5.3.1 函数的单调性
第1课时 函数的单调性与其导数
(强基课梯度进阶式教学)
1.函数的单调性与其导数的正负关系
函数f(x)的单调性与其导函数f'(x)的正负有如下关系:在定义域内的某个区间(a,b)内,
导数 函数的单调性
f'(x)>0 单调
f'(x)<0 单调
f'(x)=0 常数函数
微点助解
(1)若在某区间上有有限个点使f'(x)=0,其余的点恒有f'(x)>0,则f(x)单调递增(单调递减的情形完全类似).也就是说,在某区间内f'(x)>0是f(x)在此区间内单调递增的充分条件,而不是必要条件.
(2)利用导数研究函数单调性时应注意的三个问题
①定义域优先的原则:解决问题的过程只能在定义域内,通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间.
②注意“临界点”和“间断点”:在对函数划分单调区间时,除了必须确定使导数等于零的点外,还要注意在定义域内的间断点.
③单调区间的表示:如果一个函数的单调区间不止一个,这些单调区间之间不能用“∪”连接,而只能用“逗号”或“和”字等隔开.
2.函数图象的变化趋势与导数值大小的关系
一般地,设函数y=f(x),在区间(a,b)内:
导数的 绝对值 函数值变化 函数的图象
越大 越 比较“ ”(向上或向下)
越小 越 比较“ ”(向上或向下)
[基点训练]
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f'(x)=0,那么f(x)在此区间内不增不减或为常数函数. ( )
(2)如果函数f(x)是定义在R上的增函数,那么一定有f'(x)>0. ( )
(3)在某区间内f'(x)>0(f'(x)<0)是函数f(x)在此区间内单调递增(减)的充分不必要条件. ( )
2.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是 ( )
A.(-∞,2) B.(0,3)
C.(1,4) D.(2,+∞)
3.函数y=f(x)的图象如图所示,则 ( )
A.f'(3)>0
B.f'(3)<0
C.f'(3)=0
D.f'(3)的正负不确定
题型(一) 利用导数的正负判断函数的单调性
[例1] 判断下列函数的单调性.
(1)f(x)=x2-ln x;
(2)f(x)=;
(3)f(x)=x3+.
听课记录:
[思维建模]
利用导数判断或证明函数单调性的思路
[针对训练]
1.函数f(x)=2x-sin x在(-∞,+∞)上是 ( )
A.增函数 B.减函数
C.先增后减 D.不确定
2.求证:f(x)=ex+在(0,+∞)上单调递增.
题型(二) 利用导数求函数的单调区间
[例2] 确定下列函数的单调区间.
(1)y=x3-9x2+24x;
(2)f(x)=(x>0且x≠1).
听课记录:
[思维建模] 求函数y=f(x)单调区间的步骤
(1)确定函数y=f(x)的定义域.
(2)求导数y'=f'(x).
(3)解不等式f'(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间.
(4)解不等式f'(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.
[针对训练]
3.求函数f(x)=x+(b>0)的单调区间.
题型(三) 导数与函数图象的关系
[例3] 画出函数f(x)=2x3-3x2-36x+16的大致图象.
听课记录:
[思维建模]
由导函数图象画原函数图象的依据:根据f'(x)>0,则f(x)单调递增,f'(x)<0,则f(x)单调递减.
由原函数图象画导函数图象的依据:若f(x)单调递增,则f'(x)的图象一定在x轴的上方;若f(x)单调递减,则f'(x)的图象一定在x轴的下方;若f(x)是常函数,则f'(x)=0.
[针对训练]
4.已知f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,那么f(x)的图象最有可能是图中的 ( )
5.设函数f(x)的图象如图所示,则导函数f'(x)的图象可能为 ( )
第1课时 函数的单调性与其导数
课前环节
1.递增 递减 2.快 陡峭 慢 平缓
[基点训练]
1.(1)√ (2)× (3)√
2.选D ∵f(x)=(x-3)ex,∴f'(x)=ex+(x-3)ex=(x-2)ex,由f'(x)>0得x>2,故选D.
3.选B 由题图可知,函数f(x)在(1,5)内单调递减,则在(1,5)内有f'(x)<0,故f'(3)<0.
课堂环节
[题型(一)]
[例1] 解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),
f'(x)=2x-=,
因为x>0,所以x+1>0,令f'(x)>0,解得x>,
所以函数f(x)在上单调递增;
令f'(x)<0,解得0所以函数f(x)在内单调递减.
(2)函数f(x)的定义域为(-∞,2)∪(2,+∞),
f'(x)==,
因为x∈(-∞,2)∪(2,+∞),所以ex>0,(x-2)2>0,令f'(x)>0,得x>3,所以函数f(x)在(3,+∞)上单调递增;
令f'(x)<0,得x<3,又x∈(-∞,2)∪(2,+∞),
所以函数f(x)在(-∞,2)和(2,3)内单调递减.
(3)函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),
f'(x)=3x2-=3,
令f'(x)>0,得x<-1或x>1,
所以函数f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增;令f'(x)<0,得-1所以函数f(x)在(-1,0)和(0,1)内单调递减.
[针对训练]
1.选A ∵f(x)=2x-sin x,∴f'(x)=2-cos x>0在(-∞,+∞)上恒成立,∴f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.
2.证明:∵f(x)=ex+,∴f'(x)=ex-e-x=e-x(e2x-1),当x∈(0,+∞)时,由指数函数的性质知e-x>0,e2x>1,∴f'(x)>0,因此函数f(x)=ex+在(0,+∞)上单调递增.
[题型(二)]
[例2] 解:(1)y'=3x2-18x+24=3(x-2)(x-4),
由y'>0,得x<2或x>4;由y'<0,得2∴函数的单调递增区间为(-∞,2),(4,+∞),单调递减区间为(2,4).
(2)f'(x)=-,若f'(x)=0,则x=,列表如下:
x (1,+∞)
f'(x) + 0 - -
f(x) 单调递增 -e 单调递减 单调递减
∴f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为,(1,+∞).
[针对训练]
3.解:函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),f'(x)='=1-,令f'(x)>0,则(x+)(x-)>0,∴x> 或x<-.
∴函数的单调递增区间为(-∞,-)和(,+∞).
令f'(x)<0,则(x+)(x-)<0,
∴-∴函数的单调递减区间为(-,0)和(0,).
综上所述,函数的单调递增区间为(-∞,-)和(,+∞),单调递减区间为(-,0)和(0,).
[题型(三)]
[例3] 解:由题可知定义域为R,f'(x)=6x2-6x-36=6(x2-x-6)=6(x-3)(x+2).
由f'(x)>0 得x<-2或x>3,
∴函数f(x)的单调递增区间是(-∞,-2)和(3,+∞).
由f'(x)<0得-2由已知得f(-2)=60,f(3)=-65,f(0)=16.
∴结合函数单调性及以上关键点画出函数f(x)大致图象如图所示.
[针对训练]
4.选D 由题意可知,当x<0和x>2时,导函数f'(x)<0,函数f(x)单调递减;当00,函数f(x)单调递增,故函数f(x)的图象如图D.
5.选C ∵f(x)在(-∞,1),(4,+∞)上单调递减,在(1,4)内单调递增,∴当x<1或x>4时,f'(x)<0;当10.(共71张PPT)
5.3.1
函数的单调性
函数的单调性与其导数
(强基课——梯度进阶式教学)
第1课时
课时目标
1.结合实例,借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.能利用导数研究函数的单调性.
2.对于多项式函数,能求不超过三次的多项式函数的单调区间.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
课时跟踪检测
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
1.函数的单调性与其导数的正负关系
函数f(x)的单调性与其导函数f'(x)的正负有如下关系:在定义域内的某个区间(a,b)内,
导数 函数的单调性
f'(x)>0 单调______
f'(x)<0 单调______
f'(x)=0 常数函数
递增
递减
微点助解
(1)若在某区间上有有限个点使f'(x)=0,其余的点恒有f'(x)>0,则f(x)单调递增(单调递减的情形完全类似).也就是说,在某区间内f'(x)>0是f(x)在此区间内单调递增的充分条件,而不是必要条件.
(2)利用导数研究函数单调性时应注意的三个问题
①定义域优先的原则:解决问题的过程只能在定义域内,通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间.
②注意“临界点”和“间断点”:在对函数划分单调区间时,除了必须确定使导数等于零的点外,还要注意在定义域内的间断点.
③单调区间的表示:如果一个函数的单调区间不止一个,这些单调区间之间不能用“∪”连接,而只能用“逗号”或“和”字等隔开.
2.函数图象的变化趋势与导数值大小的关系
一般地,设函数y=f(x),在区间(a,b)内:
导数的 绝对值 函数值变化 函数的图象
越大 越_____ 比较“______”(向上或向下)
越小 越_____ 比较“______”(向上或向下)
快
快
陡峭
平缓
基点训练
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f'(x)=0,那么f(x)在此区间内不增不减或为常数函数. ( )
(2)如果函数f(x)是定义在R上的增函数,那么一定有f'(x)>0. ( )
(3)在某区间内f'(x)>0(f'(x)<0)是函数f(x)在此区间内单调递增(减)的充分不必要条件. ( )
√
×
√
2.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是 ( )
A.(-∞,2) B.(0,3)
C.(1,4) D.(2,+∞)
解析:∵f(x)=(x-3)ex,
∴f'(x)=ex+(x-3)ex=(x-2)ex,
由f'(x)>0得x>2,故选D.
√
3.函数y=f(x)的图象如图所示,则 ( )
A.f'(3)>0
B.f'(3)<0
C.f'(3)=0
D.f'(3)的正负不确定
解析:由题图可知,函数f(x)在(1,5)内单调递减,
则在(1,5)内有f'(x)<0,
故f'(3)<0.
√
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
[例1] 判断下列函数的单调性.
(1)f(x)=x2-ln x; (2)f(x)=; (3)f(x)=x3+.
解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),
f'(x)=2x-=,
题型(一) 利用导数的正负判断函数的单调性
因为x>0,
所以x+1>0,
令f'(x)>0,
解得x>,
所以函数f(x)在上单调递增;
令f'(x)<0,
解得0所以函数f(x)在内单调递减.
(2)函数f(x)的定义域为(-∞,2)∪(2,+∞),
f'(x)==,
因为x∈(-∞,2)∪(2,+∞),
所以ex>0,(x-2)2>0,
令f'(x)>0,
得x>3,
所以函数f(x)在(3,+∞)上单调递增;
令f'(x)<0,
得x<3,
又x∈(-∞,2)∪(2,+∞),
所以函数f(x)在(-∞,2)和(2,3)内单调递减.
(3)函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),
f'(x)=3x2-=3,
令f'(x)>0,
得x<-1或x>1,
所以函数f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增;
令f'(x)<0,
得-1所以函数f(x)在(-1,0)和(0,1)内单调递减.
[思维建模]
利用导数判断或证明函数单调性的思路
1.函数f(x)=2x-sin x在(-∞,+∞)上是 ( )
A.增函数 B.减函数
C.先增后减 D.不确定
解析:∵f(x)=2x-sin x,
∴f'(x)=2-cos x>0在(-∞,+∞)上恒成立,
∴f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.
针对训练
√
2.求证:f(x)=ex+在(0,+∞)上单调递增.
证明:∵f(x)=ex+,
∴f'(x)=ex-e-x=e-x(e2x-1),
当x∈(0,+∞)时,
由指数函数的性质知e-x>0,e2x>1,
∴f'(x)>0,因此函数f(x)=ex+在(0,+∞)上单调递增.
[例2] 确定下列函数的单调区间.
(1)y=x3-9x2+24x;
(2)f(x)=(x>0且x≠1).
解:(1)y'=3x2-18x+24=3(x-2)(x-4),
由y'>0,
得x<2或x>4;
题型(二) 利用导数求函数的单调区间
由y'<0,
得2∴函数的单调递增区间为(-∞,2),(4,+∞),单调递减区间为(2,4).
(2)f'(x)=-,若f'(x)=0,则x=,列表如下:
x (1,+∞)
f'(x) + 0 - -
f(x) 单调递增 -e 单调递减 单调递减
∴f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为,(1,+∞).
[思维建模]
求函数y=f(x)单调区间的步骤
(1)确定函数y=f(x)的定义域.
(2)求导数y'=f'(x).
(3)解不等式f'(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间.
(4)解不等式f'(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.
3.求函数f(x)=x+(b>0)的单调区间.
解:函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),f'(x)='=1-,
令f'(x)>0,
则(x+)(x-)>0,
∴x> 或x<-.
∴函数的单调递增区间为(-∞,-)和(,+∞).
针对训练
令f'(x)<0,
则(x+)(x-)<0,
∴-且x≠0.
∴函数的单调递减区间为(-,0)和(0,).
综上所述,函数的单调递增区间为(-∞,-)和(,+∞),
单调递减区间为(-,0)和(0,).
[例3] 画出函数f(x)=2x3-3x2-36x+16的大致图象.
题型(三) 导数与函数图象的关系
解:由题可知定义域为R,f'(x)=6x2-6x-36=6(x2-x-6)=6(x-3)(x+2).
由f'(x)>0 得x<-2或x>3,
∴函数f(x)的单调递增区间是(-∞,-2)和(3,+∞).
由f'(x)<0得-2∴函数f(x)的单调递减区间是(-2,3).
由已知得f(-2)=60,f(3)=-65,f(0)=16.
∴结合函数单调性及以上关键点画出函数f(x)大致图象如图所示.
[思维建模]
由导函数图象画原函数图象的依据:根据f'(x)>0,则f(x)单调递增,
f'(x)<0,则f(x)单调递减.由原函数图象画导函数图象的依据:若f(x)单调递增,则f'(x)的图象一定在x轴的上方;若f(x)单调递减,则f'(x)的图象一定在x轴的下方;若f(x)是常函数,则f'(x)=0.
针对训练
4.已知f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,那么f(x)的图象最有可能是图中的 ( )
√
解析:由题意可知,当x<0和x>2时,
导函数f'(x)<0,
函数f(x)单调递减;
当0导函数f'(x)>0,函数f(x)单调递增,
故函数f(x)的图象如图D.
5.设函数f(x)的图象如图所示,则导函数f'(x)的图象可能为 ( )
√
解析:∵f(x)在(-∞,1),(4,+∞)上单调递减,
在(1,4)内单调递增,
∴当x<1或x>4时,
f'(x)<0;
当1f'(x)>0.
课时跟踪检测
1
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√
A级——综合提能
1.函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图,函数y=f(x)的一个单调递减区间是( )
A.(x1,x3) B.(x2,x4)
C.(x4,x6) D.(x5,x6)
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2
解析:由题图可知,当x∈(x1,x2),(x4,x6)时,
f'(x)>0,
当x∈(x2,x4)时,
f'(x)<0,
∴函数f(x)在(x2,x4)内单调递减,
在(x1,x2),(x4,x6)内单调递增,
∴函数y=f(x)的一个单调递减区间是(x2,x4).
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√
2.函数f(x)=x-ln x的单调递增区间为 ( )
A.(0,1) B.(0,e)
C.(1,+∞) D.
解析:f(x)=x-ln x的定义域为(0,+∞),f'(x)=1-=,
由f'(x)>0得x>1,
所以f(x)的单调递增区间为(1,+∞).故选C.
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3.已知函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则该函数的图象可能是 ( )
√
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4
2
解析:由y=f'(x)的图象知,
y=f(x)在(-1,1)内单调递增,
且在区间(-1,0)上增长速度越来越快,
而在区间(0,1)上增长速度越来越慢,故选B.
1
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2
√
4.命题甲:对任意x∈(a,b),有f'(x)>0;命题乙:f(x)在(a,b)内是单调递增的.则甲是乙的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
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2
解析:f(x)=x3在(-1,1)内是单调递增的,但f'(x)=3x2≥0(-11
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2
√
5.[多选]下列函数在定义域上为增函数的是 ( )
A.f(x)=xln x B.f(x)=ln x+x
C.f(x)=x-cos x D.f(x)=x2ex
解析:对于A,函数f(x)=xln x,
可得f'(x)=ln x+1(x>0),
当x>时,
√
1
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2
f'(x)>0,f(x)单调递增,
当0f'(x)<0,f(x)单调递减,所以A不符合题意;
对于B,函数f(x)=ln x+x,
可得f'(x)=+1(x>0),
当x>0时,
1
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3
4
2
f'(x)>0,f(x)单调递增,故B符合;
对于C,f(x)=x-cos x,
则f'(x)=1+sin x≥0,
且f'(x)不恒为0,
故f(x)单调递增,故C符合;
对于D,函数f(x)=x2ex,
可得f'(x)=ex(2x+x2),
1
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2
当x>0或x<-2时,
f'(x)>0,f(x)单调递增,
当-2f'(x)<0,f(x)单调递减,
所以D不符合题意.故选BC.
1
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2
6.函数f(x)=2x+2sin x的单调递增区间是 .
解析:∵f'(x)=2+2cos x,cos x∈[-1,1],
∴f'(x)≥0在R上恒成立,
且不恒为0,
∴函数的单调递增区间为(-∞,+∞).
(-∞,+∞)
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7.已知m是实数,函数f(x)=x2(x-m),若f'(-1)=-1,则函数f(x)的单调递减区间是 .
解析:f'(x)=2x(x-m)+x2,
因为f'(-1)=-1,
所以-2(-1-m)+1=-1,
解得m=-2.
令f'(x)=2x(x+2)+x2<0,
1
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解得-得函数f(x)的单调递减区间是.
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3
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2
8.已知f(x)满足f(4)=f(-2)=1,f'(x)为其导函数,且导函数y=f'(x)的图象如图所示,则f(x)<1的解集是 .
(-2,4)
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解析:由f(x)的导函数f'(x)的图象,知f(x)在(-∞,0]上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,
当x≤0时,
由f(x)<1=f(-2),
得-2当x>0时,
由f(x)<1=f(4),
得0综上所述,f(x)<1的解集为(-2,4).
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9.已知函数f(x)=x3-ax2,a∈R,且f'(-1)=5.
(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)求函数f(x)的单调区间.
解:(1)由题设f'(x)=3x2-2ax,
则f'(-1)=3+2a=5 a=1,
所以f(x)=x3-x2且f'(x)=3x2-2x,
则f(1)=0,f'(1)=1,
所以在点(1,f(1))处的切线方程为y=x-1,
即x-y-1=0.
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(2)由(1)知f'(x)=x(3x-2),
当f'(x)>0时,
x<0或x>,
当f'(x)<0时,
0所以f(x)的单调递增区间为(-∞,0),,单调递减区间为.
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10.已知函数f(x)=的图象在点M(-1,f(-1))处的切线方程为x+2y+5=0.
(1)求函数y=f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)的单调区间.
解:(1)因为f(x)的图象在点M(-1,f(-1))处的切线方程为x+2y+5=0.
所以f'(-1)=-,
且-1+2f(-1)+5=0,
即f(-1)=-2,即=-2,①
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又f'(x)=,
所以=-.②
由①②得a=2,b=3.
(因为b+1≠0,所以b=-1舍去)
所以所求函数的解析式是f(x)=.
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(2)由(1)知,f'(x)=.
令-2x2+12x+6=0,
解得x1=3-2,x2=3+2,
则当x<3-2或x>3+2时,
f'(x)<0;
当3-2f'(x)>0.
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故f(x)=的单调递增区间是(3-2,3+2),单调递减区间是(-∞,3-2)和(3+2,+∞).
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B级——应用创新
11.已知函数y=xf'(x)的图象如图所示(其中f'(x)是函数f(x)的导函数),下面四个图象中y=f(x)的图象大致是( )
√
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解析:由函数y=xf'(x)的图象可知,
当x<-1时,
xf'(x)<0,f'(x)>0,
此时f(x)单调递增;
当-1xf'(x)>0,f'(x)<0,
此时f(x)单调递减;
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当0xf'(x)<0,f'(x)<0,
此时f(x)单调递减;
当x>1时,
xf'(x)>0,f'(x)>0,
此时f(x)单调递增.
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√
12.[多选]若函数exf(x)(e=2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质,下列函数中具有M性质的是 ( )
A.f(x)=2-x B.f(x)=x2+2
C.f(x)=3-x D.f(x)=cos x
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解析:设g(x)=exf(x),对于A,g(x)=ex·2-x=在定义域R上是增函数,故A正确;
对于B,g(x)=(x2+2)ex,g'(x)=(x2+2x+2)ex=[(x+1)2+1]ex>0,
所以g(x)在定义域R上是增函数,故B正确;
对于C,g(x)=ex·3-x=在定义域R上是减函数,故C不正确;
对于D,g(x)=excos x,
则g'(x)=excos,g'(x)>0在定义域R上不恒成立,故D不正确.
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√
13.[多选]设函数f(x)=,则下列说法正确的是( )
A.f(x)的定义域是(0,+∞)
B.当x∈(0,1)时,f(x)的图象位于x轴下方
C.f(x)存在单调递增区间
D.f(x)有两个单调区间
√
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解析:由
得x>0且x≠1,
所以函数f(x)=的定义域为(0,1)∪(1,+∞),
所以A不正确.
当x∈(0,1)时,
ln x<0,ex>0,
所以f(x)<0,
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所以当x∈(0,1)时,
f(x)的图象位于x轴下方,所以B正确.
f'(x)=,
令g(x)=ln x-,
则g'(x)=+>0,
所以函数g(x)单调递增,g(1)=-1<0,g(e)=1->0,
故存在x0∈(1,e),
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使得g(x0)=0,
则方程f'(x)=0只有一个根x0,
当x∈(0,1)和x∈(1,x0)时,
f'(x)<0,函数f(x)单调递减,
当x∈(x0,+∞)时,
函数f(x)单调递增,
所以函数f(x)有三个单调区间,
所以C正确,D不正确.故选BC.
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14.已知函数f(x)是R上的偶函数,且在(0,+∞)上有f'(x)>0,若f(-1)=0,则关于x的不等式xf(x)<0的解集是 .
解析:因为在(0,+∞)上f'(x)>0,
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,
又f(x)为偶函数,
所以f(-1)=f(1)=0,
且f(x)在(-∞,0)上单调递减,f(x)的草图如图所示,
所以xf(x)<0的解集为(-∞,-1)∪(0,1).
(-∞,-1)∪(0,1)
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15.已知函数f(x)=(k为常数,e为自然对数的底数),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行.
(1)求实数k的值;
(2)求函数f(x)的单调区间.
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解:(1)由f(x)=,
可得f'(x)=.
∵曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行,
∴f'(1)=0,
即=0,
解得k=1.
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(2)由(1)知,f'(x)=(x>0),
设h(x)=-ln x-1(x>0),
则h'(x)=--<0.
可知h(x)在(0,+∞)上单调递减,
由h(1)=0知,
当0h(x)>h(1)=0,
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故f'(x)>0;
当x>1时,
h(x)故f'(x)<0.
综上,f(x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,+∞).课时跟踪检测(二十二) 函数的单调性与其导数
A级——综合提能
1.函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图,函数y=f(x)的一个单调递减区间是 ( )
A.(x1,x3) B.(x2,x4)
C.(x4,x6) D.(x5,x6)
2.函数f(x)=x-ln x的单调递增区间为 ( )
A.(0,1) B.(0,e)
C.(1,+∞) D.
3.已知函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则该函数的图象可能是 ( )
4.命题甲:对任意x∈(a,b),有f'(x)>0;命题乙:f(x)在(a,b)内是单调递增的.则甲是乙的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.[多选]下列函数在定义域上为增函数的是 ( )
A.f(x)=xln x B.f(x)=ln x+x
C.f(x)=x-cos x D.f(x)=x2ex
6.函数f(x)=2x+2sin x的单调递增区间是 .
7.已知m是实数,函数f(x)=x2(x-m),若f'(-1)=-1,则函数f(x)的单调递减区间是 .
8.已知f(x)满足f(4)=f(-2)=1,f'(x)为其导函数,且导函数y=f'(x)的图象如图所示,则f(x)<1的解集是 .
9.已知函数f(x)=x3-ax2,a∈R,且f'(-1)=5.
(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)求函数f(x)的单调区间.
10.已知函数f(x)=的图象在点M(-1,f(-1))处的切线方程为x+2y+5=0.
(1)求函数y=f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)的单调区间.
B级——应用创新
11.已知函数y=xf'(x)的图象如图所示(其中f'(x)是函数f(x)的导函数),下面四个图象中y=f(x)的图象大致是 ( )
12.[多选]若函数exf(x)(e=2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质,下列函数中具有M性质的是 ( )
A.f(x)=2-x B.f(x)=x2+2
C.f(x)=3-x D.f(x)=cos x
13.[多选]设函数f(x)=,则下列说法正确的是 ( )
A.f(x)的定义域是(0,+∞)
B.当x∈(0,1)时,f(x)的图象位于x轴下方
C.f(x)存在单调递增区间
D.f(x)有两个单调区间
14.已知函数f(x)是R上的偶函数,且在(0,+∞)上有f'(x)>0,若f(-1)=0,则关于x的不等式xf(x)<0的解集是 .
15.已知函数f(x)=(k为常数,e为自然对数的底数),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行.
(1)求实数k的值;
(2)求函数f(x)的单调区间.
课时跟踪检测(二十二)
1.选B 由题图可知,当x∈(x1,x2),(x4,x6)时,f'(x)>0,当x∈(x2,x4)时,f'(x)<0,∴函数f(x)在(x2,x4)内单调递减,在(x1,x2),(x4,x6)内单调递增,∴函数y=f(x)的一个单调递减区间是(x2,x4).
2.选C f(x)=x-ln x的定义域为(0,+∞),f'(x)=1-=,由f'(x)>0得x>1,所以f(x)的单调递增区间为(1,+∞).故选C.
3.选B 由y=f'(x)的图象知,y=f(x)在(-1,1)内单调递增,且在区间(-1,0)上增长速度越来越快,而在区间(0,1)上增长速度越来越慢,故选B.
4.选A f(x)=x3在(-1,1)内是单调递增的,但f'(x)=3x2≥0(-15.选BC 对于A,函数f(x)=xln x,可得f'(x)=ln x+1(x>0),当x>时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当00),当x>0时,f'(x)>0,f(x)单调递增,故B符合;对于C,f(x)=x-cos x,则f'(x)=1+sin x≥0,且f'(x)不恒为0,故f(x)单调递增,故C符合;对于D,函数f(x)=x2ex,可得f'(x)=ex(2x+x2),当x>0或x<-2时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当-26.解析:∵f'(x)=2+2cos x,cos x∈[-1,1],∴f'(x)≥0在R上恒成立,且不恒为0,∴函数的单调递增区间为(-∞,+∞).
答案:(-∞,+∞)
7.解析:f'(x)=2x(x-m)+x2,因为f'(-1)=-1,所以-2(-1-m)+1=-1,解得m=-2.令f'(x)=2x(x+2)+x2<0,解得-答案:
8.解析:由f(x)的导函数f'(x)的图象,知f(x)在(-∞,0]上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,当x≤0时,由f(x)<1=f(-2),得-20时,由f(x)<1=f(4),得0答案:(-2,4)
9.解:(1)由题设f'(x)=3x2-2ax,
则f'(-1)=3+2a=5 a=1,
所以f(x)=x3-x2且f'(x)=3x2-2x,
则f(1)=0,f'(1)=1,
所以在点(1,f(1))处的切线方程为y=x-1,
即x-y-1=0.
(2)由(1)知f'(x)=x(3x-2),
当f'(x)>0时,x<0或x>,
当f'(x)<0时,0所以f(x)的单调递增区间为(-∞,0),,单调递减区间为.
10.解:(1)因为f(x)的图象在点M(-1,f(-1))处的切线方程为x+2y+5=0.
所以f'(-1)=-,且-1+2f(-1)+5=0,
即f(-1)=-2,即=-2,①
又f'(x)=,
所以=-.②
由①②得a=2,b=3.
(因为b+1≠0,所以b=-1舍去)
所以所求函数的解析式是f(x)=.
(2)由(1)知,f'(x)=.
令-2x2+12x+6=0,
解得x1=3-2,x2=3+2,
则当x<3-2或x>3+2时,f'(x)<0;
当3-20.
故f(x)=的单调递增区间是(3-2,3+2),单调递减区间是(-∞,3-2)和(3+2,+∞).
11.选C 由函数y=xf'(x)的图象可知,当x<-1时,xf'(x)<0,f'(x)>0,此时f(x)单调递增;当-10,f'(x)<0,此时f(x)单调递减;当01时,xf'(x)>0,f'(x)>0,此时f(x)单调递增.
12.选AB 设g(x)=exf(x),对于A,g(x)=ex·2-x=在定义域R上是增函数,故A正确;对于B,g(x)=(x2+2)ex,g'(x)=(x2+2x+2)ex=[(x+1)2+1]ex>0,所以g(x)在定义域R上是增函数,故B正确;对于C,g(x)=ex·3-x=在定义域R上是减函数,故C不正确;对于D,g(x)=excos x,则g'(x)=excos,g'(x)>0在定义域R上不恒成立,故D不正确.
13.选BC 由得x>0且x≠1,所以函数f(x)=的定义域为(0,1)∪(1,+∞),所以A不正确.当x∈(0,1)时,ln x<0,ex>0,所以f(x)<0,所以当x∈(0,1)时,f(x)的图象位于x轴下方,所以B正确.f'(x)=,令g(x)=ln x-,则g'(x)=+>0,所以函数g(x)单调递增,g(1)=-1<0,g(e)=1->0,故存在x0∈(1,e),使得g(x0)=0,则方程f'(x)=0只有一个根x0,当x∈(0,1)和x∈(1,x0)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,当x∈(x0,+∞)时,函数f(x)单调递增,所以函数f(x)有三个单调区间,所以C正确,D不正确.故选BC.
14.解析:因为在(0,+∞)上f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,又f(x)为偶函数,所以f(-1)=f(1)=0,且f(x)在(-∞,0)上单调递减,f(x)的草图如图所示,所以xf(x)<0的解集为(-∞,-1)∪(0,1).
答案:(-∞,-1)∪(0,1)
15.解:(1)由f(x)=,可得f'(x)=.
∵曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行,
∴f'(1)=0,即=0,解得k=1.
(2)由(1)知,f'(x)=(x>0),
设h(x)=-ln x-1(x>0),
则h'(x)=--<0.
可知h(x)在(0,+∞)上单调递减,由h(1)=0知,
当0h(1)=0,故f'(x)>0;
当x>1时,h(x)综上,f(x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,+∞).
