5.1.1 变化率问题(概念课逐点理清式教学)
课时目标
1.通过实例分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,体会平均变化率与瞬时变化率的物理意义.
2.理解割线的斜率与切线的斜率之间的关系,初步体会极限思想.
逐点清(一) 平均速度
[多维度理解]
定义 我们把位移s看成关于时间t的函数s=s(t),则物体在时间段[t1,t2]上的平均速度=
物理 意义 物体在某一时段内的平均速度的大小反映了物体运动的
微点助解
把速度v看成关于时间t的函数v=v(t),则物体在时间段[t1,t2]上的平均加速度=.
[细微点练明]
1.某物体运动t s后,其位移(单位:m)为y=t2+2t.在2≤t≤4这段时间里,该物体的平均速度为 ( )
A.5 m/s B.6 m/s
C.8 m/s D.10 m/s
2.一质点按运动方程s(t)=作直线运动,则其从t1=1到t2=2的平均速度为 ( )
A.-1 B.-
C.- D.-
3.某汽车在平直的公路上向前行驶,其行驶的路程y与时间t的函数图象如图.记该车在时间段[t1,t2],[t2,t3],[t3,t4],[t1,t4]上的平均速度的大小分别为,,,,则平均速度最小的是 ( )
A. B.
C. D.
4.某物体运动的位移s与时间t之间的函数关系式为s(t)=sin t,t∈.
(1)分别求s(t)在区间和上的平均速度;
(2)比较(1)中两个平均速度的大小,说明其几何意义.
逐点清(二) 瞬时速度
[多维度理解]
(1)物体在 的速度称为瞬时速度.
(2)从物理角度看,当时间间隔|Δt|无限趋近于0时,平均速度就无限趋近于t=t0时的瞬时速度.
(3)设物体运动的位移与时间的函数关系为s=s(t),则物体在t0时刻的瞬时速度为v= .
微点助解
(1)“Δt→0”读作“Δt无限趋近于0”,是指时间间隔越来越短,能越过任意小的时间间隔,即|Δt|要多小就有多小,其含义是可以小于任何预先给定的正数,但Δt始终不能为零.
(2)当Δt→0,比值趋近于一个确定的常数时,此常数才称为物体在t=t0时的瞬时速度.
(3)“lim”意为极限,=l表示当Δt→0时,以常数l为极限.
[细微点练明]
1.一质点做直线运动,其位移s与时间t的关系为s=t2+2t,设其在t∈[2,3]内的平均速度为v1,在t=3时的瞬时速度为v2,则= ( )
A. B.
C. D.
2.物体位移s和时间t满足函数关系s=100t-5t2(03.枪弹在枪筒中可以看作匀加速直线运动,如果它的加速度是a=5×105 m/s2,枪弹从枪口射出时所用的时间为1.6×10-3 s,求枪弹射出枪口时的瞬时速度.
逐点清(三) 抛物线在某点处的割线、切线斜率
1.曲线的切线
设P0是曲线上的一定点,P是曲线上的动点,当点P无限趋近于点P0时,割线P0P无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线P0T称为曲线在点P0处的切线.
2.曲线切线的斜率
设P0(x0,y0)是曲线y=f(x)上一点,则曲线y=f(x)在点P0(x0,y0)处的切线的斜率k0= .
3.切线的斜率与割线的斜率的关系
从几何图形上看,当横坐标间隔|Δx|无限变小时,点P无限趋近于点P0,于是割线PP0无限趋近于点P0处的切线P0T,这时,割线PP0的斜率k无限趋近于点P0处的切线P0T的斜率k0.
[典例] 求抛物线f(x)=x2-x在点(2,2)处的切线方程.
听课记录:
[变式拓展]
求抛物线f(x)=x2-x在x=1处切线的倾斜角.
[思维建模]
解答此类问题,一般是根据曲线的割线与切线的关系,先求出割线的斜率,再令Δx→0,求得曲线在该点处的切线的斜率.
[针对训练]
1.已知曲线f(x)=2x2+1在点M(x0,y0)处的切线斜率为-8,则点M的坐标为 .
2.求曲线y=在点A处的切线的斜率,并写出切线方程.
5.1.1 变化率问题
[逐点清(一)]
[多维度理解] 快慢
[细微点练明]
1.选A 当t=2时,位移为×22+2×2=6,当t=4时,位移为×42+2×4=16,所以在2≤t≤4这段时间里,该物体的平均速度为=5 m/s.
2.选D 从t1=1到t2=2的平均速度为=-=-.
3.
选C 设路程y与时间t的函数关系为y=f(t),则=,即为经过点(t1,f(t1)),(t2,f(t2))的直线的斜率k1,同理为经过点(t2,f(t2)),(t3,f(t3))的直线的斜率k2,为经过点(t3,f(t3)),(t4,f(t4))的直线的斜率k3,为经过点(t1,f(t1)),(t4,f(t4))的直线的斜率k4,如图,由图可知,k3最小,即最小.
4.解:(1)物体在区间上的平均速度为===,物体在区间上的平均速度为===.
(2)由(1)可知-=>0,所以<.
作出函数s(t)=sin t在上的图象,如图所示,可以发现,s(t)=sin t在上随着t的增大,函数值s(t)变化得越来越慢.
[逐点清(二)]
[多维度理解] (1)某一时刻 (3)
[细微点练明]
1.选B 根据平均速度定义可知,在t∈[2,3]内的平均速度为v1===7.
在t=3时的瞬时速度为
v2==(8+Δt)=8.
所以=.
2.解析:因为==100-10t-5Δt.所以该物体在t=2时的瞬时速度为=(100-10t-5Δt)=80.
答案:80
3.解:枪弹在枪筒中的运动方程为s=at2,因为Δs=a(t0+Δt)2-a=at0Δt+a(Δt)2,所以=at0+aΔt,所以=at0.由题意知,a=5×105 m/s2,t0=1.6×10-3 s,所以at0=8×102=800(m/s),即枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.
[逐点清(三)]
2.
[典例] 解:因为==3+Δx.
所以切线的斜率k==(3+Δx)=3.则切线方程为y-2=3(x-2),
即3x-y-4=0.
[变式拓展]
解:因为==Δx+1,所以切线斜率k=(Δx+1)=1.
故抛物线在x=1处切线的倾斜角为45°.
[针对训练]
1.解析:由题意知=(4x0+2Δx)=4x0=-8,则x0=-2,故点M的坐标为(-2,9).
答案:(-2,9)
2.解:设y=f(x)=,∵Δy=f-f=-2=,∴=,∴切线的斜率k==-4,∴切线方程为y-2=-4,即4x+y-4=0.(共55张PPT)
5.1.1
变化率问题
(概念课——逐点理清式教学)
课时目标
1.通过实例分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,体会平均变化率与瞬时变化率的物理意义.
2.理解割线的斜率与切线的斜率之间的关系,初步体会极限思想.
CONTENTS
目录
1
2
3
逐点清(一) 平均速度
逐点清(二) 瞬时速度
逐点清(三) 抛物线在某点处的割线、
切线斜率
4
课时跟踪检测
逐点清(一) 平均速度
01
多维度理解
定义
物理意义 物体在某一时段内的平均速度的大小反映了物体运动的______
快慢
微点助解
把速度v看成关于时间t的函数v=v(t),则物体在时间段[t1,t2]上的平均加速度=.
细微点练明
√
1.某物体运动t s后,其位移(单位:m)为y=t2+2t.在2≤t≤4这段时间里,该物体的平均速度为( )
A.5 m/s B.6 m/s
C.8 m/s D.10 m/s
解析:当t=2时,
位移为×22+2×2=6,
当t=4时,
位移为×42+2×4=16,
所以在2≤t≤4这段时间里,该物体的平均速度为=5 m/s.
√
2.一质点按运动方程s(t)=作直线运动,则其从t1=1到t2=2的平均速度为( )
A.-1 B.-
C.- D.-
解析:从t1=1到t2=2的平均速度为=-=-.
3.某汽车在平直的公路上向前行驶,其行驶的路程y与时间t的函数图象如图.记该车在时间段[t1,t2],[t2,t3],[t3,t4],[t1,t4]上的平均速度的大小分别为,,,,则平均速度最小的是( )
A. B.
C. D.
√
解析:设路程y与时间t的函数关系为y=f(t),
则=,
即为经过点(t1,f(t1)),(t2,f(t2))的直线的斜率k1,同理为经过点(t2,f(t2)),(t3,f(t3))的直线的斜率k2,为经过点(t3,f(t3)),(t4,f(t4))的直线的斜率k3,为经过点(t1,f(t1)),(t4,f(t4))的直线的斜率k4,如图,由图可知,k3最小,即最小.
4.某物体运动的位移s与时间t之间的函数关系式为s(t)=sin t,t∈.
(1)分别求s(t)在区间和上的平均速度;
(2)比较(1)中两个平均速度的大小,说明其几何意义.
解:(1)物体在区间上的平均速度为===,
物体在区间上的平均速度为===.
(2)由(1)可知-=>0,
所以<.
作出函数s(t)=sin t在上的图象,
如图所示,可以发现,s(t)=sin t在上随着t的增大,函数值s(t)变化得越来越慢.
逐点清(二) 瞬时速度
02
多维度理解
(1)物体在__________的速度称为瞬时速度.
(2)从物理角度看,当时间间隔|Δt|无限趋近于0时,平均速度就无限趋近于t=t0时的瞬时速度.
(3)设物体运动的位移与时间的函数关系为s=s(t),则物体在t0时刻的瞬时速度为v=________________________.
某一时刻
微点助解
(1)“Δt→0”读作“Δt无限趋近于0”,是指时间间隔越来越短,能越过任意小的时间间隔,即|Δt|要多小就有多小,其含义是可以小于任何预先给定的正数,但Δt始终不能为零.
(2)当Δt→0,比值趋近于一个确定的常数时,此常数才称为物体在t=t0时的瞬时速度.
(3)“lim”意为极限,=l表示当Δt→0时,以常数l为极限.
细微点练明
√
1.一质点做直线运动,其位移s与时间t的关系为s=t2+2t,设其在t∈[2,3]内的平均速度为v1,在t=3时的瞬时速度为v2,则=( )
A. B.
C. D.
解析:根据平均速度定义可知,在t∈[2,3]内的平均速度为v1===7.
在t=3时的瞬时速度为
v2=
=(8+Δt)=8.
所以=.
2.物体位移s和时间t满足函数关系s=100t-5t2(0物体的瞬时速度为 .
解析:因为==100-10t-5Δt.
所以该物体在t=2时的瞬时速度为=(100-10t-5Δt)=80.
80
3.枪弹在枪筒中可以看作匀加速直线运动,如果它的加速度是a=5×
105 m/s2,枪弹从枪口射出时所用的时间为1.6×10-3 s,求枪弹射出枪口时的瞬时速度.
解:枪弹在枪筒中的运动方程为s=at2,
因为Δs=a(t0+Δt)2-a=at0Δt+a(Δt)2,
所以=at0+aΔt,
所以=at0.
由题意知,a=5×105 m/s2,t0=1.6×10-3 s,
所以at0=8×102=800(m/s),
即枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.
逐点清(三) 抛物线在某点处
的割线、切线斜率
03
1.曲线的切线
设P0是曲线上的一定点,P是曲线上的动点,当点P无限趋近于点P0时,割线P0P无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线P0T称为曲线在点P0处的切线.
2.曲线切线的斜率
设P0(x0,y0)是曲线y=f(x)上一点,则曲线y=f(x)在点P0(x0,y0)处的切线的斜率k0=______________________
.
3.切线的斜率与割线的斜率的关系
从几何图形上看,当横坐标间隔|Δx|无限变小时,点P无限趋近于点P0,于是割线PP0无限趋近于点P0处的切线P0T,这时,割线PP0的斜率k无限趋近于点P0处的切线P0T的斜率k0.
[典例] 求抛物线f(x)=x2-x在点(2,2)处的切线方程.
解:因为
==3+Δx.
所以切线的斜率k==(3+Δx)=3.
则切线方程为y-2=3(x-2),
即3x-y-4=0.
[变式拓展]
求抛物线f(x)=x2-x在x=1处切线的倾斜角.
解:因为==Δx+1,
所以切线斜率k=(Δx+1)=1.
故抛物线在x=1处切线的倾斜角为45°.
[思维建模]
解答此类问题,一般是根据曲线的割线与切线的关系,先求出割线的斜率,再令Δx→0,求得曲线在该点处的切线的斜率.
针对训练
1.已知曲线f(x)=2x2+1在点M(x0,y0)处的切线斜率为-8,则点M的坐标为 .
解析:由题意知=(4x0+2Δx)=4x0=-8,
则x0=-2,
故点M的坐标为(-2,9).
(-2,9)
2.求曲线y=在点A处的切线的斜率,并写出切线方程.
解:设y=f(x)=,
∵Δy=f-f=-2=,
∴=,
∴切线的斜率k==-4,
∴切线方程为y-2=-4,
即4x+y-4=0.
课时跟踪检测
04
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2
√
1.已知某质点运动的方程是s=2+,当t由1变到2时,其位移的增量Δs等于
( )
A. B.-
C.1 D.-1
解析:Δs=-(2+1)=-.
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√
2.已知抛物线y=3x-x2在x0=2处的增量为Δx=0.1,则的值为( )
A.-0.11 B.-1.1
C.3.89 D.0.29
解析:令y=f(x)=3x-x2.
∵Δy=f(2+0.1)-f(2)=(3×2.1-2.12)-(3×2-22)=-0.11,
∴==-1.1.
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√
3.已知物体做自由落体的运动方程为s=gt2,且Δt无限趋近于0时,
无限趋近于9.8 m/s.那么关于9.8 m/s正确的说法是( )
A.物体在0~1 s这一段时间内的速度
B.物体在1~(1+Δt)s这一段时间内的速度
C.物体在1 s这一时刻的速度
D.物体从1 s到(1+Δt)s这一段时间内的平均速度
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解析:由平均速度的概念,表示的是1~(1+Δt)s这一段时间内的平均速度,其极限值即=9.8 m/s,表示在t=1 s这一时刻的瞬时速度.
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4.一物体做直线运动,其位移y(单位:m)与时间t(单位:s)的关系是y=-t2+9t,则该物体在t=3 s时的瞬时速度为 ( )
A.3 m/s B.6 m/s
C.12 m/s D.16 m/s
解析:因为Δy=-(3+Δt)2+9(3+Δt)-(-9+27)=-9-(Δt)2-6Δt+27+9Δt+9-27=
-(Δt)2+3Δt,
所以==-Δt+3,
所以=3.
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√
5.一个物体做直线运动,位移s(单位:m)与时间t(单位:s)之间的函数关系为s(t)=6t2+mt,且这一物体在1≤t≤2这段时间内的平均速度为20 m/s,则实数m的值为 ( )
A.2 B.1 C.-1 D.-2
解析:Δs=s(2)-s(1)=6×22+2m-(6×12+m)=18+m,Δt=2-1=1,
因为物体在1≤t≤2这段时间内的平均速度为20 m/s,
所以===18+m=20 m/s,
解得m=2.
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6.已知曲线y=2x2上一点A(2,8),则在点A处的切线斜率为 ( )
A.4 B.16
C.8 D.2
解析:k==8.
√
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7.物体甲、乙在时间0到t1范围内,路程的变化情况如图所示,下列说法正确的是 ( )
√
5
A.在0到t0范围内,甲的平均速度大于乙的平均速度
B.在0到t0范围内,甲的平均速度小于乙的平均速度
C.在t0到t1范围内,甲的平均速度大于乙的平均速度
D.在t0到t1范围内,甲的平均速度小于乙的平均速度
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解析:在0到t0范围内,甲、乙的平均速度都为,故A、B错误;
在t0到t1范围内,甲的平均速度为,乙的平均速度为,
因为s2-s0>s1-s0,t1-t0>0,
所以>,
则在t0到t1范围内,甲的平均速度大于乙的平均速度,故C正确,D错误.
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8.[多选]某物体的运动路程s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系可用函数s(t)=t2+t+1表示,则 ( )
A.物体在t=1 s时的瞬时速度为0 m/s
B.物体在t=0 s时的瞬时速度为1 m/s
C.瞬时速度为9 m/s的时刻是在t=4 s时
D.物体从0 s到1 s的平均速度为2 m/s
√
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√
√
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解析对于A,==(3+Δt)=3,
即物体在t=1 s时的瞬时速度为3 m/s,A错误;
对于B,==(1+Δt)=1,
即物体在t=0 s时的瞬时速度为1 m/s,B正确;
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对于C,设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s,
则=(2t0+1+Δt)=2t0+1=9,
所以t0=4,物体在t=4 s时的瞬时速度为9 m/s,C正确;
对于D,==2(m/s),D正确.
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9.已知一列火车在启动后做匀加速直线运动,火车行驶的距离s(单位:km)与经过的时间t(单位:s)(0≤s≤10)满足的函数关系为s(t)=(1.5t-1),则火车在1≤t≤2这段时间中的平均速度是 km/s.
解析:在1≤t≤2这段时间,火车行驶的距离增加了s(2)-s(1)=0.075(km),
火车在这段时间中的平均速度==0.075(km/s).
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0.075
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10.若一个物体的运动规律如下(位移s的单位:m,时间t的单位:s):
s(t)=则此物体在t=1和t=3时的瞬时速度分别为 , .
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6 m/s
0 m/s
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解析:∵物体在t=1附近的平均速度为===
6+3Δt,
∴当Δt趋近于0时,趋近于6,
∴物体在t=1时的瞬时速度为6 m/s.
∵物体在t=3附近的平均速度为==3Δt,
∴当Δt趋近于0时,趋近于0,
∴物体在t=3时的瞬时速度为0 m/s.
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11.若抛物线f(x)=4x2在点(x0,f(x0))处切线的斜率为8,则x0= .
解析:k= = (4Δx+8x0)=8x0=8,
解得x0=1.
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12.过曲线y=f(x)=图象上一点(2,-2)及邻近一点(2+Δx,-2+Δy)作割线,则当Δx=0.5时割线的斜率为 ,在点(2,-2)处的切线斜率为 .
解析:割线的斜率k====2=.
====1,故切线斜率为1.
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13.若一物体运动方程如下:(位移单位:m,时间单位:s)
s=f(t)=
求:(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度;
(2)物体的初速度v0;
(3)物体在t=1时的瞬时速度.
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2
解:(1)∵物体在t∈[3,5]内的时间变化量为Δt=5-3=2,
物体在t∈[3,5]内的位移变化量为Δs=3×52+2-(3×32+2)=3×(52-32)=48,
∴===24(m/s),
∴物体在t∈[3,5]内的平均速度为24 m/s.
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2
(2)求物体的初速度v0,即求物体在t=0时的瞬时速度.
∵
=
=3Δt-18,
∴物体的初速度v0= (3Δt-18)=-18(m/s).
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(3)∵
=
=3Δt-12,
∴物体在t=1时的瞬时速度为 (3Δt-12)=-12(m/s).
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14.曲线f(x)=x2上哪一点处的切线满足下列条件
(1)平行于直线y=4x-5;
(2)垂直于直线2x-6y+5=0;
(3)倾斜角为135°.
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2
解:设P(x0,y0)是满足条件的点,曲线f(x)=x2在点P(x0,y0)处切线的斜率为
k== (2x0+Δx)=2x0.
(1)∵切线与直线y=4x-5平行,
∴2x0=4,
得x0=2,y0=4,
即P(2,4)是满足条件的点.
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(2)∵切线与直线2x-6y+5=0垂直,
∴2x0×=-1,
得x0=-,y0=,
即P是满足条件的点.
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(3)∵切线的倾斜角为135°,
∴其斜率为-1,
即2x0=-1,
得x0=-,y0=,
即P是满足条件的点.
5课时跟踪检测(十六) 变化率问题
1.已知某质点运动的方程是s=2+,当t由1变到2时,其位移的增量Δs等于 ( )
A. B.-
C.1 D.-1
2.已知抛物线y=3x-x2在x0=2处的增量为Δx=0.1,则的值为 ( )
A.-0.11 B.-1.1
C.3.89 D.0.29
3.已知物体做自由落体的运动方程为s=gt2,且Δt无限趋近于0时,无限趋近于9.8 m/s.那么关于9.8 m/s正确的说法是 ( )
A.物体在0~1 s这一段时间内的速度
B.物体在1~(1+Δt)s这一段时间内的速度
C.物体在1 s这一时刻的速度
D.物体从1 s到(1+Δt)s这一段时间内的平均速度
4.一物体做直线运动,其位移y(单位:m)与时间t(单位:s)的关系是y=-t2+9t,则该物体在t=3 s时的瞬时速度为 ( )
A.3 m/s B.6 m/s
C.12 m/s D.16 m/s
5.一个物体做直线运动,位移s(单位:m)与时间t(单位:s)之间的函数关系为s(t)=6t2+mt,且这一物体在1≤t≤2这段时间内的平均速度为20 m/s,则实数m的值为 ( )
A.2 B.1
C.-1 D.-2
6.已知曲线y=2x2上一点A(2,8),则在点A处的切线斜率为 ( )
A.4 B.16
C.8 D.2
7.物体甲、乙在时间0到t1范围内,路程的变化情况如图所示,下列说法正确的是 ( )
A.在0到t0范围内,甲的平均速度大于乙的平均速度
B.在0到t0范围内,甲的平均速度小于乙的平均速度
C.在t0到t1范围内,甲的平均速度大于乙的平均速度
D.在t0到t1范围内,甲的平均速度小于乙的平均速度
8.[多选]某物体的运动路程s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系可用函数s(t)=t2+t+1表示,则 ( )
A.物体在t=1 s时的瞬时速度为0 m/s
B.物体在t=0 s时的瞬时速度为1 m/s
C.瞬时速度为9 m/s的时刻是在t=4 s时
D.物体从0 s到1 s的平均速度为2 m/s
9.已知一列火车在启动后做匀加速直线运动,火车行驶的距离s(单位:km)与经过的时间t(单位:s)(0≤s≤10)满足的函数关系为s(t)=(1.5t-1),则火车在1≤t≤2这段时间中的平均速度是 km/s.
10.若一个物体的运动规律如下(位移s的单位:m,时间t的单位:s):s(t)=则此物体在t=1和t=3时的瞬时速度分别为 , .
11.若抛物线f(x)=4x2在点(x0,f(x0))处切线的斜率为8,则x0= .
12.过曲线y=f(x)=图象上一点(2,-2)及邻近一点(2+Δx,-2+Δy)作割线,则当Δx=0.5时割线的斜率为 ,在点(2,-2)处的切线斜率为 .
13.若一物体运动方程如下:(位移单位:m,时间单位:s)
s=f(t)=
求:(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度;
(2)物体的初速度v0;
(3)物体在t=1时的瞬时速度.
14.曲线f(x)=x2上哪一点处的切线满足下列条件
(1)平行于直线y=4x-5;
(2)垂直于直线2x-6y+5=0;
(3)倾斜角为135°.
课时跟踪检测(十六)
1.选B Δs=-(2+1)=-.
2.选B 令y=f(x)=3x-x2.∵Δy=f(2+0.1)-f(2)=(3×2.1-2.12)-(3×2-22)=-0.11,∴==-1.1.
3.选C 由平均速度的概念,表示的是1~(1+Δt)s这一段时间内的平均速度,其极限值即=9.8 m/s,表示在t=1 s这一时刻的瞬时速度.
4.选A 因为Δy=-(3+Δt)2+9(3+Δt)-(-9+27)=-9-(Δt)2-6Δt+27+9Δt+9-27=-(Δt)2+3Δt,所以==-Δt+3,所以=3.
5.选A Δs=s(2)-s(1)=6×22+2m-(6×12+m)=18+m,Δt=2-1=1,因为物体在1≤t≤2这段时间内的平均速度为20 m/s,所以===18+m=20 m/s,解得m=2.
6.选C k==8.
7.选C 在0到t0范围内,甲、乙的平均速度都为,故A、B错误;在t0到t1范围内,甲的平均速度为,乙的平均速度为,因为s2-s0>s1-s0,t1-t0>0,所以>,则在t0到t1范围内,甲的平均速度大于乙的平均速度,故C正确,D错误.
8.选BCD 对于A,
==(3+Δt)=3,即物体在t=1 s时的瞬时速度为3 m/s,A错误;对于B,==(1+Δt)=1,即物体在t=0 s时的瞬时速度为1 m/s,B正确;对于C,设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s,则=(2t0+1+Δt)=2t0+1=9,所以t0=4,物体在t=4 s时的瞬时速度为9 m/s,C正确;对于D,==2(m/s),D正确.
9.解析:在1≤t≤2这段时间,火车行驶的距离增加了s(2)-s(1)=0.075(km),火车在这段时间中的平均速度==0.075(km/s).
答案:0.075
10.解析:∵物体在t=1附近的平均速度为===6+3Δt,∴当Δt趋近于0时,趋近于6,∴物体在t=1时的瞬时速度为6 m/s.∵物体在t=3附近的平均速度为==3Δt,∴当Δt趋近于0时,趋近于0,∴物体在t=3时的瞬时速度为0 m/s.
答案:6 m/s 0 m/s
11.解析:k= = (4Δx+8x0)=8x0=8,解得x0=1.
答案:1
12.解析:割线的斜率k====2=.====1,故切线斜率为1.
答案: 1
13.解:(1)∵物体在t∈[3,5]内的时间变化量为Δt=5-3=2,
物体在t∈[3,5]内的位移变化量为Δs=3×52+2-(3×32+2)=3×(52-32)=48,∴===24(m/s),
∴物体在t∈[3,5]内的平均速度为24 m/s.
(2)求物体的初速度v0,即求物体在t=0时的瞬时速度.
∵
=
=3Δt-18,
∴物体的初速度v0= (3Δt-18)=-18(m/s).
(3)∵
=
=3Δt-12,
∴物体在t=1时的瞬时速度为 (3Δt-12)=-12(m/s).
14.解:设P(x0,y0)是满足条件的点,曲线f(x)=x2在点P(x0,y0)处切线的斜率为k== (2x0+Δx)=2x0.
(1)∵切线与直线y=4x-5平行,
∴2x0=4,得x0=2,y0=4,
即P(2,4)是满足条件的点.
(2)∵切线与直线2x-6y+5=0垂直,
∴2x0×=-1,得x0=-,y0=,
即P是满足条件的点.
(3)∵切线的倾斜角为135°,∴其斜率为-1,即2x0=-1,得x0=-,y0=,即P是满足条件的点.
