5.2.3 简单复合函数的导数(强基课梯度进阶式教学)
1.复合函数的定义
一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过中间变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数,记作 .
2.复合函数求导法则
对于复合函数y=f(g(x)),y'x= ,即y对x的导数等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数.
微点助解
使用复合函数求导法则的注意事项
(1)分清复合函数的复合关系是由哪些基本初等函数复合而成的,选择适当的中间变量.
(2)分步计算的每一步都要明确是对哪个变量求导,而其中特别要注意的是中间变量的导数,如(sin 2x)'=2cos 2x,不能得出(sin 2x)'=cos 2x.
(3)根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则,求出各函数的导数,并把中间变量转换成自变量的函数,如求y=sin的导数,设y=sin u,u=2x+,则y'x=y'u·u'x=cos u·2=2cos.
(4)熟练掌握复合函数的求导后,中间步骤可省略不写.
[基点训练]
1.函数y=(x2-1)n的复合过程正确的是 ( )
A.y=un,u=x2-1
B.y=(u-1)n,u=x2
C.y=tn,t=(x2-1)n
D.y=(t-1)n,t=x2-1
2.设函数f(x)=(1-2x)10,则f'(1)= ( )
A.0 B.-1
C.-20 D.20
3.函数y=cos的导数为 .
4.指出下列函数由哪些函数复合而成.
(1)y=ln ;(2)y=esin x;(3)y=cos(x+1).
题型(一) 求复合函数的导数
[例1] 求下列函数的导数.
(1)y=;(2)y=cos x2;
(3)y=sin;(4)y=.
听课记录:
[思维建模] 求复合函数的导数的步骤
[针对训练]
1.求下列函数的导数:
(1)y=(3x-2)2;(2)y=ln(6x+4);
(3)y=.
题型(二) 复合函数与导数的运算法则的综合应用
[例2] 求下列函数的导数.
(1)y=;
(2)y=x;
(3)y=xcossin.
听课记录:
[思维建模]
(1)在对函数求导时,应仔细观察及分析函数的结构特征,紧扣求导法则,联系学过的求导公式,对不易用求导法则求导的函数,可适当地进行等价变形,以达到化异求同、化繁为简的目的.
(2)复合函数的求导熟练后,中间步骤可以省略,即不必再写出函数的复合过程,直接运用公式,开始由外及内逐层求导.
[针对训练]
2.求下列函数的导数:
(1)y=e-x+2(2x+1)5;
(2)y=cos(3x-1)-ln(-2x-1);
(3)y=sin 2x+cos2x;
(4)y=.
题型(三) 复合函数的导数在实际问题中的应用
[例3] 一瓶汽水放入冰箱后,其摄氏温度x(单位:℃)随时间t(单位:h)的变化满足关系:x=4+16e-2t.
(1)求汽水温度x在t=1处的导数;
(2)已知摄氏温度x与华氏温度y之间具有如下函数关系:x=y-32.写出y关于t的函数解析式,并求y关于t的函数的导数.
听课记录:
[思维建模]
将复合函数的求导与导数的实际意义结合,旨在巩固函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率,体现导数揭示物体在某时刻的变化状况.
[针对训练]
3.有一把梯子贴靠在笔直的墙上,已知梯子上端下滑的距离s(单位:m)关于时间t(单位:s)的函数为s=s(t)=5-.求函数在t=1 s时的导数,并解释它的实际意义.
5.2.3 简单复合函数的导数
课前环节
1.y=f(g(x)) 2.y'u·u'x
[基点训练]
1.选A 由复合函数求导法则知A正确.
2.选D 因为f'(x)=10(1-2x)9×(-2)=-20(1-2x)9,所以f'(1)=20.
3.解析:y'='=-sin(-3)=3sin.
答案:3sin
4.解:(1)y=ln 由y=ln u,u=复合而成.
(2)y=esin x由y=eu,u=sin x复合而成.
(3)y=cos(x+1)由y=cos u,u=x+1复合而成.
课堂环节
[题型(一)]
[例1] 解:(1)令u=1-3x,则y==u-4,
所以y'u=-4u-5,u'x=-3.
所以y'x=y'u·u'x=12u-5=.
(2)令u=x2,则y=cos u,
所以y'x=y'u·u'x=-sin u·(2x)=-2xsin x2.
(3)令u=2x-,则y=sin u,
所以y'x=y'u·u'x=cos u·2=2cos.
(4)令u=1+x2,
则y=,所以y'x=y'u·u'x=·2x=x·=.
[针对训练]
1.解:(1)∵y=(3x-2)2由函数y=u2和u=3x-2复合而成,∴y'x=y'u·u'x=(u2)'·(3x-2)'=6u=18x-12.
(2)∵y=ln(6x+4)由函数y=ln u和u=6x+4复合而成,∴y'x=y'u·u'x=(ln u)'·(6x+4)'===.
(3)函数y=可以看作函数y=和u=3x+5的复合函数,根据复合函数求导法则有y'x=y'u·u'x=()'·(3x+5)'==.
[题型(二)]
[例2] 解:(1)∵(ln 3x)'=×(3x)'=,
∴y'===.
(2)y'=(x)'=x'+x()'
=+=.
(3)∵y=xcossin
=x(-sin 2x)cos 2x=-xsin 4x,
∴y'='=-sin 4x-cos 4x×4=-sin 4x-2xcos 4x.
[针对训练]
2.解:(1)y'=(e-x+2)'·(2x+1)5+e-x+2·[(2x+1)5]'
=-e-x+2·(2x+1)5+5e-x+2·(2x+1)4·(2x+1)'
=-e-x+2(2x+1)4(2x-9).
(2)y'=-sin(3x-1)·(3x-1)'-·(-2x-1)'=-3sin(3x-1)-.
(3)y'=cos 2x·(2x)'+2cos x·(cos x)'=2cos 2x-2sin xcos x=2cos 2x-sin 2x.
(4)y'=
=.
[题型(三)]
[例3] 解:x'=-32e-2t.
(1)当t=1时,x'=-.
(2)y=(x+32)=(16e-2t+36),
y'=×(-2)=-e-2t.
[针对训练]
3.解:s=5-可看作s=5-和x=25-9t2的复合函数,其中x是中间变量.
由导数公式得s'x=-,x't=-18t.
由复合函数求导法则得s't=s'x·x't=-·(-18t)=,
将t=1代入s'(t),得s'(1)=2.25(m/s),表示当t=1 s时梯子上端下滑的速度为2.25 m/s.(共59张PPT)
5.2.3
简单复合函数的导数
(强基课——梯度进阶式教学)
课时目标
1.了解复合函数的概念,掌握复合函数的求导法则.
2.能够利用复合函数的求导法则,并结合所学的公式、法则进行一些复合函数求导.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
课时跟踪检测
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
1.复合函数的定义
一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过中间变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数,记作___________.
2.复合函数求导法则
对于复合函数y=f(g(x)),y'x=__________,即y对x的导数等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数.
y=f(g(x))
y'u·u'x
微点助解
使用复合函数求导法则的注意事项
(1)分清复合函数的复合关系是由哪些基本初等函数复合而成的,选择适当的中间变量.
(2)分步计算的每一步都要明确是对哪个变量求导,而其中特别要注意的是中间变量的导数,如(sin 2x)'=2cos 2x,不能得出(sin 2x)'
=cos 2x.
(3)根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则,求出各函数的导数,并把中间变量转换成自变量的函数,如求y=sin的导数,设y=sin u,u=2x+,则y'x=y'u·u'x=cos u·2=2cos.
(4)熟练掌握复合函数的求导后,中间步骤可省略不写.
基点训练
1.函数y=(x2-1)n的复合过程正确的是 ( )
A.y=un,u=x2-1 B.y=(u-1)n,u=x2
C.y=tn,t=(x2-1)n D.y=(t-1)n,t=x2-1
解析:由复合函数求导法则知A正确.
√
2.设函数f(x)=(1-2x)10,则f'(1)= ( )
A.0 B.-1
C.-20 D.20
解析:因为f'(x)=10(1-2x)9×(-2)=-20(1-2x)9,
所以f'(1)=20.
√
3.函数y=cos的导数为 .
解析:y'='=-sin(-3)=3sin.
3sin
4.指出下列函数由哪些函数复合而成.
(1)y=ln ; (2)y=esin x; (3)y=cos(x+1).
解:(1)y=ln 由y=ln u,u=复合而成.
(2)y=esin x由y=eu,u=sin x复合而成.
(3)y=cos(x+1)由y=cos u,u=x+1复合而成.
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
[例1] 求下列函数的导数.
(1)y=; (2)y=cos x2; (3)y=sin; (4)y=.
解:(1)令u=1-3x,
则y==u-4,
所以y'u=-4u-5,u'x=-3.
所以y'x=y'u·u'x=12u-5=.
题型(一) 求复合函数的导数
(2)令u=x2,
则y=cos u,
所以y'x=y'u·u'x=-sin u·(2x)=-2xsin x2.
(3)令u=2x-,
则y=sin u,
所以y'x=y'u·u'x=cos u·2=2cos.
(4)令u=1+x2,
则y=,
所以y'x=y'u·u'x=·2x=x·=.
[思维建模] 求复合函数的导数的步骤
1.求下列函数的导数:
(1)y=(3x-2)2; (2)y=ln(6x+4); (3)y=.
解:(1)∵y=(3x-2)2由函数y=u2和u=3x-2复合而成,
∴y'x=y'u·u'x=(u2)'·(3x-2)'=6u=18x-12.
(2)∵y=ln(6x+4)由函数y=ln u和u=6x+4复合而成,
∴y'x=y'u·u'x=(ln u)'·(6x+4)'===.
针对训练
(3)函数y=可以看作函数y=和u=3x+5的复合函数,
根据复合函数求导法则有y'x=y'u·u'x=()'·(3x+5)'==.
[例2] 求下列函数的导数.
(1)y=;
(2)y=x;
(3)y=xcossin.
题型(二) 复合函数与导数的运算法则的综合应用
解:(1)∵(ln 3x)'=×(3x)'=,
∴y'=
==.
(2)y'=(x)'=x'+x()'
=+=.
(3)∵y=xcossin
=x(-sin 2x)cos 2x=-xsin 4x,
∴y'='=-sin 4x-cos 4x×4=-sin 4x-2xcos 4x.
[思维建模]
(1)在对函数求导时,应仔细观察及分析函数的结构特征,紧扣求导法则,联系学过的求导公式,对不易用求导法则求导的函数,可适当地进行等价变形,以达到化异求同、化繁为简的目的.
(2)复合函数的求导熟练后,中间步骤可以省略,即不必再写出函数的复合过程,直接运用公式,开始由外及内逐层求导.
2.求下列函数的导数:
(1)y=e-x+2(2x+1)5;
(2)y=cos(3x-1)-ln(-2x-1);
(3)y=sin 2x+cos2x;
(4)y=.
针对训练
解:(1)y'=(e-x+2)'·(2x+1)5+e-x+2·[(2x+1)5]'=-e-x+2·(2x+1)5+
5e-x+2·(2x+1)4·(2x+1)'=-e-x+2(2x+1)4(2x-9).
(2)y'=-sin(3x-1)·(3x-1)'-·(-2x-1)'=-3sin(3x-1)-.
(3)y'=cos 2x·(2x)'+2cos x·(cos x)'
=2cos 2x-2sin xcos x
=2cos 2x-sin 2x.
(4)y'=
=.
[例3] 一瓶汽水放入冰箱后,其摄氏温度x(单位:℃)随时间t(单位:h)的变化满足关系:x=4+16e-2t.
(1)求汽水温度x在t=1处的导数;
(2)已知摄氏温度x与华氏温度y之间具有如下函数关系:x=y-32.写出y关于t的函数解析式,并求y关于t的函数的导数.
题型(三) 复合函数的导数在实际问题中的应用
解:x'=-32e-2t.
(1)当t=1时,
x'=-.
(2)y=(x+32)=(16e-2t+36),
y'=×(-2)=-e-2t.
[思维建模]
将复合函数的求导与导数的实际意义结合,旨在巩固函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率,体现导数揭示物体在某时刻的变化状况.
3.有一把梯子贴靠在笔直的墙上,已知梯子上端下滑的距离s(单位:m)关于时间t(单位:s)的函数为s=s(t)=5-.求函数在t=1 s时的导数,并解释它的实际意义.
解:s=5-可看作s=5-和x=25-9t2的复合函数,
其中x是中间变量.
由导数公式得s'x=-,x't=-18t.
针对训练
由复合函数求导法则得s't=s'x·x't=-·(-18t)=,
将t=1代入s'(t),
得s'(1)=2.25(m/s),表示当t=1 s时梯子上端下滑的速度为2.25 m/s.
课时跟踪检测
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A级——综合提能
1.若函数f(x)=e2x+e2,则f'(1)=( )
A.e2 B.2e2 C.3e2 D.4e2
解析:f'(x)=e2x·2+0=2e2x,
则f'(1)=2e2.故选B.
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2.函数y=exsin 2x的导数为 ( )
A.y'=2excos 2x
B.y'=ex(sin 2x+2cos 2x)
C.y'=2ex(sin 2x+cos 2x)
D.y'=ex(2sin 2x+cos 2x)
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解析:若y=sin 2x,根据复合函数的求导法则,y'=2cos 2x,根据两函数乘积的求导公式,y=exsin 2x的导数为y'=exsin 2x+ex·2cos 2x=
ex(sin 2x+2cos 2x).故选B.
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3.函数f(x)=e4x-x-2的图象在点(0,f(0))处的切线方程是 ( )
A.3x+y+1=0 B.3x+y-1=0
C.3x-y+1=0 D.3x-y-1=0
解析:因为f'(x)=4e4x-1,
所以k= f'(0)=3.
因为f(0)=-1,
所以切线方程为y+1=3x,
即3x-y-1=0.故选D.
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4.设f(x)=ln(3x-1),若f(x)在x0处的导数f'(x0)=6,则x0的值为 ( )
A.0 B. C.3 D.6
解析:对于函数f(x)=ln(3x-1),
由3x-1>0,
可得x>,
√
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即函数f(x)的定义域为,f'(x)=,
由f'(x0)==6,
解得x0=,合乎题意.故选B.
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5.某放射性同位素在衰变过程中,其含量N(单位:贝克)与时间t(单位:天)满足函数关系N(t)=N0,其中N0为t=0时该同位素的含量.已知t=24时,该同位素含量的瞬时变化率为-e-1,则N(120)=( )
A.24贝克 B.24e-5贝克
C.1贝克 D.e-5贝克
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解析:由N(t)=N0,
得N'(t)=-N0,
因为t=24时,
该同位素含量的瞬时变化率为-e-1,
所以N'(24)=-N0=-e-1,
解得N0=24,
所以N(120)=24×=24e-5,故选B.
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6.设函数y=ln,则y'= .
解析:对于函数y=ln ,可看作y=ln u,u=,v=1+x的复合函数,
所以y'=××1=.
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7.一个质点的位移s(单位:m)与时间t(单位:s)满足函数关系式
s=3t3-(2t+1)2+1,则当t=1时,该质点的瞬时速度为 m/s.
解析:因为s=3t3-(2t+1)2+1,
所以s'=9t2-4(2t+1).
当t=1时,
s'|t=1=9-4×(2+1)=-3,
故当t=1时,
该质点的瞬时速度为-3 m/s.
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8.与函数f(x)=e3x-1在点(0,0)处具有相同切线的一个函数的解析式是 .
解析:f'(x)=3e3x,
故f'(0)=3e0=3,
则函数f(x)=e3x-1在点(0,0)处的切线为y=3x.
不妨令g(x)=3ex-3,g(0)=3e0-3=0,
故(0,0)在g(x)=3ex-3上,g'(x)=3ex,
g(x)=3ex-3(答案不唯一)
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故g'(0)=3e0=3,
则函数g(x)=3ex-3在点(0,0)处的切线为y=3x,满足要求.
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9.已知a∈R,函数f(x)=ex+ae-x的导函数是f'(x),且f'(x)是奇函数.
若曲线y=f(x)的一条切线的斜率是,求切点的横坐标x0.
解:易得f'(x)=ex-ae-x,x∈R.
∵f'(x)为奇函数,
∴f'(x)+ f'(-x)=0对任意x∈R恒成立,
即(1-a)(ex+e-x)=0对任意x∈R恒成立,
∴a=1,
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∴f(x)=ex+e-x,f'(x)=ex-e-x.
设切点的横坐标为x0,由题可得-=,
令=t(t>0),
则t-=,
解得t=2或t=- (舍去),
∴=2,
∴x0=ln 2.
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10.某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系s(t)=3sin
(0≤t≤24),其中s的单位是m,t的单位是h,求函数在t=18时的导数,并解释它的实际意义.
解:函数y=s(t)=3sin是由函数f(z)=3sin z和函数z=φ(t)=t+复合而成的,其中z是中间变量.
由导数公式表可得f'(z)=3cos z,φ'(t)=.
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再由复合函数求导法则得y't=s'(t)=f'(z)φ'(t)=3cos z·=cos.
将t=18代入s'(t),得s'(18)=cos=.
它表示当t=18时,
潮水的高度上升速度为 m/h.
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B级——应用创新
11.函数f(x)=xln(x+2)的图象在点(-1,0)处的切线与直线(a-2)x+y-2=0垂直,则实数a的值为( )
A.-2 B.-1
C.1 D.2
√
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解析:函数f(x)=xln(x+2),求导得f'(x)=ln(x+2)+,
则f'(-1)=-1,
即函数f(x)=xln(x+2)的图象在点(-1,0)处的切线斜率为-1,
因为切线与直线(a-2)x+y-2=0垂直,有(2-a)×(-1)=-1,
所以a=1.故选C.
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√
12.已知f(x)及其导函数f'(x)定义域为R,满足:x∈R,f(x)=f(2-x)+2(x-1),
g(x)=sin,g(x)定义域为,若g(x)在点(x0,g(x0))处的切线斜率与
f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率相同,则x0=( )
A. B.
C. D.
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解析:由题知,f(x)及其导函数f'(x)定义域为R,满足:x∈R,
f(x)=f(2-x)+2(x-1),
所以f'(x)=-f'(2-x)+2,
所以f'(1)=-f'(1)+2,
即f'(1)=1.
因为g(x)=sin,x∈,
所以g'(x)=2cos.
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3
2
因为g(x)在点(x0,g(x0))处的切线斜率与f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率相同,
所以g'(x0)=2cos=1,
所以cos=,
所以2x0+=±+2kπ,k∈Z,
由x∈,
解得x0=.
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13.如图,在墙角处有一根长3米的直木棒AB紧贴墙面,墙面与底面垂直.在t=0 s时,木棒的端点B以0.5 m/s的速度垂直墙面向右做匀速运动,端点A向下沿直线运动,则端点A在t=2 s这一时刻的瞬时速度为 m/s.
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解析:设端点A运动的路程为s,
则(3-s)2+=9,
因为t=2 s,
所以BB'=0.5×2=1 m<3 m,
此时木棒处于倾斜状态,
所以3-s>0,
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所以s=3-,
则s'=.
当t=2 s时,
s'=,
即端点A在t=2 s这一时刻的瞬时速度为 m/s.
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14.函数y=[f(x)]g(x)在求导时可运用对数法:在解析式两边同时取对数得到ln y=g(x)ln f(x),然后两边同时求导得=g'(x)ln f(x)+g(x),于是y'=[f(x)]g(x),用此法探求y=(x+1)x(x>0)的导数为 .
y'= (x+1)x
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解析:两边取对数可得ln y=ln(x+1)x=xln(x+1),
两边求导可得= ln(x+1)+,
所以y'=y=(x+1)x.
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15.设函数f(x)=aexln x+.
(1)求导函数f'(x);
(2)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2,求a,b的值.
解:(1)由f(x)=aexln x+,
得f'(x)=(aexln x)'+'=aexln x++.
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2
(2)由于切点既在曲线y=f(x)上,
又在切线y=e(x-1)+2上,
将x=1代入切线方程得y=2,
将x=1代入函数f(x)得f(1)=b,
∴b=2,将x=1代入导函数f'(x)中,
得f'(1)=ae=e,
∴a=1.
∴a=1,b=2.
4课时跟踪检测(二十一) 简单复合函数的导数
A级——综合提能
1.若函数f(x)=e2x+e2,则f'(1)= ( )
A.e2 B.2e2
C.3e2 D.4e2
2.函数y=exsin 2x的导数为 ( )
A.y'=2excos 2x
B.y'=ex(sin 2x+2cos 2x)
C.y'=2ex(sin 2x+cos 2x)
D.y'=ex(2sin 2x+cos 2x)
3.函数f(x)=e4x-x-2的图象在点(0,f(0))处的切线方程是 ( )
A.3x+y+1=0 B.3x+y-1=0
C.3x-y+1=0 D.3x-y-1=0
4.设f(x)=ln(3x-1),若f(x)在x0处的导数f'(x0)=6,则x0的值为 ( )
A.0 B.
C.3 D.6
5.某放射性同位素在衰变过程中,其含量N(单位:贝克)与时间t(单位:天)满足函数关系N(t)=N0,其中N0为t=0时该同位素的含量.已知t=24时,该同位素含量的瞬时变化率为-e-1,则N(120)= ( )
A.24贝克 B.24e-5贝克
C.1贝克 D.e-5贝克
6.设函数y=ln,则y'= .
7.一个质点的位移s(单位:m)与时间t(单位:s)满足函数关系式s=3t3-(2t+1)2+1,则当t=1时,该质点的瞬时速度为 m/s.
8.与函数f(x)=e3x-1在点(0,0)处具有相同切线的一个函数的解析式是 .
9.已知a∈R,函数f(x)=ex+ae-x的导函数是f'(x),且f'(x)是奇函数.若曲线y=f(x)的一条切线的斜率是,求切点的横坐标x0.
10.某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系s(t)=3sin(0≤t≤24),其中s的单位是m,t的单位是h,求函数在t=18时的导数,并解释它的实际意义.
B级——应用创新
11.函数f(x)=xln(x+2)的图象在点(-1,0)处的切线与直线(a-2)x+y-2=0垂直,则实数a的值为 ( )
A.-2 B.-1
C.1 D.2
12.已知f(x)及其导函数f'(x)定义域为R,满足:x∈R,f(x)=f(2-x)+2(x-1),g(x)=sin,g(x)定义域为,若g(x)在点(x0,g(x0))处的切线斜率与f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率相同,则x0= ( )
A. B.
C. D.
13.如图,在墙角处有一根长3米的直木棒AB紧贴墙面,墙面与底面垂直.在t=0 s时,木棒的端点B以0.5 m/s的速度垂直墙面向右做匀速运动,端点A向下沿直线运动,则端点A在t=2 s这一时刻的瞬时速度为 m/s.
14.函数y=[f(x)]g(x)在求导时可运用对数法:在解析式两边同时取对数得到ln y=g(x)ln f(x),然后两边同时求导得=g'(x)ln f(x)+g(x),于是y'=[f(x)]g(x),用此法探求y=(x+1)x(x>0)的导数为 .
15.设函数f(x)=aexln x+.
(1)求导函数f'(x);
(2)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2,求a,b的值.
课时跟踪检测(二十一)
1.选B f'(x)=e2x·2+0=2e2x,则f'(1)=2e2.故选B.
2.选B 若y=sin 2x,根据复合函数的求导法则,y'=2cos 2x,根据两函数乘积的求导公式,y=exsin 2x的导数为y'=exsin 2x+ex·2cos 2x=ex(sin 2x+2cos 2x).故选B.
3.选D 因为f'(x)=4e4x-1,所以k= f'(0)=3.因为f(0)=-1,所以切线方程为y+1=3x,即3x-y-1=0.故选D.
4.选B 对于函数f(x)=ln(3x-1),由3x-1>0,可得x>,即函数f(x)的定义域为,f'(x)=,由f'(x0)==6,解得x0=,合乎题意.故选B.
5.选B 由N(t)=N0,得N'(t)=-N0,因为t=24时,该同位素含量的瞬时变化率为-e-1,所以N'(24)=-×N0=-e-1,解得N0=24,所以N(120)=24×=24e-5,故选B.
6.解析:对于函数y=ln ,可看作y=ln u,u=,v=1+x的复合函数,所以y'=××1=.
答案:
7.解析:因为s=3t3-(2t+1)2+1,所以s'=9t2-4(2t+1).当t=1时,s'|t=1=9-4×(2+1)=-3,故当t=1时,该质点的瞬时速度为-3 m/s.
答案:-3
8.解析:f'(x)=3e3x,故f'(0)=3e0=3,则函数f(x)=e3x-1在点(0,0)处的切线为y=3x.不妨令g(x)=3ex-3,g(0)=3e0-3=0,故(0,0)在g(x)=3ex-3上,g'(x)=3ex,故g'(0)=3e0=3,则函数g(x)=3ex-3在点(0,0)处的切线为y=3x,满足要求.
答案:g(x)=3ex-3(答案不唯一)
9.解:易得f'(x)=ex-ae-x,x∈R.
∵f'(x)为奇函数,∴f'(x)+ f'(-x)=0对任意x∈R恒成立,即(1-a)(ex+e-x)=0对任意x∈R恒成立,∴a=1,
∴f(x)=ex+e-x,f'(x)=ex-e-x.
设切点的横坐标为x0,由题可得-=,令=t(t>0),则t-=,
解得t=2或t=- (舍去),
∴=2,∴x0=ln 2.
10.解:函数y=s(t)=3sin是由函数f(z)=3sin z和函数z=φ(t)=t+复合而成的,其中z是中间变量.
由导数公式表可得f'(z)=3cos z,φ'(t)=.
再由复合函数求导法则得y't=s'(t)=f'(z)φ'(t)=3cos z·=cos.
将t=18代入s'(t),得s'(18)=cos=.
它表示当t=18时,潮水的高度上升速度为 m/h.
11.选C 函数f(x)=xln(x+2),求导得f'(x)=ln(x+2)+,则f'(-1)=-1,即函数f(x)=xln(x+2)的图象在点(-1,0)处的切线斜率为-1,因为切线与直线(a-2)x+y-2=0垂直,有(2-a)×(-1)=-1,所以a=1.故选C.
12.选B 由题知,f(x)及其导函数f'(x)定义域为R,满足:x∈R,f(x)=f(2-x)+2(x-1),所以f'(x)=-f'(2-x)+2,所以f'(1)=-f'(1)+2,即f'(1)=1.因为g(x)=sin,x∈,所以g'(x)=2cos.因为g(x)在点(x0,g(x0))处的切线斜率与f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率相同,所以g'(x0)=2cos=1,所以cos=,所以2x0+=±+2kπ,k∈Z,由x∈,解得x0=.
13.解析:设端点A运动的路程为s,则(3-s)2+=9,因为t=2 s,所以BB'=0.5×2=1 m<3 m,此时木棒处于倾斜状态,所以3-s>0,所以s=3-,则s'=.当t=2 s时,s'=,即端点A在t=2 s这一时刻的瞬时速度为 m/s.
答案:
14.解析:两边取对数可得ln y=ln(x+1)x=xln(x+1),两边求导可得= ln(x+1)+,所以y'=y=(x+1)x.
答案:y'= (x+1)x
15.解:(1)由f(x)=aexln x+,得f'(x)=(aexln x)'+'=aexln x++.
(2)由于切点既在曲线y=f(x)上,又在切线y=e(x-1)+2上,将x=1代入切线方程得y=2,
将x=1代入函数f(x)得f(1)=b,
∴b=2,将x=1代入导函数f'(x)中,得f'(1)=ae=e,∴a=1.∴a=1,b=2.
