第3节 带电粒子在匀强磁场中的运动
(赋能课—精细培优科学思维)
课标要求 学习目标
1.能用洛伦兹力分析带电粒子在匀强磁场中的圆周运动。2.了解带电粒子在匀强磁场中的偏转及其应用。 1.理解带电粒子初速度方向和磁场方向垂直时,带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动。2.会根据洛伦兹力提供向心力推导半径公式和周期公式。3.会解决带电粒子在匀强磁场中运动的基本问题。
一、带电粒子在匀强磁场中的运动
1．带电粒子沿着与磁场垂直的方向射入匀强磁场，由于带电粒子初速度的方向和洛伦兹力的方向都在与磁场方向________的平面内，所以粒子在这个平面内运动。
2．洛伦兹力总是与粒子运动方向垂直，只改变粒子速度的方向，不改变粒子速度的大小。
3．粒子速度大小不变，粒子在匀强磁场中所受洛伦兹力大小也不改变，洛伦兹力提供粒子做圆周运动的向心力，粒子做__________运动。
带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，带电粒子的重力忽略不计，洛伦兹力提供向心力。
二、带电粒子在磁场中做圆周运动
的半径和周期
1．半径公式
由洛伦兹力提供向心力qvB＝m，可得圆周运动的半径r＝________。
2．周期公式
匀速圆周运动的周期T＝，将r＝代入，可得T＝________。
[微情境·大道理]
1．电子以某一速度进入洛伦兹力演示仪中。
(1)励磁线圈通电前后电子的运动情况相同吗？
(2)电子在洛伦兹力演示仪中做匀速圆周运动时，什么力提供向心力？
2.如图，带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动。判断下列说法的正误。
(1)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期与速度有关。( )
(2)带电粒子做匀速圆周运动的半径与带电粒子进入匀强磁场时速度的大小有关。( )
(3)带电粒子若垂直进入非匀强磁场后做半径不断变化的运动。( )
强化点(一) 带电粒子做圆周运动的半径和周期
任务驱动
美丽的极光是由来自太阳的高能带电粒子流进入地球高空大气层出现的现象。科学家发现并证实，向地球两极做螺旋运动的这些高能粒子的旋转半径是不断减小的，这主要与哪些因素有关？
[要点释解明]
1．由公式r＝可知，带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径r与比荷成反比，与速度v成正比，与磁感应强度B成反比。
2．由公式T＝可知，带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的周期T与速度v、半径r无关，与比荷成反比，与磁感应强度B成反比。
[典例] (2024·河北唐山期末)已知氚核的质量约为质子质量的3倍，电荷量与质子电荷量相等。现在质子和氚核以大小相同的速度在同一匀强磁场中做匀速圆周运动。下列说法正确的是( )
A．质子和氚核运动半径之比为3∶1
B．质子和氚核运动半径之比为1∶3
C．质子和氚核运动周期之比为1∶1
D．质子和氚核运动周期之比为2∶3
听课记录：
[题点全练清]
1．处在匀强磁场内部的两个电子A和B分别以速度v和2v垂直于磁场开始运动，经磁场偏转后，哪个电子先回到原来的出发点( )
A．条件不够，无法比较 B．A先到达
C．B先到达 D．同时到达
2．(2024·北京海淀期末)1932年，美国物理学家安德森在宇宙线实验中发现了正电子(带正电荷)。他利用放在强磁场中的云室来记录宇宙线粒子，并在云室中加入一块厚6 mm的铅板，借以减慢粒子的速度。当宇宙线粒子通过云室内的垂直纸面的匀强磁场时，拍下粒子径迹的照片，如图甲所示，根据照片画出的轨迹示意图如图乙，可分析得出( )
A．磁场方向垂直向里，正电子从上到下穿过铅板
B．磁场方向垂直向里，正电子从下到上穿过铅板
C．磁场方向垂直向外，正电子从上到下穿过铅板
D．磁场方向垂直向外，正电子从下到上穿过铅板
强化点(二) 带电粒子做圆周运动的圆心、
半径、运动时间的确定
[要点释解明]
1．圆心的确定
圆心位置的确定通常有以下两种基本方法：
(1)已知入射方向和出射方向时，可以过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图甲所示，P为入射点，M为出射点)。
(2)已知入射方向和出射点的位置时，可以过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作连线的中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图乙所示，P为入射点，M为出射点)。
2．半径的确定
(1)r＝；(2)几何关系。
3．粒子速度偏向角
速度的偏向角φ＝圆弧所对的圆心角(回旋角)θ＝弦切角α的2倍。(如图)
4．粒子在匀强磁场中运动时间的确定
方法一：周期一定时，利用圆心角求解：
t＝·T；
方法二：v一定时，利用弧长s和速度v求解：t＝＝。
[典例] 如图所示，一带电荷量为2.0×10－9 C、质量为1.8×10－16 kg的粒子，从直线上一点O沿与PO方向成30°角的方向进入磁感应强度为B的匀强磁场中，经过1.5×10－6 s后到达直线上的P点，求：(π＝3.14)
(1)粒子做圆周运动的周期；
(2)磁感应强度B的大小；
(3)若O、P之间的距离为0.1 m，则粒子的运动速度的大小。(结果保留三位有效数字)
尝试解答：
/方法技巧/
带电粒子在匀强磁场中运动的解题三步法
[题点全练清]
1.如图所示，两个速度大小不同的同种带电粒子1、2沿水平方向从同一点垂直射入匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里，当它们从磁场下边界飞出时相对入射方向的偏转角分别为90°、60°，则粒子1、2在磁场中运动的( )
A．轨迹半径之比为2∶1 B．速度之比为1∶2
C．时间之比为2∶3 D．周期之比为1∶2
2.如图所示，空间存在范围足够大的垂直xOy平面向里的匀强磁场(图中未画出)，一质量为m、带电荷量为＋q(q>0)的带电粒子(不计
所受重力)从坐标原点O沿x轴正方向以速度v0射出，带电粒子恰好经过点Ah，h，求：
(1)匀强磁场的磁感应强度大小B；
(2)粒子从O点运动到A点所用的时间t。
第3节 带电粒子在匀强磁场中的运动
一、1.垂直 3.匀速圆周
二、1. 2.
[微情境·大道理]
1．提示：(1)①通电前，电子做匀速直线运动。
②通电后，电子做匀速圆周运动。
(2)洛伦兹力提供向心力。
2．(1)× (2)√ (3)√
强化点(一)
[任务驱动] 提示：一方面磁场在不断增强，另一方面由于大气阻力使粒子速度不断减小，根据r＝，半径r是不断减小的。
[典例] 选B 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力，有Bqv＝m，可得R＝，若质子、氚核以大小相同的速度在同一匀强磁场中做匀速圆周运动，则它们做圆周运动的半径比等于它们比荷的反比，质子和氚核运动半径之比＝＝，故A错误，B正确；带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期T＝，质子和氚核运动周期之比＝＝，故C、D错误。
[题点全练清]
1．选D 电子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由周期公式T＝可知，运动周期与速度v无关。两个电子各自经过一个周期又回到原来的出发点，故同时到达，D正确。
2．选A 正电子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有Bqv＝m，解得R＝，正电子穿过铅板后速度减小，正电子在磁场中的运动半径减小，由题图可知，正电子从上向下穿过铅板。由左手定则可知，磁场的方向垂直纸面向里。故A正确，B、C、D错误。
强化点(二)
[典例] 解析：(1)作出粒子的运动轨迹，如图所示，由图可知粒子由O到P的运动轨迹所对的圆心角为300°，
则＝＝，周期T＝t＝×1.5×10－6 s＝1.8×10－6 s。
(2)带电粒子在磁场中做圆周运动的周期T＝，
解得B＝＝ T＝0.314 T。
(3)由几何知识可知，粒子运动轨迹的半径r＝＝0.1 m，根据qvB＝，解得粒子的运动速度大小为v＝＝ m/s≈3.49×105 m/s。
答案：(1)1.8×10－6 s (2)0.314 T (3)3.49×105 m/s
[题点全练清]
1．选B 带电粒子在匀强磁场中运动时，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律，有qvB＝m，可得r＝，又T＝，联立可得T＝，故两粒子运动的周期相同，D错误；速度的偏转角等于轨迹所对的圆心角，故粒子1的运动时间t1＝T＝T，粒子2的运动时间t2＝T＝T，则运动时间之比为3∶2，C错误；粒子1和粒子2运动轨迹的圆心O1和O2如图所示，设粒子1的轨迹半径R1＝d，对于粒子2，由几何关系可得R2sin 30°＋d＝R2，解得R2＝2d，故轨迹半径之比为1∶2，A错误；由r＝可知，速度之比为1∶2，B正确。
2．解析：(1)根据洛伦兹力提供向心力，结合几何关系有qv0B＝，2＋(h－R)2＝R2，解得R＝h，B＝。
(2)由几何关系可知，粒子从O到A轨迹的圆心角为120°，设带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期为T，则有T＝，t＝T，解得t＝。
答案：(1) (2)
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带电粒子在匀强磁场中的运动
(赋能课—精细培优科学思维)
第3节
课标要求 学习目标
1.能用洛伦兹力分析带电粒子在匀强磁场中的圆周运动。 2.了解带电粒子在匀强磁场中的偏转及其应用。 1.理解带电粒子初速度方向和磁场方向垂直时,带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动。
2.会根据洛伦兹力提供向心力推导半径公式和周期公式。
3.会解决带电粒子在匀强磁场中运动的基本问题。
1
课前预知教材/落实主干基础
2
课堂精析重难/深度发掘知能
3
课时跟踪检测
CONTENTS
目录
课前预知教材/落实主干基础
一、带电粒子在匀强磁场中的运动
1.带电粒子沿着与磁场垂直的方向射入匀强磁场,由于带电粒子初速度的方向和洛伦兹力的方向都在与磁场方向_____的平面内,所以粒子在这个平面内运动。
2.洛伦兹力总是与粒子运动方向垂直,只改变粒子速度的方向,不改变粒子速度的大小。
垂直
3.粒子速度大小不变,粒子在匀强磁场中所受洛伦兹力大小也不改变,洛伦兹力提供粒子做圆周运动的向心力,粒子做___________运动。
带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动,带电粒子的重力忽略不计,洛伦兹力提供向心力。
匀速圆周
二、带电粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期
1.半径公式
由洛伦兹力提供向心力qvB=m,可得圆周运动的半径r=_____。
2.周期公式
匀速圆周运动的周期T=,将r=代入,可得T=______。
1.电子以某一速度进入洛伦兹力演示仪中。
微情境·大道理
(1)励磁线圈通电前后电子的运动情况相同吗
提示:①通电前,电子做匀速直线运动。
②通电后,电子做匀速圆周运动。
(2)电子在洛伦兹力演示仪中做匀速圆周运动时,什么力提供向心力
提示:洛伦兹力提供向心力。
2.如图,带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动。
判断下列说法的正误。
(1)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的
周期与速度有关。 ( )
(2)带电粒子做匀速圆周运动的半径与带电粒子进入匀强磁场时速度的大小有关。 ( )
(3)带电粒子若垂直进入非匀强磁场后做半径不断变化的运动。 ( )
×
√
√
课堂精析重难/深度发掘知能
美丽的极光是由来自太阳的高能带电粒子
流进入地球高空大气层出现的现象。科学家发现
并证实,向地球两极做螺旋运动的这些高能粒子的旋转半径是不断减小的,这主要与哪些因素有关
提示:一方面磁场在不断增强,另一方面由于大气阻力使粒子速度不断减小,根据r=,半径r是不断减小的。
强化点(一) 带电粒子做圆周运动的半径和周期
任务驱动
1.由公式r=可知,带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径r与比荷成反比,与速度v成正比,与磁感应强度B成反比。
2.由公式T=可知,带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的周期T与速度v、半径r无关,与比荷成反比,与磁感应强度B成反比。
要点释解明
[典例] (2024·河北唐山期末)已知氚核的质量约为质子质量的3倍,电荷量与质子电荷量相等。现在质子和氚核以大小相同的速度在同一匀强磁场中做匀速圆周运动。下列说法正确的是 ( )
A.质子和氚核运动半径之比为3∶1
B.质子和氚核运动半径之比为1∶3
C.质子和氚核运动周期之比为1∶1
D.质子和氚核运动周期之比为2∶3
√
[解析] 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动,根据洛伦兹力提供向心力,有Bqv=m,可得R=,若质子、氚核以大小相同的速度在同一匀强磁场中做匀速圆周运动,则它们做圆周运动的半径比等于它们比荷的反比,质子和氚核运动半径之比==,故A错误,B正确;带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期T=,质子和氚核运动周期之比==,故C、D错误。
1.处在匀强磁场内部的两个电子A和B分别以速度v和2v垂直于磁场开始运动,经磁场偏转后,哪个电子先回到原来的出发点 ( )
A.条件不够,无法比较 B.A先到达
C.B先到达 D.同时到达
解析:电子在匀强磁场中做匀速圆周运动,由周期公式T=可知,运动周期与速度v无关。两个电子各自经过一个周期又回到原来的出发点,故同时到达,D正确。
题点全练清
√
2.(2024·北京海淀期末)1932年,美国物理学家安德森在宇宙线实验中发现了正电子(带正电荷)。他利用放在强磁场中的云室来记录宇宙线粒子,并在云室中加入一块厚6 mm的铅板,借以减慢粒子的速度。当宇宙线粒子通过云室内的垂直纸面的匀强磁场时,拍下粒子径迹的照片,如图甲所示,根据照片画出的轨迹示意图如图乙,可分析得出 ( )
A.磁场方向垂直向里,正电子从上到下穿过铅板
B.磁场方向垂直向里,正电子从下到上穿过铅板
C.磁场方向垂直向外,正电子从上到下穿过铅板
D.磁场方向垂直向外,正电子从下到上穿过铅板
解析:正电子在匀强磁场中做匀速圆周运动,由洛伦兹力提供向心力,有Bqv=m,解得R=,正电子穿过铅板后速度减小,正电子在磁场中的运动半径减小,由题图可知,正电子从上向下穿过铅板。由左手定则可知,磁场的方向垂直纸面向里。故A正确,B、C、D错误。
√
1.圆心的确定
圆心位置的确定通常有以下两种基本方法:
(1)已知入射方向和出射方向时,可以过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线,两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图甲所示,P为入射点,M为出射点)。
要点释解明
强化点(二) 带电粒子做圆周运动的圆心、半径、运动时间的确定
(2)已知入射方向和出射点的位置时,可以过入射点作入射方向的垂线,连接入射点和出射点,作连线的中垂线,这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图乙所示,P为入射点,M为出射点)。
2.半径的确定
(1)r=;(2)几何关系。
3.粒子速度偏向角
速度的偏向角φ=圆弧所对的圆心角(回旋角)θ=弦切角α的2倍。(如图)
4.粒子在匀强磁场中运动时间的确定
方法一:周期一定时,利用圆心角求解:t=·T;
方法二:v一定时,利用弧长s和速度v求解:t==。
[典例] 如图所示,一带电荷量为2.0×10-9 C、
质量为1.8×10-16 kg的粒子,从直线上一点O沿与PO
方向成30°角的方向进入磁感应强度为B的匀强磁场
中,经过1.5×1 s后到达直线上的P点,求:(π=3.14)
(1)粒子做圆周运动的周期;
[答案] 1.8×10-6 s
[解析] 作出粒子的运动轨迹,如图所示,由图可知粒子由O到P的运动轨迹所对的圆心角为300°,
则==,周期T=t=×1.5×10-6 s=1.8×10-6 s。
(2)磁感应强度B的大小;
[答案] 0.314 T
[解析] 带电粒子在磁场中做圆周运动的周期T=,
解得B== T=0.314 T。
(3)若O、P之间的距离为0.1 m,则粒子的运动速度的大小。(结果保留三位有效数字)
[答案] 3.49×105 m/s
[解析] 由几何知识可知,粒子运动轨迹的半径r==0.1 m,根据qvB=,解得粒子的运动速度大小为v== m/s
≈3.49×105 m/s。
/方法技巧/
带电粒子在匀强磁场中运动的解题三步法
1.如图所示,两个速度大小不同的同种带电粒子
1、2沿水平方向从同一点垂直射入匀强磁场中,磁场
方向垂直纸面向里,当它们从磁场下边界飞出时相对入射方向的偏转角分别为90°、60°,则粒子1、2在磁场中运动的 ( )
A.轨迹半径之比为2∶1 B.速度之比为1∶2
C.时间之比为2∶3 D.周期之比为1∶2
题点全练清
√
解析:带电粒子在匀强磁场中运动时,洛伦兹力
提供向心力,根据牛顿第二定律,有qvB=m,可得r=
,又T=,联立可得T=,故两粒子运动的周期相同,D错误;速度的偏转角等于轨迹所对的圆心角,故粒子1的运动时间t1=T=T,粒子2的运动时间t2=T=T,则运动时间之比为3∶2,C错误;
粒子1和粒子2运动轨迹的圆心O1和O2如图所示,设粒子1的轨迹半径R1=d,对于粒子2,由几何关系可得R2sin 30°+d=R2,解得R2=2d,故轨迹半径之比为1∶2,A错误;由r=可知,速度之比为1∶2,B正确。
2.如图所示,空间存在范围足够大的垂直xOy平面向
里的匀强磁场(图中未画出),一质量为m、带电荷量为+
q(q>0)的带电粒子(不计所受重力)从坐标原点O沿x轴正
方向以速度v0射出,带电粒子恰好经过点A h,h ,求:
(1)匀强磁场的磁感应强度大小B;
答案:
解析:根据洛伦兹力提供向心力,结合几何关系有qv0B=,+(h-R)2=R2
解得R=h,B=。
(2)粒子从O点运动到A点所用的时间t。
答案:
解析:由几何关系可知,粒子从O到A轨迹的圆心角为120°,设带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期为T,则有T=,t=T,解得t=。
课时跟踪检测
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A级——基础达标
1.如图所示,水平导线中有恒定电流I通过,导线正下方的电子初速度的方向与电流I的方向相同,则电子将( )
A.沿路径a运动,轨迹是圆
B.沿路径a运动,轨迹半径越来越大
C.沿路径a运动,轨迹半径越来越小
D.沿路径b运动,轨迹半径越来越小
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解析:由安培定则可知,电流在导线下方产生的磁场方向垂直纸面向外,离导线越远,磁感应强度B越小。由左手定则可知,电子运动轨迹向下弯曲,又由r=可知,磁感应强度B减小,轨迹半径r越来越大,则电子的轨迹是a,故选B。
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2.(2024·北京理工大附中期末)光滑绝缘水平桌面上存在与桌面垂直方向的匀强磁场,有一带电粒子在桌面上做匀速圆周运动,当它运动到M点,突然与一不带电的静止粒子发生正碰合为一体(碰撞时间极短),则粒子的运动轨迹应是图中的哪一个(实线为原轨迹,虚线为碰后轨迹) ( )
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解析:带电粒子在水平方向做匀速圆周运动的向心力由洛伦兹力提供,由向心力公式得qvB=,解得r=,当带电粒子运动到M点,突然与一不带电的静止粒子发生正碰合为一体,动量不变,电荷量不变,磁感应强度不变,带电粒子做圆周运动的半径不变,故A正确,B、C、D错误。
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3.(多选)两个粒子A和B带有等量的同种电荷,粒子A和B以垂直于磁场的方向射入同一匀强磁场,A、B均不计重力,则下列说法正确的是 ( )
A.如果两粒子的速度vA=vB,则两粒子运动的轨道半径RA=RB
B.如果两粒子的动能EkA=EkB,则两粒子运动的周期TA=TB
C.如果两粒子的质量mA=mB,则两粒子运动的周期TA=TB
D.如果两粒子的质量与速度的乘积mAvA=mBvB,则两粒子运动的轨道半径RA=RB
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解析:因为粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径r=,周期T=,又两粒子电荷量相等且在同一磁场中,所以q、B相等,r与m、v有关,T只与m有关,所以A、B错误,C、D正确。
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4.如图所示,正方形abcd区域(含边界)存在垂直于纸面
向里的匀强磁场,M、N两个粒子以相同的速率均从d点沿
纸面da方向射入磁场区域,经磁场偏转后粒子M从b点离开
磁场,粒子N从dc边的中点离开磁场,不计粒子重力以及粒子之间的相互作用,则粒子M与粒子N的比荷之比为 ( )
A.1∶8 B.1∶5
C.1∶4 D.2∶5
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解析:设正方形边长为L,粒子沿da方向射入磁场区域,粒子N从dc边的中点离开磁场,则粒子N的轨迹半径rN=L,粒子M从b点离开磁场,由题图可知rM=L,根据洛伦兹力提供向心力,有qvB=m,解得粒子的比荷=,所以粒子M与粒子N的比荷之比为==,故选C。
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5.(2024·天津统考期末)一带电粒子经加速电压U加速后进入匀强磁场区域,现仅将加速电压增大到原来的2倍后,粒子再次进入匀强磁场,则 ( )
A.运动的轨道半径变为原来的2倍
B.运动的动能变为原来的2倍
C.运动周期变为原来的倍
D.运动的角速度变为原来的倍
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解析:带电粒子经过加速电场,由动能定理可得qU=Ek=mv2,可知当加速电压增大到原来的2倍后,运动的动能变为原来的2倍,故B正确;带电粒子进入磁场时的速度v=,进入磁场后做匀速圆周运动,根据洛伦兹力提供向心力,有qvB=,可得带电粒子运动的轨道半径r==,可知当加速电压增大到原来的2倍后,运动的轨道半径变为原来的倍,故A错误;
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带电粒子运动的周期T==,可知当加速电压增大到原来的2倍后,运动的周期不变,故C错误;带电粒子运动的角速度ω==,可知当加速电压增大到原来的2倍后,运动的角速度不变,故D错误。
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6.(2024年1月·安徽高考适应性演练)(多选)如图所示,
圆形区域内存在匀强磁场,磁感应强度大小为B,方向垂直
于纸面向里。质量为m、电荷量为q的带电粒子由A点沿
平行于直径CD的方向射入磁场,经过圆心O,最后离开磁场。已知圆形区域半径为R,A点到CD的距离为,不计粒子重力。则( )
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A.粒子带负电
B.粒子运动速率为
C.粒子在磁场中运动的时间为
D.粒子在磁场中运动的路程为
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解析:由于粒子经过圆心O,最后离开磁场,可知粒子在A点所受洛伦兹力向下,根据左手定则,四指指向与速度方向相反,可知粒子带负电,故A正确;由于圆形区域半径为R,A点到CD的距离为,令粒子做圆周运动的半径为r,根据几何关系有r2=+,解得r=R,粒子做匀速圆周运动,由洛伦兹力提供向心力,则有qv0B=m,解得v0=,故B错误;
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根据上述分析,作出运动轨迹,如图所示,由于圆形区域半径
为R,粒子做圆周运动的半径也为R,则△AOO'与△EOO'均
为等边三角形,则轨迹所对应的圆心角为120°,粒子做圆
周运动的周期T==,则粒子在磁场中运动的时间为t=T=,故C错误;结合上述可知,粒子在磁场中运动的路程为x=·2πr=,故D正确。
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B级——综合应用
7.(2024·福建福州期末)(多选)如图所示,在xOy坐标系
的第一象限内存在匀强磁场。一带电粒子在P点以与x轴
正方向成60°的方向垂直磁场射入,并恰好垂直于y轴射出
磁场。已知带电粒子质量为m、电荷量为q,OP=a。不计粒子重力。根据上述信息可以求出( )
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A.带电粒子在磁场中运动的轨道半径
B.带电粒子在磁场中运动的速率
C.带电粒子在磁场中运动的时间
D.带电粒子射出磁场位置
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√
√
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解析:利用左手定则画出初、末位置的洛伦兹力的方向,
由此判断出圆心的所在位置,作出运动轨迹,如图所示。根据
几何关系可得cos 30°=,所以r=a,带电粒子射出磁场位置
y=r+r·cos 60°=a,在磁场中,由洛伦兹力提供向心力,即qBv=m,又T=,化简得r=,T=,带电粒子在磁场中运动的时间为t=T=;由此可知,因为磁感应强度B未知,所以带电粒子在磁场中的运动时间和运动速率无法确定。故选A、D。
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8.(2024·河南许昌期末)如图所示,在平面直角坐
标系Oxy所在的平面内,有垂直于该平面向外的匀强
磁场,磁感应强度大小为B。在Oxy平面内,从坐标原
点O沿着与x轴正方向成θ=60°角方向,发射一个电荷
量为q(q>0)、质量为m、速度大小为v的带电粒子。试求:该粒子的运动轨迹与y轴的交点坐标。
答案:
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解析:如图所示是该带电粒子的运动轨迹,其中 O1 是轨迹圆的圆心、P 为粒子的运动轨迹与 y 轴的交点,设交点P坐标为(0,-y),粒子在磁场中运动的轨迹半径为 R,根据洛伦兹力提供向心力,有Bqv=m
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解得R=
因为θ=60°,由几何关系知,OO1与 x 轴正方向夹角为 30°,所以∠O1OP=60°,三角形OO1P 是等边三角形,各边的长度都是R, 所以 P 距坐标原点的距离为OP=
所以粒子的运动轨迹与 y 轴的交点坐标为。
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9.如图所示,虚线MN上方存在垂直纸面向里、磁感应强
度大小为B的匀强磁场,现有一质量为m、电荷量为+q的粒子
在纸面内以某一速度从A点射入,其方向与MN成30°角,A点
到MN的距离为d,带电粒子重力不计。
(1)当v满足什么条件时,粒子能回到A点
答案:v=
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解析:粒子运动轨迹如图所示。
由图示的几何关系可知粒子在磁场中的轨迹半径
r==2d,
在磁场中有Bqv=m,
联立两式,得v=。
此时粒子可按图中轨迹回到A点。
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(2)求粒子在磁场中运动的时间t。
答案:
解析:由图可知,粒子在磁场中运动轨迹所对的圆心角为300°,所以t=T==。
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10.(2024·河南郑州期末)如图所示,长方形区域
内存在垂直于纸面向里的匀强磁场,AB边长为l,AD边
足够长,一质量为m、电荷量为+q的粒子从BC边上的
O点以初速度v0垂直于BC方向射入磁场,粒子从A点离开磁场,速度方向与直线AB成30°角,不计粒子重力。求:
(1)OB的长度;
答案:l
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解析:粒子运动轨迹如图所示,
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根据几何关系可得Rsin 30°=l
解得粒子在磁场中运动的轨迹半径为2l,
所以OB=R-Rcos 30°=l。
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(2)磁场的磁感应强度B的大小;
答案:
解析:粒子在磁场中做圆周运动,洛伦兹力提供向心力,有qv0B=
解得B=。
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(3)粒子在磁场中经历的时间。
答案:
解析:粒子在磁场中经历的时间
t=·,解得t=。
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4课时跟踪检测(五) 带电粒子在匀强磁场中的运动
A级——基础达标
1.如图所示，水平导线中有恒定电流I通过，导线正下方的电子初速度的方向与电流I的方向相同，则电子将( )
A．沿路径a运动，轨迹是圆
B．沿路径a运动，轨迹半径越来越大
C．沿路径a运动，轨迹半径越来越小
D．沿路径b运动，轨迹半径越来越小
2．(2024·北京理工大附中期末)光滑绝缘水平桌面上存在与桌面垂直方向的匀强磁场，有一带电粒子在桌面上做匀速圆周运动，当它运动到M点，突然与一不带电的静止粒子发生正碰合为一体(碰撞时间极短)，则粒子的运动轨迹应是图中的哪一个(实线为原轨迹，虚线为碰后轨迹)( )
3．(多选)两个粒子A和B带有等量的同种电荷，粒子A和B以垂直于磁场的方向射入同一匀强磁场，A、B均不计重力，则下列说法正确的是( )
A．如果两粒子的速度vA＝vB，则两粒子运动的轨道半径RA＝RB
B．如果两粒子的动能EkA＝EkB，则两粒子运动的周期TA＝TB
C．如果两粒子的质量mA＝mB，则两粒子运动的周期TA＝TB
D．如果两粒子的质量与速度的乘积mAvA＝mBvB，则两粒子运动的轨道半径RA＝RB
4.如图所示，正方形abcd区域(含边界)存在垂直于纸面向里的匀强磁场，M、N两个粒子以相同的速率均从d点沿纸面da方向射入磁场区域，经磁场偏转后粒子M从b点离开磁场，粒子N从dc边的中点离开磁场，不计粒子重力以及粒子之间的相互作用，则粒子M与粒子N的比荷之比为( )
A．1∶8 B．1∶5
C．1∶4 D．2∶5
5．(2024·天津统考期末)一带电粒子经加速电压U加速后进入匀强磁场区域，现仅将加速电压增大到原来的2倍后，粒子再次进入匀强磁场，则( )
A．运动的轨道半径变为原来的2倍
B．运动的动能变为原来的2倍
C．运动周期变为原来的倍
D．运动的角速度变为原来的倍
6．(2024年1月·安徽高考适应性演练)(多选)如图所示，圆形区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里。质量为m、电荷量为q的带电粒子由A点沿平行于直径CD的方向射入磁场，经过圆心O，最后离开磁场。已知圆形区域半径为R，A点到CD的距离为，不计粒子重力。则( )
A．粒子带负电
B．粒子运动速率为
C．粒子在磁场中运动的时间为
D．粒子在磁场中运动的路程为
B级——综合应用
7．(2024·福建福州期末)(多选)如图所示，在xOy坐标系的第一象限内存在匀强磁场。一带电粒子在P点以与x轴正方向成60°的方向垂直磁场射入，并恰好垂直于y轴射出磁场。已知带电粒子质量为m、电荷量为q，OP＝a。不计粒子重力。根据上述信息可以求出( )
A．带电粒子在磁场中运动的轨道半径
B．带电粒子在磁场中运动的速率
C．带电粒子在磁场中运动的时间
D．带电粒子射出磁场位置
8．(2024·河南许昌期末)如图所示，在平面直角坐标系Oxy所在的平面内，有垂直于该平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在Oxy平面内，从坐标原点O沿着与x轴正方向成θ＝60°角方向，发射一个电荷量为q(q>0)、质量为m、速度大小为v的带电粒子。试求：该粒子的运动轨迹与y轴的交点坐标。
9.如图所示，虚线MN上方存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，现有一质量为m、电荷量为＋q的粒子在纸面内以某一速度从A点射入，其方向与MN成30°角，A点到MN的距离为d，带电粒子重力不计。
(1)当v满足什么条件时，粒子能回到A点？
(2)求粒子在磁场中运动的时间t。
10．(2024·河南郑州期末)如图所示，长方形区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，AB边长为l，AD边足够长，一质量为m、电荷量为＋q的粒子从BC边上的O点以初速度v0垂直于BC方向射入磁场，粒子从A点离开磁场，速度方向与直线AB成30°角，不计粒子重力。求：
(1)OB的长度；
(2)磁场的磁感应强度B的大小；
(3)粒子在磁场中经历的时间。
课时跟踪检测(五)
1．选B 由安培定则可知，电流在导线下方产生的磁场方向垂直纸面向外，离导线越远，磁感应强度B越小。由左手定则可知，电子运动轨迹向下弯曲，又由r＝可知，磁感应强度B减小，轨迹半径r越来越大，则电子的轨迹是a，故选B。
2．选A 带电粒子在水平方向做匀速圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，由向心力公式得qvB＝，解得r＝，当带电粒子运动到M点，突然与一不带电的静止粒子发生正碰合为一体，动量不变，电荷量不变，磁感应强度不变，带电粒子做圆周运动的半径不变，故A正确，B、C、D错误。
3．选CD 因为粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径r＝，周期T＝，又两粒子电荷量相等且在同一磁场中，所以q、B相等，r与m、v有关，T只与m有关，所以A、B错误，C、D正确。
4．选C 设正方形边长为L，粒子沿da方向射入磁场区域，粒子N从dc边的中点离开磁场，则粒子N的轨迹半径rN＝L，粒子M从b点离开磁场，由题图可知rM＝L，根据洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m，解得粒子的比荷＝，所以粒子M与粒子N的比荷之比为＝＝，故选C。
5．选B 带电粒子经过加速电场，由动能定理可得qU＝Ek＝mv2，可知当加速电压增大到原来的2倍后，运动的动能变为原来的2倍，故B正确；带电粒子进入磁场时的速度v＝，进入磁场后做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力，有qvB＝，可得带电粒子运动的轨道半径r＝＝，可知当加速电压增大到原来的2倍后，运动的轨道半径变为原来的倍，故A错误；带电粒子运动的周期T＝＝，可知当加速电压增大到原来的2倍后，运动的周期不变，故C错误；带电粒子运动的角速度ω＝＝，可知当加速电压增大到原来的2倍后，运动的角速度不变，故D错误。
6．选AD 由于粒子经过圆心O，最后离开磁场，可知粒子在A点所受洛伦兹力向下，根据左手定则，四指指向与速度方向相反，可知粒子带负电，故A正确；由于圆形区域半径为R，A点到CD的距离为，令粒子做圆周运动的半径为r，根据几何关系有r2＝2＋，解得r＝R，粒子做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有qv0B＝m，解得v0＝，故B错误；根据上述分析，作出运动轨迹，
如图所示，由于圆形区域半径为R，粒子做圆周运动的半径也为R，则△AOO′与△EOO′均为等边三角形，则轨迹所对应的圆心角为120°，粒子做圆周运动的周期T＝＝，则粒子在磁场中运动的时间为t＝T＝，故C错误；结合上述可知，粒子在磁场中运动的路程为x＝·2πr＝，故D正确。
7.选AD 利用左手定则画出初、末位置的洛伦兹力的方向，由此判断出圆心的所在位置，作出运动轨迹，如图所示。根据几何关系可得cos 30°＝，所以r＝a，带电粒子射出磁场位置y＝r＋r·cos 60°＝a，在磁场中，由洛伦兹力提供向心力，即qBv＝m，又T＝，化简得r＝，T＝，带电粒子在磁场中运动的时间为t＝T＝；由此可知，因为磁感应强度B未知，所以带电粒子在磁场中的运动时间和运动速率无法确定。故选A、D。
8．解析：如图所示是该带电粒子的运动轨迹，其中 O1 是轨迹圆的圆心、P 为粒子的运动轨迹与 y 轴的交点，设交点P坐标为(0，－y)，粒子在磁场中运动的轨迹半径为 R，根据洛伦兹力提供向心力，有Bqv＝m，
解得R＝
因为θ＝60°，由几何关系知，OO1与 x 轴正方向夹角为 30°，所以∠O1OP＝60°，三角形OO1P 是等边三角形，各边的长度都是R, 所以 P 距坐标原点的距离为OP＝
所以粒子的运动轨迹与 y 轴的交点坐标为。
答案：
9．解析：(1)粒子运动轨迹如图所示。
由图示的几何关系可知粒子在磁场中的轨迹半径
r＝＝2d，
在磁场中有Bqv＝m，
联立两式，得v＝。
此时粒子可按图中轨迹回到A点。
(2)由图可知，粒子在磁场中运动轨迹所对的圆心角为300°，所以t＝T＝＝。
答案：(1)v＝ (2)
10．解析：(1)粒子运动轨迹如图所示，
根据几何关系可得Rsin 30°＝l
解得粒子在磁场中运动的轨迹半径为2l，
所以OB＝R－Rcos 30°＝l。
(2)粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，
有qv0B＝，解得B＝。
(3)粒子在磁场中经历的时间t＝·，解得t＝。
答案：(1)l (2) (3)
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