5.2.1 基本初等函数的导数(强基课梯度进阶式教学)
1.几个常用函数的导数
函数 导数
f(x)=c(c为常数) f'(x)=
f(x)=x f'(x)=
f(x)=x2 f'(x)=
f(x)=x3 f'(x)=3x2
f(x)= f'(x)=
f(x)= f'(x)=
2.基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f(x)=c(c为常数) f'(x)=0
f(x)=xα(α∈R,且α≠0) f'(x)=
f(x)=sin x f'(x)=
f(x)=cos x f'(x)=
f(x)=ax(a>0,且a≠1) f'(x)= (a>0,且a≠1)
f(x)=ex f'(x)=
f(x)=logax(a>0,且a≠1) f'(x)=(a>0,且a≠1)
f(x)=ln x f'(x)=
微点助解
关于几个基本初等函数导数公式的特点
(1)正、余弦函数的导数可以记忆为“正余互换,(符号)正同余反”.
(2)指数函数的导数等于指数函数本身乘底数的自然对数.
(3)对数函数的导数等于x与底数的自然对数乘积的倒数.
[基点训练]
1.已知f(x)=cos 30°,则f'(x)的值为 ( )
A.- B.
C.- D.0
2.若f(x)=,则f'(1)等于 ( )
A.0 B.-
C.3 D.
3.已知函数f(x)=x3,f'(x)是f(x)的导函数,若f'(x0)=12,则x0= ( )
A.2 B.-2
C.±2 D.±
题型(一) 求基本初等函数的导数
[例1] 求下列函数的导数:
(1)y=x-3;(2)y=3x;(3)y= ;
(4)y=lox;(5)y=cos;
(6)y=sin;(7)y=ln x;(8)y=ex.
听课记录:
[思维建模]
求简单函数的导函数有两种基本方法
(1)用导数的定义求导,但运算比较繁杂.
(2)用导数公式求导,可以简化运算过程、降低运算难度.解题时根据所给问题的特征,将题中函数的结构进行调整,再选择合适的求导公式.
[针对训练]
1.求下列函数的导数:
(1)y=6x;(2)y=x2;
(3)y=cos2-sin2.
2.已知函数f(x)=logax(a>0且a≠1)在x=2处的导数为,求底数a的值.
题型(二) 利用导数公式求曲线的切线方程
[例2] 已知曲线y=ln x,点P(e,1)是曲线上一点,求曲线在点P处的切线方程.
听课记录:
[变式拓展]
1.若y=kx+1是曲线y=ln x的一条切线,求k的值.
2.求曲线y=ln x过点O(0,0)的切线方程.
3.若方程ln x=mx恰有一个根,求m的取值范围.
[思维建模]
利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况
(1)若已知点是切点,则在该点处的切线斜率就是该点处的导数;
(2)如果已知点不是切点,则应先设出切点,再借助两点连线的斜率公式进行求解.
[针对训练]
3.曲线y=ex在点(2,e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为 ( )
A.e2 B.2e2
C.e2 D.
4.在曲线y=f(x)=上求一点P,使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°.
题型(三) 导数公式的实际应用
[例3] 质点的运动方程是s=sin t,则质点在t=时的速度为 ,质点运动的加速度为 .
听课记录:
[思维建模] 由导数的定义可知,导数是瞬时变化率,所以求某个量的变化速度,就是求相关函数在某点处的导数.
[针对训练]
5.已知在一次降雨过程中,某地降雨量y(单位:mm)与时间t(单位:min)的函数关系可近似表示为y=,则在t=4 min时的瞬时降雨强度(某一时刻降雨量的瞬间变化率)为 mm/min.
5.2.1 基本初等函数的导数
课前环节
1.0 1 2x - 2.αxα-1 cos x -sin x axln a ex
[基点训练]
1.选D ∵f(x)=cos 30°=,因此,f'(x)=0.
2.选D 因为f(x)=,则f'(x)=,所以f'(1)=.
3.选C 依题意f'(x)=3x2,故3=12,解得x0=±2.
课堂环节
[题型(一)]
[例1] 解:(1)y'=-3x-4.
(2)y'=3xln 3.
(3)y= = =,
∴y'== .
(4)y'==-.
(5)y=sin x,y'=cos x.
(6)y'=0.
(7)y'=.
(8)y'=ex.
[针对训练]
1.解:(1)y'=(6x)'=6xln 6.
(2)y'=(x2)'=()'==.
(3)∵y=cos2-sin2=cos x,∴y'=(cos x)'=-sin x.
2.解:f'(x)=(logax)'=,由题得f'(2)==,
所以ln a=ln 2,得a=2.
[题型(二)]
[例2] 解:因为y'=,所以当x=e时,y'=,即切线斜率为,所以切线方程为y-1=(x-e),即x-ey=0.
[变式拓展]
1.解:设切点坐标为(x0,y0),由题意得y'==k,又解得∴k=.
2.解:因为点O(0,0)不在曲线上,所以设切点为Q(a,b),则切线斜率k=,又因为k=,且b=ln a,所以a=e,b=1,所以切线方程为x-ey=0.
3.解:问题可以转化为函数y=ln x与y=mx的图象有且仅有一个公共点.由图象易知m≤0满足条件.
另外就是y=mx是y=ln x的切线时满足条件.
因为y=mx的图象过(0,0),
设切点为Q(a,b),则切线斜率m=,
又因为m=,且b=ln a,
所以a=e,b=1,m=,即m的取值范围为(-∞,0]∪.
[针对训练]
3.选D y'=ex,在点(2,e2)处的切线为y-e2=e2(x-2),截距分别为-e2,1,故切线与坐标轴所围成的三角形的面积为×e2×1=.
4.解:设切点坐标为P(x0,y0),f'(x0)=-2=tan 135°=-1,即-2=-1,∴x0= .
代入曲线方程得y0=,∴点P的坐标为.
[题型(三)]
[例3] 解析:v(t)=s'(t)=cos t,∴v=cos =,即质点在t=时的速度为.
∵v(t)=cos t,∴加速度a(t)=v'(t)=(cos t)'=-sin t.
a=-sin=-.
答案: -
[针对训练]
5.解析:因为y=f(t)==,所以f'(t)='=,所以f'(4)=×=,故在t=4 min时的瞬时降雨强度(某一时刻降雨量的瞬间变化率)为 mm/min.
答案:(共59张PPT)
5.2.1
基本初等函数的导数(强基课——梯度进阶式教学)
课时目标
1.能根据导数定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=x3,y=,y=的导数.
2.能用基本初等函数的导数公式求解一些简单问题.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
课时跟踪检测
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
1.几个常用函数的导数
函数 导数
f(x)=c(c为常数) f'(x)=___
f(x)=x f'(x)=___
f(x)=x2 f'(x)=____
f(x)=x3 f'(x)=3x2
f(x)= f'(x)=_____
f(x)=
f'(x)=
0
1
2x
-
2.基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f(x)=c(c为常数) f'(x)=0
f(x)=xα(α∈R,且α≠0) f'(x)=______
f(x)=sin x f'(x)=______
f(x)=cos x f'(x)=______
f(x)=ax(a>0,且a≠1) f'(x)=________(a>0,且a≠1)
αxα-1
cos x
-sin x
ax ln a
f(x)=ex f'(x)=____
f(x)=logax(a>0,且a≠1) f'(x)=(a>0,且a≠1)
f(x)=ln x f'(x)=
ex
续表
微点助解
关于几个基本初等函数导数公式的特点
(1)正、余弦函数的导数可以记忆为“正余互换,(符号)正同余反”.
(2)指数函数的导数等于指数函数本身乘底数的自然对数.
(3)对数函数的导数等于x与底数的自然对数乘积的倒数.
基点训练
1.已知f(x)=cos 30°,则f'(x)的值为 ( )
A.- B.
C.- D.0
解析:∵f(x)=cos 30°=,
因此,f'(x)=0.
√
2.若f(x)=,则f'(1)等于( )
A.0 B.- C.3 D.
解析:因为f(x)=,
则f'(x)=,
所以f'(1)=.
√
3.已知函数f(x)=x3,f'(x)是f(x)的导函数,若f'(x0)=12,则x0= ( )
A.2 B.-2
C.±2 D.±
解析:依题意f'(x)=3x2,
故3=12,
解得x0=±2.
√
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
[例1] 求下列函数的导数:
(1)y=x-3; (2)y=3x; (3)y= ;
(4)y=lox; (5)y=cos;
(6)y=sin; (7)y=ln x; (8)y=ex.
题型(一) 求基本初等函数的导数
解:(1)y'=-3x-4.
(2)y'=3xln 3.
(3)y= = =,
∴y'== .
(4)y'==-.
(5)y=sin x,y'=cos x.
(6)y'=0.
(7)y'=.
(8)y'=ex.
[思维建模]
求简单函数的导函数有两种基本方法
(1)用导数的定义求导,但运算比较繁杂.
(2)用导数公式求导,可以简化运算过程、降低运算难度.解题时根据所给问题的特征,将题中函数的结构进行调整,再选择合适的求导公式.
1.求下列函数的导数:
(1)y=6x; (2)y=x2; (3)y=cos2-sin2.
解:(1)y'=(6x)'=6xln 6.
(2)y'=(x2)'=()'==.
(3)∵y=cos2-sin2=cos x,
∴y'=(cos x)'=-sin x.
针对训练
2.已知函数f(x)=logax(a>0且a≠1)在x=2处的导数为,求底数a的值.
解:f'(x)=(logax)'=,由题得f'(2)==,
所以ln a=ln 2,
得a=2.
[例2] 已知曲线y=ln x,点P(e,1)是曲线上一点,求曲线在点P处的切线方程.
解:因为y'=,
所以当x=e时,
y'=,
即切线斜率为,
所以切线方程为y-1=(x-e),
即x-ey=0.
题型(二) 利用导数公式求曲线的切线方程
[变式拓展]
1.若y=kx+1是曲线y=ln x的一条切线,求k的值.
解:设切点坐标为(x0,y0),
由题意得y'==k,
又
解得
∴k=.
2.求曲线y=ln x过点O(0,0)的切线方程.
解:因为点O(0,0)不在曲线上,
所以设切点为Q(a,b),
则切线斜率k=,
又因为k=,
且b=ln a,
所以a=e,b=1,所以切线方程为x-ey=0.
3.若方程ln x=mx恰有一个根,求m的取值范围.
解:问题可以转化为函数y=ln x与y=mx的图象有且仅有一个公共点.由图象易知m≤0满足条件.
另外就是y=mx是y=ln x的切线时满足条件.
因为y=mx的图象过(0,0),
设切点为Q(a,b),
则切线斜率m=,
又因为m=,
且b=ln a,
所以a=e,b=1,m=,
即m的取值范围为(-∞,0]∪.
[思维建模]
利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况
(1)若已知点是切点,则在该点处的切线斜率就是该点处的导数;
(2)如果已知点不是切点,则应先设出切点,再借助两点连线的斜率公式进行求解.
3.曲线y=ex在点(2,e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为 ( )
A.e2 B.2e2 C.e2 D.
解析:y'=ex,在点(2,e2)处的切线为y-e2=e2(x-2),
截距分别为-e2,1,
故切线与坐标轴所围成的三角形的面积为×e2×1=.
针对训练
√
4.在曲线y=f(x)=上求一点P,使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°.
解:设切点坐标为P(x0,y0),f'(x0)=-2=tan 135°=-1,
即-2=-1,
∴x0= .
代入曲线方程得y0=,
∴点P的坐标为.
[例3] 质点的运动方程是s=sin t,则质点在t=时的速度为 ,质点运动的加速度为 .
解析:v(t)=s'(t)=cos t,
∴v=cos =,
即质点在t=时的速度为.
题型(三) 导数公式的实际应用
∵v(t)=cos t,
∴加速度a(t)=v'(t)=(cos t)'=-sin t.
a=-sin=-.
[思维建模]
由导数的定义可知,导数是瞬时变化率,所以求某个量的变化速度,就是求相关函数在某点处的导数.
5.已知在一次降雨过程中,某地降雨量y(单位:mm)与时间t(单位:min)的函数关系可近似表示为y=,则在t=4 min时的瞬时降雨强度(某一时刻降雨量的瞬间变化率)为 mm/min.
解析:因为y=f(t)==,
所以f'(t)='=,
所以f'(4)=×=,
故在t=4 min时的瞬时降雨强度(某一时刻降雨量的瞬间变化率)为 mm/min.
针对训练
课时跟踪检测
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√
A级——综合提能
1.[多选]下列运算错误的是( )
A.(2x)'=2xlog2e B.()'=
C.(sin 1)'=cos 1 D.(log3x)'=
√
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解析:对于A,(2x)'=2xln 2,A错误;
对于B,()'=()'==,B正确;
对于C,(sin 1)'=0,C错误;
对于D,(log3x)'=,D正确.
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√
2.已知函数f(x)=,则f' (-2) =( )
A.4 B. C.-4 D.-
解析:∵f'(x)=-,
∴f'(-2)=-=-.故选D.
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√
3.函数f(x)=x2在区间[0,2]上的平均变化率等于x=m时的瞬时变化率,则m= ( )
A. B.1
C.2 D.
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解析:函数f(x)=x2在区间[0,2]上的平均变化率等于==2.
由f(x)=x2,
得f'(x)=2x,
所以f'(m)=2m.
因为函数f(x)=x2在区间[0,2]上的平均变化率等于x=m时的瞬时变化率,
所以2=2m,
解得m=1.
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√
4.设M,m分别是函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值,若M=m,则f'(x) ( )
A.等于0 B.小于0
C.等于1 D.不确定
解析:因为M=m且M,m分别是函数f(x)的最大值和最小值,
所以f(x)为常函数,
故f'(x)=0.
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√
5.函数f(x)=x3的斜率等于1的切线有 ( )
A.1条 B.2条
C.3条 D.不确定
解析:∵f'(x)=3x2,设切点为(x0,),
∴3=1,
解得x0=±,
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∴在点和点处有斜率等于1的切线,
∴满足题意的切线有2条.故选B.
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6.已知函数f(x)=ln x,则= .
解析:∵f(x)=ln x,
∴f'(x)=,
∴=f'(2)=.
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7.已知曲线y=x2的一条切线倾斜角为,则切点坐标为 .
解析:设切点为(x0,),
由y=x2,
求导得y'=2x,
可得切线的斜率为k=f'(x0)=2x0,
由切线倾斜角为,
则斜率是1,
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即2x0=1,
解得x0=,
故切点的坐标为.
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8.已知曲线y=ln x的一条切线方程为x-y+c=0,则c= .
解析:设切点为(x0,ln x0),
由y=ln x得y'=.
因为曲线y=ln x在x=x0处的切线为x-y+c=0,其斜率为1.
所以y'==1,
即x0=1,
所以切点为(1,0).
所以1-0+c=0,
解得c=-1.
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-1
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9.若质点P的运动方程是s(t)=(s的单位为m,t的单位为s),求质点P在t=8 s时的瞬时速度.
解:s(t)=,
故s'(t)=,
s'(8)=×=,
故质点P在t=8 s时的瞬时速度为 m/s.
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10.直线y=-x+b是下列函数的切线吗 如果是,请求出b的值;如果不是,请说明理由.
(1)y=ln x;(2)y=.
解:(1)函数y=ln x的定义域为(0,+∞),
则对任意的x>0,y'=>0,
所以直线y=-x+b不是曲线y=ln x的切线.
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(2)函数y=的定义域为{x|x≠0},
令y'=-=-1,
解得x=±1,
将x=1代入函数y=的解析式可得切点坐标为(1,1),
则-1+b=1,
解得b=2.
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将x=-1代入函数y=的解析式可得切点坐标为(-1,-1),
则1+b=-1,
解得b=-2.
综上所述,y=-x+b是函数y=的切线方程,且b=±2.
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√
B级——应用创新
11.已知函数f(x)及其导数f'(x),若存在x0使得f(x0)=f'(x0),则称x0是f(x)的一个“巧值点”.下列四个函数中,没有“巧值点”的是( )
A.f(x)=x2 B.f(x)=ln x
C.f(x)=sin x D.f(x)=2x
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解析:对于A,f'(x)=2x,
由x2=2x解得x=0或x=2,
所以f(x)存在“巧值点”;
对于B,f'(x)=(x>0),
作函数f(x)与f'(x)的图象,
由图可知f(x)存在“巧值点”;
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对于C,f'(x)=cos x,
由sin x=cos x得tan x=1,
解得x=+kπ,k∈Z,
所以f(x)存在“巧值点”;
对于D,f'(x)=2xln 2,
因为2x>0,
所以2x=2xln 2无实数解,
所以f(x)不存在“巧值点”.
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√
12.若点A(a,a),B(b,eb)(a,b∈R),则A,B两点间距离|AB|的最小值为 ( )
A.1 B. C. D.2
解析:点A(a,a)在直线y=x上,
点B(b,eb)在y=ex上.
由y=ex,
得y'=ex.
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设y=ex的切线的切点为(x0,y0),
令y'=1 =1 x0=0 ,
所以y=ex在点(0,1)处的切线为y=x+1,
此时切线y=x+1与直线y=x平行,
直线y=x与y=x+1之间的距离=为|AB|的最小值.
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13.拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一,内容为如果函数f(x)在闭区间[a,b]上的图象连续不间断,在开区间(a,b)内的导数为f'(x),那么在区间(a,b)内至少存在一点c,使得f(b)-f(a)= f'(c)(b-a)成立,其中c叫做f(x)在[a,b]上的“拉格朗日中值点”.根据这个定理,可得函数f(x)=ln x在[1,e]上的“拉格朗日中值点”为 .
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e-1
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2
解析:由f(x)=ln x可得f'(x)=,
令x0为函数f(x)=ln x在[1,e]上的“拉格朗日中值点”,
则==,
解得x0=e-1.
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14.抛物线y=x2上的一动点M到直线l:x-y-1=0距离的最小值为 .
解析:因为y=x2,
所以y'=2x,
令y'=2x=1,
得x=,
所以与直线x-y-1=0平行且与抛物线y=x2相切的直线的切点为,
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切线方程为y-=x-,
即x-y-=0,
由两平行线间的距离公式可得所求的最小距离d==.
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15.设l是曲线y=的一条切线,证明l与坐标轴所围成的三角形的面积与切点无关.
证明:由题意,设点P(x0,y0)为y=图象上的任意一点,
且点P处的切线即为l,
很明显y0=,y'=-,
则y'=-.
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故曲线在点P(x0,y0)处的切线斜率为-,
所以切线l方程为y-y0=-(x-x0),
即y-=-(x-x0).
当x=0时,
y=;
当y=0时,
x=2x0,
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所以l与坐标轴所围成的三角形的面积S=··2|x0|=2.
很明显l与坐标轴所围成的三角形的面积是一个定值,与切点选取无关.
所以l与坐标轴所围成的三角形的面积与切点无关.
5课时跟踪检测(十九) 基本初等函数的导数
A级——综合提能
1.[多选]下列运算错误的是 ( )
A.(2x)'=2xlog2e B.()'=
C.(sin 1)'=cos 1 D.(log3x)'=
2.已知函数f(x)=,则f' (-2) = ( )
A.4 B.
C.-4 D.-
3.函数f(x)=x2在区间[0,2]上的平均变化率等于x=m时的瞬时变化率,则m= ( )
A. B.1
C.2 D.
4.设M,m分别是函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值,若M=m,则f'(x) ( )
A.等于0 B.小于0
C.等于1 D.不确定
5.函数f(x)=x3的斜率等于1的切线有 ( )
A.1条 B.2条
C.3条 D.不确定
6.已知函数f(x)=ln x,则= .
7.已知曲线y=x2的一条切线倾斜角为,则切点坐标为 .
8.已知曲线y=ln x的一条切线方程为x-y+c=0,则c= .
9.若质点P的运动方程是s(t)=(s的单位为m,t的单位为s),求质点P在t=8 s时的瞬时速度.
10.直线y=-x+b是下列函数的切线吗 如果是,请求出b的值;如果不是,请说明理由.
(1)y=ln x;(2)y=.
B级——应用创新
11.已知函数f(x)及其导数f'(x),若存在x0使得f(x0)=f'(x0),则称x0是f(x)的一个“巧值点”.下列四个函数中,没有“巧值点”的是 ( )
A.f(x)=x2 B.f(x)=ln x
C.f(x)=sin x D.f(x)=2x
12.若点A(a,a),B(b,eb)(a,b∈R),则A,B两点间距离|AB|的最小值为 ( )
A.1 B.
C. D.2
13.拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一,内容为如果函数f(x)在闭区间[a,b]上的图象连续不间断,在开区间(a,b)内的导数为f'(x),那么在区间(a,b)内至少存在一点c,使得f(b)-f(a)= f'(c)(b-a)成立,其中c叫做f(x)在[a,b]上的“拉格朗日中值点”.根据这个定理,可得函数f(x)=ln x在[1,e]上的“拉格朗日中值点”为 .
14.抛物线y=x2上的一动点M到直线l:x-y-1=0距离的最小值为 .
15.设l是曲线y=的一条切线,证明l与坐标轴所围成的三角形的面积与切点无关.
课时跟踪检测(十九)
1.选AC 对于A,(2x)'=2xln 2,A错误;对于B,()'=()'==,B正确;对于C,(sin 1)'=0,C错误;对于D,(log3x)'=,D正确.
2.选D ∵f'(x)=-,∴f'(-2)=-=-.故选D.
3.选B 函数f(x)=x2在区间[0,2]上的平均变化率等于==2.由f(x)=x2,得f'(x)=2x,所以f'(m)=2m.因为函数f(x)=x2在区间[0,2]上的平均变化率等于x=m时的瞬时变化率,所以2=2m,解得m=1.
4.选A 因为M=m且M,m分别是函数f(x)的最大值和最小值,所以f(x)为常函数,故f'(x)=0.
5.选B ∵f'(x)=3x2,设切点为(x0,),∴3=1,解得x0=±,∴在点和点处有斜率等于1的切线,∴满足题意的切线有2条.故选B.
6.解析:∵f(x)=ln x,∴f'(x)=,
∴=f'(2)=.
答案:
7.解析:设切点为(x0,),由y=x2,求导得y'=2x,可得切线的斜率为k=f'(x0)=2x0,由切线倾斜角为,则斜率是1,即2x0=1,解得x0=,故切点的坐标为.
答案:
8.解析:设切点为(x0,ln x0),由y=ln x得y'=.因为曲线y=ln x在x=x0处的切线为x-y+c=0,其斜率为1.所以y'==1,即x0=1,所以切点为(1,0).所以1-0+c=0,解得c=-1.
答案:-1
9.解:s(t)=,故s'(t)=,s'(8)=×=,故质点P在t=8 s时的瞬时速度为 m/s.
10.解:(1)函数y=ln x的定义域为(0,+∞),则对任意的x>0,y'=>0,
所以直线y=-x+b不是曲线y=ln x的切线.
(2)函数y=的定义域为{x|x≠0},
令y'=-=-1,解得x=±1,
将x=1代入函数y=的解析式可得切点坐标为(1,1),则-1+b=1,解得b=2.
将x=-1代入函数y=的解析式可得切点坐标为(-1,-1),则1+b=-1,解得b=-2.
综上所述,y=-x+b是函数y=的切线方程,且b=±2.
11.选D 对于A,f'(x)=2x,由x2=2x解得x=0或x=2,所以f(x)存在“巧值点”;对于B,f'(x)=(x>0),作函数f(x)与f'(x)的图象,由图可知f(x)存在“巧值点”;对于C,f'(x)=cos x,由sin x=cos x得tan x=1,解得x=+kπ,k∈Z,所以f(x)存在“巧值点”;对于D,f'(x)=2xln 2,因为2x>0,所以2x=2xln 2无实数解,所以f(x)不存在“巧值点”.
12.选B 点A(a,a)在直线y=x上,点B(b,eb)在y=ex上.由y=ex,得y'=ex.设y=ex的切线的切点为(x0,y0),令y'=1 =1 x0=0 ,所以y=ex在点(0,1)处的切线为y=x+1,此时切线y=x+1与直线y=x平行,直线y=x与y=x+1之间的距离=为|AB|的最小值.
13.解析:由f(x)=ln x可得f'(x)=,令x0为函数f(x)=ln x在[1,e]上的“拉格朗日中值点”,则==,解得x0=e-1.
答案:e-1
14.解析:因为y=x2,所以y'=2x,令y'=2x=1,得x=,所以与直线x-y-1=0平行且与抛物线y=x2相切的直线的切点为,切线方程为y-=x-,即x-y-=0,由两平行线间的距离公式可得所求的最小距离d==.
答案:
15.证明:由题意,设点P(x0,y0)为y=图象上的任意一点,且点P处的切线即为l,很明显y0=,y'=-,则y'=-.故曲线在点P(x0,y0)处的切线斜率为-,所以切线l方程为y-y0=-(x-x0),即y-=-(x-x0).
当x=0时,y=;当y=0时,x=2x0,所以l与坐标轴所围成的三角形的面积S=··2|x0|=2.
很明显l与坐标轴所围成的三角形的面积是一个定值,与切点选取无关.
所以l与坐标轴所围成的三角形的面积与切点无关.
