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1.平衡状态:物体保持静止或做匀速直线运动时所处的状态。
2.平衡状态的特征
(1)静止状态的特征:v=0,a=0,两者同时成立。
(2)匀速直线运动状态的特征:v≠0,a=0。
3.共点力作用下物体的平衡条件
(1)平衡条件:要使物体保持平衡状态,作用在物体上的力必须满足一定的条件,这个条件叫作
平衡条件。
6 共点力作用下物体的平衡
知识点 共点力作用下物体的平衡状态及平衡条件
必备知识 清单破
(2)共点力作用下物体的平衡条件是物体受到的合力为零,即F合=0。另一种表达是 ,
其中 和 分别是将物体所受的力正交分解后在x轴和y轴上的合力。
知识辨析
1.所受合力保持恒定的物体处于平衡状态吗
不是。所受合力为零的物体处于平衡状态。
2.大小相等、方向相反、作用在同一直线上的两个力一定是平衡力吗
不一定。大小相等、方向相反、作用在同一直线上且作用在同一物体上的两个力是平衡力。
3.如果物体的速度为零,物体就一定处于平衡状态吗
不一定。如果物体的速度v=0且加速度a=0,则处于平衡状态,如果v=0但a≠0,则处于非平衡状态。
4.怎样判断物体是否处于平衡状态
物体处于平衡状态的标志是加速度为零。判断物体是否处于平衡状态,就看其加速度是否为零,与物体的速度无关。
提示
提示
提示
提示
1.解答共点力平衡问题的一般步骤
(1)选取研究对象,对于有相互作用的两个或两个以上的物体构成的系统,应明确所选研究对
象是系统整体还是系统中的某一个物体。
(2)对所选研究对象进行受力分析,并画出受力分析图。
(3)对研究对象所受的力进行处理。对三个共点力的平衡问题,一般根据共点力的平衡条件
结合力的平行四边形定则(三角形定则)进行求解。对四个或四个以上共点力的平衡问题,一
般建立合适的直角坐标系,用正交分解法求解。
关键能力 定点破
定点 1 平衡问题的处理方法
方法 内容 图例
物体受三个共点力的作用而
平衡时,其中任意两个力的合
力一定与第三个力等大反
向。可利用平行四边形定则,
根据正弦定理、余弦定理或
相似三角形等数学知识求解
2.共点力平衡问题的常见处理方法
物体受到几个共点力的作用
而平衡,将某一个力按力的作
用效果分解,则其分力和其他
力在其分解的方向上满足平
衡条件。常用于解决三力平
衡问题
物体受到三个或三个以上力的作用而平衡,将物体所受的力分解为相互垂直的两组,每组力都满足平衡条件
物体受同一平面内三个互不平行的力作用处于平衡状态时,可以将表示这三个力的有向线段平移,构成一个首尾依次相接的矢量三角形,根据正弦定理、余弦定理或相似三角形等数学知识求解未知力
典例 在科学研究中,可以用风力仪直接测量风力的大小,其原理如图所示。仪器中一根轻质金属丝悬挂着一个金属球,无风时,金属丝竖直下垂;当受到沿水平方向吹来的风时【1】,金属丝偏离竖直方向一个角度,风力越大,偏角越大。通过传感器,就可以根据偏角的大小指示出风力【2】。重力加速度大小为g。那么,风力大小F跟金属球的质量m、偏角θ之间有什么样的关系呢
信息提取 【1】有风时,金属球受到三个力的作用:重力mg、水平方向的风力F和金属丝的
拉力FT。
【2】小球受到的风力F和拉力FT的合力与重力是平衡力,满足大小相等、方向相反。
思路点拨 取金属球为研究对象,它受到三个力的作用:重力mg、水平方向的风力F和金属
丝的拉力FT,如图所示。这三个力是共点力,在这三个共点力的作用下金属球处于平衡状态,
则这三个力的合力为零,可以根据合成法【3】、效果分解法【4】、正交分
解法求解【5】。
解析 解法一(合成法):
金属球在三个力的作用下平衡,风力F和拉力FT的合力与重力等大反向,作出受力图如图甲所
示,由平行四边形定则可得F=mg·tan θ。(由【1】【2】【3】得到)
甲
解法二(效果分解法):
金属球的重力有两个作用效果:使金属球抵抗风力和使金属丝拉紧,所以可以将重力沿水平
方向和金属丝的方向进行分解,如图乙所示,由几何关系可得F=F'=mg tan θ。(由【1】【4】
得到)
乙
解法三(正交分解法):
以金属球球心为坐标原点,取水平方向为x轴、竖直方向为y轴,建立坐标系,如图丙所示。水
平方向的合力 和竖直方向的合力 均为零,即 =FT sin θ-F=0, =FT cos θ-mg=0,解得
F=mg tan θ。(由【1】【5】得到)
丙
由所得结果可见,当金属球的质量m一定时,偏角θ只跟风力F有关。因此,根据偏角θ的大小就
可以指示出风力的大小。
答案 F=mg tan θ
1.问题界定
动态平衡问题是指物体的状态发生缓慢变化,可以认为任一时刻物体都处于平衡状态。
2.常用方法
(1)解析法:对研究对象的任一状态进行受力分析,建立平衡方程,求出因变参量与自变参量的
函数关系,然后根据自变参量的变化确定因变参量的变化。很多情况是通过三角函数分析力
的变化情况,一般用于较简单的动态平衡问题。
(2)图解法:对研究对象进行受力分析,再根据平行四边形定则或三角形定则画出不同状态下
力的矢量图(画在同一图中),然后根据表示力的有向线段的长度、方向的变化判断各个力的
变化情况。
定点 2 动态平衡问题
①平行四边形法
物体受三个力作用,当一个力大小、方向均不变,另一个力方向不变,第三个力大小、方向均
变化时,根据平行四边形定则,将大小、方向均不变的力沿另两个力的反方向分解(或将大
小、方向均不变的力的反作用力沿另两个力的方向分解),根据物体处于平衡状态时合力为
零以及两个分力的大小、方向变化情况,判断另两个力的大小、方向变化情况。
如轻绳
一端连接圆弧形细杆,另一端与小球相连,在悬点A沿杆缓慢上移的过程中,分析轻绳的拉力
和斜面的支持力的变化情况时,采用平行四边形法,如图所示。
②矢量三角形法
物体受三个力作用,一个力大小、方向均不变,另一个力方向不变,第三个力大小、方向
均变化时,或另两个力始终相互垂直,根据物体处于平衡状态时合力为零,将物体所受的三个
力首尾相接,作在一个力的矢量三角形中,根据动态变化过程中,三角形中边的长度、方向的
变化情况判断力的大小、方向的变化情况。
如粉刷工人缓慢上推“涂料滚”时,分析撑杆对“涂料滚”的推力和墙壁对其的支持力时,
可利用矢量三角形法,如图所示。
③相似三角形法
在三力平衡问题中,如果有一个力是恒力,另外两个力的方向都变化,且题目给出了空间
几何关系,多数情况下力的矢量三角形与空间几何三角形相似,可利用相似三角形进行讨
论、计算。
典例 如图所示,轻绳的两端分别系在圆环A和小球B上,圆环A套在粗糙的水平直杆MN上。现
用水平力F拉着轻绳上的一点O【1】,使小球B从图中实线位置缓慢上升到虚线位置【2】,圆环A
始终保持在原位置不动,在这一过程中,环对杆的摩擦力Ff和环对杆的压力FN的变化情况是
( )
B
A.Ff不变,FN不变
B.Ff增大,FN不变
C.Ff增大,FN减小
D.Ff不变,FN减小
信息提取 【1】结点O受三个力作用,连接B的一段轻绳的拉力(大小等于小球重力)大小、
方向都不变,力F始终水平,即方向不变,而连接A的一段轻绳的拉力大小和方向都变化。
【2】小球B缓慢上升,可以认为任一时刻都处于平衡状态。
思路点拨 本题可用两种方法分析:
(1)图解法【3】:对结点O进行受力分析,再根据平行四边形定则或三角形定则画出不同状态下
力的矢量图(画在同一图中),然后根据有向线段长度、方向的变化判断各个力大小、方向的
变化情况。再以环、绳和小球构成的整体为研究对象,确定杆对环的摩擦力Ff'和杆对环的支
持力FN'的变化。
(2)解析法【4】:对结点O的任一状态进行受力分析,建立平衡方程,求出因变参量(连接A的轻绳
的拉力大小、水平力F的大小)与自变参量(连接A的轻绳与竖直方向的夹角)的函数关系式,
然后根据自变参量的变化确定因变参量的变化。再以环、绳和小球构成的整体为研究对象,
确定杆对环的摩擦力Ff'和杆对环的支持力FN'的变化。
解析 方法一:图解法
以结点O为研究对象进行受力分析。由题可知,O点处于动态平衡状态,则可作出三力的平衡
关系图如图(a),由图可知水平拉力F增大(由【1】【2】【3】得到)。以环、绳和小球构成的
整体作为研究对象,作受力分析图如图(b),由整个系统平衡可知FN'=(mA+mB)g,Ff'=F。可知Ff'
增大,FN'不变。由牛顿第三定律可知Ff增大,FN不变,故B正确。
方法二:解析法
以结点O为研究对象,受力分析如图(a)所示,由平衡条件得T1 cos α=mBg,T1 sin α=F,故T1= ,
F=mBg tan α。以环、绳和小球构成的整体为研究对象,受力分析如图(b)所示,由平衡条件得
FN'=(mA+mB)g,Ff'=F=mBg tan α。B上升过程中,α增大,tan α增大,Ff'增大,而FN'不变(由【1】
【2】【4】得到)。由牛顿第三定律可知Ff增大,FN不变,故B正确。
导师点睛 求解动态平衡问题时,关键是合理利用图形将已知条件体现出来,根据三角形边
的变化情况确定相对应的力的变化情况。6 共点力作用下物体的平衡
基础过关练
题组一 对平衡状态的理解
1.(多选题)下列物体处于平衡状态的是 ( )
A.静止在粗糙斜面上的物体
B.沿光滑斜面下滑的物体
C.在平直路面上匀速行驶的汽车
D.做自由落体运动的物体在刚开始下落的瞬间
题组二 共点力的平衡条件
2.一个物体受到三个共点力的作用,如果三个力的大小为如下各组中的情况,那么有可能使物体处于平衡状态的是 ( )
A.1 N 4 N 7 N B.2 N 6 N 9 N
C.2 N 5 N 8 N D.6 N 8 N 6 N
3.某物体受到四个力的作用而处于静止状态,保持其中三个力的大小和方向均不变,使另一个大小为F的力的方向逆时针转过90°,则欲使物体仍能保持静止状态,必须再加上力的大小为( )
A.F B.F C.2F D.3F
4.如图所示,一只质量为m的萤火虫停在倾角为θ的枝条上。重力加速度为g,枝条对萤火虫的作用力大小为( )
A.mg sin θ B.mg cos θ
C.mg tan θ D.mg
题组三 共点力作用下平衡条件的应用
5.某餐厅送餐机器人的结构示意图如图所示,机器人的上表面保持水平,当菜品随着机器人一起做匀速直线运动时,下列说法正确的是 ( )
A.菜品受到的摩擦力方向与其运动方向相同
B.菜品受到的合外力始终不变
C.菜品的质量越大,受到的静摩擦力越大
D.菜品受到的摩擦力与菜品和机器人上表面间的动摩擦因数成正比
6.如图为多功能晒衣篮,下面是直径为60 cm、质量为0.2 kg的圆形晒衣篮,由四根对称分布的轻质细绳悬挂在挂钩上,其中每根细绳长为50 cm。若将质量为3 kg的衣物放在晒衣篮里晾晒时,不考虑细绳和晒衣篮的形变,g取10 m/s2,则每根细绳上的拉力的大小是 ( )
A.8.0 N B.9.0 N C.10.0 N D.13.3 N
7.如图所示,一只小鸟沿着粗细均匀的树枝从右向左缓慢爬行,在小鸟从A运动到B的过程中,下列说法正确的是 ( )
A.树枝对小鸟的合力先增大后减小
B.树枝对小鸟的摩擦力先增大后减小
C.树枝对小鸟的弹力先减小后变大
D.在A处树枝对小鸟的合力竖直向上
能力提升练
题组一 物体的静态平衡问题
1.(多选题)图中重物的质量为m,细线AO和BO的A、B端是固定的,平衡时AO是水平的,BO与水平面的夹角为θ。AO的拉力F1 和BO的拉力F2的大小是(重力加速度为g) ( )
A.F1=mg tan θ B.F1=
C.F2=mg sin θ D.F2=
2.(多选题)如图所示,一细绳的一端固定于天花板上,另一端与重为10 N的小球连接,小球被一大小和方向未知的力F作用后,细绳偏离竖直方向30°角而保持静止不动,则有关力F的大小和方向的说法正确的是 ( )
A.当拉力F为3 N时,可以使小球平衡
B.当拉力F为5 N时,力的方向只有一种
C.当拉力F为8 N时,力的方向有两种可能性
D.当拉力F为8 N时,力的方向只有一种
3.如图所示,固定的四分之一粗糙圆弧轨道AB的圆心在竖直墙上的O点,A点与O点在同一高度,轻弹簧一端固定在O点,另一端连接质量为m的小物块,物块静止在轨道上,弹簧与竖直方向的夹角θ=30°,重力加速度为g,则( )
A.轨道对物块一定有支持力
B.弹簧一定处于伸长状态
C.弹簧一定处于压缩状态
D.轨道对物块不一定有支持力
4.如图所示,在野营时需要用绳来系住一根木桩。细绳OA、OB、OC在同一平面内,两等长绳OA、OB夹角是90°,绳OC与木桩的夹角为60°,绳CD水平,如果绳CD的拉力等于100 N,若木桩受到绳子作用力的方向竖直向下,则OA、OB的拉力为( )
A.50 N,50 N B.100 N,100 N
C. N, N, N
5.如图所示,三根轻质细线交于O点,OA另一端固定在天花板上的A点(位于O点的正上方),OB、OC另一端分别连接质量为m的小球P(可视为质点)、质量为4m的物体Q。将物体Q放置于粗糙水平面上,小球P放置于半径为R的光滑半圆柱上,当A、O、O'处于同一竖直线上时,OC水平且物体Q恰好不滑动,此时OB=R,OO'=R,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,则物体Q与水平面间的动摩擦因数为 ( )
A.0.12 B.0.16 C.0.20 D.0.25
题组二 物体的动态平衡问题
6.某同学为颈椎病人设计的一个牵引装置,其示意图如图所示。一根绳绕过两个定滑轮和一个动滑轮后各挂着一个相同的重物,与动滑轮相连的帆布带拉着病人的颈椎(图中是用手指代替颈椎做实验),整个装置处在同一竖直平面内,如果要减小手指所受的拉力,可采取的方法是( )
A.只将手指向下移动
B.只将手指向上移动
C.只增加绳的长度
D.只减小两定滑轮的间距
7.(多选题)
如图,用光滑硬铁丝弯成的半圆环竖直放置,最高点B处固定一小滑轮,质量为m的小球A穿在环上。现用细绳一端拴在A上,另一端跨过光滑滑轮用力F拉动,使A沿光滑半圆环缓慢向上移动。在A移动过程中,下列说法正确的是 ( )
A.F逐渐变小
B.铁丝对A的作用力N的方向始终指向圆心O
C.铁丝对A的作用力N逐渐变小
D.铁丝对A的作用力N大小不变
8.(多选题)如图所示,倾角θ=30°的斜面体A静止在水平地面上,一根轻绳跨过斜面体顶端的轻质小滑轮,绳两端系有质量均为m的小物块a、b,整个装置处于静止状态。现给物块b施加一个水平向右的力F,使b缓慢移动直到轻绳与竖直方向成30°角,这一过程中斜面体和小物块a均静止(不计绳与滑轮间的摩擦),对此过程说法正确的是 ( )
A.b受到绳的拉力逐渐增大
B.水平拉力F逐渐增大
C.小物块a受到的摩擦力一定先增大再减小
D.斜面体对地面的摩擦力增大
9.(多选题)如图甲所示为某款可调节角度的磁吸式车载手机支架,手机放在支架上被磁力吸住后,调节支架使手机与竖直方向成一定角度,如图乙所示。已知手机受到的磁力大小恒定、方向垂直于手机屏幕,且手机和支架吸盘始终不发生相对滑动,当车辆做匀速运动时 ( )
A.手机只受到重力、磁力和摩擦力
B.若缓慢减小手机与竖直方向的夹角,手机受到吸盘的作用力也减小
C.若将支架吸盘逆时针缓慢旋转90°角,手机受到的弹力一直增大
D.若将支架吸盘逆时针缓慢旋转90°角,手机受到的摩擦力先增大后减小
答案与分层梯度式解析
6 共点力作用下物体的平衡
基础过关练
1.AC 2.D 3.B 4.D 5.B 6.C 7.D
1.AC 静止在粗糙斜面上的物体,所受合力为0,处于平衡状态,故A正确;沿光滑斜面下滑的物体做匀加速直线运动,所受合力不为0,处于非平衡状态,故B错误;在平直路面上匀速行驶的汽车所受合力为0,处于平衡状态,故C正确;做自由落体运动的物体在刚开始下落的瞬间,物体的速度为0,但所受合力等于重力,不为0,处于非平衡状态,故D错误。
易混易错 物体的速度为零但不一定处于平衡状态。判断物体是否处于平衡状态,一要看物体是否处于静止或匀速直线运动状态,二要看物体所受的合外力是否为零,或者看物体运动状态是否变化。
2.D 能否使物体处于平衡状态,要看三个力的合力是否可能为零,方法是看两个较小的力加起来是否大于或等于最大的那个力,如果是,则物体就可能处于平衡状态,故D正确。
3.B 物体受到四个力的作用而处于静止状态,由物体的平衡条件可知,力F与另外三个力的合力一定等大反向,当力F转过90°时,力F与另外三个力的合力的大小为F,因此,欲使物体仍能保持静止状态,必须再加一个大小为F的力,故B项正确。
4.D 萤火虫是静止的,所以处于平衡状态,合力一定等于零,它受到竖直向下的重力,大小为mg,枝条对它的力与重力大小相等、方向相反,所以枝条对萤火虫的作用力大小为mg,方向竖直向上,选D。
5.B 当菜品随着机器人一起做匀速直线运动时,菜品只受到重力和支持力的作用,不受摩擦力;由平衡条件可知,菜品受到的合外力始终为零,选B。
6.C 四根细绳对称分布,将一根细绳上的拉力分解,如图所示
由几何关系有cos θ==0.6,则sin θ==0.8,由力的分解可得4FT sin θ=Mg,解得FT==10.0 N,选C。
7.D 小鸟缓慢爬行,处于平衡状态,所以合力为零,A错误。过小鸟所在位置作树枝的切线,设该切线与水平方向的夹角为α,则有f=mg sin α,N=mg cos α,小鸟缓慢爬行时,α先减小后增大,所以摩擦力先减小后增大,支持力先增大后减小,B、C错误。树枝对小鸟的合力与小鸟的重力等大反向,故其合力竖直向上,D正确。
能力提升练
1.BD 2.BC 3.A 4.C 5.A 6.B
7.AD 8.ABD 9.CD
1.BD 以结点O为研究对象,结点O受三根细线的拉力处于平衡状态,重物对O点的拉力T=mg。根据平衡条件得知,T与F1的合力与F2大小相等、方向相反,作出力的合成图如图,
则有F1=,F2=,A、C错误,B、D正确。
2.BC 以小球为研究对象,受力分析如图
小球受到重力G、细绳的拉力T和外力F,根据作图法得知,当外力F的方向与细绳垂直时,外力最小,则由平衡条件得外力的最小值为Fmin=G sin 30°==5 N,故当拉力F为3 N时,不可以使小球平衡,故A错误;当拉力F为5 N时,力的方向只有一种,即垂直于绳斜向上,故B正确;当拉力F为8 N时,力F的方向有两种可能性,故C正确,D错误。
3.A 物块静止在轨道上,小物块受到的静摩擦力为f=mg sin θ=mg;由于有摩擦力必有弹力,所以斜面对物块的支持力不可能为零,A正确,D错误。假设物块受重力、支持力、摩擦力,三个力的合力可能为0,即物块可能不受弹簧的弹力,则弹簧可能处于原长,B、C错误。
4.C 要使木桩受到绳子作用力的方向竖直向下,则绳子OC与CD上拉力的合力竖直向下,对结点C受力分析,如图1所示,根据平行四边形定则有,TC= N;点O受力平衡,对其受力分析,如图2所示,根据平衡条件,结合对称性,有TA=TB= N,故选C。
5.A 对小球P受力分析,受重力mg、光滑半圆柱的支持力N和细线的拉力F,小球P受力平衡,画出与拉力F等大反向的力F',即为mg和N的合力,如图1所示
由相似三角形可得,解得F'=mg,由余弦定理有O'B2=OO'2+OB2-2OO'·OB cos θ,解得cos θ=,则sin θ=,对结点O受力分析,如图2所示
由O点平衡条件有F2=F1 sin θ,且F1与F大小相等,对物体Q受力分析,如图3所示
竖直方向有FN=4mg,水平方向有f=F4,F4与F2大小相等,且f=μFN,解得μ=0.12,选A。
6.B 当只将手指向下移动时,两侧绳的拉力大小不变,夹角变小,则两拉力合力变大,所以手指所受的拉力变大,A错误;当只将手指向上移动时,两侧绳的拉力大小不变,夹角变大,则两拉力合力变小,所以手指所受的拉力变小,B正确;滑轮受向下的拉力F、两绳上的拉力F1、F2,共三个力,受力分析如图,
稳定时,三个力的合力为零,两绳的拉力的合力始终等于手指所受的拉力,则两绳夹角越大,合力越小,夹角越小,合力越大;只增加绳的长度时,两条绳之间的夹角不变,两绳的拉力大小不变,所以手指所受的拉力不变,C错误;只减小两定滑轮的间距,两绳的拉力大小不变,夹角变小,则合力变大,所以手指所受的拉力变大,D错误。
7.AD 小球缓慢向上移动的过程中,小球A处于三力平衡状态,根据平衡条件知,重力mg与铁丝对A的作用力N的合力与细绳对A的拉力T等大、反向、共线,作出mg与N的合力,如图
由三角形相似得,由题意可知F=T,则F=·mg,AB变小,BO不变,则F变小,故A正确;由得N=·mg,AO、BO都不变,则N大小不变,方向始终背离圆心,故B、C错误,D正确。
8.ABD 施加力F之前,b受到绳的拉力与其重力平衡,缓慢移动过程中,绳子对b的拉力的竖直分力与其重力平衡,故随着绳与竖直方向夹角的增大,绳的拉力逐渐增大,拉力的水平分力也逐渐增大,而力F与拉力的水平分力平衡,因此力F逐渐增大,故A、B正确;施加力F之前,绳子拉力与b物块的重力大小相等,此时a物块有向上运动的趋势,受到的静摩擦力沿斜面向下,之后随着绳子拉力增大,a受到的摩擦力逐渐增大,故C错误;对整体受力分析可知,地面对斜面体的摩擦力与水平力F平衡,而力F逐渐增大,故地面对斜面体的摩擦力也增大,由力的相互性可知,斜面体对地面的摩擦力增大,故D正确。
9.CD 有摩擦力必有弹力,故手机除了受到重力、磁力和摩擦力外,还受到弹力作用,故A错误;若缓慢减小手机与竖直方向的夹角,手机受到的合力始终为零,则手机受到吸盘的作用力与手机重力大小相等,方向相反,保持不变,故B错误;设支架吸盘与水平面的夹角为θ,根据受力平衡可得N+mg cos θ=F磁,f=mg sin θ,若将手机和支架吸盘逆时针缓慢旋转90°角,θ逐渐增大,可知cos θ逐渐减小为0,之后变为负值,则手机受到的弹力一直增大;sin θ逐渐增大到1再逐渐减小,则手机受到的摩擦力先增大后减小,故C、D正确。
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