第二章基本初等函数质量检测
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第二章基本初等函数质量检测
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.21教育网
1．设集合，，则中元素的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知函数，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．若则下列等式不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4．已知，，，试比较的大小（ ）
A． B． C． D．
5．函数的图象大致是（ ）
A.B.C.D.
6．已知幂函数的图象经过点，则该函数的解析式为（ ）
A. B. C. D.
7．下列函数为偶函数，且在上单调递增的函数是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
9．幂函数在上是减函数，则实数m的值为（ ）
A、2 B、3 C、4 D、5
10．已知函数，其中.若满足不等式的解的最小值为2，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
11． 设函数，对任意，都存在，使，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．已知命题：
①函数的值域是；
②为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点向右平移个单位长度；
③当或时，幂函数的图象都是一条直线；
④已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是.
其中正确的命题是（ ）
A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④
二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）
13．已知函数且恒过定点，若点也在幂函数的图象上，则 ．
14．已知函数，则函数的最大值为 ．
15．当，不等式恒成立，则实数的取值范围为 _ ．
16．给出下列说法：
①幂函数的图象一定不过第四象限；
②奇函数图象一定过坐标原点；
③ 已知函数的定义域为，则函数的定义域为；
④定义在R上的函数对任意两个不等实数a、b，总有成立，则在R上是增函数；
⑤的单调减区间是；
正确的有 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（1）计算
（2）已知，求值：.
18．已知函数.
（1）求函数的定义域；
（2）若函数的最小值为-4，求实数的值.
19．已知函数.
（Ⅰ）求函数的定义域；
（Ⅱ）求函数的值域.
20．设关于的不等式.
（1）当时，解这个不等式；
（2）当这个不等式的解集为，求的取值范围.
21．已知函数是偶函数.
（1）求的值；
（2）若函数的图象与的图象有且只有一个公共点，求的取值范围.
22．已知函数（，）．
（1）当时，讨论的奇偶性，并证明函数在上为单调递减；
（2）当时，是否存在实数和，使得函数的值域为，若存在，求出实数与的值，若不存在，说明理由．21世纪教育网版权所有
第二章质量检测参考答案及解析
1．A【解析】由，或，所以，故选A．
2．C【解析】因为，所以，即.
3．D【解析】，
即，A正确；,B成立；，C成立；
，
，显然不等，所以D不正确，故选D.
4．A【解析】因为，，，所以，故选A．
5．D【解析】由题意知：函数的定义域为.当时，；当时，；当时，；故选D.
6．B【解析】由题意得，设幂函数为，代入得，所以函数为，故选B.
7．A【解析】函数是奇函数，函数是非奇非偶函数不符合题意，
在上为减函数，所以应选A．
8．C【解析】因为，所以，是偶函数，又因为在上递减，在递增，，所以，即的解集为，故选C.21cnjy.com
9．A【解析】幂函数是指 （）形式的函数，所以，解得或，对于幂函数，只有当时，才在上是减函数，所以，，所以.21·cn·jy·com
10．D【解析】由得，即，令，则，由题意知是方程的解.，得，又，即，解得或.选D.www.21-cn-jy.com
11．A【解析】设函数的值域为，设函数的值域为，对任意，都存在，使等价于，又因为，即，所以的值必能取遍区间的所有实数，当时，函数的图象开口向下，且,符合题意；当时，上符合题意；当时，函数的值要想取遍的所有实数，当且仅当，即，综上所述，的取值范围为.故选A.2·1·c·n·j·y
12．B.【解析】①：由在上递增可知①正确；②：应向右平移个单位，故②错误；③：时，的图象应为直线去掉点，故③错误；④：∵，
∴，
且，∴，故④正确，∴正确的命题为①④，故选B．
13．16【解析】时,即恒过定点．
设,将代入可得．．
14．4【解析】由题意，得，当时，；当时，，所以函数的最大值为4．
15．【解析】由得，问题为在上恒成立，又函数是R上的减函数，所以当时，取得最小值为，所以，即．【来源：21·世纪·教育·网】
16．①④【解析】①，当时，，所以不过第四象限，故正确；②奇函数当原点处没定义时，不过原点，例如，故错误；③的定义域是，所以，即的定义域是，那么时，，所以的定义域是，故错误；对时，，所以是在R上是增函数，故正确；⑤在定义域内并不单调，应改为单调减区间是和，故错误．21·世纪*教育网
17．【解析】（1）；
（2）.
18．【解析】（1）要使函数有意义，则有
所以函数的定义域为；
（2）函数可化为
，由，古实数的值为.
19．【解析】（Ⅰ）要使求函数有意义，则，
得且， 又因为函数的定义域为非空数集，所以，
所以函数的定义域是（）.
（Ⅱ）
，其中，
令，
①当，即时，
因为在上单调递减，且，，
所以；
②当，即时，，
因为，，
所以当时，，
所以；
③当时，即，这与矛盾.
综上所述当时，函数的值域是；
当时，函数的值域是.
20．【解析】（1）当时，原不等式变为，其解集为
（2）对任意都成立，对任何都成立，即，当且仅当时，对任何都成立
21．【解析】（1）由可求；
（2）由题方程只有一解，即
有且只有一个实根，
令，则，
从而方程有且只有一个正实根，
当时，（舍去），
当时，若，则或，
但时，根，舍去.时，根为，符合题意．
若，则，解得，
从而所求的范围是.
22．【解析】（1）的定义域为关于原点对称，
又，∴为奇函数
法1：当时，设，则
，
，又，，，
∴函数在上为减函数
法2：当时，设，令，
∴，所以，
∴函数在上为减函数
（2）令，即，
①当时，要使的值域为，则须，令，解得.
所以.
故有
②当时，，则，所以不合。
综上所述，存在实数，当时，函数的值域为．
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.21教育网
1．设集合，，则中元素的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知函数，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．若则下列等式不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4．已知，，，试比较的大小（ ）
A． B． C． D．
5．函数的图象大致是（ ）
A.B.C.D.
6．已知幂函数的图象经过点，则该函数的解析式为（ ）
A. B. C. D.
7．下列函数为偶函数，且在上单调递增的函数是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
9．幂函数在上是减函数，则实数m的值为（ ）
A、2 B、3 C、4 D、5
10．已知函数，其中.若满足不等式的解的最小值为2，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
11． 设函数，对任意，都存在，使，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．已知命题：
①函数的值域是；
②为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点向右平移个单位长度；
③当或时，幂函数的图象都是一条直线；
④已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是.
其中正确的命题是（ ）
A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④
二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）
13．已知函数且恒过定点，若点也在幂函数的图象上，则 ．
14．已知函数，则函数的最大值为 ．
15．当，不等式恒成立，则实数的取值范围为 _ ．
16．给出下列说法：
①幂函数的图象一定不过第四象限；
②奇函数图象一定过坐标原点；
③ 已知函数的定义域为，则函数的定义域为；
④定义在R上的函数对任意两个不等实数a、b，总有成立，则在R上是增函数；
⑤的单调减区间是；
正确的有 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（1）计算
（2）已知，求值：.
18．已知函数.
（1）求函数的定义域；
（2）若函数的最小值为-4，求实数的值.
19．已知函数.
（Ⅰ）求函数的定义域；
（Ⅱ）求函数的值域.
20．设关于的不等式.
（1）当时，解这个不等式；
（2）当这个不等式的解集为，求的取值范围.
21．已知函数是偶函数.
（1）求的值；
（2）若函数的图象与的图象有且只有一个公共点，求的取值范围.
22．已知函数（，）．
（1）当时，讨论的奇偶性，并证明函数在上为单调递减；
（2）当时，是否存在实数和，使得函数的值域为，若存在，求出实数与的值，若不存在，说明理由．21世纪教育网版权所有
第二章质量检测参考答案及解析
1．A【解析】由，或，所以，故选A．
2．C【解析】因为，所以，即.
3．D【解析】，
即，A正确；,B成立；，C成立；
，
，显然不等，所以D不正确，故选D.
4．A【解析】因为，，，所以，故选A．
5．D【解析】由题意知：函数的定义域为.当时，；当时，；当时，；故选D.
6．B【解析】由题意得，设幂函数为，代入得，所以函数为，故选B.
7．A【解析】函数是奇函数，函数是非奇非偶函数不符合题意，
在上为减函数，所以应选A．
8．C【解析】因为，所以，是偶函数，又因为在上递减，在递增，，所以，即的解集为，故选C.21cnjy.com
9．A【解析】幂函数是指 （）形式的函数，所以，解得或，对于幂函数，只有当时，才在上是减函数，所以，，所以.21·cn·jy·com
10．D【解析】由得，即，令，则，由题意知是方程的解.，得，又，即，解得或.选D.www.21-cn-jy.com
11．A【解析】设函数的值域为，设函数的值域为，对任意，都存在，使等价于，又因为，即，所以的值必能取遍区间的所有实数，当时，函数的图象开口向下，且,符合题意；当时，上符合题意；当时，函数的值要想取遍的所有实数，当且仅当，即，综上所述，的取值范围为.故选A.2·1·c·n·j·y
12．B.【解析】①：由在上递增可知①正确；②：应向右平移个单位，故②错误；③：时，的图象应为直线去掉点，故③错误；④：∵，
∴，
且，∴，故④正确，∴正确的命题为①④，故选B．
13．16【解析】时,即恒过定点．
设,将代入可得．．
14．4【解析】由题意，得，当时，；当时，，所以函数的最大值为4．
15．【解析】由得，问题为在上恒成立，又函数是R上的减函数，所以当时，取得最小值为，所以，即．【来源：21·世纪·教育·网】
16．①④【解析】①，当时，，所以不过第四象限，故正确；②奇函数当原点处没定义时，不过原点，例如，故错误；③的定义域是，所以，即的定义域是，那么时，，所以的定义域是，故错误；对时，，所以是在R上是增函数，故正确；⑤在定义域内并不单调，应改为单调减区间是和，故错误．21·世纪*教育网
17．【解析】（1）；
（2）.
18．【解析】（1）要使函数有意义，则有
所以函数的定义域为；
（2）函数可化为
，由，古实数的值为.
19．【解析】（Ⅰ）要使求函数有意义，则，
得且， 又因为函数的定义域为非空数集，所以，
所以函数的定义域是（）.
（Ⅱ）
，其中，
令，
①当，即时，
因为在上单调递减，且，，
所以；
②当，即时，，
因为，，
所以当时，，
所以；
③当时，即，这与矛盾.
综上所述当时，函数的值域是；
当时，函数的值域是.
20．【解析】（1）当时，原不等式变为，其解集为
（2）对任意都成立，对任何都成立，即，当且仅当时，对任何都成立
21．【解析】（1）由可求；
（2）由题方程只有一解，即
有且只有一个实根，
令，则，
从而方程有且只有一个正实根，
当时，（舍去），
当时，若，则或，
但时，根，舍去.时，根为，符合题意．
若，则，解得，
从而所求的范围是.
22．【解析】（1）的定义域为关于原点对称，
又，∴为奇函数
法1：当时，设，则
，
，又，，，
∴函数在上为减函数
法2：当时，设，令，
∴，所以，
∴函数在上为减函数
（2）令，即，
①当时，要使的值域为，则须，令，解得.
所以.
故有
②当时，，则，所以不合。
综上所述，存在实数，当时，函数的值域为．