5.1.2 导数的概念及其几何意义
第1课时 导数的概念(概念课逐点理清式教学)
课时目标
了解导数概念的实际背景.知道导数是关于瞬时变化率的数学表达,进一步体会导数的内涵与思想.
逐点清(一) 函数的平均变化率
[多维度理解]
对于函数y=f(x),设自变量x从x0变化到x0+Δx,相应地,函数值y就从f(x0)变化到f(x0+Δx).这时,x的变化量为Δx,y的变化量为Δy= .我们把比值,即= 叫做函数y=f(x)从x0到x0+Δx的平均变化率.
微点助解
(1)Δx是自变量的变化量,它可以为正、为负,但不为零;Δy是相应函数值的变化量,它既可以为正,可以为负,也可以等于零.
(2)平均变化率即=的几何意义就是函数y=f(x)图象上的两点(x0,f(x0))与(x0+Δx,f(x0+Δx))所在直线的斜率.
(3)利用平均变化率可以刻画变量平均变化的趋势和快慢程度,但效果是“粗糙、不精确”的,只有当Δx=x2-x1无限趋近于0时,这种量化才由“粗糙”趋近于“精确”.
[细微点练明]
1.设函数y=f(x)=x2-1,当自变量x由1变为1.1时,函数的平均变化率为 ( )
A.2.1 B.1.1
C.2 D.0
2.已知函数y=h(x)=-4.9x2+6.5x+10.
(1)计算从x=1到x=1+Δx的平均变化率,其中Δx的值为①2;②1;③0.1;④0.01.
(2)根据(1)中的计算,当Δx越来越小时,函数h(x)在区间[1,1+Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势
逐点清(二) 导数的定义
[多维度理解]
如果当Δx→0时,平均变化率无限趋近于一个确定的值,即有极限,则称y=f(x)在x=x0处 ,并把这个确定的值叫做y=f(x)在 处的 (也称为瞬时变化率),记作f'(x0)或y',即f'(x0)== .
微点助解
(1)f'(x0)与x0的值有关,不同的x0其导数值一般也不相同;
(2)f'(x0)与Δx的具体取值无关;
(3)瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称;
(4)导数可以描述任何运动变化事物的瞬时变化率;
(5)在导数定义中增量Δx的形式是多种多样的,但不论Δx选择哪一种形式,相应的Δy也必须选择对应的形式,即深刻理解定义,牢固掌握概念形式.
[细微点练明]
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)函数在x0处的导数f'(x0)与x0和Δx都有关. ( )
(2)f'(x0)是函数y=f(x)在x=x0附近的平均变化率. ( )
(3)函数f(x)=0没有导函数. ( )
(4)f'(x0)与[f(x0)]'表示的意义相同. ( )
(5)若f'(x0)=0,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线不存在. ( )
2.设函数y=f(x)在点x0附近有定义,且有f(x0+Δx)-f(x0)=aΔx+b(Δx)2(a,b为常数),则 ( )
A.f'(x)=a B.f'(x)=b
C.f'(x0)=a D.f'(x0)=b
3.已知球的体积V是关于半径r的函数,V(r)=,则r=2时,球的体积的瞬时变化率为 .
4.根据导数的定义,求下列函数的导数:
(1)函数y=x2+3在x=1处的导数;
(2)函数y=在x=2处的导数.
5.已知f(x)在x0处的导数f'(x0)=k,求下列各式的值:
(1);
(2).
逐点清(三) 导数在实际问题中的意义
[典例] 某正方形铁板在0 ℃时,边长为10 cm.当温度在很小的范围内变化时,由于热胀冷缩,铁板的边长也会发生变化,而且已知温度为t ℃时正方形的边长为10(1+at)cm,其中a为常数,设此时正方形的面积为S cm2,且S=f(t),求f'(0)并解释其实际意义.
听课记录:
[思维建模]
导数的物理意义是:函数y=f(x)在x=x0处的导数即为它的瞬时变化率.
[针对训练]
蜥蜴的体温与阳光的照射有关,其关系为T(t)=+15,其中T(t)为体温(单位:℃),t为太阳落山后的时间(单位:min).
(1)从t=0 min到t=10 min,蜥蜴的体温下降了多少
(2)从t=0 min到t=10 min,蜥蜴的体温的平均变化率是多少 它表示什么意义
(3)求T'(5),并说明它的实际意义.
第1课时 导数的概念
[逐点清(一)]
[多维度理解] f(x0+Δx)-f(x0)
[细微点练明]
1.选A ===2.1.
2.解:(1)∵Δy=h(1+Δx)-h(1)=-4.9(Δx)2-3.3Δx,
∴=-4.9Δx-3.3.
①当Δx=2时,=-4.9×2-3.3=-13.1.
②当Δx=1时,=-4.9×1-3.3=-8.2.
③当Δx=0.1时,=-4.9×0.1-3.3=-3.79.
④当Δx=0.01时,=-4.9×0.01-3.3=-3.349.
(2)当Δx越来越小时,函数h(x)在区间[1,1+Δx]上的平均变化率逐渐变大,并接近于-3.3.
[逐点清(二)]
[多维度理解] 可导 x=x0 导数
[细微点练明]
1.(1)× (2)× (3)× (4)× (5)×
2.选C Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=aΔx+b(Δx)2(a,b为常数),=a+bΔx,当Δx趋于0时,a+bΔx趋于a,故f'(x0)=a.
3.解析:∵ΔV=V(2+Δr)-V(2)=-=,∴=[12+6Δr+(Δr)2],当Δr趋于0时,趋于16π.
答案:16π
4.解:(1)因为Δy=[(1+Δx)2+3]-(12+3)=2Δx+(Δx)2,所以==2+Δx.
所以y'|x=1==(2+Δx)=2.
(2)因为Δy=-=-1=-,所以=-.
所以y'|x=2==-=-1.
5.解:(1)∵=f'(x0),
即=f'(x0)=k.
∴=.
(2)∵,
即为函数f(x)在区间[x0-Δx,x0+Δx]上的平均变化率.
∴当Δx→0时,必趋于f'(x0)=k,
∴=k,
∴=2k.
[逐点清(三)]
[典例] 解:依题意可知f(t)=[10(1+at)]2=100(1+at)2.
设t=0时温度的改变量为Δt,
则=
=200a+100a2Δt.
所以f'(0)=(200a+100a2Δt)=200a.
这表示在0 ℃时,铁板面积对温度的瞬时变化率为200a.实际意义是,在0 ℃时,温度的改变量Δt ℃很小时,铁板面积的改变量的近似值为200a cm2.
[针对训练]
解:(1)在t=0 min和t=10 min时,蜥蜴的体温分别为T(0)=+15=39,T(10)=+15=23,又39-23=16,故从t=0 min到t=10 min,蜥蜴的体温下降了16 ℃.
(2)平均变化率为=-=-1.6.
它表示从t=0 min到t=10 min,蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6 ℃.
(3)T'(5)===-1.2,
它表示t=5 min时蜥蜴体温下降的瞬时速度为1.2 ℃/min.(共47张PPT)
5.1.2
导数的概念及其几何意义
第1课时 导数的概念
(概念课——逐点理清式教学)
第1课时
课时目标
了解导数概念的实际背景.知道导数是关于瞬时变化率的数学表达,进一步体会导数的内涵与思想.
CONTENTS
目录
1
2
3
逐点清(一) 函数的平均变化率
逐点清(二) 导数的定义
逐点清(三) 导数在实际问题中的意义
4
课时跟踪检测
逐点清(一) 函数的平均变化率
01
多维度理解
对于函数y=f(x),设自变量x从x0变化到x0+Δx,相应地,函数值y就从f(x0)变化到f(x0+Δx).这时,x的变化量为Δx,y的变化量为Δy=_______________.我们把比值,即=____________________叫做函数y=f(x)从x0到x0+Δx的平均变化率.
f(x0+Δx)-f(x0)
微点助解
(1)Δx是自变量的变化量,它可以为正、为负,但不为零;Δy是相应函数值的变化量,它既可以为正,可以为负,也可以等于零.
(2)平均变化率即=的几何意义就是函数y=f(x)图象上的两点(x0,f(x0))与(x0+Δx,f(x0+Δx))所在直线的斜率.
(3)利用平均变化率可以刻画变量平均变化的趋势和快慢程度,但效果是“粗糙、不精确”的,只有当Δx=x2-x1无限趋近于0时,这种量化才由“粗糙”趋近于“精确”.
细微点练明
√
1.设函数y=f(x)=x2-1,当自变量x由1变为1.1时,函数的平均变化率为 ( )
A.2.1 B.1.1 C.2 D.0
解析:===2.1.
2.已知函数y=h(x)=-4.9x2+6.5x+10.
(1)计算从x=1到x=1+Δx的平均变化率,其中Δx的值为①2;②1;③0.1;④0.01.
(2)根据(1)中的计算,当Δx越来越小时,函数h(x)在区间[1,1+Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势
解:(1)∵Δy=h(1+Δx)-h(1)=-4.9(Δx)2-3.3Δx,∴=-4.9Δx-3.3.
①当Δx=2时,=-4.9×2-3.3=-13.1.
②当Δx=1时,=-4.9×1-3.3=-8.2.
③当Δx=0.1时,=-4.9×0.1-3.3=-3.79.
④当Δx=0.01时,=-4.9×0.01-3.3=-3.349.
(2)当Δx越来越小时,函数h(x)在区间[1,1+Δx]上的平均变化率逐渐变大,并接近于-3.3.
逐点清(二) 导数的定义
02
多维度理解
如果当Δx→0时,平均变化率无限趋近于一个确定的值,即有极限,则称y=f(x)在x=x0处_____,并把这个确定的值叫做y=f(x)在_____处的_____ (也称为瞬时变化率),记作f'(x0)或y',即f'(x0)==
________________________.
可导
x=x0
导数
微点助解
(1)f'(x0)与x0的值有关,不同的x0其导数值一般也不相同;
(2)f'(x0)与Δx的具体取值无关;
(3)瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称;
(4)导数可以描述任何运动变化事物的瞬时变化率;
(5)在导数定义中增量Δx的形式是多种多样的,但不论Δx选择哪一种形式,相应的Δy也必须选择对应的形式,即深刻理解定义,牢固掌握概念形式.
细微点练明
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)函数在x0处的导数f'(x0)与x0和Δx都有关. ( )
(2)f'(x0)是函数y=f(x)在x=x0附近的平均变化率. ( )
(3)函数f(x)=0没有导函数. ( )
(4)f'(x0)与[f(x0)]'表示的意义相同. ( )
(5)若f'(x0)=0,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线不存在. ( )
×
×
×
×
×
2.设函数y=f(x)在点x0附近有定义,且有f(x0+Δx)-f(x0)=aΔx+b(Δx)2
(a,b为常数),则 ( )
A.f'(x)=a B.f'(x)=b
C.f'(x0)=a D.f'(x0)=b
解析:Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=aΔx+b(Δx)2(a,b为常数),=a+bΔx,
当Δx趋于0时,a+bΔx趋于a,
故f'(x0)=a.
√
3.已知球的体积V是关于半径r的函数,V(r)=,则r=2时,球的体积的瞬时变化率为 .
解析:∵ΔV=V(2+Δr)-V(2)=-=,
∴=[12+6Δr+(Δr)2],
当Δr趋于0时,趋于16π.
16π
4.根据导数的定义,求下列函数的导数:
(1)函数y=x2+3在x=1处的导数;
(2)函数y=在x=2处的导数.
解:(1)因为Δy=[(1+Δx)2+3]-(12+3)=2Δx+(Δx)2,
所以==2+Δx.
所以y'|x=1==(2+Δx)=2.
(2)因为Δy=-=-1=-,
所以=-.
所以y'|x=2==-=-1.
5.已知f(x)在x0处的导数f'(x0)=k,求下列各式的值:
(1);
(2).
解:(1)∵=f'(x0),
即=f'(x0)=k.
∴=.
(2)∵,
即为函数f(x)在区间[x0-Δx,x0+Δx]上的平均变化率.
∴当Δx→0时,必趋于f'(x0)=k,
∴=k,
∴=2k.
逐点清(三) 导数在实际问题
中的意义
03
[典例] 某正方形铁板在0 ℃时,边长为10 cm.当温度在很小的范围内变化时,由于热胀冷缩,铁板的边长也会发生变化,而且已知温度为t ℃时正方形的边长为10(1+at)cm,其中a为常数,设此时正方形的面积为S cm2,且S=f(t),求f'(0)并解释其实际意义.
解:依题意可知f(t)=[10(1+at)]2=100(1+at)2.设t=0时温度的改变量为Δt,
则=
=200a+100a2Δt.
所以f'(0)=(200a+100a2Δt)=200a.
这表示在0 ℃时,铁板面积对温度的瞬时变化率为200a.
实际意义是,在0 ℃时,温度的改变量Δt ℃很小时,铁板面积的改变量的近似值为200a cm2.
[思维建模]
导数的物理意义是:函数y=f(x)在x=x0处的导数即为它的瞬时变化率.
针对训练
蜥蜴的体温与阳光的照射有关,其关系为T(t)=+15,其中T(t)为体温(单位:℃),t为太阳落山后的时间(单位:min).
(1)从t=0 min到t=10 min,蜥蜴的体温下降了多少
(2)从t=0 min到t=10 min,蜥蜴的体温的平均变化率是多少 它表示什么意义
(3)求T'(5),并说明它的实际意义.
解:(1)在t=0 min和t=10 min时,蜥蜴的体温分别为T(0)=+15=39,
T(10)=+15=23,
又39-23=16,
故从t=0 min到t=10 min,蜥蜴的体温下降了16 ℃.
(2)平均变化率为=-=-1.6.
它表示从t=0 min到t=10 min,蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6 ℃.
(3)T'(5)===-1.2,
它表示t=5 min时蜥蜴体温下降的瞬时速度为1.2 ℃/min.
课时跟踪检测
04
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√
1.已知物体做直线运动的方程为s=s(t)(位移单位:m,时间单位:s),则s'(4)=10 m/s表示的意义是 ( )
A.经过4 s后物体向前走了10 m
B.物体在前4 s内的平均速度为10 m/s
C.物体在第4 s内向前走了10 m
D.物体在第4 s末的瞬时速度为10 m/s
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√
2.函数y=f(x)=3x+1在点x=2处的瞬时变化率估计是 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
解析:∵Δy=f(2+Δx)-f(2)=3(2+Δx)+1-(3×2+1)=3Δx,
则==3,
∴当Δx趋于0时,趋于3.故选B.
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3.函数f(x)=x+sin x在区间[0,π]上的平均变化率为 ( )
A.1 B.2 C.π D.0
解析:f(x)=x+sin x在区间[0,π]上的平均变化率为=
=1.
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4.已知f(x)=x2-3x,则f'(0)= ( )
A.Δx-3 B.(Δx)2-3Δx
C.-3 D.0
解析:f'(0)===(Δx-3)=-3.
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√
5.[多选]若函数f(x)在x=x0处存在导数,则的值( )
A.与x0有关 B.与h有关
C.与x0无关 D.与h无关
解析:由导数的定义可知,函数f(x)在x=x0处的导数与x0有关,与h无关.
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6.已知f(x)=,且f'(m)=-,则m的值等于( )
A.-4 B.2 C.-2 D.±2
解析:因为==,
当Δx→0时,→-,
所以f'(m)=-,
所以-=-,m2=4,
解得m=±2.
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7.A,B两机关开展节能活动,活动开始后两机关的用电量W1(t),W2(t)与时间t(天)的关系如图所示,则一定有 ( )
5
A.两机关节能效果一样好
B.A机关比B机关节能效果好
C.A机关的用电量在[0,t0]上的平均变化率比B机关的用电量在[0,t0]上的平均变化率大
D.A机关与B机关自节能以来用电量总是一样大
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解析:由题图可知,A,B两机关用电量在[0,t0]上的平均变化率都小于0,
由平均变化率的几何意义知,
A机关用电量在[0,t0]上的平均变化率小于B机关的平均变化率,
从而A机关比B机关节能效果好.
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8.[多选]设f(x)在x0处可导,下列式子中与f'(x0)相等的是 ( )
A.
B.
C.
D.
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√
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解析:对于A,==f'(x0),A满足;
对于B,=2=2f'(x0),B不满足;
对于C,=f'(x0),C满足;
对于D,=3=3f'(x0),D不满足.
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9.若可导函数f(x)的图象过原点,且满足=-1,则f'(0)= .
解析:∵f(x)的图象过原点,
∴f(0)=0,
∴f'(0)== =-1.
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10.函数y=在x=x0(x0≠0)处的导数为 ,在点 处的导数为.
解析:因为Δy=-,==,=
,
所以y'=.
令=,
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得x0=1,
此时y0==1,
即函数y=在点(1,1)处的导数为.
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11.已知f(x)=,则f'(3)= ,若Δx=0.02,利用f(x+Δx)≈f(x)+f'(x)Δx,
可得f(3.02)的近似值为 .
解析:f'(3)=
===9.
若Δx=0.02,
则f(3.02)=f(3+0.02)≈f(3)+f'(3)×0.02=9+9×0.02=9.18,
即f(3.02)的近似值为9.18.
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9.18
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12.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的导数为f'(x),若f'(0)>0,且对于任意实数x,有f(x)≥0,则的最小值为 .
解析:由导数的定义,得f'(0)===
(aΔx+b)=b>0.
又
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∴ac≥,
∴c>0.
∴=≥≥=2.
当且仅当a=c=时等号成立.
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13.服药后,人体血液中药物的质量浓度y(单位:μg/mL)是时间t(单位:min)的函数y=f(t),假设函数y=f(t)在t=10和t=100处的导数分别为f'(10)=1.5和f'(100)=-0.6,试解释它们的实际意义.
解:f'(10)=1.5表示在服药后第10 min附近,血液中药物的质量浓度大约以1.5 μg/(mL·min)的速度上升.
f'(100)=-0.6表示服药后第100 min附近,血液中药物的质量浓度大约以0.6 μg/(mL·min)的速度下降.
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14.已知函数f(x)=求f'(4)·f'(-1)的值.
解:令y=f(x),
当x=4 时,
Δy=-+=-==,
∴=,
∴===,
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∴f'(4)=.
当x=-1 时,
===Δx-2,
由导数的定义,
得f'(-1)=(Δx-2)=-2.
∴ f'(4)·f'(-1)=×(-2)=-.
5课时跟踪检测(十七) 导数的概念
1.已知物体做直线运动的方程为s=s(t)(位移单位:m,时间单位:s),则s'(4)=10 m/s表示的意义是 ( )
A.经过4 s后物体向前走了10 m
B.物体在前4 s内的平均速度为10 m/s
C.物体在第4 s内向前走了10 m
D.物体在第4 s末的瞬时速度为10 m/s
2.函数y=f(x)=3x+1在点x=2处的瞬时变化率估计是 ( )
A.2 B.3
C.4 D.5
3.函数f(x)=x+sin x在区间[0,π]上的平均变化率为 ( )
A.1 B.2
C.π D.0
4.已知f(x)=x2-3x,则f'(0)= ( )
A.Δx-3 B.(Δx)2-3Δx
C.-3 D.0
5.[多选]若函数f(x)在x=x0处存在导数,则的值 ( )
A.与x0有关 B.与h有关
C.与x0无关 D.与h无关
6.已知f(x)=,且f'(m)=-,则m的值等于 ( )
A.-4 B.2
C.-2 D.±2
7.A,B两机关开展节能活动,活动开始后两机关的用电量W1(t),W2(t)与时间t(天)的关系如图所示,则一定有 ( )
A.两机关节能效果一样好
B.A机关比B机关节能效果好
C.A机关的用电量在[0,t0]上的平均变化率比B机关的用电量在[0,t0]上的平均变化率大
D.A机关与B机关自节能以来用电量总是一样大
8.[多选]设f(x)在x0处可导,下列式子中与f'(x0)相等的是 ( )
A.
B.
C.
D.
9.若可导函数f(x)的图象过原点,且满足=-1,则f'(0)= .
10.函数y=在x=x0(x0≠0)处的导数为 ,在点 处的导数为.
11.已知f(x)=,则f'(3)= ,若Δx=0.02,利用f(x+Δx)≈f(x)+f'(x)Δx,可得f(3.02)的近似值为 .
12.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的导数为f'(x),若f'(0)>0,且对于任意实数x,有f(x)≥0,则的最小值为 .
13.服药后,人体血液中药物的质量浓度y(单位:μg/mL)是时间t(单位:min)的函数y=f(t),假设函数y=f(t)在t=10和t=100处的导数分别为f'(10)=1.5和f'(100)=-0.6,试解释它们的实际意义.
14.已知函数f(x)=求f'(4)·f'(-1)的值.
课时跟踪检测(十七)
1.D
2.选B ∵Δy=f(2+Δx)-f(2)=3(2+Δx)+1-(3×2+1)=3Δx,则==3,∴当Δx趋于0时,趋于3.故选B.
3.选A f(x)=x+sin x在区间[0,π]上的平均变化率为==1.
4.选C f'(0)===(Δx-3)=-3.
5.选AD 由导数的定义可知,函数f(x)在x=x0处的导数与x0有关,与h无关.
6.选D 因为==,当Δx→0时,→-,所以f'(m)=-,所以-=-,m2=4,解得m=±2.
7.选B 由题图可知,A,B两机关用电量在[0,t0]上的平均变化率都小于0,由平均变化率的几何意义知,A机关用电量在[0,t0]上的平均变化率小于B机关的平均变化率,从而A机关比B机关节能效果好.
8.选AC 对于A,
==f'(x0),A满足;对于B,=2=2f'(x0),B不满足;对于C,=f'(x0),C满足;对于D,=3=3f'(x0),D不满足.
9.解析:∵f(x)的图象过原点,∴f(0)=0,∴f'(0)== =-1.
答案:-1
10.解析:因为Δy=-,==,=,所以y'=.令=,得x0=1,此时y0==1,即函数y=在点(1,1)处的导数为.
答案: (1,1)
11.解析:f'(3)=
===9.
若Δx=0.02,则f(3.02)=f(3+0.02)≈f(3)+f'(3)×0.02=9+9×0.02=9.18,即f(3.02)的近似值为9.18.
答案:9 9.18
12.解析:由导数的定义,得f'(0)===(aΔx+b)=b>0.又∴ac≥,∴c>0.∴=≥≥=2.当且仅当a=c=时等号成立.
答案:2
13.解:f'(10)=1.5表示在服药后第10 min附近,血液中药物的质量浓度大约以1.5 μg/(mL·min)的速度上升.
f'(100)=-0.6表示服药后第100 min附近,血液中药物的质量浓度大约以0.6 μg/(mL·min)的速度下降.
14.解:令y=f(x),当x=4 时,Δy=-+=-==,∴=,∴===,∴f'(4)=.当x=-1 时,===Δx-2,由导数的定义,得f'(-1)=(Δx-2)=-2.∴ f'(4)·f'(-1)=×(-2)=-.
