第4课时 导数中的函数构造问题
(深化课题型研究式教学)
题型(一) 利用f(x)与x构造函数
[例1] 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,设函数f(x)的导函数为f'(x),若对任意的x>0都有2f(x)+xf'(x)>0成立,则 ( )
A.4f(-2)<9f(3) B.4f(-2)>9f(3)
C.2f(3)>3f(-2) D.3f(-3)<2f(-2)
听课记录:
[思维建模]
f(x)与x构造函数的常见形式
(1)对于f'(x)>g'(x),构造h(x)=f(x)-g(x).
(2)对于f'(x)+g'(x)>0,构造h(x)=f(x)+g(x).
(3)对于f'(x)>a,构造h(x)=f(x)-ax.
(4)对于xf'(x)+f(x)>0,构造h(x)=xf(x).
(5)对于xf'(x)-f(x)>0,构造h(x)=.
[针对训练]
1.函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,f'(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为 ( )
A.(-1,1) B.(-1,+∞)
C.(-∞,-1) D.(-∞,+∞)
2.定义在R上的函数f(x),满足f(1)=1,且对任意x∈R都有f'(x)<,则不等式f(lg x)>的解集为 .
题型(二) 利用f(x)与ex构造函数
[例2] 若定义在R上的函数f(x)满足f'(x)+2f(x)>0,且f(0)=1,则不等式f(x)>的解集为 .
听课记录:
[思维建模]
f(x)与ex构造的常见形式
(1)对于f'(x)+f(x)>0(<0),构造函数g(x)=exf(x).
(2)对于f'(x)-f(x)>0(<0),构造函数g(x)=.
[针对训练]
3.设定义在R上的函数f(x)满足f'(x)+f(x)=3x2e-x,且f(0)=0,则下列结论正确的是 ( )
A.f(x)在R上单调递减
B.f(x)在R上单调递增
C.f(x)在R上有最大值
D.f(x)在R上有最小值
4.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),且f'(x)-f(x)<0,f(1)=e,则不等式f(ln x)>x的解集为 ( )
A.(0,) B.(0,e)
C.(,+∞) D.(e,+∞)
题型(三) 利用f(x)与sin x、cos x构造函数
[例3] 已知函数y=f(x)对于任意的x∈满足f'(x)cos x+f(x)sin x>0(其中f'(x)是函数f(x)的导函数),则下列不等式不成立的是 ( )
A.f
C.f(0)听课记录:
[思维建模]
f(x)与sin x、cos x构造函数的常见形式
(1)对于f'(x)sin x+f(x)cos x>0,构造函数h(x)=f(x)sin x.
(2)对于f'(x)sin x-f(x)cos x>0,构造函数h(x)=.
(3)对于f'(x)cos x-f(x)sin x>0,构造函数h(x)=f(x)cos x.
(4)对于f'(x)cos x+f(x)sin x>0,构造函数h(x)=.
[针对训练]
5.已知函数f(x)的定义域为R,设f(x)的导数是f'(x),且f(x)·f'(x)+2sin x>0恒成立,则 ( )
A.fB.f>f
C.<
D.>
第4课时 导数中的函数构造问题
[题型(一)]
[例1] 选A 根据题意,令g(x)=x2f(x),其导函数g'(x)=2xf(x)+x2f'(x),又对任意的x>0都有2f(x)+xf'(x)>0成立,则当x>0时,有g'(x)=x[2f(x)+xf'(x)]>0恒成立,即函数g(x)在(0,+∞)上单调递增,又由函数f(x)是定义在R上的偶函数,则f(-x)=f(x),则有g(-x)=(-x)2f(-x)=x2f(x)=g(x),即函数g(x)也为偶函数,则有g(-2)=g(2),且g(2)[针对训练]
1.选B 由f(x)>2x+4,得f(x)-2x-4>0,设F(x)=f(x)-2x-4,则F'(x)=f'(x)-2,因为f'(x)>2,所以F'(x)>0在R上恒成立,所以F(x)在R上单调递增.又F(-1)=f(-1)-2×(-1)-4=2+2-4=0,故不等式f(x)-2x-4>0等价于F(x)>F(-1),所以x>-1.
2.解析:由题意构造函数g(x)=f(x)-x,则g'(x)=f'(x)-<0,所以g(x)在定义域上是减函数.因为f(1)=1,所以g(1)=f(1)-=,由f(lg x)>,得f(lg x)-lg x>,即g(lg x)=f(lg x)-lg x>=g(1),所以lg x<1,解得0答案:(0,10)
[题型(二)]
[例2] 解析:构造F(x)=f(x)·e2x,∴F'(x)=f'(x)·e2x+f(x)·2e2x=e2x[f'(x)+2f(x)]>0,∴F(x)在R上单调递增,且F(0)=f(0)·e0=1.∵不等式f(x)>可化为f(x)e2x>1,即F(x)>F(0),∴x>0,∴原不等式的解集为(0,+∞).
答案:(0,+∞)
[针对训练]
3.选C 构造F(x)=exf(x),则有F'(x)=ex[f'(x)+f(x)]=ex·3x2e-x=3x2,故F(x)=x3+c(c为常数),所以f(x)=,又f(0)=0,所以c=0,故f(x)=.因为f'(x)==,易知f(x)在区间(-∞,3]上单调递增,在[3,+∞)上单调递减,所以f(x)max=f(3)=,无最小值.
4.选B 令g(x)=,则g'(x)=,∵f'(x)-f(x)<0,∴g'(x)<0,g(x)在R上单调递减.∵f(1)=e,∴g(1)==1,∵不等式f(ln x)>x,x>0,∴g(ln x)==>1=g(1),∴ln x<1,解得0x的解集是(0,e).故选B.
[题型(三)]
[例3] 选A 构造F(x)=,则F'(x)=,导函数f'(x)满足f'(x)cos x+f(x)sin x>0,则F'(x)>0,F(x)在内单调递增.把选项转化后可知选A.
[针对训练]
5.选D 设g(x)=f2(x)-2cos x,则g'(x)=f(x)·f'(x)+2sin x>0,故y=g(x)在定义域R上是增函数,所以g>g,即f2>f2,所以>.故选D.(共59张PPT)
导数中的函数构造问题
(深化课——题型研究式教学)
第4课时
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一) 利用f(x)与x构造函数
题型(二) 利用f(x)与ex构造函数
题型(三) 利用f(x)与sin x、cos x构造函数
4
课时跟踪检测
题型(一) 利用f(x)与x构造函数
01
[例1] 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,设函数f(x)的导函数为f'(x),若对任意的x>0都有2f(x)+xf'(x)>0成立,则 ( )
A.4f(-2)<9f(3) B.4f(-2)>9f(3)
C.2f(3)>3f(-2) D.3f(-3)<2f(-2)
√
解析:根据题意,令g(x)=x2f(x),
其导函数g'(x)=2xf(x)+x2f'(x),
又对任意的x>0都有2f(x)+xf'(x)>0成立,
则当x>0时,
有g'(x)=x[2f(x)+xf'(x)]>0恒成立,
即函数g(x)在(0,+∞)上单调递增,
又由函数f(x)是定义在R上的偶函数,
则f(-x)=f(x),
则有g(-x)=(-x)2f(-x)=x2f(x)=g(x),
即函数g(x)也为偶函数,
则有g(-2)=g(2),
且g(2)则有g(-2)即有4f(-2)<9f(3).
[思维建模]
f(x)与x构造函数的常见形式
(1)对于f'(x)>g'(x),构造h(x)=f(x)-g(x).
(2)对于f'(x)+g'(x)>0,构造h(x)=f(x)+g(x).
(3)对于f'(x)>a,构造h(x)=f(x)-ax.
(4)对于xf'(x)+f(x)>0,构造h(x)=xf(x).
(5)对于xf'(x)-f(x)>0,构造h(x)=.
针对训练
1.函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,f'(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为 ( )
A.(-1,1) B.(-1,+∞)
C.(-∞,-1) D.(-∞,+∞)
√
解析:由f(x)>2x+4,
得f(x)-2x-4>0,
设F(x)=f(x)-2x-4,
则F'(x)=f'(x)-2,
因为f'(x)>2,
所以F'(x)>0在R上恒成立,
所以F(x)在R上单调递增.
又F(-1)=f(-1)-2×(-1)-4=2+2-4=0,
故不等式f(x)-2x-4>0等价于F(x)>F(-1),
所以x>-1.
2.定义在R上的函数f(x),满足f(1)=1,且对任意x∈R都有f'(x)<,则不等式f(lg x)>的解集为 .
解析:由题意构造函数g(x)=f(x)-x,
则g'(x)=f'(x)-<0,
所以g(x)在定义域上是减函数.
因为f(1)=1,
(0,10)
所以g(1)=f(1)-=,
由f(lg x)>,
得f(lg x)-lg x>,
即g(lg x)=f(lg x)-lg x>=g(1),
所以lg x<1,
解得0所以原不等式的解集为(0,10).
题型(二) 利用f(x)与ex构造函数
02
[例2] 若定义在R上的函数f(x)满足f'(x)+2f(x)>0,且f(0)=1,则不等式f(x)>的解集为 .
解析:构造F(x)=f(x)·e2x,
∴F'(x)=f'(x)·e2x+f(x)·2e2x=e2x[f'(x)+2f(x)]>0,
∴F(x)在R上单调递增,
且F(0)=f(0)·e0=1.
(0,+∞)
∵不等式f(x)>可化为f(x)e2x>1,
即F(x)>F(0),
∴x>0,
∴原不等式的解集为(0,+∞).
[思维建模]
f(x)与ex构造的常见形式
(1)对于f'(x)+f(x)>0(<0),构造函数g(x)=exf(x).
(2)对于f'(x)-f(x)>0(<0),构造函数g(x)=.
针对训练
3.设定义在R上的函数f(x)满足f'(x)+f(x)=3x2e-x,且f(0)=0,则下列结论正确的是 ( )
A.f(x)在R上单调递减
B.f(x)在R上单调递增
C.f(x)在R上有最大值
D.f(x)在R上有最小值
√
解析:构造F(x)=exf(x),
则有F'(x)=ex[f'(x)+f(x)]=ex·3x2e-x=3x2,
故F(x)=x3+c(c为常数),
所以f(x)=,
又f(0)=0,
所以c=0,
故f(x)=.
因为f'(x)==,
易知f(x)在区间(-∞,3]上单调递增,
在[3,+∞)上单调递减,
所以f(x)max=f(3)=,无最小值.
4.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),且f'(x)-f(x)<0,f(1)=e,则不等式f(ln x)>x的解集为 ( )
A.(0,) B.(0,e)
C.(,+∞) D.(e,+∞)
√
解析:令g(x)=,
则g'(x)=,
∵f'(x)-f(x)<0,
∴g'(x)<0,
g(x)在R上单调递减.
∵f(1)=e,
∴g(1)==1,
∵不等式f(ln x)>x,x>0,
∴g(ln x)==>1=g(1),
∴ln x<1,
解得0故不等式f(ln x)>x的解集是(0,e).故选B.
题型(三) 利用f(x)与sin x、
cos x构造函数
03
[例3] 已知函数y=f(x)对于任意的x∈满足f'(x)cos x+f(x)sin x>0
(其中f'(x)是函数f(x)的导函数),则下列不等式不成立的是( )
A.fC.f(0)√
解析:构造F(x)=,
则F'(x)=,
导函数f'(x)满足f'(x)cos x+f(x)sin x>0,
则F'(x)>0,
F(x)在内单调递增.
把选项转化后可知选A.
[思维建模]
f(x)与sin x、cos x构造函数的常见形式
(1)对于f'(x)sin x+f(x)cos x>0,构造函数h(x)=f(x)sin x.
(2)对于f'(x)sin x-f(x)cos x>0,构造函数h(x)=.
(3)对于f'(x)cos x-f(x)sin x>0,构造函数h(x)=f(x)cos x.
(4)对于f'(x)cos x+f(x)sin x>0,构造函数h(x)=.
针对训练
5.已知函数f(x)的定义域为R,设f(x)的导数是f'(x),且f(x)·f'(x)+2sin x>0恒成立,则 ( )
A.fB.f>f
C.<
D.>
√
解析:设g(x)=f2(x)-2cos x,
则g'(x)=f(x)·f'(x)+2sin x>0,
故y=g(x)在定义域R上是增函数,
所以g>g,
即f2>f2,
所以>.故选D.
课时跟踪检测
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√
1.已知f(x)是定义在(0,+∞) 上的非负可导函数,且满足xf'(x)+f(x)≤0,对任意的0A.af(b)≤bf(a) B.bf(a)≤af(b)
C.af(a)≤f(b) D.bf(b)≤f(a)
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2
解析:因为xf'(x)≤-f(x),f(x)≥0,
所以'=≤≤0,
则函数在(0,+∞)上单调递减.
由于0则≥,
即af(b)≤bf(a).
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√
2.设函数f(x)的定义域为R,f'(x)是其导函数,若f(x)+f'(x)>0,f(1)=1,则不等式f(x)>e1-x的解集是 ( )
A.(0,+∞) B.(1,+∞)
C.(-∞,0) D.(0,1)
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4
解析:构造函数g(x)=f(x)·ex,
则g'(x)=[f'(x)+f(x)]·ex>0,
故g(x)在R上单调递增,
g(1)=e,
f(x)>e1-x可化为g(x)>e=g(1),
故原不等式的解集为(1,+∞),故选B.
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√
3.已知f(x)是定义在区间(0,+∞)上的函数,其导函数为f'(x),且不等式xf'(x)<2f(x)恒成立,则 ( )
A.4f(1)f(2)
C.f(1)<4f(2) D.f(1)>4f'(2)
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3
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2
解析:设函数g(x)=(x>0),
则g'(x)==<0,
所以函数g(x)在(0,+∞)上为减函数,
所以g(1)>g(2),
即>,
所以4f(1)>f(2).
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2
√
4.若函数f(x)在R上可导,且f(x)>f'(x),则当a>b时,下列不等式成立的是( )
A.eaf(a)>ebf(b) B.ebf(a)>eaf(b)
C.ebf(b)>eaf(a) D.eaf(b)>ebf(a)
解析:令t(x)=exf(x)(x∈R),
则t'(x)=ex[f(x)+f'(x)],
由于f(x)+f'(x)的正负不确定,
所以t'(x)的正负不确定,
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2
不能判断t(x)的单调性,故A、C错误;
令g(x)=(x∈R),
由f(x)>f'(x),
则g'(x)=<0,
所以g(x)为R上的减函数,
因为a>b,
所以g(a)即ebf(a)5
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2
√
5.已知函数f(x)的定义域为(0,π),其导函数是f'(x).若对任意的x∈(0,π)有f'(x)sin x-f(x)cos x<0,则关于x的不等式f(x)>2fsin x的解集为( )
A. B.
C. D.
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2
解析:令函数g(x)=,x∈(0,π),
求导得g'(x)=<0,
因此函数g(x)在(0,π)内单调递减,
不等式f(x)>2fsin x >,
即g(x)>g,
得0所以原不等式的解集为.故选B.
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6.函数f(x)的定义域是(0,π),其导函数是f'(x),若f'(x)sin x+ f(x)cos x<0,则关于x的不等式f(x)sin x>f的解集为 .
解析:令g(x)=f(x)sin x,x∈(0,π),
则g'(x)=f'(x)sin x+f(x)cos x<0,
∴g(x)在区间(0,π)内单调递减,
∴f(x)sin x>f f(x)sin x>fsin,
即g(x)>g 0故不等式的解集是.
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7.已知函数f'(x)是函数f(x)的导函数,f(1)=,对任意实数都有f(x)-f'(x)>0,
则不等式f(x)解析:构造F(x)=,
所以F'(x)=,
因为对任意实数都有f(x)-f'(x)>0,
所以F'(x)<0,
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(1,+∞)
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2
即F(x)为R上的减函数.
因为f(1)=,
则F(1)==,
由f(x)即F(x)所以x>1,
所以不等式f(x)5
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8.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),若xf'(x)+f(x)>2,且满足f(1)=3,则不等式x2[f(x2)-2]<1的解集为 .
解析:构造函数F(x)=xf(x)-2x,
因为F'(x)=xf'(x)+f(x)-2>0,
所以F(x)在R上单调递增.
因为f(1)=3,
所以F(1)=f(1)-2=3-2=1,
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(-1,1)
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x2[f(x2)-2]<1可化为x2f(x2)-2x2<1,
即F(x2)所以x2<1,
解得-15
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9.已知函数f(x)=(x∈R).
(1)求f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)求证:当x∈[0,π]时,f(x)≤x.
解:(1)由题意知,f(0)=0,
f'(x)=,
所以切点坐标为(0,0),
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斜率为f'(0)==1,
所以所求切线方程为x-y=0.
(2)证明:f(x)≤x(x∈[0,π]),
即xex-sin x≥0(x∈[0,π]),
令g(x)=xex-sin x,x∈[0,π],
则g'(x)=ex+xex-cos x,
令h(x)=ex+xex-cos x,x∈[0,π],
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2
则h'(x)=2ex+xex+sin x>0在[0,π]上恒成立,
所以h(x)在[0,π]内单调递增,
故h(x)≥h(0)=0,
即g'(x)≥0在[0,π]上恒成立,
所以g(x)在[0,π]内单调递增,
所以g(x)≥g(0)=0,
即xex-sin x≥0(x∈[0,π]).
综上,当x∈[0,π]时,f(x)≤x.
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10.已知函数f(x)=(x2+ax)ln x,a∈R.
(1)若f(x)的图象在x=1处的切线经过点(0,-2),求a的值;
(2)当1解:(1)由题知f(x)的定义域为(0,+∞).
又f'(x)=(2x+a)ln x+x+a,
则f'(1)=1+a.
又因为f(1)=0,
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所以切点为(1,0).
所以=1+a,
解得a=1.
(2)当10当1不等式f(x)5
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即不等式a<-x在x∈(1,e2)上恒成立.
设g(x)=-x,x∈(1,e2),
则g'(x)=-1=-.
因为(ln x)2-ln x+1=+>0,
所以g'(x)<0.
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所以g(x)在(1,e2)内单调递减,
从而g(x)>g(e2)=-.
要使原不等式恒成立,
即a即a的取值范围为.
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11.已知f(x)=,求证f(x)<1+e-2.
证明:令g(x)=1-x-xln x,
∴g'(x)=-1-(ln x+1)=-ln x-2,
由g'(x)>0得0由g'(x)<0得x>e-2.
∴函数g(x)的单调递增区间为(0,e-2),
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单调递减区间为(e-2,+∞),
∴g(x)≤g(x)max=1+e-2.
令h(x)=ex-x-1(x>0),
则h'(x)=ex-1>0,
函数h(x)在(0,+∞)上单调递增,
∴h(x)=ex-x-1>h(0)=0,
∴ex>x+1,
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∴>1,
∴·(e-2+1)>e-2+1≥g(x),
∴1-x-xln x<·(e-2+1),
∴即f(x)<1+e-2得证.
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12.已知函数f(x)=2ae2x-ln x(a>0).
(1)当a=1时,求函数f(x)的图象在(1,f(1))处的切线方程;
(2)若f(x)+ln a≥0恒成立,求实数a的最小值.
解:(1)当a=1时,
f(x)=2e2x-ln x,
f'(x)=4e2x-,
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所以f(1)=2e2,
f'(1)=4e2-1,
所以函数f(x)的图象在(1,f(1))处的切线方程为y-2e2=(4e2-1)(x-1),
即y=(4e2-1)x-2e2+1.
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(2)f(x)+ln a≥0恒成立,
即2ae2x≥ln x-ln a=ln恒成立,
于是2xe2x≥ln 恒成立,
即2xe2x≥·恒成立,
设u(x)=xex,x>0,
则u(2x)≥u,u'(x)=(x+1)ex,
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当x>0时,
u'(x)>0,u(x)单调递增,
所以2x≥ln对x>0恒成立,
即e2x≥对x>0恒成立,
于是a≥恒成立.
设v(x)=,x>0,v'(x)=,
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当x∈时,
v'(x)>0,v(x)单调递增;
当x∈时,
v'(x)<0,v(x)单调递减.
v(x)max=v=,
所以a≥,a的最小值是.课时跟踪检测(二十七) 导数中的函数构造问题
1.已知f(x)是定义在(0,+∞) 上的非负可导函数,且满足xf'(x)+f(x)≤0,对任意的0A.af(b)≤bf(a) B.bf(a)≤af(b)
C.af(a)≤f(b) D.bf(b)≤f(a)
2.设函数f(x)的定义域为R,f'(x)是其导函数,若f(x)+f'(x)>0,f(1)=1,则不等式f(x)>e1-x的解集是 ( )
A.(0,+∞) B.(1,+∞)
C.(-∞,0) D.(0,1)
3.已知f(x)是定义在区间(0,+∞)上的函数,其导函数为f'(x),且不等式xf'(x)<2f(x)恒成立,则 ( )
A.4f(1)f(2)
C.f(1)<4f(2) D.f(1)>4f'(2)
4.若函数f(x)在R上可导,且f(x)>f'(x),则当a>b时,下列不等式成立的是 ( )
A.eaf(a)>ebf(b) B.ebf(a)>eaf(b)
C.ebf(b)>eaf(a) D.eaf(b)>ebf(a)
5.已知函数f(x)的定义域为(0,π),其导函数是f'(x).若对任意的x∈(0,π)有f'(x)sin x-f(x)cos x<0,则关于x的不等式f(x)>2fsin x的解集为 ( )
A. B.
C. D.
6.函数f(x)的定义域是(0,π),其导函数是f'(x),若f'(x)sin x+ f(x)cos x<0,则关于x的不等式f(x)sin x>f的解集为 .
7.已知函数f'(x)是函数f(x)的导函数,f(1)=,对任意实数都有f(x)-f'(x)>0,则不等式f(x)8.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),若xf'(x)+f(x)>2,且满足f(1)=3,则不等式x2[f(x2)-2]<1的解集为 .
9.已知函数f(x)=(x∈R).
(1)求f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)求证:当x∈[0,π]时,f(x)≤x.
10.已知函数f(x)=(x2+ax)ln x,a∈R.
(1)若f(x)的图象在x=1处的切线经过点(0,-2),求a的值;
(2)当111.已知f(x)=,求证f(x)<1+e-2.
12.已知函数f(x)=2ae2x-ln x(a>0).
(1)当a=1时,求函数f(x)的图象在(1,f(1))处的切线方程;
(2)若f(x)+ln a≥0恒成立,求实数a的最小值.
课时跟踪检测(二十七)
1.选A 因为xf'(x)≤-f(x),f(x)≥0,所以'=≤≤0,则函数在(0,+∞)上单调递减.由于02.选B 构造函数g(x)=f(x)·ex,则g'(x)=[f'(x)+f(x)]·ex>0,故g(x)在R上单调递增,g(1)=e,f(x)>e1-x可化为g(x)>e=g(1),故原不等式的解集为(1,+∞),故选B.
3.选B 设函数g(x)=(x>0),则g'(x)==<0,所以函数g(x)在(0,+∞)上为减函数,所以g(1)>g(2),即>,所以4f(1)>f(2).
4.选D 令t(x)=exf(x)(x∈R),则t'(x)=ex[f(x)+f'(x)],由于f(x)+f'(x)的正负不确定,所以t'(x)的正负不确定,不能判断t(x)的单调性,故A、C错误;令g(x)=(x∈R),由f(x)>f'(x),则g'(x)=<0,所以g(x)为R上的减函数,因为a>b,所以g(a)5.选B 令函数g(x)=,x∈(0,π),求导得g'(x)=<0,因此函数g(x)在(0,π)内单调递减,不等式f(x)>2fsin x >,即g(x)>g,得06.解析:令g(x)=f(x)sin x,x∈(0,π),则g'(x)=f'(x)sin x+f(x)cos x<0,∴g(x)在区间(0,π)内单调递减,∴f(x)sin x>f f(x)sin x>fsin,即g(x)>g 0答案:
7.解析:构造F(x)=,所以F'(x)=,因为对任意实数都有f(x)-f'(x)>0,所以F'(x)<0,即F(x)为R上的减函数.因为f(1)=,则F(1)==,由f(x)1,所以不等式f(x)答案:(1,+∞)
8.解析:构造函数F(x)=xf(x)-2x,因为F'(x)=xf'(x)+f(x)-2>0,所以F(x)在R上单调递增.因为f(1)=3,所以F(1)=f(1)-2=3-2=1,x2[f(x2)-2]<1可化为x2f(x2)-2x2<1,即F(x2)答案:(-1,1)
9.解:(1)由题意知,f(0)=0,f'(x)=,
所以切点坐标为(0,0),斜率为f'(0)==1,
所以所求切线方程为x-y=0.
(2)证明:f(x)≤x(x∈[0,π]),即xex-sin x≥0(x∈[0,π]),
令g(x)=xex-sin x,x∈[0,π],则g'(x)=ex+xex-cos x,
令h(x)=ex+xex-cos x,x∈[0,π],则h'(x)=2ex+xex+sin x>0在[0,π]上恒成立,
所以h(x)在[0,π]内单调递增,故h(x)≥h(0)=0,即g'(x)≥0在[0,π]上恒成立,所以g(x)在[0,π]内单调递增,所以g(x)≥g(0)=0,即xex-sin x≥0(x∈[0,π]).
综上,当x∈[0,π]时,f(x)≤x.
10.解:(1)由题知f(x)的定义域为(0,+∞).
又f'(x)=(2x+a)ln x+x+a,则f'(1)=1+a.
又因为f(1)=0,所以切点为(1,0).
所以=1+a,解得a=1.
(2)当1当1即不等式a<-x在x∈(1,e2)上恒成立.
设g(x)=-x,x∈(1,e2),
则g'(x)=-1=-.
因为(ln x)2-ln x+1=+>0,
所以g'(x)<0.所以g(x)在(1,e2)内单调递减,从而g(x)>g(e2)=-.
要使原不等式恒成立,即a即a的取值范围为.
11.证明:令g(x)=1-x-xln x,∴g'(x)=-1-(ln x+1)=-ln x-2,由g'(x)>0得0e-2.
∴函数g(x)的单调递增区间为(0,e-2),单调递减区间为(e-2,+∞),∴g(x)≤g(x)max=1+e-2.
令h(x)=ex-x-1(x>0),则h'(x)=ex-1>0,函数h(x)在(0,+∞)上单调递增,
∴h(x)=ex-x-1>h(0)=0,∴ex>x+1,
∴>1,∴·(e-2+1)>e-2+1≥g(x),
∴1-x-xln x<·(e-2+1),
∴12.解:(1)当a=1时,f(x)=2e2x-ln x,f'(x)=4e2x-,所以f(1)=2e2,f'(1)=4e2-1,
所以函数f(x)的图象在(1,f(1))处的切线方程为y-2e2=(4e2-1)(x-1),即y=(4e2-1)x-2e2+1.
(2)f(x)+ln a≥0恒成立,即2ae2x≥ln x-ln a=ln恒成立,于是2xe2x≥ln 恒成立,即2xe2x≥·恒成立,
设u(x)=xex,x>0,则u(2x)≥u,u'(x)=(x+1)ex,
当x>0时,u'(x)>0,u(x)单调递增,
所以2x≥ln对x>0恒成立,即e2x≥对x>0恒成立,于是a≥恒成立.
设v(x)=,x>0,v'(x)=,
当x∈时,v'(x)>0,v(x)单调递增;
当x∈时,v'(x)<0,v(x)单调递减.
v(x)max=v=,
所以a≥,a的最小值是.