3 匀变速直线运动位移与时间的关系
基础过关练
题组一 位移公式x=v0t+at2的理解与应用
1.一只海燕正在做匀变速直线运动,下列说法中正确的是 ( )
A.海燕的速度与时间成正比
B.海燕的位移必与时间的平方成正比
C.海燕的速度在一段时间内的变化量与这段时间成正比
D.若是匀加速运动,位移和速度随时间增加;若是匀减速运动,位移和速度随时间减小
2.一个物体由静止开始做匀加速直线运动,第1 s末的速度达到4 m/s,物体在第2 s内的位移是 ( )
A.6 m B.8 m C.4 m D.1.6 m
3.在t=0时刻,一匹马驹在跑道上由静止开始做匀加速直线运动,则马驹在第3 s内的位移和前3 s内的位移大小之比为 ( )
A.1∶2 B.1∶3 C.3∶5 D.5∶9
4.(多选题)一个向正东方向做匀变速直线运动的物体,在第3 s内的位移为8 m,在第4 s内的位移为4 m,则关于该物体运动的描述正确的是( )
A.该物体的加速度大小为4 m/s2,方向向西
B.该物体在第3 s末的速度为8 m/s
C.该物体在前3 s内的平均速度为12 m/s
D.该物体在5 s末回到了出发点
5.如图甲所示为某风景区内一滑道,全长一千多米,全部采用大理石打磨建造,依山势蜿蜒而下。滑道中某一段倾斜直道如图乙所示。为了计算该段滑道的长度,某同学将一小滑块从该滑道顶端由静止释放,加速度大小a=4 m/s2,已知在到达滑道底端前的最后2 s滑块滑过的距离为该滑道长度的。求:
(1)滑块运动的总时间t及该段滑道的长度L;
(2)滑块到达该滑道最低点时的速度v。
题组二 x-t图像与v-t图像的理解与应用
6.折返跑是中学体育课中常见的一种运动,某学生进行折返跑过程简化情景的v-t图像如图所示,下列说法中正确的是 ( )
A.1 s末的加速度大于3 s末的加速度
B.0~3 s的位移小于0~6 s的位移
C.3 s末该学生离出发点最远
D.2~4 s速度一直减小
7.如图所示,图甲为某质点的位移-时间图像,图乙为某质点的速度-时间图像,下列关于两质点运动情况的说法正确的是 ( )
甲
乙
A.0~2 s内:图甲质点做匀加速直线运动,图乙质点做匀速直线运动
B.2~3 s内:图甲质点和图乙质点均静止不动
C.3~5 s内:图甲质点和图乙质点均做匀减速运动,加速度为-15 m/s2
D.0~5 s内:图甲质点的位移为-10 m,图乙质点的位移为100 m
8.我国“蛟龙号”载人潜水器进行下潜试验,从水面开始竖直下潜,最后返回水面,其v-t图像如图所示,则下列说法正确的是 ( )
A.0~4 min和6~10 min两时间段平均速度大小相等
B.全过程中的最大加速度为0.025 m/s2
C.3~4 min和6~8 min加速度方向相反
D.本次下潜的最大深度为6 m
题组三 刹车问题
9.一辆汽车以20 m/s的速度沿平直公路匀速行驶,突然发现前方有障碍物,立即刹车,汽车以大小为5 m/s2的加速度做匀减速直线运动,那么刹车后2 s内与刹车后6 s内汽车通过的位移大小之比为 ( )
A.1∶1 B.3∶4
C.3∶1 D.4∶3
题组四 匀变速直线运动的几个重要推论
10.一辆汽车由静止开始做匀加速直线运动,在第11 s初由于遇到紧急情况开始刹车做匀减速直线运动,经4 s停下来,则汽车加速阶段和减速阶段通过的位移之比为 ( )
A.5∶7 B.11∶4 C.5∶2 D.11∶15
11.(多选题)物体做匀变速直线运动,某时刻速度的大小为4 m/s,2 s后速度的大小变为10 m/s,在这2 s内该物体的 ( )
A.位移的大小一定是14 m
B.位移的大小可能是6 m
C.加速度的大小可能是3 m/s2
D.加速度的大小可能大于7 m/s2
12.一辆汽车停靠在站牌处,t=0时刻从静止开始做匀加速直线运动,汽车经过4 s达到最大速度,然后以此速度做匀速直线运动,已知汽车在第4 s内通过的位移为14 m,求:
(1)汽车加速过程中的最大速度;
(2)汽车加速过程的位移大小。
能力提升练
题组一 位移公式x=v0t+at2的理解与应用
1.2021年8月5日,在东京奥运会女子单人10米台跳水决赛中,来自中国的跳水小将以绝对实力碾压对手获得金牌!将该选手进入水中后向下的运动视为匀减速直线运动,该运动过程的总时间为t。该选手入水后前时间内的位移为x1,后时间内的位移为x2,则为( )
A.3∶1 B.4∶1 C.5∶1 D.7∶1
2.一辆值勤的警车停在公路边,当警员发现从他旁边以v0=8 m/s的速度匀速行驶的货车有违章行为时,决定前去追赶。经2.5 s警车发动起来,后以大小为a=2 m/s2的加速度 做匀加速直线运动。试问:
(1)警车发动后要多长时间才能追上违章的货车
(2)在警车追上货车之前,两车间的最大距离是多大
题组二 运动图像的理解与应用
3.(多选题)物体甲的位移-时间图像和物体乙的速度-时间图像分别如图甲、乙所示,则这两个物体的运动情况是 ( )
A.甲在6 s时间内来回运动,通过的总位移为零
B.甲在6 s时间内运动方向一直不变,通过的总位移大小为4 m
C.乙在6 s时间内来回运动,通过的总位移为零
D.乙在6 s时间内运动方向一直不变,通过的总位移大小为4 m
4.(多选题)A、B两质点在同一平面内同时向同一方向做直线运动,它们的位移-时间图像如图所示,其中A做匀变速直线运动,且图线与t轴相切于坐标原点,B是过点(0,3 m)的一条直线,两图线相交于坐标为(3 s,9 m)的P点,则下列说法正确的是 ( )
A.质点A做初速度为零、加速度为2 m/s2的匀加速直线运动
B.质点B以2 m/s的速度做匀速直线运动
C.在前3 s内,质点A比B多运动了9 m
D.在3 s前某时刻质点A、B速度相等
5.甲、乙、丙三辆赛车在同一平直道路上做直线运动,以三车齐头并进开始计时(t=0),甲、乙、丙三车在0~10 s内运动图像分别如图1、图2、图3所示,已知甲车的初速度为零,则0~10 s内三车的位移大小关系为 ( )
A.x甲>x丙>x乙 B.x丙>x甲>x乙
C.x乙>x甲>x丙 D.x乙>x丙>x甲
题组三 刹车问题
6.汽车以36 km/h的速度在公路上匀速行驶,刹车后以大小为2 m/s2的加速度做匀减速直线运动,求:
(1)刹车后3 s,汽车的速度大小;
(2)从刹车开始,当汽车位移为x=16 m所经历的时间;
(3)刹车后8 s内汽车通过的位移大小。
题组四 匀变速直线运动的几个重要推论
7.(多选题)一个做匀加速直线运动的小球,在第1 s内通过1 m,在第2 s内通过2 m,在第3 s内通过3 m,在第4 s内通过4 m。下面有关小球的运动情况的描述中,正确的是 ( )
A.小球的初速度为零
B.小球在这4 s内的平均速度是2.5 m/s
C.小球在第3 s末的瞬时速度是3 m/s
D.小球的加速度大小为1 m/s2
8.(多选题)汽车以20 m/s的速度匀速运动,突遇紧急情况,以大小为4 m/s2的加速度刹车,则 ( )
A.刹车后6 s内的位移为50 m。
B.刹车后4 s内的平均速度为10 m/s
C.刹车后第2 s与第4 s的位移之比为7∶3
D.该过程中,v-t图线与坐标轴围成的“面积”为50 m2
9.从斜面上某一位置每隔0.1 s释放一个相同的小球,在连续释放几个小球之后,对斜面上运动的小球拍摄的照片如图所示,测得AB=15 cm,BC=20 cm,试求:
(1)小球运动的加速度的大小;
(2)拍摄时B球的速度的大小;
(3)D、C两球间的距离;
(4)A球上面正在运动着的小球共有多少个。
答案与分层梯度式解析
3 匀变速直线运动位移与时间的关系
基础过关练
1.C 2.A 3.D 4.AC 6.C 7.D
8.A 9.B 10.C 11.BC
1.C 根据v=v0+at可知,只有当初速度为零时,速度与时间才成正比,A错误;根据x=v0t+at2可知,只有当初速度为零时,位移与时间的平方才成正比,B错误;海燕的速度在一段时间内的变化量为Δv=at,Δv与时间t成正比,C正确;若是匀加速运动,位移和速度均随时间增加,若是匀减速运动,位移随时间增加,速度随时间减小,D错误。故选C。
2.A 设加速度为a,由v=at得a==4 m/s2,则第2 s内的位移x=vt1+ m=6 m,选项A正确。
3.D 设马驹的加速度为a,则前3 s内,马驹的位移大小x3=a,前2 s内的位移大小为x2==2a,马驹在第3 s内的位移大小为x3-x2=a,则马驹在第3 s内的位移和前3 s内的位移大小之比为5∶9,故D正确。
4.AC 第3 s内的位移为8 m,则第3 s内的平均速度为8 m/s,根据匀变速运动规律可知,2.5 s时物体的速度v2.5=8 m/s,同理可得3.5 s时物体的速度v3.5=4 m/s,则加速度a= m/s2=-4 m/s2,即加速度方向沿正西方向,选项A正确;第3 s末的速度为v3 =v2.5 +at'=8 m/s-4×0.5 m/s=6 m/s,选项B错误;初速度v0=v3-at=6 m/s-(-4)×3 m/s=18 m/s,故前3 s内的平均速度为=12 m/s,选项C正确;物体在前5 s内的位移x=v0t+at2=40 m,故物体在5 s末不会回到出发点,选项D错误。
5.答案 (1)6 s 72 m (2)24 m/s
解析 (1)由题意知最后2 s之前滑块滑过的距离为L,由运动学公式有
L=at2,L=a(t-2 s)2
联立解得t=6 s,L=72 m。
(2)根据v=at解得v=24 m/s。
6.C 1 s末的加速度a1= m/s2=3 m/s2,3 s末的加速度a2= m/s2=-6 m/s2,故1 s末的加速度小于3 s末的加速度,A错误;v-t图像中图线与时间轴围成的面积表示位移,则0~3 s的位移为9 m,0~6 s的位移为0,0~3 s的位移大于0~6 s的位移,B错误;从v-t图像中可知该学生在0~3 s内正向运动,3 s时掉头,故3 s末离出发点最远,C正确;2~4 s内该学生的速度先减小后增大,D错误。
7.D 位移-时间图线的斜率表示物体的速度,速度-时间图线的斜率表示物体的加速度,则0~2 s内图甲质点做匀速直线运动,图乙质点做匀加速直线运动,故A错误;2~3 s内图甲中图线的斜率为零,即质点速度为零,图乙质点速度恒定不变,做匀速直线运动,故B错误;3~5 s内图甲图线斜率恒定,质点做匀速直线运动,而图乙质点速度均匀减小,做匀减速直线运动,故C错误;0~5 s内,图甲质点位移为0-10 m=-10 m,速度-时间图像中图线与时间轴围成的面积表示位移,则x=[×(10+30)×2+30×1+×30×2] m=100 m,故D正确。
导师点睛 解决本题的关键是知道速度-时间图线和位移-时间图线的物理意义,知道图线的斜率及其表示的意义。
8.A 根据v-t图像与横轴围成的面积表示位移,则0~4 min内的位移大小为x=×(120+240)×2.0 m=360 m;6~10 min内位移大小为x'=×3.0×240 m=360 m,可知0~4 min和6~10 min两时间段位移大小相等,时间相等,则平均速度大小相等,故A正确;v-t图线的斜率大小表示加速度的大小,0~1 min和3~4 min加速度最大,大小为a= m/s2≈0.033 m/s2,故B错误;v-t图线斜率的正、负反映加速度的方向,可知3~4 min和6~8 min加速度方向相同,故C错误;由题图可知t=4 min时“蛟龙号”下潜到最深处,最大深度为s=×(120+240)×2.0 m=360 m,故D错误。
9.B 汽车的刹车时间t0= s=4 s,故刹车后2 s内及6 s内汽车的位移大小分别为x1=v0t1+×(-5)×22 m=30 m,x2=20×4 m+×(-5)×42 m=40 m,x1∶x2=3∶4,B正确。
10.C 加速阶段的末速度和减速阶段的初速度相同,为汽车整个运动过程的最大速度,设汽车最大速度为v,则加速阶段的位移x1=t1,减速阶段的位移x2=t2,由题意可知,t1=10 s,t2=4 s,可得汽车加速阶段和减速阶段的位移之比,选C。
11.BC 取初速度方向为正方向,如果末速度与初速度同向,则加速度a= m/s2=3 m/s2,位移x=t=×2 m=14 m;如果末速度与初速度反向,则加速度a= m/s2=-7 m/s2,位移x=t=×2 m=-6 m;故位移大小为14 m或6 m,加速度大小为3 m/s2或7 m/s2,A、D错误,B、C正确。
12.答案 (1)16 m/s (2)32 m
解析 (1)已知汽车在第4 s内通过的位移为14 m,那么汽车在3.5 s末的速度为v3.5= m/s=14 m/s
代入公式v=v0+at得a=4 m/s2
汽车在4 s末的速度最大,最大为v4=at2=4×4 m/s=16 m/s。
(2)汽车加速过程的位移大小x=×4×42 m=32 m。
能力提升练
1.A 3.BC 4.ABD 5.B 7.BD 8.AC
1.A 将选手入水后的运动逆过来,看作初速度为零的匀加速直线运动,则选水入水后后时间内的位移为x2=at2,前时间内的位移为x1=at2-at2,所以,选A。
2.答案 (1)10 s (2)36 m
解析 (1)追上货车时警车的位移为x1=at2,
货车的位移为x2=v0(t+2.5 s),x1=x2,
联立解得t=10 s(t=-2 s舍去)。
(2)当警车的速度与货车的速度相等时,两车间距离最大,有v0=at0,
解得t0==4 s,
此时货车的位移为x3=v0(t0+2.5 s)=52 m,
警车的位移为x4=×2×42 m=16 m,
则两车间的最大距离为Δx=x3-x4=52 m-16 m=36 m。
3.BC 根据位移-时间图线的斜率可知速度大小,甲在整个t=6 s时间内一直沿正向运动,总位移为Δx=2 m-(-2 m)=4 m,故A错误,B正确;速度-时间图像中,速度的正负,表示速度的方向,即表示物体的运动方向。速度先负后正,说明物体乙先沿负向运动,后沿正向运动,即来回运动,根据v-t图像中图线与时间轴围成的面积表示位移,图线在t轴上方位移为正值,在下方位移为负值,得知总位移为零,故C正确,D错误。
4.ABD 由于A的图线与t轴相切于坐标原点,根据x-t图像的斜率表示速度可知质点A的初速度为零,将(3 s,9 m)代入x=at2,可得质点A的加速度为a=2 m/s2,故A正确;质点B做匀速直线运动,其速度为vB= m/s=2 m/s,故B正确;在前3 s内,质点A、B的位移分别为9 m和6 m,所以质点A比B多运动了3 m,故C错误;设t1时刻质点A、B速度相等,则at1=vB,解得t1=1 s,故D正确。
5.B 题图1中,a-t图像与坐标轴围成的面积表示速度的变化量,据题图1分析可知,0~4 s内,甲车做匀加速直线运动,速度由0增大到16 m/s,4~10 s内,甲车做匀减速运动,速度由16 m/s减小为4 m/s,甲车的总位移为x甲=×6 m=92 m;题图2中,v-t图像与坐标轴围成的面积表示位移,则乙车的位移为x乙=×4×20 m=80 m;题图3为x-t图像,位移等于末时刻与初时刻的纵坐标之差x丙=60 m-(-40) m=100 m,综上分析可知x丙>x甲>x乙,故选B。
6.答案 (1)4 m/s (2)2 s (3)25 m
解析 (1)汽车的初速度大小为v0=36 km/h=10 m/s
刹车时间t0==5 s
所以刹车后3 s,汽车的速度大小为v1=v0-at1=4 m/s。
(2)汽车的位移为x=v0t-at2=16 m
解得t=2 s(t=8 s舍去)
(3)由于8 s大于汽车的刹车总时间,所以8 s内汽车通过的位移大小为刹车距离,即x总==25 m。
方法技巧 刹车类运动问题技巧点拨
(1)逆向思维法:可看成反向的初速度为零的匀加速运动。
(2)实事求是法:先计算物体实际的运动时间,然后根据所提问题的情况具体计算。
7.BD 已知初速度为零且做匀加速直线运动的物体在连续相等时间内的位移比为1∶3∶5∶7∶9…,故小球初速度不为零,A错误;小球在这4 s内的平均速度为v= m/s=2.5 m/s,故B正确;小球在第3 s和第4 s这两秒内的平均速度为v= m/s=3.5 m/s,则小球在第3 s末的瞬时速度等于3.5 m/s,故C错误;由Δx=aT2得a= m/s2=1 m/s2,故D正确。
8.AC v0=20 m/s,a=-4 m/s2,根据速度时间关系可知,汽车做匀减速运动的总时间为t= s=5 s,则刹车后6 s内的位移实为刹车后5 s内的位移,x= m=50 m,故A正确;刹车后4 s的速度为v=v0+at1=4 m/s,故4 s内的平均速度为=12 m/s,故B错误;刹车时间为5 s,其逆过程可看作初速度为零的匀加速直线运动,连续相等时间内的位移之比为x5∶x4∶x3∶x2∶x1=1∶3∶5∶7∶9,由此可知刹车后第2 s(对应逆过程的第4 s)与第4 s(对应逆过程的第2 s)的位移之比为x2∶x4=7∶3,故C正确;v-t图线与坐标轴围成的“面积”为刹车过程总位移,即为50 m,故D错误。
知识拓展 推论公式的应用
①推论只适用于匀变速直线运动,且该等式为矢量式,应注意v0与v的正负;
②当v0=0时,;当v=0时,;
③该推论是求瞬时速度的常用方法;也经常与公式x=t结合求位移。
9.答案 (1)5.0 m/s2 (2)1.75 m/s (3)0.25 m
(4)2个
解析 (1)因为任一小球从斜面下滑过程中加速度相同,所以同一时刻不同小球的位置分布与同一小球相隔0.1 s时间在不同时刻位置分布完全相同,sAB、sBC、sCD都可以看成同一小球在0.1 s时间内的位移,由于小球做匀变速直线运动,由Δs=aT2可得
a= m/s2=5.0 m/s2;
(2)vB= m/s=1.75 m/s;
(3)因为Δs=aT2=常量,
sCD-sBC=sBC-sAB,
故sCD = 2sBC-sAB=2×0.2 m-0.15 m=0.25 m;
(4)设A球的速率为vA,因为vB= vA+aT,所以A小球的运动速度为vA= vB-aT=1.25 m/s,所以A小球的运动时间为tA==0.25 s,
因每隔0.1 s释放一个小球,故A小球上方正在运动着的小球共有2个。
导师点睛 本题考查匀变速直线运动规律的应用,要注意正确掌握Δs=aT2的应用并在解题中多加练习。
19(共19张PPT)
1.位移公式:x=vt。
2.在v-t图像中表示位移:做匀速直线运动的物体,其v-t图像是一条平行于时间轴的直线,其位
移在数值上等于v-t图线与对应的时间轴所包围的矩形的面积,如图所示。
3 匀变速直线运动位移与时间的关系
知识点 1 匀速直线运动的位移
必备知识 清单破
1.在v-t 图像中表示位移
(1)微元法推导
①把物体的运动分成几个小段,如图甲,每段位移≈每段起始时刻速度×每段的时间=对应矩
形面积。所以,整个过程的位移≈各个小矩形面积之和。
②把运动过程分为更多的小段,如图乙,各小矩形的面积之和可以更精确地表示物体在整个
过程的位移。
③把整个过程分得非常非常细,如图丙,小矩形合在一起成了一个梯形,梯形的面积就代表物
体在相应时间间隔内的位移。
知识点 2 匀变速直线运动的位移
(2)结论:做匀变速直线运动的物体的位移对应着v-t图像中的图线与对应的时间轴所包围的
面积。
2.位移与时间的关系
(1)公式推导
方法一:如上图丙中匀变速直线运动的v-t图像,其着色部分梯形的面积表示物体的位移。由
梯形的面积公式知物体的位移x= t,再代入v=v0+at得x= t,整理得x=v0t+ at2。
方法二:仍然利用v-t图像中着色部分的面积表示物体的位移,但把该部分分割为两部分(如图
所示):x1=v0t,x2= at2,所以x=x1+x2=v0t+ at2。
(2)各物理量的意义
(3)公式的理解:x=v0t+ at2适用于匀变速直线运动,x、v0、a均是矢量,应用时必须选取统一的
正方向,一般选初速度v0的方向为正方向。
①匀加速直线运动,a取正值;匀减速直线运动,a取负值。
②x>0,表示位移的方向与规定的正方向相同;x<0,表示位移的方向与规定的正方向相反。
(4)两种特殊形式
①当a=0时,x=v0t,物体做匀速直线运动。
②当v0=0时,x= at2,物体做初速度为零的匀加速直线运动。
知识辨析
1.我国自行研制的J-31隐形战机在起飞前从静止开始做匀加速直线运动,达到起飞速度v所需
时间为t,则起飞前的运动距离为vt。这种说法正确吗
不正确。从静止做匀加速直线运动的物体的位移与时间的关系式是x= at2。
2.物体做直线运动时,加速度不断减小,则位移也一定减小吗
不是。位移是否减小,与加速度没有直接的关系,只要运动方向不改变,位移就一直增加。
3.物体的末速度越大,位移就越大吗
不对。物体位移大小与初速度、加速度和运动时间都有关,仅末速度大不能确定位移就
大。
4.做匀变速直线运动的物体,相同时间内平均速度大的物体,运动的位移就大吗
是。根据x = t可知,相同时间内平均速度大的物体,运动的位移就大。
提示
提示
提示
提示
1.公式的适用条件
位移公式x=v0t+ at2只适用于匀变速直线运动。
2.公式的矢量性
(1)x=v0t+ at2为矢量公式,其中x、v0、a都是矢量,应用时必须选取统一的正方向。一般选v0
的方向为正方向。
(2)若位移的计算结果为正值,说明位移方向与规定的正方向相同;若位移的计算结果为负值,
说明位移方向与规定的正方向相反。
关键能力 定点破
定点 1 匀变速直线运动位移与时间关系式的应用
典例 强行超车是道路交通安全的极大隐患之一,如图所示是汽车超车过程的示意图,汽车甲
和货车均以36 km/h的速度在路面上匀速行驶,其中甲车车身长L1=5 m,货车车身长L2=8 m【1】,
货车在甲车前s=3 m处【2】。若甲车开始加速从货车左侧超车,加速度大小为2 m/s2,假定货车
速度保持不变,不计车辆变道的时间。
(1)甲车完成超车至少需要多长时间【3】
(2)若甲车开始超车时,看到道路正前方的乙车迎面驶来,此时甲、乙两车相距110 m【4】,乙车
的速度为54 km/h。甲车超车的整个过程中,乙车的速度始终保持不变,请通过计算,分析甲车
能否安全超车
信息提取 【1】两车长度不能忽略,不能看作质点。
【2】货车车尾距离甲车车头的距离,超车时这个距离也要算进甲车要多行驶的位移中。
【3】这个时间是两车共同经历的,只是运动的距离不同。
【4】在甲车超越货车时,若能安全超车,乙车应该还没有遇到甲车,甲、乙两车行驶的距离应
小于110 m。
思路点拨 甲车要完成超车,甲车的车尾和货车的车头至少要对齐,二者在相同的时间里运
动了不同的距离,利用位移关系列方程求解【5】,且车长不能忽略,特别是甲车的长度。甲车是
否安全超车,需要分析超车时乙车是否与甲车相遇。
解析 (1)v1=v2=36 km/h=10 m/s
甲车要完成超车,甲车的车尾和货车的车头对齐即可,设甲车经过时间t刚好完成超车,在时间
t内,
甲车的位移x1=v1t+ at2
货车的位移x2=v2t
根据位移关系得x1=x2+L1+L2+s(由【1】【2】【3】【5】得到),联立并代入数据解得t=4 s。
(2)v3=54 km/h=15 m/s
假设甲车能安全超车,在t=4 s时间内,
甲车的位移x1=v1t+ at2=56 m,
乙车的位移x3=v3t=60 m,由于x1+x3=116 m>110 m,故甲车不能安全超车(由【4】得到)。
答案 (1)4 s (2)见解析
初速度为零的匀加速直线运动是一种特殊的匀变速直线运动,由匀变速直线运动的基本
公式,可以推导出一些揭示该种运动的特点并使问题变得简单的推论,如下所示:
1.等分运动时间
从t=0开始计时,以T为时间单位,有
(1)1T末、2T末、3T末、…、nT末的瞬时速度之比v1∶v2∶v3∶…∶vn=1∶2∶3∶…∶n。
(2)1T内、2T内、3T内、…、nT内的位移之比x1∶x2∶x3∶…∶xn=1∶4∶9∶…∶n2。
(3)第1个T内、第2个T内、第3个T内、…、第n个T内的位移之比Δx1∶Δx2∶Δx3∶…∶Δxn=
1∶3∶5∶…∶(2n-1)。
定点 2 初速度为零的匀加速直线运动中的比例关系
2.等分位移(以x为位移单位)
(1)通过x、2x、3x、…、nx所用时间之比t1∶t2∶t3∶…∶tn=1∶ ∶ ∶…∶ 。
(2)通过第1个x、第2个x、第3个x、…、第n个x所用时间之比Δt1∶Δt2∶Δt3∶…∶Δtn=1∶
( -1)∶( - )∶…∶( - )。
(3)x末、2x末、3x末、…、nx末的瞬时速度之比v1∶v2∶v3∶…∶vn=1∶ ∶ ∶…∶ 。
3.一些常用的其他结论
(1) = ,如 = 。
(2)通过前n个相等位移x的总时间t总=Δt1+Δt2+Δt3+…+Δtn=Δt1+( -1)Δt1+…+( - )Δt1=
Δt1。
特别说明 由于末速度为零的匀减速直线运动可以看成初速度为零、加速度大小相等的反
向的匀加速直线运动,故以上规律也适用于末速度为零的匀减速直线运动。
匀变速直线运动中规律很多,要想牢固掌握,就要搞清楚公式的来龙去脉、明确各量的物理
意义,这就要求学生自己能够推导公式。用v-t图像解决直线运动问题,往往能起到事半功倍
的效果。下面用v-t图像推导匀变速直线运动的一些常用推论公式。
1.平均速度公式
(1) = = = ,即做匀变速直线运动的物体,在一段时间t内的平均速度等于这段时间内中
间时刻的瞬时速度,还等于这段时间初、末速度矢量和的一半。
定点 3 用v-t图像分析匀变速直线运动的两个推论公式和两个速度
(2)图像法推导:
设匀变速直线运动的初速度为v0,末速度为v,这段时间中间时刻的瞬时速度为 ,作出v-t图像
如图所示。
0~t时间内的位移x= t
平均速度 = =
中间时刻的瞬时速度的大小对应梯形中位线的长度,故 = = 。
2.位移差公式
(1)Δx=aT2,即以加速度a做匀变速直线运动的物体,在连续相等的时间T内的位移之差Δx为一
恒定值。
(2)图像法推导:
如图所示,匀变速直线运动中,连续相等时间T内的位移分别为x1、x2、x3、x4、…,位移差x2-x
1、x3-x2、x4-x3、…都等于图中着色矩形的面积aT2,所以有Δx=aT2。
3.两个速度——中间时刻的瞬时速度 与位移中点的瞬时速度
做匀变速直线运动的物体,在t时间内通过一段位移x,设初速度为v0,t时刻的速度为v,中间
时刻 的瞬时速度为 ,位移中点 处的瞬时速度为 ,则 = , = ,且 > 。对
于以上结论,不论是匀加速直线运动还是匀减速直线运动,均是成立的。
