【章节考点培优】3.4二元一次方程组及其解法-2025-2026学年七年级上册数学沪科版（2024）（含答案解析）

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2025-2026学年七年级上册数学单元考点培优沪科版（2024）
第3章 一次方程与方程组 3.4 二元一次方程组及其解法
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在① +y=1；②3x-2y=1；③5xy=1；④ +y=1四个式子中，不是二元一次方程的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列各方程组中，是二元一次方程组的是（　　）
A． B． C． D．
3．某公司上半年生产甲、乙两种型号的无人机若干架，已知甲种型号无人机架数比总架数的一半多 11 架，乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少 2 架．设甲种型号无人机x 架，乙种型号无人机y 架，根据题意可列出的方程 组是（ ）
A． B．
C． D．
4．学校的篮球数比排球数的2倍少3个，篮球数与排球数的比是，求两种球各有多少个？若设篮球有x个，排球有y个，根据题意得方程组（　　）
A． B． C． D．
5．如果方程组 的解也是方程 的解，那么 的值是（　　）
A．1 B． C．-1 D．
6．已知是关于，的二元一次方程的一个解，则的值是（　　）
A．5 B．2 C． D．
7．如图，已知函数y＝x+1和y＝ax+3图象交于点P，点P的横坐标为1，则关于x，y的方程组 的解是（　　）
A． B． C． D．
8．四名学生解二元一次方程组提出四种不同的解法，其中解法不正确的是（　　）
A．由①得x=，代入② B．由①得y=，代入②
C．由②得y=，代入① D．由②得x=3+2y，代入①
9．已知是二元一次方程组的解，则的平方根为（　　）
A．2 B． C． D．
10．若甲数的3倍比乙数大7，设甲数为x，乙数为y，列出的二元一次方程为（　　）
A．3x+y=7 B．3x﹣y=7 C．3y﹣x=7 D．3y+x=7
二、填空题
11．已知方程，用含x的代数式表示y，即　 　．
12．关于 x，y 的方程组的解为，则①a2＋ b2　 　②关于 x，y 的方程组的解为　 　.
13．《孙子算经》中记载：“今有三人共车，二车空.二人共车，九人步.问人和车各几何 ”其大意是：今有若干人乘车，若每3人同乘一辆车，则最终剩余2辆空车；若每2人同乘一辆车，则最终剩下9人因无车可乘而步行，问有多少人，多少辆车 设有x辆车，y个人，则由题意可列方程组为　 　.
14．我国古代数学名著《张丘建算经》中有这样一题：一只公鸡值5钱，一只母鸡值3钱，3只小鸡值1钱，现花100钱买了100只鸡．若公鸡有8只，设母鸡有x只，小鸡有y只，可列方程组为　 　。
15．以为解的一个二元一次方程是　 　
16．已知点 C、D是线段AB上两点（不与端点A、B重合），点A、B、C、D四点组成的所有线段的长度都是正整数，且总和为29，则线段AB的长度为　 　 .
三、计算题
17．解方程组：
四、解答题
18．已知关于x、y的二元一次方程组 的解是 ，求关于a、b的二元一次方程组 的解.
19．七（1）班的56名学生决定利用节假日去镇江的五大景点当“小志愿者”，其中去“西津渡”景点的有27人，去“金山公园”的人数为x人，去“焦山”、“北固山”的人数都是y人，去“南山”的有6人．
（1）请列出关于x、y的等量关系式：______；
（2）若去“金山公园”的人数第二多，去南山的人数最少，求去“金山公园”的人数．
20．若关于 的二元一次方程组 的解满足 ，求出满足条件的 的所有正整数数值．
21．已知关于 的二元一次方程组
（1） 用含 的代数式表示 ．
（2） 用含 的代数式表示方程组的解．
22．如图，已知二次函数经过A，B两点，轴于点C，且点，，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是线段上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段的长度最大时，求点E的坐标．
（3）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
23． 把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它， 从而使问题得到简化， 这叫整体代换或换元思想，请根据上面的思想解决下面的问题：
若关于 的方程组 的解是 求 关于 的方程 组 的解．
参考答案及试题解析
1．B
【解答】由二元一次方程的定义可得：①、③共2个不是二元一次方程.
故答案为：B.
【分析】含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程，据此判断即可.
2．A
【解答】解：A：满足条件，符合题意；
B： 二元二次方程，不符合题意；
C： 是分式方程，不符合题意；
D：含有三个未知数，不符合题意．
故答案选：A．
【分析】二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程；二元一次方程组：两个二元一次方程结合在一起；根据定义判断即可．
3．B
4．D
5．A
【解答】解：解方程组 ，
解得： ，
把 代入 ，
得： ，
解得： ，
故答案为：A.
【分析】首先求出方程组的解，然后代入x+3y=12中就可求得k的值.
6．C
【解答】∵是关于x，y的二元一次方程x-2y＝m的一个解，
∴1-2×3＝m，
∴m＝-5，
故答案为：C
【分析】将代入二元一次方程x-2y＝m即可求m的值．
7．A
【解答】解：把x＝1代入y＝x+1，得出y＝2，
函数y＝x+1和y＝ax+3的图象交于点P（1，2），
即x＝1，y＝2同时满足两个一次函数的解析式.
所以关于x，y的方程组 的解是 .
故答案为：A.
【分析】将x＝1代入y＝x+1即可求出y的值，进而得出.
8．C
【解答】解：A、正确，符合等式的性质；
B、正确，符合等式的性质；
C、错误，应该是由②得y=，代入①；
D、正确，符合等式的性质．
故选C．
【分析】此题中四位同学均利用了代入法求方程组的解，需对四个答案进行逐一分析求解．
9．B
【解答】解：将代入，
可得：，
解得：，
∴2m-n=2×3-2=4，
∴4的平方根是±2，
故答案为：B.
【分析】先将代入，求出m、n的值，再求出的值，最后利用平方根的计算方法分析求解即可.
10．B
【解答】解：根据甲数的3倍比乙数大7，得方程3x﹣y=7．
故选B．
【分析】此题中的等量关系为：甲数的3倍比乙数大7．
11．
12．；；．
【解答】①将代入方程组得：，
(1)+(2)得：，
∴；
②方程组整理得：，
仿照已知方程组得：，
解得：，
故答案为：；．
【分析】①把方程组的解代入方程求出a2和b2的值，然后整体代入解题；
②运用换元法解二元一次方程组即可．
13．
【解答】解：设有x辆车，y个人，
，
故答案为：.
【分析】设有x辆车，y个人，根据题干"若每3人同乘一辆车，则最终剩余2辆空车"，据此列出第一个方程，然后再根据题干"若每2人同乘一辆车，则最终剩下9人因无车可乘"，据此列出第二个方程将两个方程联立即可求解.
14．
【解答】解：∵花了100钱，
∴5×8+3x+y=100.
∵买了100只鸡，
∴8+x+y=100，
∴方程组为.
故答案为：.
【分析】根据花了100钱可得5×8+3x+y=100；根据买了100只鸡可得8+x+y=100，联立即可得到方程组.
15．x+y=12
【解答】解：例如1×5+1×7=12；将数字换为未知数，得x+y=12．答案不唯一．
【分析】利用方程的解构造一个等式，然后将数值换成未知数即可．
16．8或9
【解答】解：如图，图中共有线段6条，分别为AC、CD、DB，AD、BC、AB，
由题意得：AC+CD+DB+AD+BC+AB=29，
∵AC+CD+DB=AB，AD=AC+CD，BC=CD+DB，
∴3AB+CD=29，
又∵所有线段的长度都是正整数，AB>CD ，
∴AB=8，CD=5或AB=9，CD=2，
即AB的长度为8或9，
故答案为：8或9.
【分析】根据题意画出图形，可得图中共有线段6条，分别是AC、CD、DB，AD、BC、AB，然后根据所有线段的和为29可得3AB+CD=29，再根据所有线段的长度都是正整数，AB>CD，利用二元一次方程的解进行解答即可.
17．解：
由①+②，可得：
3x=6，
解得：x=2，
将x=2代入①，可得：
2+y=5，
解得：y=3，
∴方程组的解集为
【分析】利用加减消元法的计算方法及步骤分析求解即可.
18．解：∵关于x、y的二元一次方程组 的解是 ，
∴关于a.b的二元一次方程组 满足 ，
解得 .
故关于a.b的二元一次方程组 的解是 .
【分析】由题意可得关于a、b的方程组满足a+b=1，a-b=2，求出a、b的值即可.
19．（1）
（2）去“金山公园”的人数为9人
20．解：由
①+②得
由
满足条件的 的所有正整数数值是
【分析】将m当作常数，利用加减消元法求出x、y的值，再代入不等式求解即可。
21．（1）解：
用①＋②得3x+y=7，
∴y=-3x+7；
（2）解：
①×2+②得5x=m+9，
解得，
用②×2-①得5y=8-3m，
解得
所以方程组的解为 ．
【分析】（1）用①＋②消去m可得关于字母x、y的二元一次方程，然后将含x的项及常数项放到方程的一边，未知数y的项放到方程的另一边即可；
（2）用①×2+②消去y可求出x的值，再用②×2-①消去x求出y的值，从而即可得出方程组的解.
22．（1）解：∵点，，
∴，，
∵，
∴，
把和代入二次函数中得：
，
解得：，
∴二次函数的解析式为：；

（2）解：如图1，∵直线经过点和，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为：，
∵二次函数，
∴设点，则，
∴，
∴当时，的最大值为，
∴点E的坐标为；
（3）解：存在，∵，
∴对称轴为直线，
设，分三种情况：
①点B为直角顶点时，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴；
②点A为直角顶点时，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴；
③点P为直角顶点时，由勾股定理得：，
∴，
解得：或，
∴或；
综上，点P的坐标为或或或．
【分析】（1）先求得点B的坐标，然后将点A和点B的坐标代入抛物线的y=x2+bx+c可得到关于b、c的方程组，求解得b、c的值，从而即可得到抛物线的解析式；（2）先利用待定系数法求出直线AB的解析式，根据点的坐标与图形性质，设点E（t，t+1），则F（t，t2-2t-3），用两点间的距离公式表示出EF，利用配方法可求得EF的最大值以及点E的坐标；
（3）存在，设P（1，m），分三种情况：分别以A，B，P为直角顶点，根据勾股定理及两点间的距离公式分别列方程，解方程即可.

23．解：，
由题意知
解得
原方程组的解为
【分析】对原方程组进行变形可得根据关于 的方程组 的解是 可得 进而解得方程组的解为
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