5.3.2 函数的极值与最大(小)值
第1课时 函数的极值(强基课梯度进阶式教学)
课时目标
1.借助函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.
2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值.体会导数与单调性、极值的关系.
1.极小值点与极小值
函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点处的函数值都小,f'(a)=0;而且在点x=a附近的左侧 ,右侧 ,则把点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.
2.极大值点与极大值
函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点处的函数值都大,f'(b)=0;而且在点x=b的左侧 ,右侧 ,则把点b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.
、 统称为极值点, 和 统称为极值.
微点助解
(1)对于极值的认识
①函数的极值是一个局部性的概念,是仅对某一点的左右两侧区域而言的.
②若f(x)在某区间内有极值,则f(x)在该区间内一定不具有单调性,即在区间上具有单调性的函数没有极值.
(2)对于函数极值点的认识
①函数f(x)在某区间内有极值,它的极值点的分布是有规律的,相邻两个极大值点之间必有一个极小值点,同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点.
②当函数f(x)在某区间上连续且有有限个极值点时,函数f(x)在该区间内的极大值点与极小值点是交替出现的.
③从曲线的切线角度看,曲线在极值点处切线的斜率为0.并且,曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正.
3.求函数y=f(x)的极值的方法
解方程f'(x)=0,当f'(x0)=0时:
(1)如果在x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么f(x0)是 .
(2)如果在x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,那么f(x0)是 .
[基点训练]
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)导数值为0的点一定是函数的极值点. ( )
(2)函数的极小值一定小于它的极大值. ( )
(3)函数在定义域内有一个极大值和一个极小值. ( )
(4)如果f(x)在(a,b)内有极值,那么f(x)在(a,b)内不具有单调性. ( )
2.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f'(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点 ( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
3.若函数y=-x3+6x2+m的极大值等于13,则实数m等于 .
题型(一) 函数极值的辨析
[例1] [多选]已知函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数y=(1-x)f'(x)的图象如图所示,则 ( )
A.函数f(x)有极大值f(2)
B.函数f(x)有极大值f(-2)
C.函数f(x)有极小值f(-2)
D.函数f(x)有极小值f(2)
听课记录:
[思维建模]
解答此类问题要先搞清楚所给的图象是原函数还是导函数的,对于导函数的图象,重点考查哪个区间上为正,哪个区间上为负,在哪个点处与x轴相交,在该点附近的导数值是如何变化的.若由正值变为负值,则在该点处取得极大值;若是由负值变为正值,则在该点处取得极小值.
[针对训练]
1.设f(x)=x2+cos x,则函数f(x) ( )
A.有且仅有一个极小值 B.有且仅有一个极大值
C.有无数个极值 D.没有极值
2.[多选]如图是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象,则下列说法正确的是 ( )
A.函数f(x)在区间(1,3)内单调递减
B.f(1)
C.函数f(x)在x=1处取极大值
D.函数f(x)在区间(-2,5)内有两个极小值点
题型(二) 求函数的极值
[例2] 求下列函数的极值点和极值.
(1)f(x)=x3-x2-3x+3;
(2)f(x)=+3ln x.
听课记录:
[思维建模]
求可导函数f(x)的极值的步骤
(1)求函数的定义域;
(2)求函数的导数f'(x);
(3)令f'(x)=0,求出全部的根x0;
(4)列表:方程的根x0将整个定义域分成若干个区间,把x,f'(x),f(x)在每个区间内的变化情况列在一个表格内;
(5)判断得结论:若导数在x0附近左正右负,则在x0处取得极大值;若左负右正,则在x0处取得极小值.
[针对训练]
3.(1)求f(x)=x2e-x的极值;
(2)求函数f(x)=的极值.
题型(三) 由函数极值求参数的值或范围
[例3] 已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则a的取值范围是 ( )
A.(-1,2) B.(-∞,-3)∪(6,+∞)
C.(-3,6) D.(-∞,-1)∪(2,+∞)
听课记录:
[例4] [多选]已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10,则下列说法正确的是 ( )
A.a+b=0
B.a+b=-7
C.f(x)一定有两个极值点
D.f(x)一定存在单调递减区间
听课记录:
[思维建模]
已知函数的极值情况求参数时应注意两点
待定 系数法 根据极值点处导数值为0和极值两个条件列出方程组,用待定系数法求解
验证 因为导数值为0不一定此点就是极值点,故利用上述方程组解出的解必须验证
[针对训练]
4.若函数f(x)=x3-ax2+ax在(0,1)内有极大值,在(1,2)内有极小值,则实数a的取值范围为 ( )
A.(-∞,0) B.
C. D.
5.已知f(x)=ax5-bx3+c在x=±1处取得极大值为4,极小值为0,试确定a,b,c的值.
第1课时 函数的极值
课前环节
1.f'(x)<0 f'(x)>0 2.f'(x)>0 f'(x)<0 极大值点 极小值点 极大值 极小值 3.(1)极大值 (2)极小值
[基点训练]
1.(1)× (2)× (3)× (4)√
2.A
3.解析:y'=-3x2+12x,由y'=0,得x=0或x=4,容易得出当x=4时函数取得极大值,所以-43+6×42+m=13,解得m=-19.
答案:-19
课堂环节
[题型(一)]
[例1] 选BD 由题图可知,当x<-2时,f'(x)>0;当-22时,f'(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值.
[针对训练]
1.选A f'(x)=x-sin x,f″(x)=1-cos x≥0,∴f'(x)单调递增且f'(0)=0,∴当x<0时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,当x>0时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,故f(x)有唯一的极小值点.故选A.
2.选BD 由导函数y=f'(x)的图象,可知函数f(x)在(1,2)内单调递增,在(2,3)内单调递减,故f(1) [题型(二)]
[例2] 解:(1)f(x)=x3-x2-3x+3的定义域为R,f'(x)=x2-2x-3.
令f'(x)=0,得x1=3,x2=-1.
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表.
x (-∞,-1) -1 (-1,3) 3 (3,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
因此当x=-1时,f(x)有极大值,并且极大值为f(-1)=;当x=3时,f(x)有极小值,并且极小值为f(3)=-6.
(2)函数f(x)=+3ln x的定义域为(0,+∞),f'(x)=-+=,令f'(x)=0得x=1.
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表.
x (0,1) 1 (1,+∞)
f'(x) - 0 +
f(x) 单调递减 极小值 单调递增
因此当x=1时,f(x)有极小值,并且极小值为f(1)=3;无极大值.
[针对训练]
3.解:(1)f'(x)=2xe-x-x2e-x,
令f'(x)=0,得x=0或x=2,
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表.
x (-∞,0) 0 (0,2) 2 (2,+∞)
f'(x) - 0 + 0 -
f(x) 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减
所以f(x)的极小值是f(0)=0,极大值是f(2)=.
(2)函数f(x)=的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),f'(x)=.
令f'(x)=0,得x1=-1,x2=2.
所以当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表.
x (-∞, -1) -1 (-1,1) (1,2) 2 (2,+∞)
f'(x) + 0 - + 0 +
f(x) 单调递增 极大值 单调递减 单调递增 非极值 单调递增
故当x=-1时,f(x)有极大值,极大值为-.
[题型(三)]
[例3] 选B 函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1,所以f'(x)=3x2+2ax+a+6,函数f(x)有极大值和极小值,所以其导函数f'(x)=0有两个不同的解,Δ=4a2-4×3(a+6)>0,所以a<-3或a>6.
[例4] 选BCD 函数f(x)=x3+ax2+bx+a2定义域为R,求导得f'(x)=3x2+2ax+b,依题意,即解得或当时,f'(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0,函数f(x)在R上单调递增,无极值不符合题意,当时,f'(x)=3x2+8x-11=(3x+11)·(x-1),当x<-或x>1时,f'(x)>0,当-[针对训练]
4.选C 由f(x)=x3-ax2+ax,得f'(x)=x2-2ax+a,因为f(x)在(0,1)内有极大值,在(1,2)内有极小值,所以解得15.解:f'(x)=5ax4-3bx2=x2(5ax2-3b),
由题意,f'(x)=0应有根x=±1,故5a=3b,于是f'(x)=5ax2(x2-1),
当a>0时,如表所示.
x (-∞,-1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,+∞)
f'(x) + 0 - 0 - 0 +
f(x) 单调递增 极大 值 单调 递减 非极 值 单调 递减 极小 值 单调递增
当a>0时,由表可得,f(x)极大值为f(-1)=4,
即-a+b+c=4 ①,
f(x)极小值为f(1)=0,即a-b+c=0 ②,又5a=3b ③,
解①②③得a=3,b=5,c=2.
当a<0时,同理可得f(x)极大值为f(1)=4,即a-b+c=4,f(x)极小值为f(-1)=0,即-a+b+c=0,又5a=3b,同理解得a=-3,b=-5,c=2.所以a=3,b=5,c=2或a=-3,b=-5,c=2.(共82张PPT)
5.3.2
函数的极值与最大(小)值
函数的极值 (强基课——梯度进阶式教学)
第1课时
课时目标
1.借助函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.
2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值.体会导数与单调性、
极值的关系.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
课时跟踪检测
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
1.极小值点与极小值
函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点处的函数值都小,
f'(a)=0;而且在点x=a附近的左侧________,右侧________,则把点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.
f'(x)<0
f'(x)>0
2.极大值点与极大值
函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点处的函数值都大,f'(b)=0;而且在点x=b的左侧________,右侧________,则把点b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.
_________、 _________统称为极值点, _______和_______统称为极值.
f'(x)>0
f'(x)<0
极大值点
极小值点
极大值
极小值
微点助解
(1)对于极值的认识
①函数的极值是一个局部性的概念,是仅对某一点的左右两侧区域而言的.
②若f(x)在某区间内有极值,则f(x)在该区间内一定不具有单调性,即在区间上具有单调性的函数没有极值.
(2)对于函数极值点的认识
①函数f(x)在某区间内有极值,它的极值点的分布是有规律的,相邻两个极大值点之间必有一个极小值点,同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点.
②当函数f(x)在某区间上连续且有有限个极值点时,函数f(x)在该区间内的极大值点与极小值点是交替出现的.
③从曲线的切线角度看,曲线在极值点处切线的斜率为0.并且,曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正.
3.求函数y=f(x)的极值的方法
解方程f'(x)=0,当f'(x0)=0时:
(1)如果在x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么f(x0)是_________.
(2)如果在x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,那么f(x0)是_________.
极大值
极小值
基点训练
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)导数值为0的点一定是函数的极值点. ( )
(2)函数的极小值一定小于它的极大值. ( )
(3)函数在定义域内有一个极大值和一个极小值. ( )
(4)如果f(x)在(a,b)内有极值,那么f(x)在(a,b)内不具有单调性. ( )
×
×
×
√
2.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f'(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
√
3.若函数y=-x3+6x2+m的极大值等于13,则实数m等于 .
解析:y'=-3x2+12x,
由y'=0,
得x=0或x=4,容易得出当x=4时函数取得极大值,
所以-43+6×42+m=13,
解得m=-19.
-19
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
[例1] [多选]已知函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数y=(1-x)f'(x)的图象如图所示,则 ( )
A.函数f(x)有极大值f(2)
B.函数f(x)有极大值f(-2)
C.函数f(x)有极小值f(-2)
D.函数f(x)有极小值f(2)
题型(一) 函数极值的辨析
√
√
解析:由题图可知,当x<-2时,
f'(x)>0;
当-2f'(x)<0;
当1f'(x)<0;
当x>2时,
f'(x)>0.
由此可以得到函数f(x)在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值.
[思维建模]
解答此类问题要先搞清楚所给的图象是原函数还是导函数的,对于导函数的图象,重点考查哪个区间上为正,哪个区间上为负,在哪个点处与x轴相交,在该点附近的导数值是如何变化的.若由正值变为负值,则在该点处取得极大值;若是由负值变为正值,则在该点处取得极小值.
1.设f(x)=x2+cos x,则函数f(x)( )
A.有且仅有一个极小值 B.有且仅有一个极大值
C.有无数个极值 D.没有极值
解析: f'(x)=x-sin x,f″(x)=1-cos x≥0,
∴f'(x)单调递增且f'(0)=0,
∴当x<0时,
针对训练
√
f'(x)<0,函数f(x)单调递减,
当x>0时,
f'(x)>0,函数f(x)单调递增,
故f(x)有唯一的极小值点.故选A.
2.[多选]如图是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象,则下列说法正确的是 ( )
A.函数f(x)在区间(1,3)内单调递减
B.f(1)C.函数f(x)在x=1处取极大值
D.函数f(x)在区间(-2,5)内有两个极小值点
√
√
解析:由导函数y=f'(x)的图象,可知函数f(x)在(1,2)内单调递增,在(2,3)内单调递减,
故f(1)故A错误,B正确;
由导函数的图象,
可知f(x)在(-1,2)内单调递增,
故x=1不是函数的极大值点,
故C错误;
由导函数图象可得在区间(-2,5)内有f'(-1)=f'(4)=0,
且在(-2,-1)与(3,4)内导函数小于0,
在(-1,0)和(4,5)内导函数大于0,
故x=-1和x=4为函数的两个极小值点,
故在区间(-2,5)内有两个极小值点,故D正确.
[例2] 求下列函数的极值点和极值.
(1)f(x)=x3-x2-3x+3;
(2)f(x)=+3ln x.
解:(1)f(x)=x3-x2-3x+3的定义域为R,f'(x)=x2-2x-3.
令f'(x)=0,
得x1=3,x2=-1.
题型(二) 求函数的极值
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表.
x (-∞,-1) -1 (-1,3) 3 (3,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
因此当x=-1时,
f(x)有极大值,
并且极大值为f(-1)=;
当x=3时,
f(x)有极小值,并且极小值为f(3)=-6.
(2)函数f(x)=+3ln x的定义域为(0,+∞),f'(x)=-+=,
令f'(x)=0得x=1.
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表.
x (0,1) 1 (1,+∞)
f'(x) - 0 +
f(x) 单调递减 极小值 单调递增
因此当x=1时,
f(x)有极小值,
并且极小值为f(1)=3;无极大值.
[思维建模] 求可导函数f(x)的极值的步骤
(1)求函数的定义域;
(2)求函数的导数f'(x);
(3)令f'(x)=0,求出全部的根x0;
(4)列表:方程的根x0将整个定义域分成若干个区间,把x,f'(x),f(x)在每个区间内的变化情况列在一个表格内;
(5)判断得结论:若导数在x0附近左正右负,则在x0处取得极大值;若左负右正,则在x0处取得极小值.
3.(1)求f(x)=x2e-x的极值;
(2)求函数f(x)=的极值.
解:(1)f'(x)=2xe-x-x2e-x,
令f'(x)=0,
得x=0或x=2,
针对训练
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表.
x (-∞,0) 0 (0,2) 2 (2,+∞)
f'(x) - 0 + 0 -
f(x) 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减
所以f(x)的极小值是f(0)=0,
极大值是f(2)=.
(2)函数f(x)=的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),f'(x)=.
令f'(x)=0,
得x1=-1,x2=2.
所以当x变化时,
f'(x),f(x)的变化情况如下表.
x (-∞,-1) -1 (-1,1) (1,2) 2 (2,+∞)
f'(x) + 0 - + 0 +
f(x) 单调递增 极大值 单调递减 单调递增 非极值 单调递增
故当x=-1时,
f(x)有极大值,
极大值为-.
[例3] 已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则a的取值范围是 ( )
A.(-1,2) B.(-∞,-3)∪(6,+∞)
C.(-3,6) D.(-∞,-1)∪(2,+∞)
题型(三) 由函数极值求参数的值或范围
√
解析:函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1,
所以f'(x)=3x2+2ax+a+6,
函数f(x)有极大值和极小值,
所以其导函数f'(x)=0有两个不同的解,Δ=4a2-4×3(a+6)>0,
所以a<-3或a>6.
[例4] [多选]已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10,则下列说法正确的是 ( )
A.a+b=0
B.a+b=-7
C.f(x)一定有两个极值点
D.f(x)一定存在单调递减区间
√
√
√
解析:函数f(x)=x3+ax2+bx+a2定义域为R,
求导得f'(x)=3x2+2ax+b,
依题意,
即
解得或
当时,
f'(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0,
函数f(x)在R上单调递增,
无极值不符合题意,
当时,
f'(x)=3x2+8x-11=(3x+11)(x-1),
当x<-或x>1时,
f'(x)>0,
当-f'(x)<0,
因此函数f(x)在,(1,+∞)上单调递增,
在内单调递减,
f(x)在x=1处取得极小值,符合题意,
则a+b=-7,A不正确,B正确;
函数f(x)在x=-处取得极大值,
f(x)一定有两个极值点,C正确;
f(x)一定存在单调递减区间,D正确.
[思维建模]
已知函数的极值情况求参数时应注意两点
待定 系数法 根据极值点处导数值为0和极值两个条件列出方程组,用待定系数法求解
验证 因为导数值为0不一定此点就是极值点,故利用上述方程组解出的解必须验证
针对训练
4.若函数f(x)=x3-ax2+ax在(0,1)内有极大值,在(1,2)内有极小值,则实数a的取值范围为( )
A.(-∞,0) B.
C. D.
√
解析:由f(x)=x3-ax2+ax,
得f'(x)=x2-2ax+a,
因为f(x)在(0,1)内有极大值,
在(1,2)内有极小值,
所以
解得15.已知f(x)=ax5-bx3+c在x=±1处取得极大值为4,极小值为0,
试确定a,b,c的值.
解:f'(x)=5ax4-3bx2=x2(5ax2-3b),
由题意,f'(x)=0应有根x=±1,
故5a=3b,
于是f'(x)=5ax2(x2-1),
当a>0时,如表所示.
x (-∞,-1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,+∞)
f'(x) + 0 - 0 - 0 +
f(x) 单调递增 极大值 单调递减 非极值 单调 递减 极小值 单调
递增
当a>0时,
由表可得,f(x)极大值为f(-1)=4,
即-a+b+c=4 ①,
f(x)极小值为f(1)=0,
即a-b+c=0 ②,
又5a=3b ③,
解①②③得a=3,b=5,c=2.
当a<0时,
同理可得f(x)极大值为f(1)=4,
即a-b+c=4,f(x)极小值为f(-1)=0,
即-a+b+c=0,
又5a=3b,
同理解得a=-3,b=-5,c=2.
所以a=3,b=5,c=2或a=-3,b=-5,c=2.
课时跟踪检测
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
√
A级——综合提能
1.若函数y=f(x)可导,则“f'(x)=0有实根”是“f(x)有极值”的( )
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
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15
2
解析:f'(x)=0,但f'(x)在零点左侧和右侧都同时大于零或者小于零时f(x)在零点处无极值,
但f(x)有极值则f'(x)在极值点处一定等于0.
所以“f'(x)=0有实根”是“f(x)有极值”的必要不充分条件.故选A.
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2
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4
√
2.定义在区间上的函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,则下列结论错误的是( )
A.函数f(x)在区间(0,4)内单调递增
B.函数f(x)在区间内单调递减
C.函数f(x)在x=0处取得极小值
D.函数f(x)在x=3处取得极小值
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解析根据导函数图象可知,在区间内,
f'(x)<0,
f(x)单调递减,
在(0,4)内,
f'(x)>0,
f(x)单调递增,
所以f(x)在x=0处取得极小值,
没有极大值,
故A、B、C正确,D错误,故选D.
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2
√
3.已知函数f(x)=xex的极小值为 ( )
A.e B.-1
C.-e D.-
解析:因为f(x)=xex,
所以f'(x)=(x+1)ex,
令f'(x)=0得x=-1,
令f'(x)>0得x>-1,
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2
令f'(x)<0得x<-1,
所以函数f(x)=xex在(-1,+∞)上单调递增,
在(-∞,-1)上单调递减,
所以f(x)=xex的极小值为f(-1)=-e-1=-.故选D.
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√
4.已知函数f(x)的导数f'(x)=a(x+1)(x-a),若f(x)在x=a处取到极大值,则a的取值范围是 ( )
A.(-∞,-1) B.(0,+∞)
C.(0,1) D.(-1,0)
解析:若a<-1,
∵f'(x)=a(x+1)(x-a),
∴f(x)在(-∞,a)上单调递减,
在(a,-1)内单调递增,
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2
∴f(x)在x=a处取得极小值,与题意不符;
若-1则f(x)在(-1,a)内单调递增,
在(a,+∞)上单调递减,
从而在x=a处取得极大值.
若a>0,
则f(x)在(-1,a)内单调递减,
在(a,+∞)上单调递增,与题意矛盾,故选D.
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√
5.若函数y=ex-2mx有小于零的极值点,则实数m的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.(0,1)
解析:由y=ex-2mx,
得y'=ex-2m.
∵函数y=ex-2mx有小于零的极值点,
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∴ex-2m=0有小于零的实根,
即m=ex有小于零的实根,
∵x<0,
∴0∴01
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6.已知函数f(x)=ax3+bx2+c,其导数y=f'(x)的图象如图所示,则函数的极小值是 .
c
解析:依题意f'(x)=3ax2+2bx.
由题图可知,当x<0时,
f'(x)<0,
当0f'(x)>0,
故x=0时函数f(x)有极小值,
极小值为f(0)=c.
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2
7.设x=1与x=2是函数f(x)=aln x+bx2+x的两个极值点,则常数a= .
解析:因为f'(x)=+2bx+1,
由题意得
解得
-
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2
8.函数f(x)=ax3-6x的一个极值点为1,则f(x)的极大值是 .
解析:f(x)=ax3-6x定义域为R,
f'(x)=3ax2-6,
由题意得,
f'(1)=3a-6=0,
解得a=2,
故f'(x)=6x2-6.
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2
令f'(x)=0,
解得x=±1,
令f'(x)>0,
得x>1或x<-1,
f(x)=2x3-6x单调递增,
令f'(x)<0,
得-11
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f(x)=2x3-6x单调递减,
故f(x)=2x3-6x在x=-1处取得极大值,
极大值为f(-1)=-2+6=4.
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2
9.求下列函数的极值:
(1)f(x)=ex-x;
(2)f(x)=x-ln(x+1).
解:(1)函数定义域为R,f'(x)=ex-1.
令f'(x)=0,
解得x=0.
当x<0时,
f'(x)<0,
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2
函数f(x)单调递减;
当x>0时,
f'(x)>0,
函数f(x)单调递增.
所以当x=0时,
函数f(x)取得极小值,
且极小值为f(0)=1,
函数f(x)无极大值.
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2
(2)函数f(x)的定义域为(-1,+∞),f'(x)=1-=.
令f'(x)=0,
得x=0.
当-1f'(x)<0,
函数f(x)单调递减;
1
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2
当x>0时,
f'(x)>0,
函数f(x)单调递增.
所以当x=0时,
函数f(x)取得极小值,
且极小值为f(0)=0,
函数f(x)无极大值.
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2
10.设函数f(x)=ex(ax2+bx-3),且满足f()=0,f'(0)=-3.
(1)求实数a+b的值;
(2)求函数f(x)的极值.
解:(1)f(x)=ex(ax2+bx-3),则
f'(x)=ex[ax2+(b+2a)x+b-3],
即
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解得
故实数a+b的值为1.
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2
(2)由(1)得f(x)=ex(x2-3),函数定义域为R,
f'(x)=ex(x2+2x-3),
由f'(x)>0,
解得x<-3或x>1;
由f'(x)<0,
解得-31
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3
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2
则f(x)在(-∞,-3)和(1,+∞)上单调递增,
在(-3,1)内单调递减.
当x=-3时,
f(x)有极大值f(-3)=;
当x=1时,
f(x)有极小值f(1)=-2e.
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2
B级——应用创新
11.[多选]设函数f(x)的定义域为R,x0(x0≠0)是f(x)的极大值点,以下结论一定正确的是( )
A. x∈R,f(x)≥f(x0)
B.-x0是f(-x)的极大值点
C.-x0是-f(x)的极小值点
D.-x0是-f(-x)的极小值点
√
√
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3
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2
解析:函数的极值是一个局部性的概念,是仅对某一点的左右两侧区域而言的,故A不正确;
f(-x)的图象相当于f(x)的图象关于y轴的对称图象,故-x0应是f(-x)的极大值点,故B正确;
-f(x)的图象相当于f(x)的图象关于x轴的对称图象,故x0应是-f(x)的极小值点,跟-x0没有关系,故C不正确;
-f(-x)的图象相当于f(x)的图象先关于y轴作对称,再关于x轴作对称得到的图象,故D正确.故选BD.
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2
√
12.已知函数f(x)=x(ln x-ax)有两个极值点,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-∞,0) B.
C.(0,1) D.(0,+∞)
解析:函数f(x)=x(ln x-ax),
则f'(x)=ln x-ax+x=ln x-2ax+1,
令f'(x)=ln x-2ax+1=0得ln x=2ax-1,
1
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2
函数f(x)=x(ln x-ax)有两个极值点,
等价于f'(x)=ln x-2ax+1有两个零点,
等价于函数y=ln x与y=2ax-1的图象有两个交点.
在同一坐标系中作出它们的图象(如图),
当a=时,
直线y=2ax-1与y=ln x的图象相切,
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由图可知,当0y=ln x与y=2ax-1的图象有两个交点,
则实数a的取值范围是.
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√
13.(2024·新课标Ⅰ卷)[多选]设函数f(x)=(x-1)2(x-4),则 ( )
A.x=3是f(x)的极小值点
B.当0C.当1D.当-1f(x)
√
√
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2
解析:因为函数f(x)的定义域为R,
而f'(x)=2(x-1)(x-4)+(x-1)2=3(x-1)(x-3),
易知当x∈(1,3)时,
f'(x)<0,
当x∈(-∞,1)或x∈(3,+∞)时,
f'(x)>0,
函数f(x)在(-∞,1)上单调递增,
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在(1,3)内单调递减,
在(3,+∞)上单调递增,
故x=3是函数f(x)的极小值点,
故A正确;
当0x-x2=x(1-x)>0,
所以1>x>x2>0,
而由上可知,函数f(x)在(0,1)内单调递增,
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所以f(x)>f(x2),
故B错误;
当11<2x-1<3,
而由上可知,函数f(x)在(1,3)内单调递减,
所以f(1)>f(2x-1)>f(3),
即-4故C正确;
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2
当-1f(2-x)-f(x)=(1-x)2(-2-x)-(x-1)2(x-4)=(x-1)2(2-2x)>0,
所以f(2-x)>f(x),
故D正确.故选ACD.
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14.已知f(x)=x3-x2+2x+1,x1,x2是f(x)的两个极值点,且0解析:∵f'(x)=x2-ax+2,
∴x1,x2是f'(x)=0的两个根,
由0得
解得31
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15.已知函数f(x)=(x2+ax+a)ex(a<2,x∈R).
(1)当a=1时,求f(x)的单调区间;
(2)是否存在实数a,使f(x)的极大值为3 若存在,求出a的值,若不存在,请说明理由.
解:(1)f(x)=(x2+x+1)ex,f'(x)=(2x+1)ex+(x2+x+1)ex=(x2+3x+2)ex.
当f'(x)>0时,
解得x<-2或x>-1;
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当f'(x)<0时,
解得-2∴f(x)的单调递增区间为(-∞,-2),(-1,+∞),
单调递减区间为(-2,-1).
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(2)令f'(x)=(2x+a)ex+(x2+ax+a)ex=[x2+(2+a)x+2a]ex=(x+a)(x+2)ex=0,
解得x=-a或x=-2.
∵a<2,
∴-a>-2,列表如下.
x (-∞,-2) -2 (-2,-a) -a (-a,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
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由表可知f(x)极大值=f(-2)=(4-2a+a)e-2=3,
解得a=4-3e2<2.
∴存在实数a<2,
使f(x)的极大值为3,
此时a=4-3e2.课时跟踪检测(二十四) 函数的极值
A级——综合提能
1.若函数y=f(x)可导,则“f'(x)=0有实根”是“f(x)有极值”的 ( )
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.定义在区间上的函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,则下列结论错误的是 ( )
A.函数f(x)在区间(0,4)内单调递增
B.函数f(x)在区间内单调递减
C.函数f(x)在x=0处取得极小值
D.函数f(x)在x=3处取得极小值
3.已知函数f(x)=xex的极小值为 ( )
A.e B.-1
C.-e D.-
4.已知函数f(x)的导数f'(x)=a(x+1)(x-a),若f(x)在x=a处取到极大值,则a的取值范围是 ( )
A.(-∞,-1) B.(0,+∞)
C.(0,1) D.(-1,0)
5.若函数y=ex-2mx有小于零的极值点,则实数m的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.(0,1)
6.已知函数f(x)=ax3+bx2+c,其导数y=f'(x)的图象如图所示,则函数的极小值是 .
7.设x=1与x=2是函数f(x)=aln x+bx2+x的两个极值点,则常数a= .
8.函数f(x)=ax3-6x的一个极值点为1,则f(x)的极大值是 .
9.求下列函数的极值:
(1)f(x)=ex-x;
(2)f(x)=x-ln(x+1).
10.设函数f(x)=ex(ax2+bx-3),且满足f()=0,f'(0)=-3.
(1)求实数a+b的值;
(2)求函数f(x)的极值.
B级——应用创新
11.[多选]设函数f(x)的定义域为R,x0(x0≠0)是f(x)的极大值点,以下结论一定正确的是 ( )
A. x∈R,f(x)≥f(x0)
B.-x0是f(-x)的极大值点
C.-x0是-f(x)的极小值点
D.-x0是-f(-x)的极小值点
12.已知函数f(x)=x(ln x-ax)有两个极值点,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-∞,0) B.
C.(0,1) D.(0,+∞)
13.(2024·新课标Ⅰ卷)[多选]设函数f(x)=(x-1)2(x-4),则 ( )
A.x=3是f(x)的极小值点
B.当0C.当1D.当-1f(x)
14.已知f(x)=x3-x2+2x+1,x1,x2是f(x)的两个极值点,且015.已知函数f(x)=(x2+ax+a)ex(a<2,x∈R).
(1)当a=1时,求f(x)的单调区间;
(2)是否存在实数a,使f(x)的极大值为3 若存在,求出a的值,若不存在,请说明理由.
课时跟踪检测(二十四)
1.选A f'(x)=0,但f'(x)在零点左侧和右侧都同时大于零或者小于零时f(x)在零点处无极值,但f(x)有极值则f'(x)在极值点处一定等于0.所以“f'(x)=0有实根”是“f(x)有极值”的必要不充分条件.故选A.
2.选D 根据导函数图象可知,在区间内,f'(x)<0,f(x)单调递减,在(0,4)内,f'(x)>0,f(x)单调递增,所以f(x)在x=0处取得极小值,没有极大值,故A、B、C正确,D错误,故选D.
3.选D 因为f(x)=xex,所以f'(x)=(x+1)ex,令f'(x)=0得x=-1,令f'(x)>0得x>-1,令f'(x)<0得x<-1,所以函数f(x)=xex在(-1,+∞)上单调递增,在(-∞,-1)上单调递减,所以f(x)=xex的极小值为f(-1)=-e-1=-.故选D.
4.选D 若a<-1,∵f'(x)=a(x+1)(x-a),∴f(x)在(-∞,a)上单调递减,在(a,-1)内单调递增,∴f(x)在x=a处取得极小值,与题意不符;若-10,则f(x)在(-1,a)内单调递减,在(a,+∞)上单调递增,与题意矛盾,故选D.
5.选B 由y=ex-2mx,得y'=ex-2m.∵函数y=ex-2mx有小于零的极值点,∴ex-2m=0有小于零的实根,即m=ex有小于零的实根,∵x<0,∴06.解析:依题意f'(x)=3ax2+2bx.由题图可知,当x<0时,f'(x)<0,当00,故x=0时函数f(x)有极小值,极小值为f(0)=c.
答案:c
7.解析:因为f'(x)=+2bx+1,
由题意得解得
答案:-
8.解析:f(x)=ax3-6x定义域为R,f'(x)=3ax2-6,由题意得,f'(1)=3a-6=0,解得a=2,故f'(x)=6x2-6.令f'(x)=0,解得x=±1,令f'(x)>0,得x>1或x<-1,f(x)=2x3-6x单调递增,令f'(x)<0,得-1答案:4
9.解:(1)函数定义域为R,f'(x)=ex-1.
令f'(x)=0,解得x=0.
当x<0时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;
当x>0时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增.
所以当x=0时,函数f(x)取得极小值,且极小值为f(0)=1,函数f(x)无极大值.
(2)函数f(x)的定义域为(-1,+∞),f'(x)=1-=.
令f'(x)=0,得x=0.
当-1当x>0时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增.
所以当x=0时,函数f(x)取得极小值,且极小值为f(0)=0,函数f(x)无极大值.
10.解:(1)f(x)=ex(ax2+bx-3),则
f'(x)=ex[ax2+(b+2a)x+b-3],
即解得
故实数a+b的值为1.
(2)由(1)得f(x)=ex(x2-3),函数定义域为R,
f'(x)=ex(x2+2x-3),
由f'(x)>0,解得x<-3或x>1;
由f'(x)<0,解得-3则f(x)在(-∞,-3)和(1,+∞)上单调递增,在(-3,1)内单调递减.
当x=-3时,f(x)有极大值f(-3)=;
当x=1时,f(x)有极小值f(1)=-2e.
11.选BD 函数的极值是一个局部性的概念,是仅对某一点的左右两侧区域而言的,故A不正确;f(-x)的图象相当于f(x)的图象关于y轴的对称图象,故-x0应是f(-x)的极大值点,故B正确;-f(x)的图象相当于f(x)的图象关于x轴的对称图象,故x0应是-f(x)的极小值点,跟-x0没有关系,故C不正确;-f(-x)的图象相当于f(x)的图象先关于y轴作对称,再关于x轴作对称得到的图象,故D正确.故选BD.
12.
选B 函数f(x)=x(ln x-ax),则f'(x)=ln x-ax+x=ln x-2ax+1,令f'(x)=ln x-2ax+1=0得ln x=2ax-1,函数f(x)=x(ln x-ax)有两个极值点,等价于f'(x)=ln x-2ax+1有两个零点,等价于函数y=ln x与y=2ax-1的图象有两个交点.在同一坐标系中作出它们的图象(如图),当a=时,直线y=2ax-1与y=ln x的图象相切,由图可知,当013.选ACD 因为函数f(x)的定义域为R,而f'(x)=2(x-1)·(x-4)+(x-1)2=3(x-1)(x-3),
易知当x∈(1,3)时,f'(x)<0,当x∈(-∞,1)或x∈(3,+∞)时,f'(x)>0,函数f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,3)内单调递减,在(3,+∞)上单调递增,故x=3是函数f(x)的极小值点,故A正确;
当00,所以1>x>x2>0,
而由上可知,函数f(x)在(0,1)内单调递增,所以f(x)>f(x2),故B错误;
当1所以f(1)>f(2x-1)>f(3),即-4当-10,所以f(2-x)>f(x),故D正确.故选ACD.
14.解析:∵f'(x)=x2-ax+2,∴x1,x2是f'(x)=0的两个根,由0答案:
15.解:(1)f(x)=(x2+x+1)ex,f'(x)=(2x+1)ex+(x2+x+1)ex=(x2+3x+2)ex.
当f'(x)>0时,解得x<-2或x>-1;
当f'(x)<0时,解得-2∴f(x)的单调递增区间为(-∞,-2),(-1,+∞),
单调递减区间为(-2,-1).
(2)令f'(x)=(2x+a)ex+(x2+ax+a)ex=[x2+(2+a)x+2a]ex=(x+a)(x+2)ex=0,
解得x=-a或x=-2.
∵a<2,∴-a>-2,列表如下.
x (-∞,-2) -2 (-2,-a) -a (-a,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
由表可知f(x)极大值=f(-2)=(4-2a+a)e-2=3,
解得a=4-3e2<2.∴存在实数a<2,使f(x)的极大值为3,此时a=4-3e2.