第2课时 导数的几何意义(强基课梯度进阶式教学)
(一)导数的几何意义
1.导数的几何意义
函数y=f(x)在x=x0处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的 ,也就是说,曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率是 ,相应地,切线方程为 .
2.导数值的大小与函数变化的快慢关系
(1)若f'(x0)=0,则函数在x=x0处切线斜率k=0;
(2)若f'(x0)>0,则函数在x=x0处切线斜率k>0,函数在x=x0附近单调递增且f'(x0)越大,说明函数图象变化得越快;
(3)若f'(x0)<0,则函数在x=x0处切线斜率k<0,函数在x=x0附近单调递减且|f'(x0)|越大,说明函数图象变化得越快.
微点助解
(1)由导数定义切线具有一般性,初中学过的圆的切线不具有一般性,切线与曲线的交点不一定只有1个.
(2)切线的斜率k只与横坐标x0有关,与Δx无关.
(3)f'(x0)的正负决定增减,|f'(x0)|的大小决定快慢.
[基点训练]
1.已知y=f(x)的图象如图所示,则f'(xA)与f'(xB)的大小关系是 ( )
A.f'(xA)>f'(xB)
B.f'(xA)
C.f'(xA)=f'(xB)
D.不能确定
2.已知函数y=f(x),若f'(x0)>0,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的倾斜角的范围是 .
(二)导函数
从求函数y=f(x)在x=x0处导数的过程可以看到,当x=x0时,f'(x0)是一个唯一确定的数,这样,当x变化时,y=f'(x)就是x的函数,我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y',即f'(x)=y'= .
微点助解
函数f(x)在x=x0处导数f'(x0)与导函数f'(x)之间的区别与联系
区别 (1)f'(x0)是函数f(x)在x=x0处函数值的改变量与自变量的改变量之比的极限,是一个常数,不是变量. (2)f'(x)是函数f(x)的导函数,是对某一区间内任意x而言的,即如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内每点处都有导数,此时对于每一个x∈(a,b),都对应着一个确定的导数f'(x),从而构成了一个新的函数——导函数f'(x)
联系 函数f(x)在x=x0处的导数f'(x0)就是导函数f'(x)在x=x0处的函数值,也是求函数在x=x0处的导数的方法之一
[基点训练]
如图,直线l是曲线y=f(x)在x=4处的切线,则f'(4)= ( )
A. B.3
C.4 D.5
题型(一) 利用导数的几何意义判断函数的图象变化
[例1] 若函数y=f(x)的导函数在区间[a,b]内单调递增,则函数y=f(x)在区间[a,b]内的图象可能是 ( )
听课记录:
[思维建模]
(1)曲线f(x)在x=x0附近的变化情况可通过在x=x0处的切线刻画.f'(x0)>0说明曲线在x=x0处的切线的斜率为正值,从而得出在x=x0附近曲线是上升的;f'(x0)<0说明在x=x0附近曲线是下降的.
(2)曲线在某点处的切线斜率反映了曲线在相应点处的变化情况,由切线的倾斜程度,可以判断出曲线升降的快慢.
[针对训练]
1.已知函数f(x)的图象如图所示,则下列不等关系正确的是 ( )
A.0B.0C.0D.0题型(二) 利用导数的几何意义求解切线问题
题点1 求切线方程
[例2] 已知曲线y=x3+,求曲线在点P(2,4)处的切线方程.
听课记录:
[变式拓展]
1.本例条件不变,求曲线过点P(2,4)的切线方程.
2.本例条件不变,求满足斜率为1的曲线的切线方程.
[思维建模]
求曲线切线方程的两种情形
(1)如果所给点P(x0,y0)是切点,一般叙述为“在点P处的切线”,此时只要求函数f(x)在点x0处的导数f'(x0),即得切线的斜率k=f'(x0),再根据点斜式得出切线方程.
(2)如果所给点P不是切点,应先设出切点M(x0,y0),再求切线方程.要特别注意“过点P的切线”这一叙述,点P不一定是切点,也不一定在曲线上.
题点2 求切点坐标或参数
[例3] 已知曲线f(x)=x3+ax在x=1处的切线与直线x+4y=0垂直,则实数a= ( )
A.2 B.1
C.-1 D.-2
[例4] 已知f(x)=2x2+1在某点处的切线的倾斜角为45°,则该切点的坐标为 .
听课记录:
[思维建模]
求切点坐标的步骤
(1)设出切点坐标;
(2)利用导数或斜率公式求出斜率;
(3)利用斜率关系列方程,求出切点的横坐标;
(4)把横坐标代入曲线或切线方程,求出切点纵坐标.
[针对训练]
2.直线l:y=x+a(a≠0)和曲线C:y=x3-x2+1相切,则a的值为 ,切点坐标为 .
3.求函数f(x)=x2+1过点P(1,0)的切线方程.
题型(三) 导函数
[例5] 求函数f(x)=的导函数.
听课记录:
[思维建模]
求解f'(x)时,结合导数的定义,首先计算Δy=f(x+Δx)-f(x),再求解,最后得到f'(x)=.
[针对训练]
4.已知函数f(x)=x2-x,求:
(1)f'(x);
(2)f(x)在x=1处的导数.
第2课时 导数的几何意义
课前环节
(一)1.斜率 f'(x0) y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)
[基点训练]
1.选B 由导数的几何意义,f'(xA),f'(xB)分别是曲线在点A,B处切线的斜率,由图象可知f'(xA)2.解析:由于f'(x0)>0,说明y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率大于0,故倾斜角为锐角.
答案:
(二)
[基点训练]
选A 由于kl==,∴f'(4)=.
课堂环节
[题型(一)]
[例1] 选A 函数y=f(x)的导函数y=f'(x)在[a,b]内单调递增,由导数的几何意义可知,曲线y=f(x)在区间[a,b]内各点处的切线斜率是逐渐增大的,只有A选项符合.
[针对训练]
1.选C kAB==f(3)-f(2),f'(2)为函数f(x)的图象在点B(2,f(2))处的切线的斜率,f'(3)为函数f(x)的图象在点A(3,f(3))处的切线的斜率,根据图象可知0 [题型(二)]
[例2] 解:∵P(2,4)在曲线y=x3+上,
∴曲线在点P(2,4)处切线的斜率为
k= =
=4.
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为
y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.
[变式拓展]
1.解:设曲线y=x3+与过点P(2,4)的切线相切于点A,则切线的斜率为k=
=,
∴切线方程为y-=(x-x0),
即y=x-+.
∵点P(2,4)在切线上,
∴4=2-+,即-3+4=0.
∴+-4+4=0,
∴(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0,
∴(x0+1)(x0-2)2=0,
解得x0=-1或x0=2.
故所求的切线方程为x-y+2=0或4x-y-4=0.
2.解:设切点为(x0,y0),
由变式拓展1可知切线的斜率为k=,即=1,x0=±1,∴切点为或(-1,1),∴切线方程为y-=x-1或y-1=x+1,即3x-3y+2=0或x-y+2=0.
[例3] 选B f'(1)=
=
=[(Δx)2+3Δx+3+a]=3+a.
又曲线f(x)在x=1处的切线与直线x+4y=0垂直,∴f'(1)·=(3+a)·=-1,解得a=1.
[例4] 解析:设切点坐标为(x0,y0),则Δy=[2(x0+Δx)2+1]-(2+1)=4x0·Δx+2(Δx)2,
∴=4x0+2Δx,∴f'(x0)==4x0.
又∵切线的斜率为k=tan 45°=1,∴4x0=1,即x0=.
∴y0=2×+1=,
∴切点坐标为.
答案:
[针对训练]
2.解析:设直线l与曲线C的切点为(x0,y0),因为y'==3x2-2x,则y'=3-2x0=1,解得x0=1或x0=-.
当x0=1时,y0=-+1=1.
又因为(x0,y0)在直线y=x+a上,将x0=1,y0=1代入得a=0,与已知条件矛盾,舍去.
当x0=-时,y0=-+1=,
则切点坐标为,
将代入直线y=x+a中得a=.
答案:
3.解:设切点为Q(a,a2+1),==2a+Δx,
=(2a+Δx)=2a.
所以所求切线的斜率为2a.
因此,=2a,解得a=1±,
所求的切线方程为(2+2)x-y-(2+2)=0或(2-2)x-y-(2-2)=0.
[题型(三)]
[例5] 解:∵Δy=f(x+Δx)-f(x)
=-=,
∴=,
∴f'(x)===.
[针对训练]
4.解:(1)∵Δy=f(x+Δx)-f(x)=Δx2+2xΔx-Δx,
∴=Δx+2x-,
∴f'(x)==2x-.
(2)f'(1)=2×1-=.(共61张PPT)
导数的几何意义
(强基课——梯度进阶式教学)
第2课时
课时目标
1.了解导函数的概念,理解导数的几何意义.会求简单函数的导函数.
2.根据导数的几何意义,会求曲线上某点处的切线方程.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
课时跟踪检测
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
(一)导数的几何意义
1.导数的几何意义
函数y=f(x)在x=x0处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的_______,也就是说,曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率是_______相应地,切线方程为_____________________.
斜率
f'(x0)
y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)
2.导数值的大小与函数变化的快慢关系
(1)若f'(x0)=0,则函数在x=x0处切线斜率k=0;
(2)若f'(x0)>0,则函数在x=x0处切线斜率k>0,函数在x=x0附近单调递增且f'(x0)越大,说明函数图象变化得越快;
(3)若f'(x0)<0,则函数在x=x0处切线斜率k<0,函数在x=x0附近单调递减且|f'(x0)|越大,说明函数图象变化得越快.
微点助解
(1)由导数定义切线具有一般性,初中学过的圆的切线不具有一般性,切线与曲线的交点不一定只有1个.
(2)切线的斜率k只与横坐标x0有关,与Δx无关.
(3) f'(x0)的正负决定增减,|f'(x0)|的大小决定快慢.
基点训练
1.已知y=f(x)的图象如图所示,则f'(xA)与f'(xB)的大小关系是 ( )
A.f'(xA)>f'(xB)
B.f'(xA)C.f'(xA)=f'(xB)
D.不能确定
解析:由导数的几何意义,f'(xA),f'(xB)分别是曲线在点A,B处切线的斜率,由图象可知f'(xA)√
2.已知函数y=f(x),若f'(x0)>0,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的倾斜角的范围是 .
解析:由于f'(x0)>0,说明y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率大于0,故倾斜角为锐角.
(二)导函数
从求函数y=f(x)在x=x0处导数的过程可以看到,当x=x0时,f'(x0)是一个唯一确定的数,这样,当x变化时,y=f'(x)就是x的函数,我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y',即f'(x)=y'=_______________________.
微点助解
函数f(x)在x=x0处导数f'(x0)与导函数f'(x)之间的区别与联系
区别 (1)f'(x0)是函数f(x)在x=x0处函数值的改变量与自变量的改变量之比的极限,是一个常数,不是变量.
(2)f'(x)是函数f(x)的导函数,是对某一区间内任意x而言的,即如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内每点处都有导数,此时对于每一个x∈(a,b),都对应着一个确定的导数f'(x),从而构成了一个新的函数——导函数f'(x)
联系 函数f(x)在x=x0处的导数f'(x0)就是导函数f'(x)在x=x0处的函数值,也是求函数在x=x0处的导数的方法之一
基点训练
如图,直线l是曲线y=f(x)在x=4处的切线,则f'(4)= ( )
A. B.3
C.4 D.5
解析:由于kl==,
∴f'(4)=.
√
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
题型(一) 利用导数的几何意义判断函数的图象变化
[例1] 若函数y=f(x)的导函数在区间[a,b]内单调递增,则函数y=f(x)在区间[a,b]内的图象可能是 ( )
√
解析:函数y=f(x)的导函数y=f'(x)在[a,b]内单调递增,由导数的几何意义可知,曲线y=f(x)在区间[a,b]内各点处的切线斜率是逐渐增大的,只有A选项符合.
[思维建模]
(1)曲线f(x)在x=x0附近的变化情况可通过在x=x0处的切线刻画.f'(x0)>0说明曲线在x=x0处的切线的斜率为正值,从而得出在x=x0附近曲线是上升的;f'(x0)<0说明在x=x0附近曲线是下降的.
(2)曲线在某点处的切线斜率反映了曲线在相应点处的变化情况,由切线的倾斜程度,可以判断出曲线升降的快慢.
针对训练
1.已知函数f(x)的图象如图所示,则下列不等关系正确的是 ( )
A.0B.0C.0D.0√
解析:kAB==f(3)-f(2),f'(2)为函数f(x)的图象在点B(2,f(2))处的切线的斜率,f'(3)为函数f(x)的图象在点A(3,f(3))处的切线的斜率,根据图象可知0题型(二) 利用导数的几何意义求解切线问题
题点1 求切线方程
[例2] 已知曲线y=x3+,求曲线在点P(2,4)处的切线方程.
解:∵P(2,4)在曲线y=x3+上,
∴曲线在点P(2,4)处切线的斜率为
k= =
=4.
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为
y-4=4(x-2),
即4x-y-4=0.
[变式拓展]
1.本例条件不变,求曲线过点P(2,4)的切线方程.
解:设曲线y=x3+与过点P(2,4)的切线相切于点A,
则切线的斜率为k= =,
∴切线方程为y-=(x-x0),
即y=x-+.
∵点P(2,4)在切线上,
∴4=2-+,
即-3+4=0.
∴+-4+4=0,
∴(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0,
∴(x0+1)(x0-2)2=0,
解得x0=-1或x0=2.
故所求的切线方程为x-y+2=0或4x-y-4=0.
2.本例条件不变,求满足斜率为1的曲线的切线方程.
解:设切点为(x0,y0),
由变式拓展1可知切线的斜率为k=,
即=1,x0=±1,
∴切点为或(-1,1),
∴切线方程为y-=x-1或y-1=x+1,
即3x-3y+2=0或x-y+2=0.
[思维建模]
求曲线切线方程的两种情形
(1)如果所给点P(x0,y0)是切点,一般叙述为“在点P处的切线”,此时只要求函数f(x)在点x0处的导数f'(x0),即得切线的斜率k=f'(x0),再根据点斜式得出切线方程.
(2)如果所给点P不是切点,应先设出切点M(x0,y0),再求切线方程.要特别注意“过点P的切线”这一叙述,点P不一定是切点,也不一定在曲线上.
题点2 求切点坐标或参数
[例3] 已知曲线f(x)=x3+ax在x=1处的切线与直线x+4y=0垂直,则实数a=( )
A.2 B.1
C.-1 D.-2
√
解析: f'(1)===
[(Δx)2+3Δx+3+a]=3+a.
又曲线f(x)在x=1处的切线与直线x+4y=0垂直,
∴f'(1)·=(3+a)·=-1,
解得a=1.
[例4] 已知f(x)=2x2+1在某点处的切线的倾斜角为45°,则该切点的坐标为 .
解析:设切点坐标为(x0,y0),
则Δy=[2(x0+Δx)2+1]-(2+1)=4x0·Δx+2(Δx)2,
∴=4x0+2Δx,
∴f'(x0)==4x0.
又∵切线的斜率为k=tan 45°=1,
∴4x0=1,
即x0=.
∴y0=2×+1=,
∴切点坐标为.
[思维建模]
求切点坐标的步骤
(1)设出切点坐标;
(2)利用导数或斜率公式求出斜率;
(3)利用斜率关系列方程,求出切点的横坐标;
(4)把横坐标代入曲线或切线方程,求出切点纵坐标.
针对训练
2.直线l:y=x+a(a≠0)和曲线C:y=x3-x2+1相切,则a的值为 ,切点坐标为 .
解析:设直线l与曲线C的切点为(x0,y0),
因为y'==3x2-2x,
则y'=3-2x0=1,
解得x0=1或x0=-.
当x0=1时,
y0=-+1=1.
又因为(x0,y0)在直线y=x+a上,将x0=1,y0=1代入得a=0,与已知条件矛盾,舍去.
当x0=-时,y0=-+1=,
则切点坐标为,
将代入直线y=x+a中得a=.
3.求函数f(x)=x2+1过点P(1,0)的切线方程.
解:设切点为Q(a,a2+1),==2a+Δx,
=(2a+Δx)=2a.
所以所求切线的斜率为2a.
因此,=2a,
解得a=1±,
所求的切线方程为(2+2)x-y-(2+2)=0或(2-2)x-y-(2-2)=0.
题型(三) 导函数
[例5] 求函数f(x)=的导函数.
解:∵Δy=f(x+Δx)-f(x)
= -=,
∴=,
∴f'(x)===.
[思维建模]
求解f'(x)时,结合导数的定义,首先计算Δy=f(x+Δx)-f(x),再求解,最后得到f'(x)=.
针对训练
4.已知函数f(x)=x2-x,求:
(1)f'(x);
(2)f(x)在x=1处的导数.
解:(1)∵Δy=f(x+Δx)-f(x)=Δx2+2xΔx-Δx,
∴=Δx+2x-,
∴f'(x)==2x-.
(2)f'(1)=2×1-=.
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A级——综合提能
1.函数f(x)在x=x0处导数f'(x0)的几何意义是( )
A.在点x=x0处的斜率
B.在点(x0,f(x0))处的切线与x轴所夹的锐角正切值
C.点(x0,f(x0))与点(0,0)连线的斜率
D.曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)) 处的切线的斜率
解析: f'(x0)的几何意义是在切点(x0,f(x0))处的切线斜率.故选D.
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2.若曲线y=h(x)在点P(a,h(a))处的切线方程为2x+y+1=0,则 ( )
A.h'(a)=0 B.h'(a)<0
C.h'(a)>0 D.h'(a)不确定
解析:由2x+y+1=0,
得y=-2x-1.
由导数的几何意义知,
h'(a)=-2<0.
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3.已知函数f(x)满足f'(x1)>0,f'(x2)<0,则在x=x1和x=x2附近符合条件的f(x)的图象大致是 ( )
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解析:由f'(x1)>0,
f'(x2)<0可知,
f(x)的图象在x=x1处切线的斜率为正,
在x=x2处切线的斜率为负.
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4.曲线y=x3-2在点处的切线的倾斜角为( )
A.30° B.45° C.135° D.60°
解析:∵==1,
∴切线的斜率为1,
∴倾斜角为45°.
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5.函数y=(x-1)2的导数是 ( )
A.-2 B.(x-1)2
C.2(x-1) D.2(1-x)
解析:y'=
=
= =2x-2=2(x-1).
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6.已知函数y=f(x)在点(2,1)处的切线与直线3x-y-2=0平行,则y'|x=2= .
解析:因为直线3x-y-2=0的斜率为3,
所以由导数的几何意义可知y'=3.
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7.如图,函数f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C的坐标分别为(0,4),
(2,0),(6,4),则= .
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=f'(1)=kAB==-2.
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8.已知函数y=ax2+b在点(1,3)处的切线斜率为2,则= .
解析:∵f'(1)=2,
又==(aΔx+2a)=2a,
∴2a=2,
∴a=1.
又f(1)=a+b=3,
∴b=2,
∴=2.
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9.已知抛物线y=ax2+bx+c通过点P(1,1),Q(2,-1),且在点Q处与直线y=x-3相切,求实数a,b,c的值.
解:∵曲线y=ax2+bx+c过点P(1,1),
∴a+b+c=1.①
∵y'=
=
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=
=(2ax+b+aΔx)=2ax+b,
∴y'|x=2=4a+b,
∴4a+b=1.②
又曲线过Q(2,-1)点,
∴4a+2b+c=-1,③
联立①②③解得a=3,b=-11,c=9.
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10.试求过点P(3,5)且与曲线y=x2相切的直线方程.
解:设所求切线的切点为A(x0,y0),
则f'(x0)===2x0.
∵点A在曲线y=x2上,
∴y0=,
又∵A是切点,
∴过点A的切线的斜率k=2x0,
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∵所求切线过P(3,5)和A(x0,y0)两点,
∴其斜率为=.
∴2x0=,
解得x0=1或x0=5.
从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25).
当切点为(1,1)时,
切线的斜率为k1=2x0=2.
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当切点为(5,25)时,切线的斜率为k2=2x0=10.
∴所求的切线有两条,方程分别为y-1=2(x-1)和y-25=10(x-5),
即y=2x-1和y=10x-25.
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√
B级——应用创新
11.已知函数f(x)在R上可导,其部分图象如图所示,设=a,则下列不等式正确的是( )
A.aC.f'(4)5
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解析:由题图可知,在[2,4]上,函数增长的越来越快,
故函数图象的切线斜率越来越大,
而(2,f(2)),(4,f(4))两点连线的斜率为,
其大小在点(2,f(2))处的切线斜率f'(2)与点(4,f(4))处的切线斜率f'(4)之间,
所以f'(2)5
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√
12.若曲线y=x+上任意一点P处的切线斜率为k,则k的取值范围是( )
A.(-∞,-1) B.(-1,1)
C.(-∞,1) D.(1,+∞)
解析:y=x+上任意一点P(x0,y0)处的切线斜率k=y'=
==1-<1.
即k<1.
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13.函数y=在x=1处的导数为 .
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解析:作出函数y=的图象如图.
由导数的几何意义可知,
函数y=在x=1处的导数即为半圆在点P(1,)处的切线的斜率.
所以kl= -=-=-.
-
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14.若点P是抛物线y=2x2+1上任意一点,则点P到直线y=x-2的最小距离为 .
解析:由题意知,当点P到直线y=x-2的距离最小时,
点P为抛物线y=2x2+1的一条切线的切点,
且该切线平行于直线y=x-2.
设y=f(x)=2x2+1.
由导数的几何意义知y'=f'(x)==4x=1,
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解得x=,
∴P,
故点P到直线y=x-2的最小距离d==.
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15.已知曲线y=x2+1,是否存在实数a,使得经过点(1,a)能够作出该曲线的两条切线 若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,请说明理由.
解:∵==2x+Δx,
∴y'==(2x+Δx)=2x.
设切点为P(x0,y0),
则切线的斜率为k=y'=2x0,
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由点斜式可得所求切线方程为y-y0=2x0(x-x0).
又∵切线过点(1,a),
且y0=+1,
∴a-(+1)=2x0(1-x0),
即-2x0+a-1=0.
∵切线有两条,
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∴Δ=(-2)2-4(a-1)>0,
解得a<2.
故存在实数a,使得经过点(1,a)能够作出该曲线的两条切线,
a的取值范围是(-∞,2).课时跟踪检测(十八) 导数的几何意义
A级——综合提能
1.函数f(x)在x=x0处导数f'(x0)的几何意义是 ( )
A.在点x=x0处的斜率
B.在点(x0,f(x0))处的切线与x轴所夹的锐角正切值
C.点(x0,f(x0))与点(0,0)连线的斜率
D.曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)) 处的切线的斜率
2.若曲线y=h(x)在点P(a,h(a))处的切线方程为2x+y+1=0,则 ( )
A.h'(a)=0 B.h'(a)<0
C.h'(a)>0 D.h'(a)不确定
3.已知函数f(x)满足f'(x1)>0,f'(x2)<0,则在x=x1和x=x2附近符合条件的f(x)的图象大致是 ( )
4.曲线y=x3-2在点处的切线的倾斜角为 ( )
A.30° B.45°
C.135° D.60°
5.函数y=(x-1)2的导数是 ( )
A.-2 B.(x-1)2
C.2(x-1) D.2(1-x)
6.已知函数y=f(x)在点(2,1)处的切线与直线3x-y-2=0平行,则y'|x=2= .
7.如图,函数f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则= .
8.已知函数y=ax2+b在点(1,3)处的切线斜率为2,则= .
9.已知抛物线y=ax2+bx+c通过点P(1,1),Q(2,-1),且在点Q处与直线y=x-3相切,求实数a,b,c的值.
10.试求过点P(3,5)且与曲线y=x2相切的直线方程.
B级——应用创新
11.已知函数f(x)在R上可导,其部分图象如图所示,设=a,则下列不等式正确的是 ( )
A.aC.f'(4)12.若曲线y=x+上任意一点P处的切线斜率为k,则k的取值范围是 ( )
A.(-∞,-1) B.(-1,1)
C.(-∞,1) D.(1,+∞)
13.函数y=在x=1处的导数为 .
14.若点P是抛物线y=2x2+1上任意一点,则点P到直线y=x-2的最小距离为 .
15.已知曲线y=x2+1,是否存在实数a,使得经过点(1,a)能够作出该曲线的两条切线 若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,请说明理由.
课时跟踪检测(十八)
1.选D f'(x0)的几何意义是在切点(x0,f(x0))处的切线斜率.故选D.
2.选B 由2x+y+1=0,得y=-2x-1.由导数的几何意义知,h'(a)=-2<0.
3.选D 由f'(x1)>0,f'(x2)<0可知,f(x)的图象在x=x1处切线的斜率为正,在x=x2处切线的斜率为负.
4.选B ∵==1,∴切线的斜率为1,∴倾斜角为45°.
5.选C y'=
=
= =2x-2=2(x-1).
6.解析:因为直线3x-y-2=0的斜率为3,所以由导数的几何意义可知y'=3.
答案:3
7.解析:由导数的概念和几何意义知,=f'(1)=kAB==-2.
答案:-2
8.解析:∵f'(1)=2,又==(aΔx+2a)=2a,∴2a=2,∴a=1.又f(1)=a+b=3,∴b=2,∴=2.
答案:2
9.解:∵曲线y=ax2+bx+c过点P(1,1),
∴a+b+c=1.①
∵y'==
=
=(2ax+b+aΔx)=2ax+b,
∴y'|x=2=4a+b,∴4a+b=1.②
又曲线过Q(2,-1)点,∴4a+2b+c=-1,③
联立①②③解得a=3,b=-11,c=9.
10.解:设所求切线的切点为A(x0,y0),
则f'(x0)===2x0.
∵点A在曲线y=x2上,∴y0=,
又∵A是切点,∴过点A的切线的斜率k=2x0,
∵所求切线过P(3,5)和A(x0,y0)两点,
∴其斜率为=.
∴2x0=,解得x0=1或x0=5.
从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25).
当切点为(1,1)时,切线的斜率为k1=2x0=2.
当切点为(5,25)时,切线的斜率为k2=2x0=10.
∴所求的切线有两条,方程分别为y-1=2(x-1)和y-25=10(x-5),即y=2x-1和y=10x-25.
11.选B 由题图可知,在[2,4]上,函数增长的越来越快,故函数图象的切线斜率越来越大,而(2,f(2)),(4,f(4))两点连线的斜率为,其大小在点(2,f(2))处的切线斜率f'(2)与点(4,f(4))处的切线斜率f'(4)之间,所以f'(2)12.选C y=x+上任意一点P(x0,y0)处的切线斜率k=y'===1-<1.即k<1.
13.解析:作出函数y=的图象如图.由导数的几何意义可知,函数y=在x=1处的导数即为半圆在点P(1,)处的切线的斜率.所以kl= -=-=-.
答案:-
14.解析:由题意知,当点P到直线y=x-2的距离最小时,点P为抛物线y=2x2+1的一条切线的切点,且该切线平行于直线y=x-2.设y=f(x)=2x2+1.由导数的几何意义知y'=f'(x)==4x=1,解得x=,∴P,故点P到直线y=x-2的最小距离d==.
答案:
15.解:∵==2x+Δx,
∴y'==(2x+Δx)=2x.
设切点为P(x0,y0),则切线的斜率为k=y'=2x0,由点斜式可得所求切线方程为y-y0=2x0(x-x0).
又∵切线过点(1,a),且y0=+1,∴a-(+1)=2x0(1-x0),即-2x0+a-1=0.
∵切线有两条,∴Δ=(-2)2-4(a-1)>0,解得a<2.
故存在实数a,使得经过点(1,a)能够作出该曲线的两条切线,a的取值范围是(-∞,2).