【章节考点培优】1.5有理数的乘除-2025-2026学年七年级上册数学沪科版（2024）（含答案解析）

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2025-2026学年七年级上册数学单元考点培优沪科版（2024）
第1章 有理数 1.5 有理数的乘除
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知算式5□(-5)的值为0，则“□”内应填入的运算符号为(　　)
A．+ B．- C．× D．÷
2．﹣ 的倒数是（　　）
A．﹣ B．1 C．﹣ D．
3．已知，则a与b的关系一定成立的是（　　）
A．a是b的相反数 B．a是的相反数
C．a是b的倒数 D．a是的倒数
4．下列各选项中的两个实数互为倒数的是（ ）
A．2024与 B．2024与
C．与2024 D． 与
5．下列算式：①；②；③；④，其中正确的个数是（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
6．﹣2021的倒数的相反数是（　　）
A．﹣2021 B．2021 C． D．
7．一个正整数n与它的倒数、相反数n相比较，正确的是 (　　)
A．－n≤n≤ B．－n＜＜n C．－n≤≤n D．－n＜≤n
8．下列说法正确的个数为（　　）
①没有绝对值最小的有理数； ②单项式- 的系数是 ；
③所有有理数都有相反数和倒数； ④如果|a|=a，那么a一定是非负数；
⑤－2017是单项式.
A．0 B．1 C．2 D．3
9．两数相乘，积为负，且两数和也为负，则这两数（　　）
A．都是正数 B．都是负数
C．一正一负且正数的绝对值大 D．一正一负且负数的绝对值大
10．下列说法：①几个有理数相乘，负因数个数为奇数则乘积为负数：②两个正数中，较大数的倒数反而小；③若|a|=-a则a<0；④若|a|=|b|则a=b；⑤近似数8.30所表示的准确数a的范围是：8.295 ≤a<8.305；其中不正确的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
11．倒数和绝对值都等于本身的数是　 　.
12．已知x与y互为相反数，m与n互为倒数，且，则　 　.
13．今年政府工作报告提出，从今年开始拟连续几年发行超长期特别国债，今年先发行1万亿元.5月17日，首批发行400亿元30年期国债，年利率为2.57％．某大型企业购买了5000万元国债，该企业一年的国债利息收益为　 　元（用合适的记数法表示）．
14．绝对值不大于3的整数有　 　个，它们的积是　 　.
15．若有理数a等于它的倒数，则 　 　．
16．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值是2，则＝　 　．
三、计算题
17．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
四、解答题
18．在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：
，，，，，，，．
（1）请你帮忙确定B地相对于A地的方位？
（2）若冲锋舟每千米耗油升，油箱容量为30升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油．
19．某出租车司机，在南北方向的扬子江路上连续接送5批客人，行驶路程记录如下表（规定向北为正，向南为负，单位：km）：
第1批 第2批 第3批 第4批 第5批
5km 2km 3.5km
（1）接送完第5批客人后，该车在起始出发地的什么方向？
（2）接送完第5批客人后，距离起始出发地多少千米？
（3）若该出租车每千米耗油0.2升，那么在这过程中共耗油多少升？
20．“分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的四个问题．
例：三个有理数a，b，c满足abc＞0，求的值．
解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
①当a，b，c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时，
则：；
②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设a＞0，b＜0，c＜0，
则：．
综上述：的值为3或﹣1．
请根据上面的解题思路解答下面的问题：
（1）已知，，且a＜b，求a+b的值．
（2）已知a，b是有理数，当ab≠0时，求值．
（3）已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，求的值．
21．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值为3，求a+b+x2-cdx的值.
22．如图在数轴上点，表示的数分别为，，且满足．
（1）点表示的数为 ，点表示的数为 ；
（2）点在数轴上，且点与点之间的距离为2，若该数轴可以折叠，以数轴上一点为折点，将数轴对折后，点与点重合，则折点表示的数为 ；
（3）若在原点处放一块挡板，一只小蚂蚁（可以看作一点）从点处以3个单位/秒的速度向左运动，在碰到挡板后以2个单位/秒的速度返回到点，并停止运动．设运动的时间为秒，在整个运动过程中，当它把线段分为的两段时，求的值；并直接判断此时小蚂蚁与点（是的中点）的距离和是否最短？
23．如果，，是非零有理数，求式子的所有可能的值．
参考答案及试题解析
1．A
【解答】解：A、本项正确；
B、本项错误；
C、本项错误；
D、本项错误；
故答案为：A.
【分析】分别根据有理数的计算法则逐项计算即可.
2．C
【解答】解：∵(﹣ )×(﹣ )＝1，
∴﹣ 的倒数是﹣ .
故答案为：C.
【分析】根据乘积是1的两个数叫做互为倒数解答.
3．C
4．C
5．A
6．D
【解答】解：﹣2021的倒数为：﹣
，﹣
的相反数为
.
故答案为：D.
【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数可得-2021的倒数，然后结合只有符号不同的两个数互为相反数进行解答.
7．D
【分析】根据有理数大小比较方法：n为正整数，则倒数是≤1的正数，相反数-n为负整数，根据题意可求解．
【解答】n是正整数，则肯定也是≤1的正数，-n肯定是负整数，因此D正确．
故选D．
【点评】本题的关键是要知道正数的倒数还是正数，正数的相反数是负数．
同号有理数比较大小的方法（正有理数)：绝对值大的数大．
（1）作差，差大于0，前者大，差小于0后者大
（2）作商，商大于1，前者大，商小于1后者大
如果都是负有理数的话，结果刚好相反，且绝对值大的反而小．
如果是异号的话，就只要判断哪个是正哪个是负就行，都是字母的话，就要分情况讨论；如果是代数式的话要先求出各个式子的值，再比较．
8．C
【解答】①绝对值最小的有理数是0，故①错误；
②单项式- 的系数是 ，故②错误；
③0没有倒数，故③错误；
④如果|a|=a，那么a一定是非负数，故④正确；
⑤－2017是单项式，故⑤正确.
正确的有④，⑤.
故答案为：C.
【分析】根据绝对值的意义绝对值最小的有理数是0 ；如果|a|=a，那么a一定是非负数 ；根据单项式的定义，单项式中的数字因式就是系数，单独的一个数也是单项式；根据倒数的意义0没有倒数 。
9．D
【解答】解：∵两数相乘，积为负，
∴这两数异号，
∵两数和也为负，
∴负数的绝对值大，
∴这两数一正一负且负数的绝对值大，
故选D．
【分析】根据有理数乘法和加法法则，即可得到结论．
10．B
【解答】解： ①几个不等于0有理数相乘，负因数个数为奇数则乘积为负数，故①错误；
②两个正数中，较大数的倒数反而小，故②正确；
③若|a|=-a则a≤0，故③错误；
④若|a|=|b|则a=±b，故④错误；
⑤近似数8.30所表示的准确数a的范围是：8.295 ≤a<8.305，故⑤正确； 错误的个数一共有3个.
故答案为：B.
【分析】利用多个有理数相乘的法则，可对①作出判断；利用倒数的性质，可对②作出判断；利用绝对值的性质，可对③④作出判断；利用近似数的精确度，可对⑤作出判断；综上所述可得到不正确的个数.
11．1
【解答】解：∵倒数等于本身的数有±1，绝对值等于本身的数是非负数，
∴倒数和绝对值都等于本身的数是1.
故答案为：1.
【分析】倒数等于本身的数有±1，绝对值等于本身的数是非负数，综合二者即可得出答案.
12．-9
【解答】解：由题意可得：
x+y=0，mn=1，a=±3
∴a2=9
∴
故答案为：-9
【分析】根据相反数的定义，倒数的定义，绝对值的性质可得x+y=0，mn=1，a=±3，再代入代数式即可求出答案.
13．
【解答】解：(元)，
所以该企业一年的国债利息收益为元．
故答案为：．
【分析】由题意可列式，根据有理数的乘法运算以及科学记数法即可求解．
14．7；0
【解答】解：根据绝对值的意义，绝对值不大于3的整数有：±3、±2、±1、0，共7个，
它们的积是（﹣3）×3×（﹣2）×2×（﹣1）×1×0＝0.
故答案为：7；0.
【分析】先求出绝对值不大于3的所有整数，再相乘即可.
15．1
【解答】由题意，得 或 ．
当 时， ；
当 时， ．
综上， ．
故答案为：1．
【分析】根据有理数的倒数的定义可知a的值，再代入计算即可。
16．5或-3
【解答】∵ a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是2，
∴a+b=0， cd=1，m=±2，
当m=2时，+2m-(-cd)2003=0+2×2-（-1）=0+4+1=5；
当m=-2时，+2m-(-cd)2003=0+2×(-2)-(-1)=-4+1=-3；
总之，空上填5或-3.
【分析】根据有理数的加法法则求出a+b的值，根据倒数定义的逆运算求出cd的值，再根据绝对值的意义求出m的值，分类讨论，求出即可.
17．（1）
（2）9992
（3）
（4）3
18．（1）B地在A地的正东方向，距A地20千米
（2）冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充7升油
19．（1）车在起始出发地的北方
（2）接送完第5批客人后，距离起始出发地4千米
（3）在这过程中共耗油3.4升
20．（1）或
（2）或0
（3）
21．解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值是3，
∴a＋b＝0，cd＝1，x＝±3，
当x＝3时，a+b+x2-cdx=0+9-1×3=6；
当x＝-3时，a+b+x2-cdx=0+9-1×（-3）=12，
∴a+b+x2-cdx的值为6或12.
【分析】 由互为相反数的两个数和为0得a＋b＝0，互为倒数的两个数的乘积为1得cd＝1，x的绝对值是3，可得x＝±3，然后分别代入计算即可.
22．（1），12
（2）2或4
（3）的值为1.8秒或7.3秒；此时小蚂蚁与点的距离和不是最短的
23．解：根据题意，
当，，时，
；
当，，时，
；
当，，时，
；
当，，时，
；
当，，时，
；
当，，时，
；
当，，时，
；
当，，时，
；
综上所述，式子的所有可能的值为或．
【分析】根据绝对值的性质和有理数的乘法结合题意分情况讨论即可求解。
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