2.3幂函数
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2.3幂函数
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.21教育网
1． 函数的大致图象是（ ）
A.B.C.D.
2．设，则使函数y＝xa的定义域为R且为奇函数的所有a值为( )
A．1,3 B．－1,1 C．－1,3 D．－1,1,3
3．设函数如果，则的取值范围是
A. B.
C. D.
4．给出下列函数：（1）；（2）；（3）；（4）；（5），其中是幂函数的序号为（ ）
A．（2）（3） B．（1）（2） C．（2）（3）（5） D．（1）（2）（3）
5．已知幂函数过点，则函数的表达式为（ ）
A. B. C. D.
6．幂函数在为减函数，则的值为（ ）
A．1 或3 B．1 C．3 D．2
7．已知幂函数的图象关于轴对称，则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. D.
8．若幂函数的图象不过原点，则（ ）
A． B．或
C． D．
9．已知幂函数的图象过点，则的值为( )
A． B． C． D．
10．设，则a，b，c的大小关系是 （ ）
A． B． C． D．
11．在同一坐标系中，函数，的图象可能是（ ）
A.B.C.D.
12．下列命题：①幂函数的图象都经过点和点；②幂函数的图象不可能是一条直线；③时，函数的图象是一条直线；④幂函数，当时是增函数；⑤幂函数，当时，在第一象限内函数值随值的增大而减小．⑥幂函数的图象不可能在第四象限；其中正确的是（ ）21cnjy.com
A. ③⑤⑥ B. ⑤⑥ C. ②③⑥ D. ①②③④
二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）
13．若函数是幂函数，则函数（其中a＞0，a≠1）的图象过定点A的坐标为 ．
14．已知函数的图象过定点，若点也在幂函数的图象上，则 ．
15．幂函数在区间上是增函数，则 .
16．已知幂函数过点，则满足的实数的取值范围是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．如图，幂函数的图象关于轴对称，且与轴，轴均无交点，求此函数的解析式及不等式的解集．
18．已知函数 （）是偶函数，且
（1）求的解析式；
（2）若（，）在区间上为增函数，求实数的取值范围
19．已知幂函数y＝f(x)经过点.
(1)试求函数解析式；
(2)判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间．
20．（本小题满分10分）已知幂函数在上单调递增，函数
（1）求的值；
（2）当时，记的值域分别为，若，求实数的取值范围．
21．已知幂函数为偶函数，且在区间上是单调减函数（Ⅰ）求函数；（Ⅱ）讨论的奇偶性.
22．已知（是常数）为幂函数,且在第一象限单调递增．
（1）求的表达式；
（2）讨论函数在上的单调性,并证之．
2.3幂函数参考答案及解析
1．A【解析】根据幂函数的图像和性质，知函数的定义域为，函数在其定义域内单调递减.故选A.
2．A【解析】幂函数的定义域为,那么或，即或，因为的定义域是，的定义域是故选A.
3．C【解析】不等式可化为或，解不等式组可得其解集为
4．A【解析】幂函数的形式为，（1）为指数函数，（4）中多了常数项，（5）中系数不为.故选A.
5．C【解析】设函数为
6．C【解析】由幂函数的定义知，其中是自变量，是常数．所以
．当时，在R上为单调递增函数，不满足题意；当时，，在上为减函数，满足题意，故选C．
7．B【解析】由于幂函数的图象关于轴对称，可知为偶函数，所以，即．则有，，所以，故选B．
8．B【解析】是幂函数，则必有，得，又函数图象不过原点，可知其指数，均满足满足，故正确选项为B.
9．A．【解析】设幂函数为，由题意得，，∴，故选A．
10．A【解析】根据指数函数性质和幂函数性质不难得到所给a,b,c的大小．
由题根据指数函数性质，根据幂函数性质，所以b11．D【解析】对A，没有幂函数的图象，不符合题目要求；对B,中，中，不符合题意；对C，中，中，不符合题意；对D，中，中，符合题意；故选D.
12．B【解析】幂函数，只有当时，则其图象才都经过点和点，故①错误；幂函数，当时，则其图象就是一条直线，故②错误；幂函数，当时，则其图象是这条直线上去除点后的剩余部分，故③错误；根据幂函数的性质可知：只有⑤⑥是正确的.21世纪教育网版权所有
13．【解析】由题意得额，因为函数是幂函数，所以，所以函数，令，即，所以过定点．
14．【解析】由得，，即，设，则，，所以．
15．2 【解析】由题：，则： 得：
16．【解析】可得幂函数，且函数在其定义域上单调递增．因为，所以，解得，所以实数a的取值范围是．
17． 【解析】由题意，得，所以．
因为，所以，1或2．
因为幂函数的图象关于轴对称，所以为偶数，
因为时，，时，，时，，
故当时，符合题意，即，
所以不等式可化为，即，
解得或，
所以该不等式的解集为．
18．【解析】（1）由条件幂函数，在上为增函数，
得到
解得
又因为所以或
又因为是偶函数
当时，不满足为奇函数；
当时，满足为偶函数；
所以
（2）由（1）知：且在区间上为增函数．
令；
①当时，为增函数，只需在区间上为增函数．
即：
②当时，为减函数，只需在区间上为减函数．
即：，
综上可知：的取值范围为：．
19．【解析】(1)由题意，得f(2)＝2a＝?a＝－3，
故函数解析式为f(x)＝x－3.
(2)定义域为∪，关于原点对称，
因为f(－x)＝(－x)－3＝－x－3＝－f(x)，故该幂函数为奇函数．
其单调减区间为，
20．【解析】（1）由为幂函数，且在上递增
则得：．
（2）A：由，得 B：
而，有，所以，．
21．【解析】在单调递减
当m=0，2时（不合题意） ②当m=1时（合乎题意）
① F（x）非奇非偶； ② F（x）为偶函数；
③ F（x）为奇函数 ；④当 F（x）既是奇函数又是偶函数.
22．【解析】（1）题意可得：解得，所以；
（2）任取且 ，
则
当时，，
所以即，此时在递增．
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.21教育网
1． 函数的大致图象是（ ）
A.B.C.D.
2．设，则使函数y＝xa的定义域为R且为奇函数的所有a值为( )
A．1,3 B．－1,1 C．－1,3 D．－1,1,3
3．设函数如果，则的取值范围是
A. B.
C. D.
4．给出下列函数：（1）；（2）；（3）；（4）；（5），其中是幂函数的序号为（ ）
A．（2）（3） B．（1）（2） C．（2）（3）（5） D．（1）（2）（3）
5．已知幂函数过点，则函数的表达式为（ ）
A. B. C. D.
6．幂函数在为减函数，则的值为（ ）
A．1 或3 B．1 C．3 D．2
7．已知幂函数的图象关于轴对称，则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. D.
8．若幂函数的图象不过原点，则（ ）
A． B．或
C． D．
9．已知幂函数的图象过点，则的值为( )
A． B． C． D．
10．设，则a，b，c的大小关系是 （ ）
A． B． C． D．
11．在同一坐标系中，函数，的图象可能是（ ）
A.B.C.D.
12．下列命题：①幂函数的图象都经过点和点；②幂函数的图象不可能是一条直线；③时，函数的图象是一条直线；④幂函数，当时是增函数；⑤幂函数，当时，在第一象限内函数值随值的增大而减小．⑥幂函数的图象不可能在第四象限；其中正确的是（ ）21cnjy.com
A. ③⑤⑥ B. ⑤⑥ C. ②③⑥ D. ①②③④
二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）
13．若函数是幂函数，则函数（其中a＞0，a≠1）的图象过定点A的坐标为 ．
14．已知函数的图象过定点，若点也在幂函数的图象上，则 ．
15．幂函数在区间上是增函数，则 .
16．已知幂函数过点，则满足的实数的取值范围是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．如图，幂函数的图象关于轴对称，且与轴，轴均无交点，求此函数的解析式及不等式的解集．
18．已知函数 （）是偶函数，且
（1）求的解析式；
（2）若（，）在区间上为增函数，求实数的取值范围
19．已知幂函数y＝f(x)经过点.
(1)试求函数解析式；
(2)判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间．
20．（本小题满分10分）已知幂函数在上单调递增，函数
（1）求的值；
（2）当时，记的值域分别为，若，求实数的取值范围．
21．已知幂函数为偶函数，且在区间上是单调减函数（Ⅰ）求函数；（Ⅱ）讨论的奇偶性.
22．已知（是常数）为幂函数,且在第一象限单调递增．
（1）求的表达式；
（2）讨论函数在上的单调性,并证之．
2.3幂函数参考答案及解析
1．A【解析】根据幂函数的图像和性质，知函数的定义域为，函数在其定义域内单调递减.故选A.
2．A【解析】幂函数的定义域为,那么或，即或，因为的定义域是，的定义域是故选A.
3．C【解析】不等式可化为或，解不等式组可得其解集为
4．A【解析】幂函数的形式为，（1）为指数函数，（4）中多了常数项，（5）中系数不为.故选A.
5．C【解析】设函数为
6．C【解析】由幂函数的定义知，其中是自变量，是常数．所以
．当时，在R上为单调递增函数，不满足题意；当时，，在上为减函数，满足题意，故选C．
7．B【解析】由于幂函数的图象关于轴对称，可知为偶函数，所以，即．则有，，所以，故选B．
8．B【解析】是幂函数，则必有，得，又函数图象不过原点，可知其指数，均满足满足，故正确选项为B.
9．A．【解析】设幂函数为，由题意得，，∴，故选A．
10．A【解析】根据指数函数性质和幂函数性质不难得到所给a,b,c的大小．
由题根据指数函数性质，根据幂函数性质，所以b
12．B【解析】幂函数，只有当时，则其图象才都经过点和点，故①错误；幂函数，当时，则其图象就是一条直线，故②错误；幂函数，当时，则其图象是这条直线上去除点后的剩余部分，故③错误；根据幂函数的性质可知：只有⑤⑥是正确的.21世纪教育网版权所有
13．【解析】由题意得额，因为函数是幂函数，所以，所以函数，令，即，所以过定点．
14．【解析】由得，，即，设，则，，所以．
15．2 【解析】由题：，则： 得：
16．【解析】可得幂函数，且函数在其定义域上单调递增．因为，所以，解得，所以实数a的取值范围是．
17． 【解析】由题意，得，所以．
因为，所以，1或2．
因为幂函数的图象关于轴对称，所以为偶数，
因为时，，时，，时，，
故当时，符合题意，即，
所以不等式可化为，即，
解得或，
所以该不等式的解集为．
18．【解析】（1）由条件幂函数，在上为增函数，
得到
解得
又因为所以或
又因为是偶函数
当时，不满足为奇函数；
当时，满足为偶函数；
所以
（2）由（1）知：且在区间上为增函数．
令；
①当时，为增函数，只需在区间上为增函数．
即：
②当时，为减函数，只需在区间上为减函数．
即：，
综上可知：的取值范围为：．
19．【解析】(1)由题意，得f(2)＝2a＝?a＝－3，
故函数解析式为f(x)＝x－3.
(2)定义域为∪，关于原点对称，
因为f(－x)＝(－x)－3＝－x－3＝－f(x)，故该幂函数为奇函数．
其单调减区间为，
20．【解析】（1）由为幂函数，且在上递增
则得：．
（2）A：由，得 B：
而，有，所以，．
21．【解析】在单调递减
当m=0，2时（不合题意） ②当m=1时（合乎题意）
① F（x）非奇非偶； ② F（x）为偶函数；
③ F（x）为奇函数 ；④当 F（x）既是奇函数又是偶函数.
22．【解析】（1）题意可得：解得，所以；
（2）任取且 ，
则
当时，，
所以即，此时在递增．