第2课时 导数与函数单调性的综合应用
(深化课题型研究式教学)
题型(一) 讨论含参函数的单调性
[例1] 讨论函数f(x)=x2-aln x(a≥0)的单调性.
听课记录:
[变式拓展]
已知函数f(x)=x2-2x+aln x(a>0),求函数f(x)的单调递增区间.
[思维建模]
在讨论含有参数的函数单调性时,若f'(x)中的参数不容易判断其正负时,需要对参数进行分类,分类的标准:
(1)按导函数是否有零点分大类;
(2)在大类中再按导数零点的大小分小类;
(3)在小类中再按零点是否在定义域中分类.
[针对训练]
1.已知函数f(x)=ax-(a+2)ln x--ln a(a>0),讨论函数f(x)的单调性.
题型(二) 根据函数的单调性求参数
[例2] 已知函数f(x)=ln x-ax2-2x(a≠0).
(1)函数f(x)存在单调递减区间,求a的取值范围;
(2)若函数f(x)在[1,4]上单调递减,求a的取值范围.
听课记录:
[变式拓展]
1.本例条件不变,若f(x)在[1,4]上存在单调递增区间,求a的取值范围.
2.若本例条件不变,f(x)在[1,4]上单调递增,求a的取值范围.
[思维建模]
1.已知f(x)在区间(a,b)内的单调性,求参数范围的方法
(1)利用集合的包含关系处理f(x)在(a,b)内单调递增(减)的问题,则区间(a,b)是相应单调区间的子集;
(2)利用不等式的恒成立处理f(x)在(a,b)内单调递增(减)的问题,则f'(x)≥0(f'(x)≤0)在(a,b)内恒成立,注意验证等号是否成立.
2.恒成立问题的重要思路
(1)m≥f(x)恒成立 m≥f(x)max;
(2)m≤f(x)恒成立 m≤f(x)min.
[针对训练]
2.若函数f(x)=2x2+ln x-ax在定义域上单调递增,求实数a的取值范围.
题型(三) 根据函数的单调性比较大小或解不等式
[例3] 已知函数f(x)=+ln x,则有 ( )
A.f(e)
C.f(e)[例4] 已知函数f(x)=1-x+-,若不等式f(a2+a)≤f(2a+2)成立,则实数a的取值范围为 .
听课记录:
[思维建模]
(1)在比较两数(式)的大小关系时,首先要判断所给函数的单调性,再根据函数的单调性比较大小.
(2)在解一些不等式时,先判断函数的单调性,再利用单调性脱去f,即可得到变量的大小关系.
[针对训练]
3.若f(x)=,eA.f(a)>f(b) B.f(a)=f(b)
C.f(a)1
4.已知函数f(x)=x-sin x,则不等式f(x+1)+f(2-2x)>0的解集是 .
第2课时 导数与函数单调性的综合应用
[题型(一)]
[例1] 解:函数f(x)的定义域是(0,+∞),
f'(x)=2x-=(x>0),
设g(x)=2x2-a,由g(x)=0,得2x2=a.
当a=0时,f'(x)=2x>0,函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增.
当a>0时,由g(x)=0,得x=或x=-(舍去).
当x∈时,g(x)<0,即f'(x)<0;
当x∈时,g(x)>0,即f'(x)>0.
∴当a>0时,函数f(x)在区间内单调递减,在区间上单调递增.
综上,当a=0时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;
当a>0时,函数f(x)在上单调递增,在内单调递减.
[变式拓展]
解:f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=2x-2+=,x>0,
令h(x)=2x2-2x+a,注意到Δ=4(1-2a).
①当a≥时,Δ≤0,f'(x)≥0,故f(x)在(0,+∞)上单调递增;
②当00,令f'(x)=0,得x1=>0,x2=>0,
令f'(x)>0,
解得x∈∪,
所以f(x)的单调递增区间为,.
综上,当a≥时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞);
当0[针对训练]
1.解:由题意知f(x)的定义域为(0,+∞),
f'(x)==,x>0,
令f'(x)=0,解得x1=1,x2=.
①当<1,即a>2时,若x∈∪(1,+∞),则f'(x)>0;若x∈,则f'(x)<0.
∴f(x)在,(1,+∞)上单调递增,在内单调递减.
②当=1,即a=2时,f'(x)=≥0且f'(x)不恒等于0,
∴f(x)在(0,+∞)上单调递增.
③当>1,即00;若x∈,则f'(x)<0.
∴f(x)在(0,1),上单调递增,
在内单调递减.
综上所述,当a>2时,f(x)在,(1,+∞)上单调递增,在内单调递减;当a=2时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;当0 [题型(二)]
[例2] 解:(1)因为f(x)=ln x-ax2-2x,x∈(0,+∞),所以f'(x)=-ax-2.由于f(x)在(0,+∞)上存在单调递减区间,所以当x∈(0,+∞)时,-ax-2<0有解,即a>-有解.
设G(x)=-,所以只要a>G(x)min即可.
又G(x)=-1,所以G(x)min=-1.
所以a>-1.
又因为a≠0,所以a的取值范围为(-1,0)∪(0,+∞).
(2)因为f(x)在[1,4]上单调递减,
所以当x∈[1,4]时,f'(x)=-ax-2≤0恒成立,
即a≥-恒成立.由(1)知G(x)=-,
所以a≥G(x)max,又G(x)=-1,x∈[1,4],所以∈,所以G(x)max=-(此时x=4),所以a≥-.
又因为a≠0,所以a的取值范围是∪(0,+∞).
[变式拓展]
1.解:f(x)在[1,4]上存在单调递增区间,
则f'(x)>0在[1,4]上有解,
所以当x∈[1,4]时,a<-有解.
又当x∈[1,4]时,=-,所以a<-,
所以a的取值范围是.
2.解:因为f(x)在[1,4]上单调递增,
所以当x∈[1,4]时,f'(x)≥0恒成立.
所以当x∈[1,4]时,a≤-恒成立.
又当x∈[1,4]时,=-1(此时x=1),
所以a≤-1,即a的取值范围是(-∞,-1].
[针对训练]
2.解:函数f(x)=2x2+ln x-ax在定义域上单调递增,
则f'(x)=4x+-a≥0在(0,+∞)上恒成立,
即a≤4x+(x>0)恒成立.
令g(x)=4x+(x>0),则a≤g(x)min.
g(x)=4x+≥2=4,当且仅当4x=,即x=时取等号,故a≤4;
当a=4时,f'(x)=4x+-4==≥0恒成立,满足题意,所以a≤4.
故实数a的取值范围是(-∞,4].
[题型(三)]
[例3] 选D f'(x)=+,所以x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上是增函数,又2[例4] 解析:由f(x)=1-x+-,得f'(x)=-1+x-x2=--<0,所以f(x)在R上为减函数.由f(a2+a)≤f(2a+2),得a2+a≥2a+2,解得a≤-1或a≥2.
答案:(-∞,-1]∪[2,+∞)
[针对训练]
3.选A 因为f'(x)==,当x∈(e,+∞)时,1-ln x<0,所以f'(x)<0,所以f(x)在(e,+∞)上单调递减.故f(a)>f(b).
4.解析:因为f(x)=x-sin x,所以f(-x)=-x+sin x=-f(x),即函数f(x)为奇函数,函数的导数f'(x)=1-cos x≥0,则函数f(x)是增函数,则不等式f(x+1)+f(2-2x)>0等价于f(x+1)>-f(2-2x)=f(2x-2),即x+1>2x-2,解得x<3,故不等式的解集为(-∞,3).
答案:(-∞,3)(共68张PPT)
导数与函数单调性的综合应用 (深化课——题型研究式教学)
第2课时
课时目标
1.进一步理解函数的导数和其单调性的关系;能求简单的含参的函数的单调区间.
2.能根据函数的单调性求参数的取值范围,比较大小解不等式等.
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一) 讨论含参函数的单调性
题型(二) 根据函数的单调性求参数
题型(三) 根据函数的单调性
比较大小或解不等式
4
课时跟踪检测
题型(一) 讨论含参函数的单调性
01
[例1] 讨论函数f(x)=x2-aln x(a≥0)的单调性.
解:函数f(x)的定义域是(0,+∞),
f'(x)=2x-=(x>0),
设g(x)=2x2-a,
由g(x)=0,
得2x2=a.
当a=0时,
f'(x)=2x>0,函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增.
当a>0时,
由g(x)=0,
得x=或x=-(舍去).
当x∈时,
g(x)<0,
即f'(x)<0;
当x∈时,
g(x)>0,
即f'(x)>0.
∴当a>0时,
函数f(x)在区间内单调递减,在区间上单调递增.
综上,当a=0时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;
当a>0时,函数f(x)在上单调递增,在内单调递减.
[变式拓展]
已知函数f(x)=x2-2x+aln x(a>0),求函数f(x)的单调递增区间.
解:f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=2x-2+=,x>0,
令h(x)=2x2-2x+a,注意到Δ=4(1-2a).
①当a≥时,
Δ≤0,f'(x)≥0,
故f(x)在(0,+∞)上单调递增;
②当0Δ>0,
令f'(x)=0,
得x1=>0,x2=>0,
令f'(x)>0,
解得x∈∪,
所以f(x)的单调递增区间为,.
综上,当a≥时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞);
当0 [思维建模]
在讨论含有参数的函数单调性时,若f'(x)中的参数不容易判断其正负时,需要对参数进行分类,分类的标准:
(1)按导函数是否有零点分大类;
(2)在大类中再按导数零点的大小分小类;
(3)在小类中再按零点是否在定义域中分类.
针对训练
1.已知函数f(x)=ax-(a+2)ln x--ln a(a>0),讨论函数f(x)的单调性.
解:由题意知f(x)的定义域为(0,+∞),
f'(x)==,x>0,
令f'(x)=0,
解得x1=1,x2=.
①当<1,
即a>2时,
若x∈∪(1,+∞),
则f'(x)>0;
若x∈,
则f'(x)<0.
∴f(x)在,(1,+∞)上单调递增,在内单调递减.
②当=1,
即a=2时,
f'(x)=≥0且f'(x)不恒等于0,
∴f(x)在(0,+∞)上单调递增.
③当>1,
即0若x∈(0,1)∪,
则f'(x)>0;
若x∈,
则f'(x)<0.
∴f(x)在(0,1),上单调递增,
在内单调递减.
综上所述,当a>2时,f(x)在,(1,+∞)上单调递增,在内单调递减;当a=2时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;当0题型(二) 根据函数的单调性求参数
02
[例2] 已知函数f(x)=ln x-ax2-2x(a≠0).
(1)函数f(x)存在单调递减区间,求a的取值范围;
(2)若函数f(x)在[1,4]上单调递减,求a的取值范围.
解:(1)因为f(x)=ln x-ax2-2x,x∈(0,+∞),
所以f'(x)=-ax-2.
由于f(x)在(0,+∞)上存在单调递减区间,
所以当x∈(0,+∞)时,
-ax-2<0有解,
即a>-有解.
设G(x)=-,
所以只要a>G(x)min即可.
又G(x)=-1,
所以G(x)min=-1.
所以a>-1.
又因为a≠0,
所以a的取值范围为(-1,0)∪(0,+∞).
(2)因为f(x)在[1,4]上单调递减,
所以当x∈[1,4]时,
f'(x)=-ax-2≤0恒成立,
即a≥-恒成立.
由(1)知G(x)=-,
所以a≥G(x)max,
又G(x)=-1,
x∈[1,4],
所以∈,
所以G(x)max=-(此时x=4),
所以a≥-.
又因为a≠0,
所以a的取值范围是∪(0,+∞).
[变式拓展]
1.本例条件不变,若f(x)在[1,4]上存在单调递增区间,求a的取值范围.
解:f(x)在[1,4]上存在单调递增区间,
则f'(x)>0在[1,4]上有解,
所以当x∈[1,4]时,
a<-有解.
又当x∈[1,4]时,
=-,
所以a<-,
所以a的取值范围是.
2.若本例条件不变,f(x)在[1,4]上单调递增,求a的取值范围.
解:因为f(x)在[1,4]上单调递增,
所以当x∈[1,4]时,
f'(x)≥0恒成立.
所以当x∈[1,4]时,
a≤-恒成立.
又当x∈[1,4]时,
=-1(此时x=1),
所以a≤-1,
即a的取值范围是(-∞,-1].
[思维建模]
1.已知f(x)在区间(a,b)内的单调性,求参数范围的方法
(1)利用集合的包含关系处理f(x)在(a,b)内单调递增(减)的问题,则区间(a,b)是相应单调区间的子集;
(2)利用不等式的恒成立处理f(x)在(a,b)内单调递增(减)的问题,则f'(x)≥0(f'(x)≤0)在(a,b)内恒成立,注意验证等号是否成立.
2.恒成立问题的重要思路
(1)m≥f(x)恒成立 m≥f(x)max;
(2)m≤f(x)恒成立 m≤f(x)min.
针对训练
2.若函数f(x)=2x2+ln x-ax在定义域上单调递增,求实数a的取值范围.
解:函数f(x)=2x2+ln x-ax在定义域上单调递增,
则f'(x)=4x+-a≥0在(0,+∞)上恒成立,
即a≤4x+(x>0)恒成立.
令g(x)=4x+(x>0),
则a≤g(x)min.
g(x)=4x+≥2=4,
当且仅当4x=,
即x=时取等号,
故a≤4;
当a=4时,
f'(x)=4x+-4==≥0恒成立,满足题意,
所以a≤4.
故实数a的取值范围是(-∞,4].
题型(三) 根据函数的单调性
比较大小或解不等式
03
[例3] 已知函数f(x)=+ln x,则有( )
A.f(e)C.f(e)解析:f'(x)=+,
所以x∈(0,+∞)时,
f'(x)>0,
√
所以f(x)在(0,+∞)上是增函数,
又2所以f(2)[例4] 已知函数f(x)=1-x+-,若不等式f(a2+a)≤f(2a+2)成立,
则实数a的取值范围为 .
解析:由f(x)=1-x+-,
得f'(x)=-1+x-x2=--<0,
所以f(x)在R上为减函数.
由f(a2+a)≤f(2a+2),
得a2+a≥2a+2,
解得a≤-1或a≥2.
(-∞,-1]∪[2,+∞)
[思维建模]
(1)在比较两数(式)的大小关系时,首先要判断所给函数的单调性,再根据函数的单调性比较大小.
(2)在解一些不等式时,先判断函数的单调性,再利用单调性脱去f,即可得到变量的大小关系.
针对训练
3.若f(x)=,eA.f(a)>f(b) B.f(a)=f(b)
C.f(a)1
解析:因为f'(x)==,
当x∈(e,+∞)时,
1-ln x<0,
√
所以f'(x)<0,
所以f(x)在(e,+∞)上单调递减.
故f(a)>f(b).
4.已知函数f(x)=x-sin x,则不等式f(x+1)+f(2-2x)>0的解集是 .
解析:因为f(x)=x-sin x,
所以f(-x)=-x+sin x=-f(x),
即函数f(x)为奇函数,函数的导数f'(x)=1-cos x≥0,
则函数f(x)是增函数,
则不等式f(x+1)+f(2-2x)>0等价于f(x+1)>-f(2-2x)=f(2x-2),
即x+1>2x-2,
解得x<3,
故不等式的解集为(-∞,3).
(-∞,3)
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√
A级——综合提能
1.函数f(x)=ax3-x在R上为减函数,则a的取值范围为( )
A.(-∞,0] B.(-∞,1)
C.(-∞,2) D.
解析:f'(x)=3ax2-1≤0恒成立,
∴a≤0.
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√
2.已知函数f(x)=ln x+x2+ax的单调递减区间为,则a的值为( )
A.(-∞,-3) B.-3
C.3 D.(-∞,3)
解析:由题意得函数f(x)的定义域为(0,+∞),
f'(x)=+2x+a=<0的解集为,
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所以不等式2x2+ax+1<0的解集为,
所以+1=-,
解得a=-3.
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√
3.已知函数f(x)=ax+cos x在内单调递增,则a的取值范围是( )
A.[-1,+∞) B.[1,+∞)
C. D.
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解析:f'(x)=a-sin x≥0在上恒成立,
即a≥(sin x)max,
所以a≥1,
则a的取值范围是[1,+∞).故选B.
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√
4.[多选]若函数f(x)=ax3+3x2-x+1恰好有三个单调区间,则实数a的取值可以是 ( )
A.-3 B.-1 C.0 D.2
解析:依题意知,f'(x)=3ax2+6x-1有两个不相等的零点,
故
解得a>-3且a≠0.故选BD.
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√
5.若f(x)=xsin x+cos x,a=f(-3),b=f(),c=f(2),则a,b,c的大小关系为( )
A.aC.b解析:因为f(-x)=-xsin(-x)+cos(-x)=xsin x+cos x=f(x),
可知函数f(x)为偶函数,
所以a=f(-3)=f(3).
又因为f'(x)=sin x+xcos x-sin x=xcos x,
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且x∈,
则x>0,cos x<0,
即f'(x)=xcos x<0,
所以f(x)在区间内单调递减,
且<<2<3<π,
所以f(-3)=f(3)即a10
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6.若函数y=x2-2bx+6在(2,8)内单调递增,则实数b的取值范围是 .
解析:由题意得y'=2x-2b≥0在(2,8)内恒成立,
即b≤x在(2,8)内恒成立,
所以b≤2.
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(-∞,2]
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7.若函数f(x)=x2-4ln x在其定义域的一个子区间(k-2,k+2)内不具有单调性,则实数k的取值范围是 .
解析:由题意f'(x)=x-(x>0)单调递增,
且f'(2)=2-=0,
所以若函数f(x)=x2-4ln x在其定义域的一个子区间(k-2,k+2)内不具有单调性,
则0≤k-2<2解得2≤k<4.
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[2,4)
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8.已知函数f(x)=x3-x的值域为,则f(x)的定义域可以是
.(写出一个符合条件的即可)
解析:f'(x)=x2-1,
令f'(x)=0可得x=-1或x=1,
所以当x<-1或x>1时,
f'(x)>0,
当-15
[-1,1](答案不唯一)
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f'(x)<0,
故f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增,在(-1,1)内单调递减,
且f(-1)=,f(1)=-,
由此可知定义域可以是[-1,1].
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9.已知函数f(x)=x-aln x.
(1)若f(x)在[1,+∞)上单调递增,求a的取值范围;
(2)求f(x)的单调区间.
解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1-=,
当a≤0时,
f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,满足题意;
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当a>0时,
令f'(x)=≥0,
解得x<0 (舍去)或x≥a,
要使f(x)在[1,+∞)上单调递增,
则a≤1,
所以0综上,a的取值范围为(-∞,1].
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(2)由(1)可知,当a≤0时,
f(x)在(0,+∞)上单调递增,
当a>0时,
f(x)在(a,+∞)上单调递增,令f'(x)=<0,
解得0综上,当a≤0时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞);当a>0时,f(x)的单调递增区间为(a,+∞),单调递减区间为(0,a).
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10.已知f(x)=x2+x+aln x(a∈R).讨论f(x)的单调性.
解:由已知,f(x)=x2+x+aln x(a∈R)的定义域为(0,+∞),f'(x)=2x+1+=,
①当a≥0时,
f'(x)>0在区间(0,+∞)上恒成立,f(x)在区间(0,+∞)上单调递增.
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②当a<0时,
令f'(x)=0,
则2x2+x+a=0,Δ=1-8a>0,
解得x1=<0(舍去),x2=>0,
∴当x∈时,
2x2+x+a<0,
∴f'(x)<0,
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∴f(x)在区间内单调递减;
当x∈时,
2x2+x+a>0,
∴f'(x)>0,
∴f(x)在区间上单调递增.
综上所述,当a≥0时,f(x)在区间(0,+∞)上单调递增;当a<0时,f(x)在区间内单调递减,在区间上单调递增.
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√
B级——应用创新
11.已知函数的定义域为R,f(1)=5,对任意x∈R,f'(x)<2,则f(x)>3+2x的解集为( )
A.(-1,1) B.(2,+∞)
C.(1,2) D.(-∞,1)
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解析:设g(x)=f(x)-2x-3,
则g'(x)= f'(x)-2.
∵对任意x∈R,f'(x)<2,
∴对任意x∈R,g'(x)<0,
∴g(x)在R上单调递减.
∵f(1)=5,
∴g(1)=f(1)-2-3=0,
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由g(x)> g(1)=0,
得x<1,
∴f(x)>3+2x的解集为(-∞,1).故选D.
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12.已知函数f(x)=ex-+sin x,其中e是自然对数的底数,若f(2a)+f(a2)≤0,则实数a的取值范围是 .
解析:易知f(-x)=e-x-+sin(-x)=-ex+-sin x=-f(x),
且x∈R,
即f(x)为奇函数.
又f'(x)=ex++cos x≥2+cos x=2+cos x>0,
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[-2,0]
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当且仅当x=0时取等号,
故f(x)为增函数.
由于f(2a)+f(a2)≤0 f(2a)≤-f(a2)=f(-a2) ,
所以2a≤-a2 a∈[-2,0].
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13.已知函数f(x)=-x2+x+6在(a,a+1)内不具有单调性,则实数a的取值范围是 .
解析:根据题意,函数f(x)=-x2+x+6,
其导数f'(x)=-2x+1,
令f'(x)=0,
可得x=,
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当x<时,
f'(x)>0;
当x>时,
f'(x)<0.
则在区间上,
f(x)单调递增;
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在区间上,
f(x)单调递减,
若函数f(x)=-x2+x+6在(a,a+1)内不具有单调性,
则a<解得-即a的取值范围为.
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14.已知函数f(x)=xln x.
(1)求曲线f(x)在x=1处的切线方程;
(2)讨论函数f(x)在区间(0,t](t>0)内的单调性.
解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=ln x+1.
曲线f(x)在x=1处的切线的斜率为k= f'(1)=1.
把x=1代入f(x)=xln x中得f(1)=0,
即切点坐标为(1,0).
所以曲线f(x)在x=1处的切线方程为y=x-1.
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(2)令f'(x)=ln x+1=0,
得x=.
①当0在区间(0,t]内,f'(x)≤0,f(x)单调递减.
②当t>时,
在区间内,f'(x)<0,f(x)单调递减;在区间内,
f'(x)>0,f(x)单调递增.
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综上,当0当t>时,在区间内,f(x)单调递减,在区间内,f(x)单调递增.
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10课时跟踪检测(二十三) 导数与函数单调性的综合应用
A级——综合提能
1.函数f(x)=ax3-x在R上为减函数,则a的取值范围为 ( )
A.(-∞,0] B.(-∞,1)
C.(-∞,2) D.
2.已知函数f(x)=ln x+x2+ax的单调递减区间为,则a的值为 ( )
A.(-∞,-3) B.-3
C.3 D.(-∞,3)
3.已知函数f(x)=ax+cos x在内单调递增,则a的取值范围是 ( )
A.[-1,+∞) B.[1,+∞)
C. D.
4.[多选]若函数f(x)=ax3+3x2-x+1恰好有三个单调区间,则实数a的取值可以是 ( )
A.-3 B.-1
C.0 D.2
5.若f(x)=xsin x+cos x,a=f(-3),b=f(),c=f(2),则a,b,c的大小关系为 ( )
A.aC.b6.若函数y=x2-2bx+6在(2,8)内单调递增,则实数b的取值范围是 .
7.若函数f(x)=x2-4ln x在其定义域的一个子区间(k-2,k+2)内不具有单调性,则实数k的取值范围是 .
8.已知函数f(x)=x3-x的值域为,则f(x)的定义域可以是 .(写出一个符合条件的即可)
9.已知函数f(x)=x-aln x.
(1)若f(x)在[1,+∞)上单调递增,求a的取值范围;
(2)求f(x)的单调区间.
10.已知f(x)=x2+x+aln x(a∈R).讨论f(x)的单调性.
B级——应用创新
11.已知函数的定义域为R,f(1)=5,对任意x∈R,f'(x)<2,则f(x)>3+2x的解集为 ( )
A.(-1,1) B.(2,+∞)
C.(1,2) D.(-∞,1)
12.已知函数f(x)=ex-+sin x,其中e是自然对数的底数,若f(2a)+f(a2)≤0,则实数a的取值范围是 .
13.已知函数f(x)=-x2+x+6在(a,a+1)内不具有单调性,则实数a的取值范围是 .
14.已知函数f(x)=xln x.
(1)求曲线f(x)在x=1处的切线方程;
(2)讨论函数f(x)在区间(0,t](t>0)内的单调性.
课时跟踪检测(二十三)
1.选A f'(x)=3ax2-1≤0恒成立,∴a≤0.
2.选B 由题意得函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=+2x+a=<0的解集为,所以不等式2x2+ax+1<0的解集为,所以+1=-,解得a=-3.
3.选B f'(x)=a-sin x≥0在上恒成立,即a≥(sin x)max,所以a≥1,则a的取值范围是[1,+∞).故选B.
4.选BD 依题意知,f'(x)=3ax2+6x-1有两个不相等的零点,故解得a>-3且a≠0.故选BD.
5.选B 因为f(-x)=-xsin(-x)+cos(-x)=xsin x+cos x=f(x),可知函数f(x)为偶函数,所以a=f(-3)=f(3).又因为f'(x)=sin x+xcos x-sin x=xcos x,且x∈,则x>0,cos x<0,即f'(x)=xcos x<0,所以f(x)在区间内单调递减,且<<2<3<π,所以f(-3)=f(3)6.解析:由题意得y'=2x-2b≥0在(2,8)内恒成立,即b≤x在(2,8)内恒成立,所以b≤2.
答案:(-∞,2]
7.解析:由题意f'(x)=x-(x>0)单调递增,且f'(2)=2-=0,所以若函数f(x)=x2-4ln x在其定义域的一个子区间(k-2,k+2)内不具有单调性,则0≤k-2<2答案:[2,4)
8.解析:f'(x)=x2-1,令f'(x)=0可得x=-1或x=1,所以当x<-1或x>1时,f'(x)>0,当-1答案:[-1,1](答案不唯一)
9.解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1-=,当a≤0时,f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,满足题意;
当a>0时,令f'(x)=≥0,解得x<0 (舍去)或x≥a,要使f(x)在[1,+∞)上单调递增,则a≤1,所以0综上,a的取值范围为(-∞,1].
(2)由(1)可知,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增,当a>0时,f(x)在(a,+∞)上单调递增,令f'(x)=<0,解得0综上,当a≤0时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞);当a>0时,f(x)的单调递增区间为(a,+∞),单调递减区间为(0,a).
10.解:由已知,f(x)=x2+x+aln x(a∈R)的定义域为(0,+∞),f'(x)=2x+1+=,
①当a≥0时,f'(x)>0在区间(0,+∞)上恒成立,f(x)在区间(0,+∞)上单调递增.
②当a<0时,令f'(x)=0,则2x2+x+a=0,Δ=1-8a>0,
解得x1=<0(舍去),x2=>0,
∴当x∈时,2x2+x+a<0,∴f'(x)<0,
∴f(x)在区间内单调递减;
当x∈时,2x2+x+a>0,
∴f'(x)>0,
∴f(x)在区间上单调递增.
综上所述,当a≥0时,f(x)在区间(0,+∞)上单调递增;当a<0时,f(x)在区间内单调递减,在区间上单调递增.
11.选D 设g(x)=f(x)-2x-3,则g'(x)= f'(x)-2.∵对任意x∈R,f'(x)<2,∴对任意x∈R,g'(x)<0,∴g(x)在R上单调递减.∵f(1)=5,∴g(1)=f(1)-2-3=0,由g(x)> g(1)=0,得x<1,∴f(x)>3+2x的解集为(-∞,1).故选D.
12.解析:易知f(-x)=e-x-+sin(-x)=-ex+-sin x=-f(x),且x∈R,即f(x)为奇函数.又f'(x)=ex++cos x≥2+cos x=2+cos x>0,当且仅当x=0时取等号,故f(x)为增函数.由于f(2a)+f(a2)≤0 f(2a)≤-f(a2)=f(-a2) ,所以2a≤-a2 a∈[-2,0].
答案:[-2,0]
13.解析:根据题意,函数f(x)=-x2+x+6,其导数f'(x)=-2x+1,令f'(x)=0,可得x=,当x<时,f'(x)>0;当x>时,f'(x)<0.则在区间上,f(x)单调递增;在区间上,f(x)单调递减,若函数f(x)=-x2+x+6在(a,a+1)内不具有单调性,则a<答案:
14.解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=ln x+1.
曲线f(x)在x=1处的切线的斜率为k= f'(1)=1.
把x=1代入f(x)=xln x中得f(1)=0,即切点坐标为(1,0).
所以曲线f(x)在x=1处的切线方程为y=x-1.
(2)令f'(x)=ln x+1=0,得x=.
①当0②当t>时,在区间内,f'(x)<0,f(x)单调递减;在区间内,f'(x)>0,f(x)单调递增.
综上,当0当t>时,在区间内,f(x)单调递减,在区间内,f(x)单调递增.