2025年新九年级数学人教版暑假预习大讲堂 第一讲 一元二次方程（含解析）

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2025新九年级数学人教版暑假大讲堂
第一讲 一元二次方程
知识点梳理
知识点1 一元一次方程的定义
1.一元二次方程定义：
只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程。
2.概念解析：
一元二次方程满足三个条件：（1）只含一个未知数，（2）未知数的最高次数为2（3）整式方程.
3.要点诠释：判断一个方程是否一元二次方程抓住五个方面：①“化简后”②一个未知数③未知数最高次数是2④二次项系数不为0⑤整式方程
知识点2 一元二次方程的一般形式
一元二次方程的一般形式：
概念解析：
一元二次方程经过整理后化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式，叫做一元二次方程的一般形式
在一般式中，当b＝0时，则有这两种形式
a叫做二次项系数， b 叫做一次项系数， c叫做常数项
注意：a0
3.要点诠释：要确定一元二次方程二次项、一次项、常数项，必须先把一元二次方程化为一般形式。
知识点3 一元二次方程的解：
1.一元二次方程的解
能使一元二次方程左右两边值相等的未知数的值，叫一元二次方程的解。也叫方程的根。
2.概念解析：一元二次方程如果有实数解，一定有两个，若x1、x2是方程ax2+bx+c=0 （a≠0）的解，一定有ax12+bx1+c=0, ax22+bx2+c=0成立.，可利用这两个等式求未知量。
题型1一元二次方程的定义
【例1】．下列方程为一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
1．下列关于的方程中，一定属于一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若是一元二次方程，则的取值范围 ．
3．判断下列方程是否为一元二次方程：
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥．
题型2 由一元二次方程的定义求参数
【例2】．若是关于x的一元二次方程，求a，b的值．张敏是这样考虑的：满足条件的a，b必须满足，你说张敏的这种想法全面吗？若不全面，请你说明其余满足的条件．
1．若关于的方程是一元二次方程，则 ．
2．当为何值时，方程
(1)是关于的一元一次方程．
(2)是关于的一元二次方程．
3．已知关于x的一元二次方程，其中a，b，c满足，求满足条件的一元二次方程．
4．设和都是关于的一元二次方程，求．
题型3 一元二次方程的一般形式
【例3】．把一元二次方程化为一般形式，并指出它的二次项系数，一次项系数和常数项．
1．方程化为一般形式后，一次项系数和常数项分别为（ ）
A．1和3 B．1和 C．3和 D．3和4
2．将一元二次方程化为一般形式后二次项系数为5，常数项为，则一次项系数是（ ）
A．5 B． C．4 D．
3．将方程化成一元二次方程的一般形式，其二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A． B． C． D．
4．将一元二次方程化为的形式，其常数项是（ ）
A．15 B． C．14 D．
5．一元二次方程化成一般形式后，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ．
题型4 一元二次方程的解
【例4】．若一元二次方程有一个根是，则这个方程可以是（ ）
A． B．
C． D．
1．下列数中，能使方程成立的x的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．16
2．下列各数中，哪个是方程的解（ ）
A． B．1 C．0 D．2
3．请写出一个关于的一元二次方程，使它的一个根为： （写出一个即可）
4．请写出一个关于的一元二次方程，使该方程有一个正根和一个负根，那么这个方程可以是 ．
题型5 利用方程的解求代数式的值
【例5】已知m是方程的一个根，求代数式的值．
1．已知一元二次方程有一个根为零，求的值．
2．若m是关于x的一元二次方程的根，求代数式的值．
3．已知实数a是一元二次方程的一个根，求代数式的值．
4．阅读与思考
阅读下列材料，然后完成相应任务．
方程两边同时除以，得，即．因为，所以．
任务：
(1)已知方程，则____________．
(2)若是方程的根，求的值．
题型6 赋值法求一元二次方程的解
【例6】下面是小华求一元二次方程的近似解的过程．
如图，这是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成一个底面积是的无盖长方体纸盒．小华在做这道题时，设剪去的正方形边长为，列出关于x的方程，整理得．

他想知道剪去的边长到底是多少，下面是他的探索过程．
探索方程的解：
第一步：
x 0 1 2
17 9
因此：____________．
第二步：
x 1.5 1.6 1.7 1.8
0.75 0.36
因此：____________.
（1）请你帮助小华完成表格中未完成的部分，并写出x的范围；
（2）通过以上探索，请直接估计出x的值．（结果保留一位小数）
1．根据表格中的数据，判断一元二次方程（a，b，c为常数，）一个解x的范围为（　　）
x 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
0.16 0.59
A． B． C． D．0.6＜x＜0.7
2．根据下列表格中的对应值，判断方程的一个解x的范围是（ ）
x
A． B． C． D．
3．观察下面的表格，估计一元二次方程的一个解的范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．根据关于x的一元二次方程x2+px+q=0，可列表如下：则方程x2+px+q=0的正数解满足（　　）
x 0 0.5 1 1.1 1.2 1.3
x2+px+q ﹣15 ﹣8.75 ﹣2 ﹣0.59 0.84 2.29
A．解的整数部分是0，十分位是5 B．解的整数部分是0，十分位是8
C．解的整数部分是1，十分位是1 D．解的整数部分是1，十分位是2
能力提升 创新拓展
1．两个关于的一元二次方程与，其中是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知为一元二次方程的一个根，且，为有理数，则 ， ．
3．已知是一元二次方程的解，求的值．
4．【问题提出】
（1）如图1，在和，已知三点在一条直线上，，求的长度．

【再探究】
（2）如图2，与均为等边三角形，若点为边上的一点，以为一边作，另一边交于点，连接，试探究线段的数量关系，并说明理由；
【解决问题】
（3）如图3，在三角形中，，若，求的面积．
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第一讲 一元二次方程
知识点梳理
知识点1 一元一次方程的定义
1.一元二次方程定义：
只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程。
2.概念解析：
一元二次方程满足三个条件：（1）只含一个未知数，（2）未知数的最高次数为2（3）整式方程.
3.要点诠释：判断一个方程是否一元二次方程抓住五个方面：①“化简后”②一个未知数③未知数最高次数是2④二次项系数不为0⑤整式方程
知识点2 一元二次方程的一般形式
一元二次方程的一般形式：
概念解析：
一元二次方程经过整理后化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式，叫做一元二次方程的一般形式
在一般式中，当b＝0时，则有这两种形式
a叫做二次项系数， b 叫做一次项系数， c叫做常数项
注意：a0
3.要点诠释：要确定一元二次方程二次项、一次项、常数项，必须先把一元二次方程化为一般形式。
知识点3 一元二次方程的解：
1.一元二次方程的解
能使一元二次方程左右两边值相等的未知数的值，叫一元二次方程的解。也叫方程的根。
2.概念解析：一元二次方程如果有实数解，一定有两个，若x1、x2是方程ax2+bx+c=0 （a≠0）的解，一定有ax12+bx1+c=0, ax22+bx2+c=0成立.，可利用这两个等式求未知量。
题型1一元二次方程的定义
【例1】．下列方程为一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程逐项判断即可解答．
【详解】解：A、是一元一次方程，不符合题意；
B、的未知数在分母里，是分式方程，不符合题意；
C、的未知数最高次数为2，且只有一个未知数，符合题意是一元二次方程，符合题意；
D、含有根式，不是一元二次方程，不符合题意．
故选：C．
1．下列关于的方程中，一定属于一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的概念，熟练掌握其概念是解决此题的关键．根据一元二次方程的定义求解即可．
【详解】解：A、整理可得，不是一元二次方程，故本选项错误，不符合题意；
B、是一元二次方程，故本选项正确，符合题意；
C、是分式方程，不是一元二次方程，故本选项错误，不符合题意；
D、有两个未知数，该方程不是一元二次方程，故本选项错误，不符合题意；
故选：B．
2．若是一元二次方程，则的取值范围 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是．特别要注意的条件．
一元二次方程的定义得，求解即可．
【详解】解：由题意，得，
解得：，
故答案为：．
3．判断下列方程是否为一元二次方程：
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥．
【答案】①是；②不是；③是；④不是；⑤不是；⑥是
【分析】本题利用了一元二次方程的概念．根据一元二次方程的定义逐个判定即可求解．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是．特别要注意的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点．
【详解】解：①是一元二次方程；
②中有2个未知数，不是一元二次方程；
③是一元二次方程；
④中未知数在分母上，是分式方程，不是一元二次方程；
⑤，即不是一元二次方程；
⑥是一元二次方程；
综上，①是；②不是；③是；④不是；⑤不是；⑥是．
题型2 由一元二次方程的定义求参数
【例2】．若是关于x的一元二次方程，求a，b的值．张敏是这样考虑的：满足条件的a，b必须满足，你说张敏的这种想法全面吗？若不全面，请你说明其余满足的条件．
【答案】或或或或．
【分析】本题考查了一元二次方程的概念．根据一元二次方程必须满足四个条件，含有一个未知数；未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程．
【详解】解：张敏的这种想法不全面．
由是关于x的一元二次方程，得
或或或或．
1．若关于的方程是一元二次方程，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程进行计算解答即可．
【详解】解：根据题意可得，，
解得，
故答案为：0．
2．当为何值时，方程
(1)是关于的一元一次方程．
(2)是关于的一元二次方程．
【答案】(1)或
(2)
【分析】本题主要考查了一元二次方程和一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的项的最高次数为2的整式方程是一元二次方程；只含有一个未知数，且未知数的项的最高次数为1的整式方程是一元一次方程．
（1）根据题意得到，或，进而求解即可；
（2）根据题意得到，，进而求解即可；
【详解】（1）解：根据题意得，，或，
∴或；
（2）解：根据题意得，，
∴，
∴．
3．已知关于x的一元二次方程，其中a，b，c满足，求满足条件的一元二次方程．
【答案】满足条件的一元二次方程为或
【分析】本题考查了一次二次方程的定义和非负数的性质，几个非负数的和为0时，那么这几个非负数分别等于0．根据非负数的性质列式求出a，b，c的值，然后代入方程即可．
【详解】解：由题意得：，，，
解得，，，
∴满足条件的一元二次方程为或．
4．设和都是关于的一元二次方程，求．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，据此可得m、n的值，再代入所求式子计算即可．
【详解】解：∵和都是关于的一元二次方程，
∴，
∴解得，
∴
．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，二次根式的混合运算，正确把握一元二次方程的定义是解题关键．
题型3 一元二次方程的一般形式
【例3】．把一元二次方程化为一般形式，并指出它的二次项系数，一次项系数和常数项．
【答案】二次项系数是，一次项系数是，常数项是．
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，首先把方程化成一般形式即可求解，解题的关键是理解一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件，其中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【详解】解：，
，
∴该方程的二次项系数是，一次项系数是，常数项是．
1．方程化为一般形式后，一次项系数和常数项分别为（ ）
A．1和3 B．1和 C．3和 D．3和4
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，根据进行判定即可求解．
【详解】解：根据题意，移项整理得，，
∴一次项系数和常数项分别为3和．
故选：C ．
2．将一元二次方程化为一般形式后二次项系数为5，常数项为，则一次项系数是（ ）
A．5 B． C．4 D．
【答案】B
【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式．根据一元二次方程化成一般形式进行解答即可．
【详解】解：将一元二次方程化成一般形式后，常数项为，一次项系数为，
故选：B．
3．将方程化成一元二次方程的一般形式，其二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．方程整理后为一般形式，找出二次项系数与一次项系数、常数项即可．
【详解】解：将方程化成一元二次方程的一般形式为，
则二次项系数为1，一次项系数为4，常数项为0，
故选：D．
4．将一元二次方程化为的形式，其常数项是（ ）
A．15 B． C．14 D．
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，解题关键是熟知一元二次方程的一般形式：，其中是二次项，是一次项，为常数项．先移项将一元二次方程化为一般式，再找出常数项即可．
【详解】解：
∴
∴
常数项是
故选：D．
5．一元二次方程化成一般形式后，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ．
【答案】 2
【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握形如的式子叫做一元二次方程是解题的关键．
先将方程化为一般形式，即可求解．
【详解】解：将方程化成一般形式为，
∴二次项系数为2，一次项系数为，常数项为．
故答案为：．
题型4 一元二次方程的解
【例4】．若一元二次方程有一个根是，则这个方程可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．根据一元二次方程的解的定义判断即可．
【详解】解：A、当时，，则不是方程的根，本选项不符合题意；
B、当时，，则是方程的根，本选项符合题意；
C、当时，，则不是方程的根，本选项不符合题意；
D、当时，，则不是方程的根，本选项不符合题意；
故选：B．
1．下列数中，能使方程成立的x的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．16
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的解，将各个选项的的值代入计算即可得解．
【详解】解：A、当时，，故不符合题意；
B、当时，，故符合题意；
C、当时，，故不符合题意；
D、当时，，故不符合题意；
故选：B．
2．下列各数中，哪个是方程的解（ ）
A． B．1 C．0 D．2
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，判断一个数是不是一元二次方程的解，将此数代入这个一元二次方程的左、右两边，看是否相等，若相等，就是方程的根；若不相等，就不是方程的根．理解和掌握一元二次方程的解的定义解题的关键．将各选项中的的值一一代入方程进行验证即可作出判断．
【详解】解：A．当时，
左边，右边，左边≠右边，
∴不是方程的解，故此选项不符合题意；
B．当时，
左边，右边，左边＝右边，
∴是方程的解，故此选项符合题意；
C．当时，
左边，右边，左边≠右边，
∴不是方程的解，故此选项不符合题意；
D．当时，
左边，右边，左边≠右边，
∴不是方程的解，故此选项不符合题意．
故选：B．
3．请写出一个关于的一元二次方程，使它的一个根为： （写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了一元二次方程的解，利用一元二次方程的解的定义写出一个满足方程的解即可．
【详解】解：一元二次方程的一个根为，
故答案为：（答案不唯一）．
4．请写出一个关于的一元二次方程，使该方程有一个正根和一个负根，那么这个方程可以是 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了一元二次方程根，根据一元二次方程有一个正根和一个负根解答即可，掌握因式分解的应用是解题的关键．
【详解】解：∵一元二次方程有一个正根和一个负根，
∴这个方程可以是，
即，
故答案为：．
题型5 利用方程的解求代数式的值
【例5】已知m是方程的一个根，求代数式的值．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，把代入原方程即可得到答案．
【详解】解：∵m是方程的一个根，
∴，
∴，
∴
故答案为：．
1．已知一元二次方程有一个根为零，求的值．
【答案】的值为．
【分析】本题考查了一元二次方程的解，由一元二次方程有一个根为零，得到，然后求解，再利用一元二次方程的定义确定的值，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：一元二次方程有一个根为零，
，
解得：，，
∵方程为一元二次方程，
∴ ；即，
∴不符合题意，舍去，
∴的值为．
2．若m是关于x的一元二次方程的根，求代数式的值．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的解的应用，运用适当的变形，渗透整体代入的思想解决问题．
把代入方程得，从而得到，再由，整体代入计算即可．
【详解】解：将代入，得，
∴，
∴
．
3．已知实数a是一元二次方程的一个根，求代数式的值．
【答案】
【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，由方程的解可得，可得，，再代入计算即可．
【详解】解：是方程的一个根，
．
∴，．
．
4．阅读与思考
阅读下列材料，然后完成相应任务．
方程两边同时除以，得，即．因为，所以．
任务：
(1)已知方程，则____________．
(2)若是方程的根，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程的解，分式的求值：
（1）仿照题意求解即可；
（2）根据一元二次方程解的定义得，进而得到，再两边平方求解即可．
【详解】（1）解：，
两边同时除以x（），得
，
∴，
故答案为：3；
（2）解：∵m是方程的根，
∴，
两边同时除以（），得
，
∴，
∴，
∴
∴．
题型6 赋值法求一元二次方程的解
【例6】下面是小华求一元二次方程的近似解的过程．
如图，这是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成一个底面积是的无盖长方体纸盒．小华在做这道题时，设剪去的正方形边长为，列出关于x的方程，整理得．

他想知道剪去的边长到底是多少，下面是他的探索过程．
探索方程的解：
第一步：
x 0 1 2
17 9
因此：____________．
第二步：
x 1.5 1.6 1.7 1.8
0.75 0.36
因此：____________.
（1）请你帮助小华完成表格中未完成的部分，并写出x的范围；
（2）通过以上探索，请直接估计出x的值．（结果保留一位小数）
【答案】（1），，，，（2）
【分析】
（1）第一步: 代入及, 可求出的值, 进而可得出;第二步: 根据及时, 的值，进而可得出；
（2）由的结论, 可得出的值约为.
【详解】
解：（1）第一步: 当时,
，
当时,
,
∴；
第二步: 当时,，
当时,，
∴ .
故答案为：，，，；
（2）通过以上探索,的值约为.
【点睛】
本题考查了估算一元二次方程的近似解，熟练掌握用列举法估算一元二次方程的近似解的方法是解题的关键.
1．根据表格中的数据，判断一元二次方程（a，b，c为常数，）一个解x的范围为（　　）
x 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
0.16 0.59
A． B． C． D．0.6＜x＜0.7
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的近似根，熟练掌握式子的值在0附近时的x值，是解决此题的关键．
利用表中的对应值得到时，；时，，从而得到x在之间取一数值时，，于是得到一元二次方程（a，b，c为常数，）一个解x的范围．
【详解】解：∵时，；时，，
∴当x在之间取一数值时，，
∴一元二次方程（a，b，c为常数，）一个解x的范围为．
故选：C．
2．根据下列表格中的对应值，判断方程的一个解x的范围是（ ）
x
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了估算一元二次方程的解的范围，正确理解题意、掌握求解的方法是关键．根据表格中的数据可得当时，，当时，，进而求解．
【详解】解：当时，，
当时，，
所以方程的一个根x的范围是；
故选：C．
3．观察下面的表格，估计一元二次方程的一个解的范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，找出代数式的值最接近时，其对应的值就是方程的近似解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：根据题意，其中代数式的值最接近的是与，其对应的值是与，
∴一元二次方程的一个解的范围是：
，
故选：C．
4．根据关于x的一元二次方程x2+px+q=0，可列表如下：则方程x2+px+q=0的正数解满足（　　）
x 0 0.5 1 1.1 1.2 1.3
x2+px+q ﹣15 ﹣8.75 ﹣2 ﹣0.59 0.84 2.29
A．解的整数部分是0，十分位是5 B．解的整数部分是0，十分位是8
C．解的整数部分是1，十分位是1 D．解的整数部分是1，十分位是2
【答案】C
【分析】通过观察表格可得x2+px+q=0时，1.1＜x＜1.2，即可求解．
【详解】解：由表格可知，
当x=1.1时，x2+px+q＜0，
当x=1.2时，x2+px+q＞0，
∴x2+px+q=0时，1.1＜x＜1.2，
∴解的整数部分是1，十分位是1，
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，通过观察所给的信息，确定一元二次方程解的范围是解题的关键．
能力提升 创新拓展
1．两个关于的一元二次方程与，其中是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的解及定义，由题意可得，进而由方程得，，又由是方程的一个根， 可得，即得，即可得是方租的一个根，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∵是方程的一个根，
∴是方程的一个根，
∴，
∴，
∴是方程的一个根，
即是方程的一个根，
故选：．
2．已知为一元二次方程的一个根，且，为有理数，则 ， ．
【答案】 ； ；
【分析】将因式分解求得，则可化简得，根据，为有理数，可得，也为有理数，故当时候，只有，，据此求解即可．
【详解】解：∵
∴
∴
∴
∴
∴
∵，为有理数，
∴，也为有理数，
故当时候，只有，，
∴，，
故答案是：，；
【点睛】本题考查了二次根式的化简，利用完全平方公式因式分解，一元二次方程的解，有理数，无理数的概念的理解，熟悉相关性质是解题的关键．
3．已知是一元二次方程的解，求的值．
【答案】17
【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值问题，根据已知代数式化简所求代数式是解题的关键．根据题意可知，从而得到，，然后代入化简得到，由，故方程两边同时除以得到，代入即可得到答案．
【详解】解：是一元二次方程的解
，
方程两边同时除以得到，即
的值为17．
4．【问题提出】
（1）如图1，在和，已知三点在一条直线上，，求的长度．

【再探究】
（2）如图2，与均为等边三角形，若点为边上的一点，以为一边作，另一边交于点，连接，试探究线段的数量关系，并说明理由；
【解决问题】
（3）如图3，在三角形中，，若，求的面积．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）易证，即可得到，，从而求得；
（2）在上取一点，使，连接，可得为等边三角形，，根据，利用角的转化可得，又因为、、均为等边三角形，可得，可证，进而可得出是等边三角形，可知；
（3）过点作，使，可得为等腰直角三角形，过点作，设，则，在中，，可列出一元二次方程，解得，即可求出的面积．
【详解】解：（1）如图1，在和，，
，
，
在和中，
，
，，
；
（2），在上取一点，使，连接，

又，
为等边三角形，
，，
，
又，
，
又，
，
，
又、、均为等边三角形，
，，
，
在和中，
，
，
又，
是等边三角形，
即；
（3）过点作，使，
，
，
为等腰直角三角形，
过点作，
设，
则，
在中，，
可得，
，
．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，一元二次方程等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质和等边三角形的判定和性质是解题的关键．
典例精讲1
变式训练1
典例精讲2
变式训练2
典例精讲3
变式训练3
典例精讲4
变式训练4
典例精讲5
变式训练5
典例精讲
变式训练6
典例精讲1
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