.
故底层的盏数为26×3=192.
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√
5.某种细胞开始时有2个,1小时后分裂成4个并死去1个,2小时后分裂成6个并死去1个,3小时后分裂成10个并死去1个……按照此规律,6小时后细胞存活个数是 ( )
A.33 B.64
C.65 D.127
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解析:将开始时的细胞个数记为a1=2,
1小时后的细胞个数记为a2=3,
2小时后的细胞个数记为a3=5,
3小时后的细胞个数记为a4=9,…,
由题意可得a1=2,
当n≥2时,
an=2an-1-1,
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则an-1=2(an-1-1),
所以数列{an-1}是以2为公比,1为首项的等比数列,
所以an-1=2n-1,
所以an=2n-1+1,
所以6小时后细胞存活个数为a7=26+1=65.
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2
6.某慢性疾病患者,因病到医院就医,医生给他开了处方药(片剂),要求此患者每天早、晩间隔12小时各服一次药,每次一片,每片200毫克.假设该患者的肾脏每12小时从体内大约排出这种药在其体内残留量的50%,并且医生认为这种药在体内的残留量不超过400毫克时无明显副作用.若该患者第一天上午8点第一次服药,则第二天上午8点服完药时,药在其体内的残留量是 毫克,若该患者坚持长期服用此药 明显副作用(此空填“有”或“无”).
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350
无
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解析:由题意可设第n次服药后,其体内的残留量为an,
则a1=200,a2=200+a1×(1-50%)=200×1.5=300,a3=200+a2×(1-50%)=
200+200×1.5×0.5=350,
故第二天早上他第三次服药后,药在他体内的残留量为350毫克;
该患者若长期服用此药,
则此药在体内残留量为=400(1-0.5n),
∵0.5n>0,
则400(1-0.5n)<400,
∴长期服用此药无明显副作用.
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7.已知数列{an}中,an=2n-1+,求数列{an}的前n项和Sn.
解:因为an=2n-1+,
则Sn=+++…+=(1+3+5+…+2n-1)+
=+=n2+.
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8.已知数列{an}为等比数列,a2=2,a5=16,bn=log2an,cn=an+bn.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)求数列{cn}的前n项和Sn.
解:(1)设数列{an}的公比为q,
则q3===8,
所以q=2,
所以an=a2·qn-2=2·2n-2=2n-1,
所以bn=log2an=log22n-1=n-1.
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(2)cn=an+bn=2n-1+n-1,
所以Sn=20+0+21+1+22+2+…+2n-1+n-1=(20+21+22+…+2n-1)+(0+1+2+…+n-1)=
+=2n-1+n(n-1).
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B级——应用创新
9.“杨辉三角”是数学史上的一个伟大成就.在如图所示的“杨辉三角”中,去掉所有的数字1,余下的数逐行从左到右排列,得到数列{an}为2,3,3,4,6,4,5,10,…,则数列{an}的前10项和为 ;若am=10,m∈N*,则m的最大值为 .
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解析:由于n次二项式系数对应“杨辉三角”的第n+1行,例如(x+1)2=x2+2x+1,系数分别为1,2,1,对应“杨辉三角”的第三行.
令x=1,就可以求出该行的系数和,第1行为20,第2行为21,第3行为22,以此类推即每一行数字和为首项为1,公比为2的等比数列的和,
则“杨辉三角”的前n行之和为Sn==2n-1,
若去除所有1的项,
则剩下的每一行数字的个数为1,2,3,4,…,
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可以看成一个首项为1,公差为1的等差数列{bn},
则{bn}的前n项和Tn=,
可得当n=4时,T4=10,
则数列{an}的前10项和为S6-(2×5+1)=26-12=52;根据“杨辉三角”的分布规律,最后出现am=10的位置应为去掉所有1的项的第9行的最后一项,
所以T9==45.
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10.数列1,(1+2),(1+2+22),(1+2+22+23),…,(1+2+…+2n-1),…的前n项和为 .
解析:观察数列得到an=1+2+…+2n-1==2n-1,
所以前n项和Sn=a1+a2+…+an=21-1+22-1+…+2n-1=21+22+…+2n-n=-n=2n+1-2-n.
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2n+1-2-n
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11.某地牧场牧草深受病害困扰,某科研团队研制了治疗牧草病害的新药,为探究新药的效果,进行了如下的喷洒试验:隔离选取1 000平方米牧草,在第一次喷药前测得其中800平方米为正常牧草,200平方米为受害牧草,每三天给受害牧草喷药一次.试验的结论为每次喷药前的受害牧草有80%的面积会在下一次喷药前变为正常牧草,每次喷药前的正常牧草有t%(0(1)求使得a2≥900成立的t的最大整数值;
(2)证明:在t取(1)中最大整数值的情况下,如果试验一直持续,正常牧草的面积不可能超过920平方米.
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解:(1)由题意,在第一次喷药前,正常牧草面积a1=800平方米.
每一次喷药后,正常牧草面积与喷药前正常牧草面积的关系为an+1=(1 000-an)×80%+an×(1-t%)=800+an ①.
所以a2=800+×800=960-8t.
要使得a2≥900成立,
即要使得960-8t≥900成立,
解得t≤7.5.
所以使得a2≥900成立的t的最大整数值为7.
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(2)证明:由题设得t=7,代入①式可得
an+1=0.13an+800 ②.
用待定系数法,设实数λ满足
an+1+λ=0.13(an+λ) ③.
由③-②可得-0.87λ=800,λ=-,
则数列{an+λ}是公比为0.13的等比数列,通项公式为an+λ=(a1+λ)×0.13n-1.
即an=(a1+λ)×0.13n-1-λ,
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又因为a1+λ=800-<800-=0,
故an<-λ.
又因为87×920=80 040>80 000,
所以an<-λ=<=920,
即无论n取多少,正常牧草的面积an不可能超过920平方米.
5课时跟踪检测(十三) 等比数列的前n项和的应用
A级——综合提能
1.我国古代的数学名著《九章算术》中记载:“今有蒲生一日,长三尺,蒲生日自半”.其意为今有蒲草第一日长高3尺,以后蒲草每日长高前一日的半数,则蒲草第5日的高度为 ( )
A.尺 B.尺
C.尺 D.尺
2.小李年初向银行贷款M万元用于购房,购房贷款的年利率为P,按复利计算,并从借款后次年年初开始归还,分10次等额还清,每年1次,问每年应还 ( )
A.万元 B.万元
C.万元 D.万元
3.若数列{an}的通项公式为an=2n+2n-1,则数列{an}的前n项和为 ( )
A.2n+n2-1 B.2n+1+n2-1
C.2n+n-2 D.2n+1+n2-2
4.有一座七层塔,每层所点灯的盏数都是其上面一层的两倍,这座塔一共点381盏灯,则底层所点灯的盏数是 ( )
A.190 B.191
C.192 D.193
5.某种细胞开始时有2个,1小时后分裂成4个并死去1个,2小时后分裂成6个并死去1个,3小时后分裂成10个并死去1个……按照此规律,6小时后细胞存活个数是 ( )
A.33 B.64
C.65 D.127
6.某慢性疾病患者,因病到医院就医,医生给他开了处方药(片剂),要求此患者每天早、晩间隔12小时各服一次药,每次一片,每片200毫克.假设该患者的肾脏每12小时从体内大约排出这种药在其体内残留量的50%,并且医生认为这种药在体内的残留量不超过400毫克时无明显副作用.若该患者第一天上午8点第一次服药,则第二天上午8点服完药时,药在其体内的残留量是 毫克,若该患者坚持长期服用此药 明显副作用(此空填“有”或“无”).
7.已知数列{an}中,an=2n-1+,求数列{an}的前n项和Sn.
8.已知数列{an}为等比数列,a2=2,a5=16,bn=log2an,cn=an+bn.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)求数列{cn}的前n项和Sn.
B级——应用创新
9.“杨辉三角”是数学史上的一个伟大成就.在如图所示的“杨辉三角”中,去掉所有的数字1,余下的数逐行从左到右排列,得到数列{an}为2,3,3,4,6,4,5,10,…,则数列{an}的前10项和为 ;若am=10,m∈N*,则m的最大值为 .
10.数列1,(1+2),(1+2+22),(1+2+22+23),…,(1+2+…+2n-1),…的前n项和为 .
11.某地牧场牧草深受病害困扰,某科研团队研制了治疗牧草病害的新药,为探究新药的效果,进行了如下的喷洒试验:隔离选取1 000平方米牧草,在第一次喷药前测得其中800平方米为正常牧草,200平方米为受害牧草,每三天给受害牧草喷药一次.试验的结论为每次喷药前的受害牧草有80%的面积会在下一次喷药前变为正常牧草,每次喷药前的正常牧草有t%(0(1)求使得a2≥900成立的t的最大整数值;
(2)证明:在t取(1)中最大整数值的情况下,如果试验一直持续,正常牧草的面积不可能超过920平方米.
课时跟踪检测(十三)
1.选D 由题意,蒲草每日增长的高度成等比数列,等比数列的首项为3,公比为,蒲草第5日的高度为等比数列前5项和,S5==(尺).
2.选B 设每年应还x万元,则有x+x(1+P)+x(1+P)2+…+x(1+P)9=M(1+P)10,得 =M(1+P)10,解得x=.
3.选D 由题可知,设数列{an}的前n项和为Sn,所以Sn=a1+a2+…+an,即Sn=(2+22+…+2n)+(1+3+…+2n-1),所以Sn=+,故Sn=2n+1-2+n2.
4.选C 设最上面一层有x盏,则第二层有2x盏,第三层有4x盏,第四层有8x盏,…,第七层有26x盏(层数从上面数).由题意知x+2x+4x+8x+…+26x=x(1+2+22+23+…+26)==127x=381,∴x=3.故底层的盏数为26×3=192.
5.选C 将开始时的细胞个数记为a1=2,1小时后的细胞个数记为a2=3,2小时后的细胞个数记为a3=5,3小时后的细胞个数记为a4=9,…,由题意可得a1=2,当n≥2时,an=2an-1-1,则an-1=2(an-1-1),所以数列{an-1}是以2为公比,1为首项的等比数列,所以an-1=2n-1,所以an=2n-1+1,所以6小时后细胞存活个数为a7=26+1=65.
6.解析:由题意可设第n次服药后,其体内的残留量为an,则a1=200,a2=200+a1×(1-50%)=200×1.5=300,a3=200+a2×(1-50%)=200+200×1.5×0.5=350,故第二天早上他第三次服药后,药在他体内的残留量为350毫克;该患者若长期服用此药,则此药在体内残留量为=400(1-0.5n),
∵0.5n>0,则400(1-0.5n)<400,
∴长期服用此药无明显副作用.
答案:350 无
7.解:因为an=2n-1+,
则Sn=+++…+=(1+3+5+…+2n-1)+=+=n2+.
8.解:(1)设数列{an}的公比为q,则q3===8,所以q=2,
所以an=a2·qn-2=2·2n-2=2n-1,
所以bn=log2an=log22n-1=n-1.
(2)cn=an+bn=2n-1+n-1,所以Sn=20+0+21+1+22+2+…+2n-1+n-1=(20+21+22+…+2n-1)+(0+1+2+…+n-1)=+=2n-1+n(n-1).
9.解析:由于n次二项式系数对应“杨辉三角”的第n+1行,例如(x+1)2=x2+2x+1,系数分别为1,2,1,对应“杨辉三角”的第三行.令x=1,就可以求出该行的系数和,第1行为20,第2行为21,第3行为22,以此类推即每一行数字和为首项为1,公比为2的等比数列的和,则“杨辉三角”的前n行之和为Sn==2n-1,若去除所有1的项,则剩下的每一行数字的个数为1,2,3,4,…,可以看成一个首项为1,公差为1的等差数列{bn},则{bn}的前n项和Tn=,可得当n=4时,T4=10,则数列{an}的前10项和为S6-(2×5+1)=26-12=52;根据“杨辉三角”的分布规律,最后出现am=10的位置应为去掉所有1的项的第9行的最后一项,所以T9==45.
答案:52 45
10.解析:观察数列得到an=1+2+…+2n-1==2n-1,所以前n项和Sn=a1+a2+…+an=21-1+22-1+…+2n-1=21+22+…+2n-n=-n=2n+1-2-n.
答案:2n+1-2-n
11.解:(1)由题意,在第一次喷药前,正常牧草面积a1=800平方米.
每一次喷药后,正常牧草面积与喷药前正常牧草面积的关系为an+1=(1 000-an)×80%+an×(1-t%)=800+an ①.
所以a2=800+×800=960-8t.
要使得a2≥900成立,即要使得960-8t≥900成立,解得t≤7.5.
所以使得a2≥900成立的t的最大整数值为7.
(2)证明:由题设得t=7,代入①式可得
an+1=0.13an+800 ②.
用待定系数法,设实数λ满足
an+1+λ=0.13(an+λ) ③.
由③-②可得-0.87λ=800,λ=-,
则数列{an+λ}是公比为0.13的等比数列,通项公式为an+λ=(a1+λ)×0.13n-1.
即an=(a1+λ)×0.13n-1-λ,又因为a1+λ=800-<800-=0,故an<-λ.
又因为87×920=80 040>80 000,
所以an<-λ=<=920,
即无论n取多少,正常牧草的面积an不可能超过920平方米.
