阶段质量评价(二)　一元函数的导数及其应用（含解析）高中数学人教A版（2019）选择性必修 第二册

阶段质量评价(二)　一元函数的导数及其应用
A卷——基本知能盘查
(时间:120分钟　满分:150分)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.曲线y=ex在点(0,1)处的切线的斜率为 (　 )
A.0 B.1
C.e D.-1
2.函数f(x)=x-2ln(2x)的单调递减区间为 (　 )
A.(-∞,1) B.(0,1)
C.(0,2) D.(2,+∞)
3.某质点沿直线运动,位移s(单位:m)与时间t(单位:s)之间的关系为s(t)=t2+3,则当t=5 s时该质点的瞬时速度为 (　 )
A.10 m/s B.11 m/s
C.13 m/s D.28 m/s
4.若x=3为函数f(x)=x2-ax-3ln x的极值点,则函数f(x)的最小值为 (　 )
A.- B.-
C.--3ln 3 D.3-3ln 3
5.若函数f(x)=x2-9ln x在区间[a-1,a+1]内单调递减,则实数a的取值范围是 (　 )
A.(1,2] B.[4,+∞)
C.(-∞,2] D.(0,3]
6.已知函数f(x)=ln x,g(x)=x+1,若f(x1)=g(x2),则x1-x2的最小值为 (　 )
A.2-2ln 2 B.-2ln 2-2
C.4-2ln 2 D.-2ln 2-4
7.过原点可以作曲线y=f(x)=x2-|x|+1的两条切线,则这两条切线方程为 (　 )
A.y=x和y=-x B.y=-3x和y=3x
C.y=x和y=-3x D.y=-x和y=3x
8.已知定义在R上的可导函数f(x),其导函数为f'(x),若2f(x)+f'(x)>0,且f(1)=e,则不等式e2xf(x)-e3>0的解集为 (　 )
A.(1,+∞) B.(e,+∞)
C.(-∞,1) D.(-∞,e)
二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得 6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.已知定义域为[-3,5]的函数f(x)的导函数为f'(x),且f'(x)的图象如图所示,则 (　 )
A.f(x)在(-2,2)内单调递减
B.f(x)有极小值f(2)
C.f(x)有2个极值点
D.f(x)在x=-3处取得最大值
10.已知函数f(x)的定义域为R,其导函数f'(x)满足f(x)>f'(x),则 (　 )
A.f(1)ef(0)
C.ef(ln 2)<2f(1) D.ef(ln 2)>2f(1)
11.已知函数f(x)=,下列关于f(x)的四个命题,其中真命题有 (　 )
A.函数f(x)在[0,1]内单调递增
B.函数f(x)的最小值为0
C.如果x∈[0,t]时,f(x)max=,则t的最小值为2
D.函数f(x)有2个零点
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分.把答案填在题中的横线上)
12.已知f'(x)是函数f(x)的导函数,且f'(x0)=3,则=　　　　　.
13.已知函数f(x)=(x-3)ex+x2-2x+1在区间(2m-2,3+m)内不具有单调性,则m的取值范围是　　　　.
14.某同学为研究函数f(x)=+(0≤x≤1)的性质,构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD和BEFC,点P是边BC上的一个动点,设CP=x,则AP+PF=f(x).请你参考这些信息,推知函数f(x)的极值点是　　　　;函数f(x)的值域是　　　　.
四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知函数f(x)=2x3-ax2+12x+b在x=2处取得极小值5.
(1)求实数a,b的值;
(2)当x∈[0,3]时,求函数f(x)的最小值.
16.(15分)已知函数f(x)=x3-3x2+3.
(1)判断函数f(x)的单调性,并求出f(x)的极值;
(2)若函数g(x)=f(x)-ax2+3x在区间(0,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围.
17.(15分)已知函数f(x)=(x-a)ln x.
(1)讨论f'(x)的单调性;
(2)若不等式xf'(x)≥2(x-a)在[1,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围.
18.(17分)已知函数f(x)=ex+2f'(0)x-cos x.
(1)求f(x)的解析式;
(2)讨论f(x)在R上的零点个数.
19.(17分)已知函数f(x)=ln x-ax.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)求证:当a>0时,f(x)+4<.
B卷——高考能力达标
(时间:120分钟　满分:150分)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.函数f(x)=a3+5a2x2的导数f'(x)= (　 )
A.3a2+10ax2 B.3a2+10ax2+10a2x
C.10a2x D.以上都不对
2.函数y=x-1的导函数是 (　 )
A.y'=-x-1 B.y'=-x-2
C.y'=x-2 D.y'=x-1
3.对于函数f(x)=xln x,以下判断正确的是 (　 )
A.无极大值无极小值
B.在(1,+∞)上单调递增
C.f(x)有两个不同的零点
D.其图象在点(1,0)处的切线的斜率为0
4.若函数f(x)=(x2-ax+2)ex既有极大值,也有极小值,则实数a的取值范围为 (　 )
A.(-∞,-2)∪(2,+∞)
B.(-3,1)
C.(-∞,-1)∪(0,+∞)
D.∪(1,+∞)
5.过原点的直线m,n分别与曲线f(x)=ex,g(x)=ln x相切,则直线m,n斜率的乘积为 (　 )
A.-1 B.1
C.e D.
6. x∈R,函数f(x)=x3+ax2+5ax存在极值点的充要条件是 (　 )
A.a<0或a>15 B.a=0或a=15
C.07.设a∈R,若函数y=x+aln x在区间上有极值点,则a的取值范围为 (　 )
A.
B.
C.∪(e,+∞)
D.(-∞,-e)∪
8.已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)的导数为f'(x),f(x)>0且f(e)=1,若xf'(x)ln x+f(x)>0对任意的x∈(0,+∞)恒成立,则不等式A.(0,1) B.(1,+∞)
C.(e,+∞) D.(0,e)
二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得 6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.若直线y=x+b是函数f(x)的图象的一条切线,则f(x)的解析式可以是 (　 )
A.f(x)= B.f(x)=x4
C.f(x)=sin x D.f(x)=
10.已知a=,b=ln ,c=-1,则 (　 )
A.a>b B.a>c
C.c>a D.b>c
11.已知函数f(x)=x3+ax2-x(a∈R),则 (　 )
A.当a=0时,函数f(x)的极大值为
B.若函数f(x)在R上单调递增,则a≥1或a≤-1
C.函数f(x)必有两个极值点
D.函数f(x)必有三个零点
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分.把答案填在题中的横线上)
12.如果函数f(x)=x3-6bx+3b在区间(0,1)内存在与y轴垂直的切线,则实数b的取值范围是　　　　.
13.若函数f(x)=cos2x-sin2x在区间[0,m]内单调递减,则m的一个值可以是 　　　　.
14.设函数f(x)=--ax-bln x,若x=1是f(x)的极小值点,则a的取值范围为　　　　.
四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知函数f(x)=aln x+x2-(a+1)x+1.
(1)当a=2时,求f(x)的单调递减区间;
(2)若a>1,求f(x)在区间(0,+∞)上的极大值与极小值.
16.(15分)已知函数f(x)=ax3+cx+d(a≠0)是R上的奇函数,当x=2时,f(x)取得极值-16.
(1)求f(x)的单调区间和极大值;
(2)证明:对任意的x1,x2∈[-1,1],不等式|f(x1)-f(x2)|≤22恒成立.
17.(15分)设函数f(x)=x3+ax2-a2x+m(a>0).
(1)若a=1时函数f(x)有三个互不相同的零点,求m的取值范围;
(2)若函数f(x)在[-1,1]内没有极值点,求a的取值范围.
18.(17分)已知f(x)=.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)点A(b,f(b))(b>e)为f(x)图象上一点,设函数f(x)在点A处的切线为直线l,若直线l与x轴交于点(c,0),求c的最大值.
19.(17分)(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)=ln+ax+b(x-1)3.
(1)若b=0,且f'(x)≥0,求a的最小值;
(2)证明:曲线y=f(x)是中心对称图形;
(3)若f(x)>-2当且仅当1阶段质量评价(二)
A卷——基本知能盘查
1.选B　因为y'=ex,所以y'|x=0=e0=1,根据导数的几何意义可知,曲线y=ex在点(0,1)处的切线的斜率为1.故选B.
2.选C　f(x)=x-2ln(2x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1-2··2=1-=,由f'(x)<0,可得x∈(0,2),故f(x)=x-2ln(2x)的单调递减区间为(0,2).故选C.
3.选A　因为s(t)=t2+3,所以s'(t)=2t,所以s'(5)=2×5=10,即当t=5 s时该质点的瞬时速度为10 m/s.故选A.
4.选C　f'(x)=x-a-,因为x=3是函数f(x)的极值点,所以f'(3)=3-a-1=0,则a=2,所以f'(x)=x-2-=,当x∈(0,3)时,f'(x)<0,当x∈(3,+∞)时,f'(x)>0,所以函数f(x)在(0,3)内单调递减,在(3,+∞)上单调递增,所以f(x)min=f(3)=--3ln 3.故选C.
5.选A　由f(x)=x2-9ln x,则函数f(x)的定义域是(0,+∞),又函数f(x)在区间[a-1,a+1]内单调递减,由f'(x)=x-≤0,得06.选C　设f(x1)=g(x2)=t,则x1=et,x2=2t-2,所以x1-x2=et-2t+2,令h(t)=et-2t+2,则h'(t)=et-2,令h'(t)<0 t0 t>ln 2,函数h(t)单调递增,所以h(t)min=h(ln 2)=eln 2-2ln 2+2=4-2ln 2,即x1-x2的最小值为4-2ln 2.故选C.
7.选A　由x∈R,f(-x)=(-x)2-|-x|+1=x2-|x|+1=f(x),得f(x)为偶函数,故过原点作的两条切线一定关于y轴对称.当x>0时,f(x)=x2-x+1,则f'(x)=2x-1,设切点为P(x0,-x0+1)(x0>0),故2x0-1=,解得x0=1或x0=-1(舍去),所以切线斜率为1,从而切线方程为y=x.由对称性知另一条切线方程为y=-x.故选A.
8.选A　构造函数g(x)=e2xf(x),该函数的定义域为R,则g'(x)=2e2xf(x)+e2xf'(x)=e2x[2f(x)+f'(x)]>0,所以函数g(x)在R上为增函数,且g(1)=e2f(1)=e3,由e2xf(x)-e3>0可得e2xf(x)>e3,即g(x)>g(1),解得x>1.所以不等式e2xf(x)-e3>0的解集为(1,+∞).故选A.
9.选AB　由f'(x)的图象可知x∈(-2,2)和x∈(4,5)时,f'(x)<0,则f(x)单调递减,故A正确;又x∈(-3,-2)和x∈(2,4)时,f'(x)>0,则f(x)单调递增,所以当x=2时,f(x)有极小值f(2),故B正确;由f'(x)的图象结合单调性可知x=-2,2,4时,f(x)有极值,所以f(x)有3个极值点,故C错误;当x∈(-3,-2)时,f'(x)>0,则f(x)单调递增,所以f(-3)10.选AD　构造函数g(x)=,其中x∈R,则g'(x)=<0,所以函数g(x)为R上的减函数,则g(1)g(1),即>,所以ef(ln 2)>2f(1),C错误,D正确.故选AD.
11.选ABC　对于A,因为f(x)=,求导得f'(x)=,当x<0或x>2时,f'(x)<0,当00,故f(x)在(-∞,0)和(2,+∞)上单调递减,在(0,2)内单调递增,故A正确;对于B,当x=0时,f(x)=0,当x→+∞时,f(x)→0,故B正确;
对于C,当x=2时,f(2)=,则f(x)的图象如图所示,如果x∈[0,t]时,f(x)max=,由图可知t的最小值为2,故C正确;对于D,由图可知f(x)只有一个零点,故D不正确.故选ABC.
12.解析:由题意,得
=-3=-3f'(x0)=-9.
答案:-9
13.解析:由题意知f'(x)=(x-3)ex+ex+x-2=(ex+1)(x-2),因为f(x)在区间(2m-2,3+m)内不具有单调性,即y=f'(x)在区间(2m-2,3+m)上有零点,又ex+1>0,即y=x-2的零点x=2在区间(2m-2,3+m)内,所以解得-1答案:(-1,2)
14.解析:显然当点P为线段BC的中点时,A,P,F三点共线,此时AP=PF,且函数f(x)取得最小值,函数f(x)的图象的对称轴为x=,当P在点B或点C时,取得最大值,当x∈时,函数f(x)单调递减,f(0)=1+,f=,所以值域为[,+1];当x∈时,函数f(x)单调递增,f(1)=1+,所以值域为[,+1],所以函数f(x)的值域为[,+1].
答案:　[,+1]
15.解:(1)f'(x)=6x2-2ax+12,
因为f(x)在x=2处取极小值5,所以f'(2)=24-4a+12=0,得a=9,此时f'(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2),
所以f(x)在(1,2)内单调递减,在(2,+∞)上单调递增,
所以f(x)在x=2时取得极小值,符合题意,所以a=9,f(x)=2x3-9x2+12x+b.
又f(2)=4+b=5,所以b=1.
(2)f(x)=2x3-9x2+12x+1,所以f'(x)=6(x-1)(x-2),列表.
x 0 (0,1) 1 (1,2) 2 (2,3) 3
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 1 单调递增 极大值6 单调递减 极小值5 单调递增 10
由于1<5,故x∈[0,3]时,f(x)min=f(0)=1.
16.解:(1)由f(x)=x3-3x2+3,则f'(x)=3x2-6x=3x(x-2),
当x<0或x>2时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当0所以f(x)极大值为f(0)=3,极小值为f(2)=-1,
所以f(x)在(-∞,0)和(2,+∞)上单调递增,在(0,2)内单调递减,极大值为3,极小值为-1.
(2)由题意得,g(x)=f(x)-ax2+3x=x3-(3+a)x2+3x+3,
所以g'(x)=3x2-2(3+a)x+3≥0对x∈(0,+∞)恒成立,则2a≤3x+-6对x∈(0,+∞)恒成立,
因为3x+-6≥2 -6=0,
当且仅当3x=,即x=1时等号成立,
所以2a≤0,即a≤0,所以实数a的取值范围为(-∞,0].
17.解:(1)由题意可知x∈(0,+∞),f'(x)=ln x-+1,令g(x)=ln x-+1,则g'(x)=+=,
当a≥0时,g'(x)>0恒成立,g(x)单调递增,当a<0时,由g'(x)>0,解得x>-a,由g'(x)<0,解得0所以g(x)在(-a,+∞)上单调递增,在(0,-a)内单调递减.
综上所述,当a≥0时,f'(x)单调递增,当a<0时,f'(x)在(-a,+∞)上单调递增,在(0,-a)内单调递减.
(2)由(1)可知不等式xf'(x)≥2(x-a)即xln x-a+x≥2(x-a)在[1,+∞)上恒成立,
即a≥x-xln x在[1,+∞)上恒成立,只需在[1,+∞)上a≥(x-xln x)max即可,令h(x)=x-xln x(x≥1),则h'(x)=1-(ln x+1)=-ln x,
当x≥1时,h'(x)≤0,h(x)单调递减,
所以h(x)max=h(1)=1,所以a≥1.
故实数a的取值范围是[1,+∞).
18.解:(1)f'(x)=ex+2f'(0)+sin x.
令x=0可得f'(0)=e0+2f'(0)+sin 0=1+2f'(0),解得f'(0)=-1.
所以f(x)=ex-2x-cos x.
(2)由(1)中f(x)=ex-2x-cos x可得f'(x)=ex+sin x-2,
①当x≤0时,有ex≤1,sin x≤1,所以f'(x)=ex+sin x-2<0恒成立,
所以f(x)在(-∞,0]上单调递减,f(x)≥f(0)=0,即可得0是f(x)的一个零点.
②当x>0时,设g(x)=ex+sin x-2,则g'(x)=ex+cos x>1+cos x≥0恒成立,即f'(x)在(0,+∞)上单调递增.又f'(0)=-1<0,f'(1)=e+sin 1-2>0,根据函数零点存在定理,可知 x1∈(0,1),使得f'(x1)=0.
当0x1时,f'(x)>0,所以f(x)在(x1,+∞)上单调递增.
又f(0)=0,所以f(x1)<0.
因为f(2)=e2-4-cos 2>e2-4>0,根据零点存在定理可知 x2∈(x1,2),使得f(x2)=0.
综上所述,f(x)在R上的零点个数为2.
19.解:(1)函数f(x)=ln x-ax的定义域为(0,+∞),f'(x)=-a=,
当a≤0时,f'(x)>0,所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,
当a>0时,令f'(x)>0,则0,所以函数f(x)在内单调递增,在上单调递减,
综上所述,当a≤0时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a>0时,函数f(x)在内单调递增,在上单调递减.
(2)证明:由(1)可得当a>0时,f(x)max=f=-ln a-1,要证f(x)+4<,只需要证明f(x)max+4<即可,即证-ln a+3-<0,即证ln a+-3>0.令g(a)=ln a+-3(a>0),则g'(a)=-=,
当04时,g'(a)>0,
所以函数g(a)在(0,4)内单调递减,在(4,+∞)上单调递增,
所以g(a)min=g(4)=ln 4+2-3=ln 4-1>0,
所以ln a+-3>0,
所以当a>0时,f(x)+4<.
B卷——高考能力达标
1.选C　f'(x)=10a2x.故选C.
2.选B　由(x-1)'=-x-1-1=-x-2,得y'=-x-2.故选B.
3.
选B　函数f(x)=xln x定义域为(0,+∞),f'(x)=1+ln x,令f'(x)=0,则x=,故D错误;当0时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,故B正确;当x=时,函数取得极小值,极小值为f=-,故A错误;作出函数的图象,可知C错误.故选B.
4.选A　由题设,f'(x)=[x2+(2-a)x+2-a]ex,又f(x)既有极大值,也有极小值,∴g(x)=x2+(2-a)x+2-a有两个不同的零点,∴Δ=(2-a)2-4(2-a)>0,可得a>2或a<-2.故选A.
5.选B　设f(x),g(x)的切点分别为(x1,),(x2,ln x2),由题意可得f'(x)=ex,g'(x)=,所以f(x)在x=x1处的切线为y-=(x-x1),g(x)在x=x2处的切线为y-ln x2=(x-x2),又因为两条切线过原点,所以解得所以直线m,n斜率的乘积为f'(x1)g'(x2)=e1×=1,故选B.
6.选A　函数f(x)=x3+ax2+5ax存在极值点,等价于f'(x)=3x2+2ax+5a有两个不相等的零点,即Δ=4a2-60a>0,解得a<0或a>15.故选A.
7.选B　由题得f'(x)=1+=,因为函数y=x+aln x在区间上有极值点,所以方程f'(x)=0在区间上有零点,所以f'(e)f'<0,整理得(e+a)<0,解得-e8.选C　令g(x)=f(x)ln x-1,g(e)=f(e)ln e-1=0,x∈(0,+∞).∵xg'(x)=xf'(x)ln x+f(x)>0在x∈(0,+∞)上恒成立.∴函数g(x)在x∈(0,+∞)上单调递增.由0,即>0,又f(x)>0,∴g(x)>0=g(e),∴x>e.即不等式9.选BD　直线y=x+b的斜率k=.对于A,f'(x)=-<0,A不满足条件;对于B,f'(x)=4x3,函数f'(x)的值域为(-∞,+∞),故f'(x)=有解,B满足条件;对于C,f'(x)=cos x∈,C不满足条件;对于D,f'(x)=>0,f'(x)=有解,D满足条件.故选BD.
10.选AC　令f(x)=ex-x-1,则f'(x)=ex-1,当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以f>f(0),则--1>0,所以-1>>,可得c>a,即B错误,C正确;令g(x)=x-ln(1+x)(x>0),则g'(x)=1-=>0在(0,+∞)上恒成立,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,所以g>g(0),即-ln >0,即ln <,所以b11.选ACD　对于A,当a=0时,f(x)=x3-x,则f'(x)=x2-1,所以f(x)在(-∞,-1)上单调递增,在(-1,1)内单调递减,在(1,+∞)上单调递增,则函数f(x)的极大值为f(-1)=-+1=,故A正确;对于B,函数f(x)在R上单调递增,则f'(x)=x2+2ax-1≥0恒成立,由Δ=4a2+4>0,可得f'(x)必有两根x1,x2(x10,则必有两相异实根,且不为0,故f(x)必有3个零点,故D正确.故选ACD.
12.解析:f'(x)=3x2-6b,依题意可知3x2-6b=0在区间(0,1)内有解,则b=x2,函数y=x2在(0,1)内单调递增,所以b=x2∈.
答案:
13.解析:∵f(x)=cos 2x,∴f'(x)=-2sin 2x,∴f'(x)=-2sin 2x≤0在区间[0,m]上恒成立,∴sin 2x≥0在区间[0,m]上恒成立,取m=,显然sin 2x≥0恒成立,
答案:
14.解析:函数f(x)=--ax-bln x的定义域为(0,+∞),f'(x)=-a-=,x=1是f(x)的极小值点.则f'(1)=-a-b+1=0,所以b=1-a,f'(x)=-=-.
①当a≥0时,令f'(x)<0得x>1,令f'(x)>0得0②当a<0时,f'(x)=0,得x=1或x=-.若a=-1,则f'(x)≥0在定义域上恒成立,函数单调递增,不满足条件.若-1答案:(-∞,-1)
15.解:(1) f(x)的定义域为(0,+∞),当a=2时,f(x)=2ln x+x2-3x+1,
由f'(x)=+x-3=<0,得f(x)的单调递减区间为(1,2).
(2)由f'(x)=+x-(a+1)==0,得x1=1,x2=a,
∵a>1,∴f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,a)内单调递减,在(a,+∞)上单调递增,
当x∈(0,+∞)时,f(x)的极大值为f(1)=-a,极小值为f(a)=aln a-a2-a+1.
16.解:(1)由奇函数的定义,有f(-x)=-f(x),x∈R,即a(-x)3+c(-x)+d=-ax3-cx-d,∴d=0.因此f(x)=ax3+cx,
由条件f(2)=-16为f(x)的极值,得
即解得a=1,c=-12,
∴f(x)=x3-12x,f'(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2),
令f'(x)=3(x+2)(x-2)=0,则有x1=-2,x2=2,列表如下:
x (-∞,-2) -2 (-2,2) 2 (2,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
由表知函数的单调递减区间是(-2,2),单调递增区间是(-∞,-2)和(2,+∞),f(x)极大值=f(-2)=16.
(2)证明:由(1)知,f(x)=x3-12x的单调递减区间是(-2,2),
∴f(x)在[-1,1]内单调递减,且f(x)在[-1,1]上的最大值为M=f(-1)=11,
f(x)在[-1,1]上的最小值为m=f(1)=-11,
∴对任意的x1,x2∈[-1,1],恒有|f(x1)-f(x2)|≤M-m=11-(-11)=22.
17.解:
(1)当a=1时,f(x)=x3+x2-x+m,因为f(x)有三个互不相同的零点,所以f(x)=x3+x2-x+m=0,即m=-x3-x2+x有三个互不相同的实数根.
令g(x)=-x3-x2+x,则g'(x)=-3x2-2x+1=-(3x-1)·(x+1).
令g'(x)>0 x∈,令g'(x)<0 x∈(-∞,-1)∪,所以g(x)在(-∞,-1)和上单调递减,在内单调递增,即g(x)的极小值为g(-1)=-1,极大值为g=,故m的取值范围为.
(2)由题意可知,f'(x)=3x2+2ax-a2=(3x-a)(x+a)在[-1,1]上没有变号零点,
又因为a>0,Δ=(2a)2-4×3(-a2)=16a2>0,对称轴x=-<0,且-a<-<,
所以
解得a≥3.故a的取值范围为[3,+∞).
18.解:(1)由题意,得f(x)定义域为(0,1)∪(1,+∞),f'(x)=,令f'(x)=0得x=e,列表如下.
x (0,1) (1,e) (e,+∞)
f'(x) - - +
f(x) 单调递减 单调递减 单调递增
故f(x)的单调递增区间为(e,+∞),单调递减区间为(0,1)和(1,e).
(2)由题意f'(b)=,故直线l方程为y-=(x-b),
将点(c,0)代入l方程,得-=(c-b),化简得c=(b>e),
令g(x)=(x>e),即求g(x)的最大值.
g'(x)=,令g'(x)=0得x=e2,
当x∈(e,e2)时,g'(x)>0,g(x)单调递增;当x∈(e2,+∞)时,g'(x)<0,g(x)单调递减.
故g(x)在x=e2处取得最大值,g(x)max=g(e2)=-e2. 故c的最大值为-e2.
19.解:(1)当b=0时,f(x)=ln+ax,其中x∈(0,2),
则f'(x)=+a,x∈(0,2),
因为x(2-x)≤=1,当且仅当x=1时等号成立,
故f'(x)min=2+a,而f'(x)≥0成立,故a+2≥0,即a≥-2,
所以a的最小值为-2.
(2)证明:f(x)=ln+ax+b(x-1)3的定义域为(0,2),
设P(m,n)为y=f(x)图象上任意一点,
P(m,n)关于(1,a)的对称点为Q(2-m,2a-n),
因为P(m,n)在y=f(x)图象上,故n=ln+am+b(m-1)3,
而f(2-m)=ln+a(2-m)+b(2-m-1)3=-+2a=-n+2a,
所以Q(2-m,2a-n)也在y=f(x)图象上,
由P的任意性可得y=f(x)图象为中心对称图形,且对称中心为(1,a).
(3)因为f(x)>-2当且仅当1所以f(1)=-2,即a=-2,
先考虑1-2恒成立.
此时f(x)>-2,即为ln+2(1-x)+b(x-1)3>0在(1,2)上恒成立,
设t=x-1∈(0,1),则ln-2t+bt3>0在(0,1)内恒成立,
设g(t)=ln-2t+bt3,t∈(0,1),
则g'(t)=-2+3bt2=,
当b≥0时,-3bt2+2+3b≥-3b+2+3b=2>0,
故g'(t)>0恒成立,故g(t)在(0,1)内为增函数,
故g(t)>g(0)=0,即f(x)>-2在(1,2)上恒成立.
当-≤b<0时,-3bt2+2+3b≥2+3b≥0,
故g'(t)≥0恒成立,故g(t)在(0,1)内为增函数,
故g(t)>g(0)=0,即f(x)>-2在(1,2)上恒成立.
当b<-,则当0故在内g(t)单调递减,故g(t)综上,f(x)>-2在(1,2)上恒成立时b≥-.
而当b≥-时,由上述过程可得g(t)在(0,1)内单调递增,故g(t)>0的解集为(0,1),
即f(x)>-2的解集为(1,2).
综上,b的取值范围是.