【章节考点培优】3.1方程-2025-2026学年七年级上册数学沪科版（2024）（含答案解析）

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2025-2026学年七年级上册数学单元考点培优沪科版（2024）
第3章 一次方程与方程组 3.1 方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下面说法正确的有（　　）个
①一条射线长8厘米．
②既是等式，又是方程．
③5的倍数一定是合数．
④圆柱有无数条高，圆锥只有一条高．
⑤公园植树101棵，成活100棵，成活率．
⑥求“长方体、正方体、圆柱”这几个立体图形的体积时，都可以用“底面积高”来计算．
A．2 B．3 C．4 D．5
2．下列方程中，方程的解为的是（　　）
A． B． C． D．
3．若的最小整数解是方程的解，则m的值为（　　）
A．2 B．1 C． D．
4．已知关于x的一元一次方程的解为，则的值为（　　）
A．8 B．7 C．6 D．5
5．如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2.若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　）.
A．（32-2x）（20-x）=570 B．32x+2×20x=32×20-570
C．（32-x）（20-x）=32×20-570 D．32x+2×20x-2x2=570
6．对于任意两个实数，给出以下两个运算法则：①；②，例如，．解决下列问题：已知正整数满足，且，关于这个四元方程下列说法：①，，，是该四元方程的一组解；②连续的四个偶数一定是该四元方程的解；③若，则该四元方程有7组解；正确的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．下列四个式子中，是方程的是（　　）
A． B． C． D．
8．在一个笼子里面放着几只鸡与几只兔，数了数一共有14个头，44只脚．问鸡兔各有几只？设鸡为x只得方程（　　）
A．2x+4（14－x）=44 B．4x+2（14－x）=44
C．4x+2（x－14）=44 D．2x+4（x－14）=44
9．《九章算术》中有一道题：今有人共买羊，人出七，不足三；人出八，盈十六，问人数、羊价几何？译文为：现在有若干人共同买一头羊，若每人出7钱，则还差3钱；若每人出8钱，则剩余16钱．求买羊的人数和这头羊的价格？设买羊的人数为x人，根据题意，可列方程为（　　）
A．7x+3＝8x+16 B．7x﹣3＝8x﹣16
C．7x+3＝8x﹣16 D．7x﹣3＝8x+16
10．在甲队工作的有272人，在乙处工作的有196人，如果乙处工作的人数是甲处工作人数的，应从乙处调多少人到甲处？若设应从乙处调x人到甲处，则下列方程中正确的是（　　）
A．272+x= （196－x） B． （272－x）=196－x
C． （272+x）='196+x' D． （272+x）=196－x
二、填空题
11．若关于x的方程的解是整数解，m是整数，则所有m的值加起来为　 　．
12．当x=　 　时，代数式 与 的值互为相反数．
13．若某一个正数的平方根是 和 ，则m的值是　 　．
14．已知Rt△ABC的两直角边分别是5、12，则Rt△ABC的内切圆的半径为　 　．
15．疫情期间，某工厂一生产车间获得150000只口罩的生产订单，加工60000 个口罩后，采用了新的生产工艺，效率调高到原来的2倍，任务完成后，发现比原计划少用了10小时.设采用新工艺之前每小时可生产口罩x个，依据题意可得方程　 　.
16．阅读材料：一个四位自然数的千位为，百位为，十位为，个位为，若关于的一元一次方程的解为，则称这个四位自然数为方程的“顺承数”．如：方程的解是所以2317就是方程的“顺承数”．判断5138　 　（填“是”或“否”）为某个方程的“顺承数”；方程的解是（且为整数），若是该方程的“顺承数”，交换的百位和个位数字得到新数，且能被3整除，则满足条件的的最大值与最小值之和为　 　．
三、计算题
17．已知关于x的方程与方程的解互为相反数，求的值．
四、解答题
18．小明今年12岁，他爸爸今年36岁，几年后爸爸的年龄是小明年龄的2倍？（列方程并估计问题的解）
19．水平放置的容器内原有210毫米高的水，如图，将若干个球逐一放入该容器中，每放入一个大球水面就上升4毫米，每放入一个小球水面就上升3毫米，假定放入容器中的所有球完全浸没水中且水不溢出．
（1）如果放1个大球、1个小球，水面高度达到____________毫米；只放入____________个大球时，水面高度会达到230毫米；
（2）仅放入6个大球后，开始放入小球．
①求放入多少个小球时，水面高度会超不出原高度48毫米；
②限定水面高不超过280毫米，最多能放入几个
20．关于、的方程组的解也是方程的解，求的值．
21．如果两个方程的解相差，且为正整数，则称解较大的方程为另一个方程的“—后移方程”．
例如：方程的解是，方程的解是
所以：方程是方程的“2—后移方程”．
（1）判断方程是否为方程的—后移方程________（填“是”或“否”）；
（2）若关于的方程是关于的方程的“2—后移方程”，求的值；
（3）当时，如果方程是方程的“—后移方程”．求代数式的值．
22．列方程解应用题：
（1）一个箱子，如果装橙子可以装18个，如果装梨可以装16个，现共有橙子、梨400个，而且装梨的箱子是装橙子箱子的2倍．请算一下，装橙子和装梨的箱子各多少个？
（2）一群小孩分一堆苹果，每人3个多7个，每人4个少3个，求有几个小孩？几个苹果？
（3）一架飞机在两城之间飞行，风速为24千米/时．顺风飞行需要2小时50分，逆风飞行需要3小时，求无风时飞机的速度和两城之间的航程．
23．某服装商场购进一批T恤，每件进价40元，出于营销考虑，要求每件售价不得低于40元且不得高于60元，在销售过程中发现该T恤每周的销售量 （件）与每件售价 （元）之间满足一次函数关系：当销售单价为44元时，销量是72件，当销售单价为48元时，销售量为64件.
（1）请直接写出 与 的函数关系式；
（2）当商场每周销售这种T恤获得350元的利润时，每件的销售单价是多少元？
（3）设该商场每周销售这种T恤所获得的利润为 元，将该T恤销售单价定为多少元时，才能使商场销售该T恤所获利润最大？最大利润是多少？
参考答案及试题解析
1．B
2．D
3．A
4．C
5．A
【解答】解：设道路的宽为xm，根据题意得：
(32 2x)(20 x)=570，
故答案为：A.
【分析】根据平移的性质可得： 草坪的长为(32-2x)，宽为(20-x)，然后根据矩形的面积=长×宽就可列出方程.
6．C
7．B
【解答】解：A、含有未知数但不是等式，则不是方程，不符合题意；
B、含有未知数且是等式，则是方程，符合题意；
C、含有未知数但不是等式，则不是方程，不符合题意；
D、是等式但不含有未知数，则不是方程，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据方程的定义：方程就是含有未知数（ 函数 ）的等式，据此逐项判断即可.
8．A
【分析】本题主要考查一元一次方程的应用。知鸡有一个头两只脚，兔有一个头四只脚，则由题意可得到鸡和兔共有14只，其等量关系为：鸡的脚数+兔的脚数=44只，根据此等式列方程即可．
【解答】设鸡为x只，则要鸡有2x只脚，兔有4（14-x)只脚，
根据等量关系列方程为
2x+4（14-x)=44，
故选A．
9．C
【解答】解：设买羊的人数为x人，
根据题意，可列方程为7x+3＝8x﹣16，
故答案为：C．
【分析】 若每人出7钱，则还差3钱；若每人出8钱，则剩余16钱 ，列方程求解即可。
10．D
【分析】首先理解题意找出题中存在的等量关系：（甲处原来工作的人+调入的人数)=乙处原来工作的人-调出的人数，根据此等量关系列方程即可．
【解答】设应从乙处调x人到甲处，则甲处现有的工作人数为272+x人，乙处现有的工作人数为196-x人．
根据“乙处工作的人数是甲处工作人数的，”
列方程得： （272+x)=196-x，
故选D．
11．
12．1
【解答】解：由题意得+=0，解得x=1，
故填1 ；
【分析】本题主要考查列方程解决问题，根据互为相反数的两数和为零这一等量关系列出方程是关键。
13．
【解答】∵正数a的平方根是 和 ，
，
，
故答案为： ．
【分析】根据平方根的性质可得关于m的方程，解方程即可求得答案.
14．2
15．
【解答】解：设采用新工艺之前每小时可生产口罩x个，则采用新工艺之后每小时可生产口罩2x个，
依题意，得： .
【分析】分别表示出采用新工艺前、后所用的时间，然后根据比原计划少用了10小时就可列出方程.
16．是；4146
17．5
18．解：设x年后爸爸的年龄是小明年龄的2倍，
根据题意得，36+x=2（12+x），
x=12．
【分析】设x年后爸爸的年龄是小明年龄的2倍，再根据x年后两人的年龄是2倍关系列出方程即可．
19．（1）217，5
（2）①8个；②15个
20．
21．（1）否
（2）
（3）15
22．（1）解：设装橙子的箱子x个，则装梨的箱子2x个，依题意有
18x+16×2x=400，
解得x=8，
2x=2×8=16．
答：装橙子的箱子8个，则装梨的箱子16个
（2）解：设有x个小孩，
依题意得：3x+7=4x﹣3，
解得x=10，
则3x+7=37．
答：有10个小孩，37个苹果
（3）解：设无风时飞机的航速为x千米/小时．
根据题意，列出方程得：
（x+24）× =（x﹣24）×3，
解这个方程，得x=840．
航程为（x﹣24）×3=2448（千米）．
答：无风时飞机的航速为840千米/小时，两城之间的航程2448千米
【分析】（1）根据梨和橙子与各自箱数分别相乘，相加为两者的总数，求出装梨和橙子的箱子数。
（2）利用两种分法的苹果数是相同的，列出方程求解出小孩数和苹果数。
（3）利用逆风和顺风的路程是相同的，列出方程求出速度，再利用速度和时间求出航程。
23．（1）解：设y=kx+b，
把（44，72）与（48，64）代入得：
解得： ，
则y=-2x+160
（2）解：设当饰品店每周销售这种饰品获得350元的利润时，每件饰品的销售单价是x元，
根据题意得：（x-40）y=350，即（x-40）（-2x+160）=350，
解得：x1=45，x2=75（不合题意舍去），
答：每件饰品的销售单价是45元
（3）解：
=
∵40≤ ≤60，
∴ 当 时， 最大，最大利润为800元。
答：每件产品的销售价为60时，商场销售该T恤获最大利润为800元。
【分析】（1）将售价与销售量的值代入一次函数，可得出一次函数值。
（2）列出利润=（售价-进价）×销售量，得出满足此利润的售价。
（3）列出总利润=（售价-进价）×销售量，销售量由第（1）问的函数关系式表示，可得出获得最大利润的销售价。
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