第2课时 函数的最值(强基课梯度进阶式教学)
课时目标
1.能利用导数求给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值.
2.体会导数与单调性、最大(小)值的关系.
函数的最大(小)值
1.函数f(x)在区间[a,b]上的最值
(1)取得最值的条件:在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条 的曲线.
(2)结论:函数y=f(x)必有最大值和最小值,函数的最值在 或 取得.
2.求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最值的步骤
(1)求函数y=f(x)在区间(a,b)内的 .
(2)将函数y=f(x)的 与端点处的函数值 进行比较,其中最大的一个是 ,最小的一个是 .
微点助解
函数最值与极值的区别与联系
(1)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的,函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的,函数的极值可以有多个,但最值只能有一个.
(2)极值只能在区间内取得,最值则可以在端点处取得.有极值的未必有最值,有最值的未必有极值;极值有可能成为最值,最值不在端点处取得时必定是极值.
[基点训练]
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)闭区间上的连续函数一定有最值. ( )
(2)开区间上的单调连续函数无最值. ( )
(3)极值只能在区间内取得,最值则可以在区间端点处取得. ( )
(4)函数的最大值一定是极大值,函数的最小值也一定是极小值. ( )
2.函数f(x)=2x-cos x在(-∞,+∞)上 ( )
A.无最值 B.有极值
C.有最大值 D.有最小值
3.函数y=在[0,2]上的最大值为 .
题型(一) 函数最值的辨析
[例1] [多选]下列结论不正确的是 ( )
A.若f(x)在[a,b]上有极大值,则极大值一定是[a,b]上的最大值
B.若f(x)在[a,b]上有极小值,则极小值一定是[a,b]上的最小值
C.若f(x)在[a,b]上有极大值,则极小值一定是x=a和x=b时取得
D.若f(x)在[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上存在最大值和最小值
听课记录:
[思维建模]
(1)正确理解极值与最值的关系是解题关键.
(2)一般情况下,唯一的极值应该也是最值,在(a,b)内,若f(x0)为极小值,则其为最小值;若f(x0)为极大值,则其为最大值.
[针对训练]
1.已知定义在R上的函数f(x),其导函数f'(x)的大致图象如图所示,则下列叙述正确的是 ( )
A.f(b)>f(a)>f(c)
B.函数f(x)在x=c处取得最大值,在x=e处取得最小值
C.函数f(x)在x=c处取得极大值,在x=e处取得极小值
D.函数f(x)的最小值为f(d)
题型(二) 求函数的最值
[例2] 已知函数f(x)=x3-3x,x∈R.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)当x∈[-,3]时,求f(x)的最大值与最小值.
听课记录:
[思维建模]
求解函数在固定区间上的最值,需注意以下几点
(1)对函数进行准确求导,并检验f'(x)=0的根是否在给定区间内.
(2)研究函数的单调性,确定极值和端点函数值.
(3)比较极值与端点函数值的大小,确定最值.
[针对训练]
2.求下列函数的最值:
(1) f(x)=;
(2)f(x)=x2-x-ln x,x∈[1,3].
题型(三) 由函数最值求参数的值或范围
[例3] 当x=1时,函数f(x)=aln x+取得最大值-2,则a= ( )
A.-2 B.-4
C.2 D.4
听课记录:
[例4] 函数f(x)=x3-x2在区间(a,a+5)内存在最小值,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-3,2) B.[-3,2)
C.[-1,2) D.(-1,2)
听课记录:
[思维建模]
已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维,一般先求导数,利用导数研究函数的单调性及极值点,探索最值点,根据已知最值列方程(不等式)解决问题.
[针对训练]
3.已知h(x)=x3+3x2-9x+1在区间[k,2]上的最大值是28,求k的取值范围.
第2课时 函数的最值
课前环节
1.(1)连续不断 (2)极值点 区间端点
2.(1)极值 (2)各极值 f(a),f(b) 最大值 最小值
[基点训练]
1.(1)√ (2)√ (3)√ (4)×
2.选A f'(x)=2+sin x>0恒成立,所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,无极值,也无最值.
3.解析:令y=f(x),∵y'==,令y'=0,得x=1∈[0,2].∴f(1)=,f(0)=0,f(2)=,∴f(x)max=f(1)=.
答案:
课堂环节
[题型(一)]
[例1] 选ABC 选项A,若f(x)在[a,b]上有极大值,则极大值不一定是[a,b]上的最大值,f(x)可能在端点处取得最大值,判断错误;选项B,若f(x)在[a,b]上有极小值,则极小值不一定是[a,b]上的最小值,f(x)可能在端点处取得最小值,判断错误;选项C,若f(x)在[a,b]上有极大值,则极小值一定不是x=a和x=b时取得,判断错误;选项D,若f(x)在[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上存在最大值和最小值,判断正确.故选ABC.
[针对训练]
1.选C 由题图可知,当x≤c时,f'(x)≥0,所以函数f(x)在(-∞,c]上单调递增,又a0;当ce时,f'(x)>0.所以函数f(x)在x=c处取得极大值,但不一定取得最大值,在x=e处取得极小值,不一定是最小值,故B不正确,C正确;由题图可知,当d≤x≤e时,f'(x)≤0,所以函数f(x)在[d,e]内单调递减,从而f(d)>f(e),故D不正确.
[题型(二)]
[例2] 解:(1)f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),
当x<-1或x>1时,f'(x)>0,当-1所以f(x)的单调递增区间为(-∞,-1)和(1,+∞),单调递减区间为(-1,1).
(2)由(1)知x∈[-,3]时,f(x)的极大值为f(-1)=2,f(x)的极小值为f(1)=-2,
又f(-)=0,f(3)=18.
所以f(x)的最大值为18,f(x)的最小值为-2.
[针对训练]
2.解:(1)因为函数f(x)=的定义域为R,
f'(x)==,
当f'(x)=0时,x=2.
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如表所示.
x (-∞,2) 2 (2,+∞)
f'(x) + 0 -
f(x) 单调递增 极大值 单调递减
所以f(x)在(-∞,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减,所以f(x)无最小值,且当x=2时,f(x)max=f(2)=.
(2)因为f'(x)=2x-1-==,又因为x∈[1,3],
所以f'(x)≥0在[1,3]上恒成立.
所以f(x)在[1,3]内单调递增,
所以当x=1时,f(x)min=f(1)=0;
当x=3时,f(x)max=f(3)=6-ln 3.
[题型(三)]
[例3] 选A 当x=1时,函数f(x)=aln x+取得最大值-2,所以f(1)==-2,即b=-2,f(x)=aln x-,定义域为(0,+∞),又因为f(x)在x=1处取得最大值,所以f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)上单调递减,f'(x)=,则f'(1)==0,所以a=-2.
[例4] 选C 由f'(x)=x2-2x=0得x1=0,x2=2,则当x∈(-∞,0)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(0,2)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.f(x)在区间(a,a+5)内存在最小值,故最小值为f(2),又f(-1)=f(2),故有解得-1≤a<2.故实数a的取值范围是[-1,2).
[针对训练]
3.解:∵h(x)=x3+3x2-9x+1,
∴h'(x)=3x2+6x-9,
令h'(x)=0,得x1=-3,x2=1,
当x变化时h'(x)及h(x)的变化情况如下表.
x (-∞,-3) -3 (-3,1) 1 (1,+∞)
h'(x) + 0 - 0 +
h(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
当x=-3时,取极大值28;
当x=1时,取极小值-4.
而h(2)=3由h(x)在区间[k,2]上的最大值为28,则k≤-3.
故k的取值范围是(-∞,-3].(共79张PPT)
函数的最值(强基课——梯度进阶式教学)
第2课时
课时目标
1.能利用导数求给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值.
2.体会导数与单调性、最大(小)值的关系.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
课时跟踪检测
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
函数的最大(小)值
1.函数f(x)在区间[a,b]上的最值
(1)取得最值的条件:在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条__________的曲线.
(2)结论:函数y=f(x)必有最大值和最小值,函数的最值在_________或___________取得.
连续不断
极值点
区间端点
2.求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最值的步骤
(1)求函数y=f(x)在区间(a,b)内的_______.
(2)将函数y=f(x)的_________与端点处的函数值__________进行比较,其中最大的一个是________,最小的一个是________.
极值
各极值
f(a),f(b)
最大值
最小值
微点助解
函数最值与极值的区别与联系
(1)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的,函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的,函数的极值可以有多个,但最值只能有一个.
(2)极值只能在区间内取得,最值则可以在端点处取得.有极值的未必有最值,有最值的未必有极值;极值有可能成为最值,最值不在端点处取得时必定是极值.
基点训练
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)闭区间上的连续函数一定有最值. ( )
(2)开区间上的单调连续函数无最值. ( )
(3)极值只能在区间内取得,最值则可以在区间端点处取得. ( )
(4)函数的最大值一定是极大值,函数的最小值也一定是极小值. ( )
√
√
√
×
2.函数f(x)=2x-cos x在(-∞,+∞)上 ( )
A.无最值 B.有极值
C.有最大值 D.有最小值
解析:f'(x)=2+sin x>0恒成立,
所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,
无极值,
也无最值.
√
3.函数y=在[0,2]上的最大值为 .
解析:令y=f(x),
∵y'==,
令y'=0,
得x=1∈[0,2].
∴f(1)=,f(0)=0,f(2)=,
∴f(x)max=f(1)=.
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
[例1] [多选]下列结论不正确的是 ( )
A.若f(x)在[a,b]上有极大值,则极大值一定是[a,b]上的最大值
B.若f(x)在[a,b]上有极小值,则极小值一定是[a,b]上的最小值
C.若f(x)在[a,b]上有极大值,则极小值一定是x=a和x=b时取得
D.若f(x)在[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上存在最大值和最小值
题型(一) 函数最值的辨析
√
√
√
解析:选项A,若f(x)在[a,b]上有极大值,
则极大值不一定是[a,b]上的最大值,
f(x)可能在端点处取得最大值,
判断错误;选项B,
若f(x)在[a,b]上有极小值,
则极小值不一定是[a,b]上的最小值,
f(x)可能在端点处取得最小值,
判断错误;选项C,
若f(x)在[a,b]上有极大值,
则极小值一定不是x=a和x=b时取得,
判断错误;选项D,
若f(x)在[a,b]上连续,
则f(x)在[a,b]上存在最大值和最小值,
判断正确.故选ABC.
[思维建模]
(1)正确理解极值与最值的关系是解题关键.
(2)一般情况下,唯一的极值应该也是最值,在(a,b)内,若f(x0)为极小值,则其为最小值;若f(x0)为极大值,则其为最大值.
1.已知定义在R上的函数f(x),其导函数f'(x)的大致图象如图所示,则下列叙述正确的是
( )
A.f(b)>f(a)>f(c)
针对训练
√
B.函数f(x)在x=c处取得最大值,在x=e处取得最小值
C.函数f(x)在x=c处取得极大值,在x=e处取得极小值
D.函数f(x)的最小值为f(d)
解析:由题图可知,当x≤c时,
f'(x)≥0,
所以函数f(x)在(-∞,c]上单调递增,
又a所以f(a)故A不正确;
因为f'(c)=0,f'(e)=0,
且当xf'(x)>0;
当cf'(x)<0;
当x>e时,
f'(x)>0.
所以函数f(x)在x=c处取得极大值,
但不一定取得最大值,
在x=e处取得极小值,
不一定是最小值,故B不正确,C正确;
由题图可知,当d≤x≤e时,
f'(x)≤0,
所以函数f(x)在[d,e]内单调递减,
从而f(d)>f(e),故D不正确.
[例2] 已知函数f(x)=x3-3x,x∈R.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)当x∈[-,3]时,求f(x)的最大值与最小值.
解:(1)f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),
当x<-1或x>1时,
f'(x)>0,
题型(二) 求函数的最值
当-1f'(x)<0.
所以f(x)的单调递增区间为(-∞,-1)和(1,+∞),
单调递减区间为(-1,1).
(2)由(1)知x∈[-,3]时,
f(x)的极大值为f(-1)=2,
f(x)的极小值为f(1)=-2,
又f(-)=0,f(3)=18.
所以f(x)的最大值为18,
f(x)的最小值为-2.
[思维建模]
求解函数在固定区间上的最值,需注意以下几点
(1)对函数进行准确求导,并检验f'(x)=0的根是否在给定区间内.
(2)研究函数的单调性,确定极值和端点函数值.
(3)比较极值与端点函数值的大小,确定最值.
2.求下列函数的最值:
(1) f(x)=;
(2)f(x)=x2-x-ln x,x∈[1,3].
解:(1)因为函数f(x)=的定义域为R,
f'(x)==,
针对训练
当f'(x)=0时,
x=2.
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如表所示.
x (-∞,2) 2 (2,+∞)
f'(x) + 0 -
f(x) 单调递增 极大值 单调递减
所以f(x)在(-∞,2)上单调递增,
在(2,+∞)上单调递减,
所以f(x)无最小值,
且当x=2时,
f(x)max=f(2)=.
(2)因为f'(x)=2x-1-==,
又因为x∈[1,3],
所以f'(x)≥0在[1,3]上恒成立.
所以f(x)在[1,3]内单调递增,
所以当x=1时,
f(x)min=f(1)=0;
当x=3时,
f(x)max=f(3)=6-ln 3.
[例3] 当x=1时,函数f(x)=aln x+取得最大值-2,则a=( )
A.-2 B.-4
C.2 D.4
解析:当x=1时,
函数f(x)=aln x+取得最大值-2,
所以f(1)==-2,
即b=-2,
题型(三) 由函数最值求参数的值或范围
√
f(x)=aln x-,
定义域为(0,+∞),
又因为f(x)在x=1处取得最大值,
所以f(x)在(0,1)内单调递增,
在(1,+∞)上单调递减,
f'(x)=,
则f'(1)==0,
所以a=-2.
[例4] 函数f(x)=x3-x2在区间(a,a+5)内存在最小值,则实数a的取值范围是( )
A.(-3,2) B.[-3,2)
C.[-1,2) D.(-1,2)
√
解析:由f'(x)=x2-2x=0得x1=0,x2=2,
则当x∈(-∞,0)时,
f'(x)>0,f(x)单调递增;
当x∈(0,2)时,
f'(x)<0,f(x)单调递减,
当x∈(2,+∞)时,
f'(x)>0,f(x)单调递增.
f(x)在区间(a,a+5)内存在最小值,
故最小值为f(2),
又f(-1)=f(2),
故有
解得-1≤a<2.
故实数a的取值范围是[-1,2).
[思维建模]
已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维,一般先求导数,利用导数研究函数的单调性及极值点,探索最值点,根据已知最值列方程(不等式)解决问题.
3.已知h(x)=x3+3x2-9x+1在区间[k,2]上的最大值是28,求k的取值范围.
解:∵h(x)=x3+3x2-9x+1,
∴h'(x)=3x2+6x-9,
令h'(x)=0,
得x1=-3,x2=1,
针对训练
当x变化时h'(x)及h(x)的变化情况如下表.
x (-∞,-3) -3 (-3,1) 1 (1,+∞)
h'(x) + 0 - 0 +
h(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
当x=-3时,
取极大值28;
当x=1时,
取极小值-4.
而h(2)=3由h(x)在区间[k,2]上的最大值为28,
则k≤-3.
故k的取值范围是(-∞,-3].
课时跟踪检测
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√
A级——综合提能
1.关于函数f(x)=x3+x,下列说法正确的是( )
A.没有最小值,有最大值
B.有最小值,没有最大值
C.有最小值,有最大值
D.没有最小值,也没有最大值
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解析:依题意f'(x)=3x2+1>0,
所以f(x)在R上单调递增,
没有最小值也没有最大值.
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√
2.函数y=x-sin x,x∈的最大值是( )
A.π-1 B.-1 C.π D.π+1
解析:因为y'=1-cos x,
当x∈时,
y'>0,
则函数在区间内单调递增,
所以y的最大值为ymax=π-sin π=π.
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√
3.已知函数f(x),g(x)均为[a,b]上的可导函数,在[a,b]上连续且f'(x)A.f(a)-g(a) B.f(b)-g(b)
C.f(a)-g(b) D.f(b)-g(a)
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解析:令F(x)=f(x)-g(x),
∴F'(x)=f'(x)-g'(x)<0,
即F'(x)<0,
∴F(x)在[a,b]内单调递减,
∴F(x)max=f(a)-g(a).
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2
√
4.已知函数f(x)=(x+1)2+cos(x+1)+a的最小值是4,则a= ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
解析:由题知f'(x)=2(x+1)-sin(x+1),
f″(x)=2-cos(x+1)>0,
所以f'(x)单调递增,
又f'(-1)=0,
所以当x<-1时,
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2
f'(x)<0;
当x>-1时,
f'(x)>0.
故x=-1为f(x)的最小值点,
即f(-1)=1+a=4,
解得a=3,故选A.
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2
√
5.已知f(x)=x3-3x2+2,若f(x)在(2a,a+3)上存在最小值,则a的取值范围是 ( )
A. B.
C.[-1,2) D.[-1,1)
解析:由题意得f'(x)=3x2-6x=3x(x-2),
易得x=0和x=2为f(x)的极值点,
f(x)的单调递增区间为(-∞,0),(2,+∞),
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单调递减区间为(0,2).
又f(0)=2,
f(2)=-2,
所以令x3-3x2+2=-2,
则(x+1)(x-2)2=0,
解得x=-1或x=2.
若函数f(x)在(2a,a+3)上存在最小值,
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则
解得-≤a<1,故选A.
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6.已知函数f(x)=x3-ax2+b,若f(x)在区间[0,1]内单调递增且最大值为0,写出一组符合要求的a,b,则a= ,b= .
解析:f'(x)=x2-ax,
令f'(x)=0,
解得x=0或x=a,
若f(x)在区间[0,1]内单调递增,
0
-(答案不唯一)
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2
则a≤0,
最大值为f(1)=-a+b=0,
则b=a-,
不妨取a=0,
则b=-.
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2
7.函数f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在[-2,2]上有最大值3,那么m= .
解析:由函数f(x)=2x3-6x2+m,
可得f'(x)=6x2-12x=6x(x-2),
当x∈[-2,0)时,
f'(x)>0,f(x)单调递增;
当x∈(0,2]时,
f'(x)≤0,
3
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4
2
f(x)单调递减.
所以当x=0时,
函数f(x)取得最大值,
最大值为f(0)=m,
因为函数f(x)在区间[-2,2]上的最大值为3,
所以m=3.
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2
8.已知函数f(x)=ln x-x+k在[1,e]上的最大值为2,则f(k)= .
解析:因为f(x)=ln x-x+k,
所以f'(x)=-1=,
又x∈[1,e],
所以f'(x)≤0在x∈[1,e]上恒成立,
即f(x)在区间[1,e]内单调递减,
ln 3
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所以f(1)=ln 1-1+k=2,
解得k=3,
故f(x)=ln x-x+3,
所以f(k)=f(3)=ln 3.
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9.已知函数f(x)=2x+1-4ln x.
(1)证明:f(x)≥-2x+5;
(2)求f(x)在[1,3]上的最大值与最小值.
解:(1)证明:要证f(x)≥-2x+5,
即证2x+1-4ln x≥-2x+5,
即证x-1-ln x≥0,
令g(x)= x-1-ln x,
则g'(x)=(x>0),
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当x∈(0,1)时,
g'(x)<0;
当x∈(1,+∞)时,
g'(x)>0,
所以g(x)在(0,1)内单调递减,
在(1,+∞)上单调递增,
所以g(x)≥g(1)=0,
从而f(x)≥-2x+5.
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(2)因为f(x)=2x+1-4ln x,x∈[1,3],
所以f'(x)=2-=,x∈[1,3],
令f'(x)>0,
则2令f'(x)<0,
则1≤x<2,
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所以f(x)在[1,2)内单调递减,在(2,3]内单调递增,
所以f(x)min=f(2)=5-4ln 2,
又f(1)=3,
f(3)=7-4ln 3,
f(1)-f(3)=4(ln 3-1)>0,
所以f(x)max=3,
所以f(x)在[1,3]上的最大值与最小值分别为3与5-4ln 2.
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10.已知函数f(x)=ax+ln x.
(1)讨论函数f(x)的单调区间;
(2)当a=-1时,函数g(x)=f(x)+excos x-ln x-m在上的最大值为0,
求实数m的值.
解:(1)由题意得f'(x)=a+,x>0,
当a≥0时,
f'(x)>0在(0,+∞)上恒成立,
故函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;
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当a<0时,
若0则f'(x)>0,
函数f(x)单调递增,
若x>-,
则f'(x)<0,函数f(x)单调递减.
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综上,当a≥0时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a<0时,函数f(x)在内单调递增,在上单调递减.
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(2)由题意g(x)=-x+excos x-m,x∈,
g'(x)=-1+ex(cos x-sin x),
令h(x)=g'(x)=-1+ex(cos x-sin x),
h'(x)=-2exsin x.
当x∈时,
h'(x)=-2exsin x≤0,
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h(x)单调递减,
则h(x)≤h(0)=0,
则g'(x)≤0,
则g(x)在内单调递减,
故g(x)在上的最大值为g(0)=1-m=0,
所以m=1.
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B级——应用创新
11.已知a>0,函数f(x)=ax-ln x的最小值为(a-1)ln 2+1,则a=( )
A.1或2 B.2
C.1或3 D.2或3
√
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解析:由f(x)=ax-ln x(x>0),
得f'(x)=a-=(a>0,x>0),
当0f'(x)<0,
当x>时,
f'(x)>0,
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所以f(x)在内单调递减,
在上单调递增,
故f(x)min=f=1+ln a=(a-1)ln 2+1,
得ln a=(a-1)ln 2,
解得a=1或a=2.故选A.
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√
12.设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=ln x的图象分别交于点M,N,则当|MN|达到最小值时t的值为 ( )
A.1 B.
C. D.
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解析:因为f(x)的图象始终在g(x)的上方,
所以|MN|=f(x)-g(x)=x2-ln x.
设h(x)=x2-ln x,
则h'(x)=2x-=(x>0).
令h'(x)==0,
得x=,
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所以h(x)在内单调递减,
在上单调递增,
所以当x=时,
|MN|取最小值,此时t=.
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√
13.[多选]若存在m,使得f(x)≥m对任意x∈D恒成立,则函数f(x)在D上有下界,其中m为函数f(x)的一个下界;若存在M,使得f(x)≤M对任意x∈D恒成立,则函数f(x)在D上有上界,其中M为函数f(x)的一个上界.如果一个函数既有上界又有下界,那么称该函数有界,则下列说法正确的是 ( )
A.1是函数f(x)=x+(x>0)的一个下界
B.函数f(x)=xln x有下界,无上界
C.函数f(x)=有上界,无下界
D.函数f(x)=有界
√
√
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解析:对于A,当x>0时,
x+≥2(当且仅当x=1时取等号),
∴f(x)>1恒成立,
∴1是f(x)的一个下界,故A正确;
对于B,∵f'(x)=ln x+1(x>0),
∴当x∈时,
f'(x)<0,
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当x∈时,f'(x)>0,
∴f(x)在内单调递减,
在上单调递增,
∴f(x)≥f=-,
∴f(x)有下界,
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又当x越来越大时,
f(x)趋向于+∞,
∴f(x)无上界,综上所述,
f(x)=xln x有下界,无上界,故B正确;
对于C,∵x2>0,ex>0,
∴>0,
∴f(x)有下界,故C错误;
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对于D,∵sin x∈[-1,1],
∴≤≤,
又≥-1,≤1,
∴-1<<1,
∴f(x)既有上界又有下界,故D正确.
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14.若函数f(x)=xex在区间(-∞,a]上既存在最大值,也存在最小值,则实数a的取值范围是 .
解析:因为函数f(x)=xex,
则f'(x)=ex+xex=(1+x)ex,
当x>-1时,
f'(x)>0,
函数f(x)=xex单调递增;
[0,+∞)
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当x<-1时,f'(x)<0,
函数f(x)=xex单调递减.
所以函数f(x)=xex在(-∞,-1)上单调递减,
在(-1,+∞)上单调递增,
又因为函数f(x)=xex在区间(-∞,a]上既存在最大值,
也存在最小值,
结合图象可知a≥0.
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15.已知函数f(x)=x3-x2-2x+1.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)求函数f(x)的极值;
(3)若函数f(x)在[a,+∞)上的最小值是-,求实数a的取值范围.
解:(1)由f(x)=x3-x2-2x+1,x∈R,
得f'(x)= x2-x-2,
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令f'(x)= x2-x-2>0,
得x<-1或x>2,
令f'(x)= x2-x-2<0,
得-1故f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),(2,+∞),
单调递减区间为(-1,2).
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(2)由(1)可知f(x)的极大值为f(-1)=,
极小值为f(2)=-.
(3)函数f(x)在[a,+∞)上的最小值是-,
故f(a)≥f(2)=-,
由f(x)=f(2)=-可知x=2是x3-x2-2x+1=-的一个解,
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故(x-2)2(2x+5)=0,
解得x=-或x=2,
由于f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),(2,+∞),
单调递减区间为(-1,2),
故要使得函数f(x)在[a,+∞)上的最小值是-,
只需-≤a≤2,
即实数a的取值范围为.课时跟踪检测(二十五) 函数的最值
A级——综合提能
1.关于函数f(x)=x3+x,下列说法正确的是 ( )
A.没有最小值,有最大值
B.有最小值,没有最大值
C.有最小值,有最大值
D.没有最小值,也没有最大值
2.函数y=x-sin x,x∈的最大值是 ( )
A.π-1 B.-1
C.π D.π+1
3.已知函数f(x),g(x)均为[a,b]上的可导函数,在[a,b]上连续且f'(x)A.f(a)-g(a) B.f(b)-g(b)
C.f(a)-g(b) D.f(b)-g(a)
4.已知函数f(x)=(x+1)2+cos(x+1)+a的最小值是4,则a= ( )
A.3 B.4
C.5 D.6
5.已知f(x)=x3-3x2+2,若f(x)在(2a,a+3)上存在最小值,则a的取值范围是 ( )
A. B.
C.[-1,2) D.[-1,1)
6.已知函数f(x)=x3-ax2+b,若f(x)在区间[0,1]内单调递增且最大值为0,写出一组符合要求的a,b,则a= ,b= .
7.函数f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在[-2,2]上有最大值3,那么m= .
8.已知函数f(x)=ln x-x+k在[1,e]上的最大值为2,则f(k)= .
9.已知函数f(x)=2x+1-4ln x.
(1)证明:f(x)≥-2x+5;
(2)求f(x)在[1,3]上的最大值与最小值.
10.已知函数f(x)=ax+ln x.
(1)讨论函数f(x)的单调区间;
(2)当a=-1时,函数g(x)=f(x)+excos x-ln x-m在上的最大值为0,求实数m的值.
B级——应用创新
11.已知a>0,函数f(x)=ax-ln x的最小值为(a-1)ln 2+1,则a= ( )
A.1或2 B.2
C.1或3 D.2或3
12.设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=ln x的图象分别交于点M,N,则当|MN|达到最小值时t的值为 ( )
A.1 B.
C. D.
13.[多选]若存在m,使得f(x)≥m对任意x∈D恒成立,则函数f(x)在D上有下界,其中m为函数f(x)的一个下界;若存在M,使得f(x)≤M对任意x∈D恒成立,则函数f(x)在D上有上界,其中M为函数f(x)的一个上界.如果一个函数既有上界又有下界,那么称该函数有界,则下列说法正确的是 ( )
A.1是函数f(x)=x+(x>0)的一个下界
B.函数f(x)=xln x有下界,无上界
C.函数f(x)=有上界,无下界
D.函数f(x)=有界
14.若函数f(x)=xex在区间(-∞,a]上既存在最大值,也存在最小值,则实数a的取值范围是 .
15.已知函数f(x)=x3-x2-2x+1.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)求函数f(x)的极值;
(3)若函数f(x)在[a,+∞)上的最小值是-,求实数a的取值范围.
课时跟踪检测(二十五)
1.选D 依题意f'(x)=3x2+1>0,所以f(x)在R上单调递增,没有最小值也没有最大值.
2.选C 因为y'=1-cos x,当x∈时,y'>0,则函数在区间内单调递增,所以y的最大值为ymax=π-sin π=π.
3.选A 令F(x)=f(x)-g(x),∴F'(x)=f'(x)-g'(x)<0,即F'(x)<0,∴F(x)在[a,b]内单调递减,∴F(x)max=f(a)-g(a).
4.选A 由题知f'(x)=2(x+1)-sin(x+1),f″(x)=2-cos(x+1)>0,所以f'(x)单调递增,又f'(-1)=0,所以当x<-1时,f'(x)<0;当x>-1时,f'(x)>0.故x=-1为f(x)的最小值点,即f(-1)=1+a=4,解得a=3,故选A.
5.选A 由题意得f'(x)=3x2-6x=3x(x-2),易得x=0和x=2为f(x)的极值点,f(x)的单调递增区间为(-∞,0),(2,+∞),单调递减区间为(0,2).又f(0)=2,f(2)=-2,所以令x3-3x2+2=-2,则(x+1)(x-2)2=0,解得x=-1或x=2.若函数f(x)在(2a,a+3)上存在最小值,则解得-≤a<1,故选A.
6.解析:f'(x)=x2-ax,令f'(x)=0,解得x=0或x=a,若f(x)在区间[0,1]内单调递增,则a≤0,最大值为f(1)=-a+b=0,则b=a-,不妨取a=0,则b=-.
答案:0 -(答案不唯一)
7.解析:由函数f(x)=2x3-6x2+m,可得f'(x)=6x2-12x=6x(x-2),当x∈[-2,0)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(0,2]时,f'(x)≤0,f(x)单调递减.所以当x=0时,函数f(x)取得最大值,最大值为f(0)=m,因为函数f(x)在区间[-2,2]上的最大值为3,所以m=3.
答案:3
8.解析:因为f(x)=ln x-x+k,所以f'(x)=-1=,又x∈[1,e],所以f'(x)≤0在x∈[1,e]上恒成立,即f(x)在区间[1,e]内单调递减,所以f(1)=ln 1-1+k=2,解得k=3,故f(x)=ln x-x+3,所以f(k)=f(3)=ln 3.
答案:ln 3
9.解:(1)证明:要证f(x)≥-2x+5,
即证2x+1-4ln x≥-2x+5,即证x-1-ln x≥0,令g(x)= x-1-ln x,则g'(x)=(x>0),
当x∈(0,1)时,g'(x)<0;当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,所以g(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以g(x)≥g(1)=0,从而f(x)≥-2x+5.
(2)因为f(x)=2x+1-4ln x,x∈[1,3],
所以f'(x)=2-=,x∈[1,3],
令f'(x)>0,则2所以f(x)在[1,2)内单调递减,在(2,3]内单调递增,
所以f(x)min=f(2)=5-4ln 2,
又f(1)=3,f(3)=7-4ln 3,f(1)-f(3)=4(ln 3-1)>0,所以f(x)max=3,
所以f(x)在[1,3]上的最大值与最小值分别为3与5-4ln 2.
10.解:(1)由题意得f'(x)=a+,x>0,
当a≥0时,f'(x)>0在(0,+∞)上恒成立,故函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;
当a<0时,若00,函数f(x)单调递增,若x>-,则f'(x)<0,函数f(x)单调递减.
综上,当a≥0时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a<0时,函数f(x)在内单调递增,在上单调递减.
(2)由题意g(x)=-x+excos x-m,x∈,g'(x)=-1+ex(cos x-sin x),令h(x)=g'(x)=-1+ex(cos x-sin x),h'(x)=-2exsin x.
当x∈时,h'(x)=-2exsin x≤0,h(x)单调递减,则h(x)≤h(0)=0,则g'(x)≤0,
则g(x)在内单调递减,
故g(x)在上的最大值为g(0)=1-m=0,
所以m=1.
11.选A 由f(x)=ax-ln x(x>0),得f'(x)=a-=(a>0,x>0),当0时,f'(x)>0,所以f(x)在内单调递减,在上单调递增,故f(x)min=f=1+ln a=(a-1)ln 2+1,得ln a=(a-1)·ln 2,解得a=1或a=2.故选A.
12.选D 因为f(x)的图象始终在g(x)的上方,所以|MN|=f(x)-g(x)=x2-ln x.设h(x)=x2-ln x,则h'(x)=2x-=(x>0).令h'(x)==0,得x=,所以h(x)在内单调递减,在上单调递增,所以当x=时,|MN|取最小值,此时t=.
13.选ABD 对于A,当x>0时,x+≥2(当且仅当x=1时取等号),∴f(x)>1恒成立,∴1是f(x)的一个下界,故A正确;对于B,∵f'(x)=ln x+1(x>0),∴当x∈时,f'(x)<0,当x∈时,f'(x)>0,∴f(x)在内单调递减,在上单调递增,∴f(x)≥f=-,∴f(x)有下界,又当x越来越大时,f(x)趋向于+∞,∴f(x)无上界,综上所述,f(x)=xln x有下界,无上界,故B正确;对于C,∵x2>0,ex>0,∴>0,∴f(x)有下界,故C错误;对于D,∵sin x∈[-1,1],∴≤≤,又≥-1,≤1,∴-1<<1,∴f(x)既有上界又有下界,故D正确.
14.解析:
因为函数f(x)=xex,则f'(x)=ex+xex=(1+x)ex,当x>-1时,f'(x)>0,函数f(x)=xex单调递增;当x<-1时,f'(x)<0,函数f(x)=xex单调递减.所以函数f(x)=xex在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,+∞)上单调递增,又因为函数f(x)=xex在区间(-∞,a]上既存在最大值,也存在最小值,结合图象可知a≥0.
答案:[0,+∞)
15.解:(1)由f(x)=x3-x2-2x+1,x∈R,得f'(x)= x2-x-2,
令f'(x)= x2-x-2>0,得x<-1或x>2,
令f'(x)= x2-x-2<0,得-1故f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),(2,+∞),单调递减区间为(-1,2).
(2)由(1)可知f(x)的极大值为f(-1)=,极小值为f(2)=-.
(3)函数f(x)在[a,+∞)上的最小值是-,
故f(a)≥f(2)=-,
由f(x)=f(2)=-可知x=2是x3-x2-2x+1=-的一个解,
故(x-2)2(2x+5)=0,解得x=-或x=2,
由于f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),(2,+∞),单调递减区间为(-1,2),
故要使得函数f(x)在[a,+∞)上的最小值是-,只需-≤a≤2,即实数a的取值范围为.
