河南省漯河市临颍县三家店镇二中、实验中学联考2025届九年级下学期中考三模数学试卷（含答案）

2025年河南省漯河市临颍县三家店镇二中、实验中学联考中考三模数学试题
一、单选题
1．若=3，则的值是( )
A．－3 B．3 C． D．
2．我国自主研制的全球最大集装箱船“地中海泰莎”号的甲板面积近似于4个标准足球场，可承载吨的货物，数字用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
3．四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面得到的视图是（ ）

A． B． C． D．
4．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点F在上，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环2）如下表所示：
甲 乙 丙 丁
9 8 9 9
1.2 0.4 1.8 0.4
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．如图，点是四边形的边延长线上的一点，且，则下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
8．已知a是一元二次方程的较小的根，则下面对a的估值正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，等边的边长为，是和边上的一点，过作边的垂线，交于，设线段的长度为，的面积为，则与的函数图象正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，已知，，，，，，，，…，依此规律，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．要使分式有意义，则x需满足的条件是 ．
12．如图，在中，，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，若，则的度数是 ．
13．现有4种没有标签的无色溶液（蒸馏水、烧碱、稀盐酸、纯碱），任取其中两种滴加无色酚酞溶液（友情提示：酚酞遇蒸馏水、稀盐酸不变色，酚酞遇烧碱、纯碱变红色）颜色恰好都发生变化的概率是 ．
14．正方形的边长为，E为的中点，连接，过点作交于点，垂足为，则 ．
15．如图，等腰中，底边，点为的中点．将线段绕点旋转得对应线段，连接．旋转过程中，当时，的长为 ．
三、解答题
16．（1）
（2）化简：．
17．某洗车公司安装了，两款自动洗车设备，工作人员从消费者对，两款设备的满意度评分中各随机抽取20份，并对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级，不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息．
抽取的对款设备的评分数据中“满意”包含的所有数据：
83，85，85，87，87，89；
抽取的对款设备的评分数据：
68，69，76，78，81，84，85，86，87，87，87，89，95，97，98，98，98，98，99，100．

抽取的对，款设备的评分统计表
设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比
88 96 45%
88 87 40%
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：_______，_______，_______；
(2)5月份，有600名消费者对款自动洗车设备进行评分，估计其中对款自动洗车设备“比较满意”的人数；
(3)根据以上数据，你认为哪一款自动洗车设备更受消费者欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）．
18．如图，平行四边形的顶点为网格线的交点，反比例函数的图象过格点，．
(1)求反比例函数的表达式．
(2)将沿所在直线平移，使得点与点重合，画出平移后的．
(3)请直接写出四边形的面积．
19．下面是小红学习了“分式方程的应用”做的课堂学习笔记：
题目：小明和同学一起去书店买书，他们先用元买了一种科普书，又用元买了一种文学书，科普书的单价比文学书高出一半，他们所买的科普书比所买的文学书少一本．这种科普书和这种文学书的单价各是多少元？
方法 分析问题 列出方程
解法一 设…… 等量关系：所买的文学书数量所买的科普书数量
解法二 设…… 等量关系：科普书单价文学书单价
(1)请根据笔记内容选择上面两个方程中的一个进行解答，并解释所选方程中x所表示的含义；
(2)若小明所在的学校图书室计划用不超过1200元的资金购进两种书共200本，最多购进科普书多少本？
20．具有河南十大地标的“中国文字博物馆”位于安阳市，是我国第一座以文字为主题的博物馆，整个建筑风格既有现代时尚气息，又充满殷商宫廷风韵，其大门取甲骨文、金文中“字”字之形．某数学兴趣小组在学习了“解直角三角形”之后，开展了一次测量中国文字博物馆大门高度的课外实践活动，甲、乙两个小组分别设计了如下方案：
课题：测量大门高度
小明的研究报告 小红的研究报告
测量 示意图
测量方案与测量 在点处用距离地面高度为的测角仪测出大门顶端的仰角 在点处放一面镜子，他站在的位置通过，镜子反射刚好看到大门顶端处，同时他还测自己眼睛到地面的距离是，他到大门的距离是，
参考数据 ，，， ，，，
计算大门高度
(1)数学老师看了他们的测量方案后说：“其中一名同学的测量方案存在问题，不能得到测量结果．”你认为 的测量方案存在问题，并提出修改建议．
(2)结合小红的测量方案能计算出中华文字博物馆大门的高度吗？若能，请写出计算过程，并将结果精确到0.1米；若不能，请说明理由．
21．阅读与思考
在学习《直线与圆的位置关系》时，老师布置了一道课后探究题：
已知外一点P（图1），你能用尺规过点作的切线吗？你有几种方法？
小聪同学积极探索作图方法，并且进行了原理说明和总结反思，以下是他的探索过程，请你仔细阅读，并完成相应的任务：
【题目分析】 先画草图，发现若是的切线，则，所以解决此问题的关键是构造一个直角，即在上找一点使． 【作法展示】 ①连接并延长，交于，两点，（如图2） ②以点为圆心，长为半径画弧，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点． ③连接，交于点． ④作直线．直线就是所求作的的切线． 【原理说明】 证明：如图，连接， 由作法可得，，， ∴为等腰三角形， 又∵， ∴． ∴（ ）（填写依据） 又∵点在上，．直线是的切线． 【总结反思】 对于较复杂的尺规作图可以按照如下步骤解决： ①先画草图；②借助草图，从结论出发，逆向探究，联想相关知识，思考作法；③利用尺规，按照作法，画出正确图形；④写出结论． 我们不仅要会作图还要知道为什么要这样作图，即实施这些步骤的理由是什么．并且从不同的知识出发可以得到不同的作法，例如本题还可以利用“直径所对的圆周角是直角”得到另一种作法．
任务：
(1)上述材料【原理说明】中的依据是________；
(2)如图，在图的基础上，在上取一点（不与点，重合），连接，，若，求的度数；
(3)请同学们根据小聪的【总结反思】尝试在图1中用尺规过点作出的一条切线．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
22．阅读理解：如图，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试判断，，之间的等量关系．
(1)解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点，易证≌，得到，从而把，，转化在一个三角形中，即可判断，，之间的等量关系为______；
(2)问题探究：如图，在四边形中，，与的延长线交于点，点是的中点，若是的平分线，试探究，，之间的等量关系，并证明你的结论；
(3)问题解决：如图，，与交于点，：：，点在线段上，且，试判断，，之间的数量关系，直接写出你的结论．
23．数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性、形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题．
同学们，请你结合所学的数学解决下列问题．
在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数（实数为常数）的图象为图象．
(1)求证：无论取什么实数，图象与轴总有公共点；
(2)是否存在整数，使图象与轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．D
∵，=3
∴
故选D．
2．A
解：．
故选：A．
3．D
从正面看第一层是个小正方形，第二层右边个小正方形，
故选：D．
4．A
解：
故选：A．
5．D
∵AB∥DE，∠D=45°，
∴∠1=∠D=45°．
∵∠1=∠A+∠DFA，∠A=30°，
∴∠DFA=∠1 ∠A=15°．
∵∠DFA+∠EFC=90°．
∴∠EFC=90° ∠DFA=90° 15°=75°．
故选：D．
6．D
解：，
由四人的10次射击成绩的平均数可知淘汰乙；
，
由四人的10次射击成绩的方差可知丁的射击成绩比较稳定；
故选：D．
7．C
解：A、，
，
又，
四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
B、∵，
，
又，
四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
C、不能判断四边形是平行四边形，故本选项符合题意；
D、∵，
∴，
，
，
，
四边形是平行四边形，故本选项不符合题意．
故选：C．
8．A
解：，
∴，
∴，
∵a是较小的根，
∴，
∵，
∴，
∴，即：；
故选A．
9．C
解：当时，，
当时，，，
，
综上所述，函数图象在时，是开口向上的抛物线的一部分，当时是开口向下的抛物线的一部分，
故选：C．
10．B
解：∵，，，，，，，…，，
∴可知个点坐标的纵坐标为一个循环，的坐标为，，
∵，
∴的坐标为．
故选：B．
11．
解：∵分式有意义，
∴
∴，
故答案为：．
12．72°
∵AC=BC，
∴∠B=∠BAC，
∵∠C=36°，
∴∠B=∠BAC=，
∵根据题意可知AD平分∠BAC，
∴∠DAC=∠BAC=，
∴∠ADB=∠DAC+∠C=，
故答案为：．
13．
解：蒸馏水、烧碱、稀盐酸、纯碱分别记为，画树状图如下：

∵颜色恰好都发生变化的是取到的情况有两种，共有12种等可能情况，
∴颜色恰好都发生变化的概率是，
故答案为：
14．
解：正方形的边长为，E为的中点，
，，DE＝2，
，
，
∴∠CGF＝90°，
，
，
≌（AAS），
，，
，
，
，
，
，
∴EG＝CE－CG＝，
故答案为：．
15．或
解：如图所示，过点作，
∵等腰中，
∴，则，
∴，
∴
，
点为的中点，
．
当时，分类讨论如下：
当在内部时，如图，点与边中点重合，
由中位线定理可知，此时；
当在之外，如图2，
，
，
，
，
为等边三角形，
，，
又，
，在中，．
故答案为：或．
16．（1）
（2）
解：（1）
；
（2）
．
17．(1)15，88，98
(2)90
(3)款，理由：评分数据中款的中位数比款的中位数高（答案不唯一）
（1）解：抽取的对款设备的评分数据中“满意”的有6份，
“满意”所占百分比为：，
“比较满意”所占百分比为：，
，
抽取的对款设备的评分数据中的中位数是第10份和第11份数据的平均数，
“不满意”和“满意”的评分有（份），
第10份和第11份数据为“满意”，评分分别为87，89，
，
抽取的对款设备的评分数据中出现次数最多的是98，
，
故答案为：15，88，98；
（2）解：600名消费者对款自动洗车设备“比较满意”的人数为：（人），
答：600名消费者对款自动洗车设备“比较满意”的人数为90人．
（3）解：款自动洗车设备更受欢迎，
理由：评分数据中款的中位数比款的中位数高（答案不唯一）．
18．(1)
(2)见解析
(3)30
（1）解：由图知．
反比例函数经过点，
．
反比例函数的表达式为．
（2）解：依题意，如图所示．
（3）解：结合网格特征得出，
∴四边形是矩形，
则，，
四边形的面积是．
19．(1)见解析，解法一中x的含义是文学书的单价，解法一中x的含义是文学书的数量；
(2)80本
（1）解：解法一：设文学书的价格为x元，科普书的价格为元，
由题意得，，
解得：，
经检验是原分式方程的解，且符合题意，
则科普书的价格为：（元）．
答：文学书的价格为5元，科普书的价格为元；
由上述过程可知，所选方程中x所表示的含义是文学书的价格；
解法二：设购买文学书x本，科普书的价格为元，
由题意得，，
解得：，
经检验是原分式方程的解，且符合题意，
则科普书的价格为：（元）．
文学书的价格为：（元）．
答：文学书的价格为5元，科普书的价格为元；
由上述过程可知，所选方程中x所表示的含义是文学书的数量；
（2）解：设购买科普书m本，则购买文学书本，
则有，
解得，．
答：最多购进科普书本．
20．(1)小明
(2)能，理由见详解
（1）解： 小明测量数据缺少测角仪与大门的距离，
小明的测量方案存在问题，
修改建议：在方案中加上“测量出测角仪与大门的距离为____m，”即可；
故答案为：小明；
（2）解：能．
作出线段，，
由题意，知，，，
设
在中，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，，，，
，
解得，
答：中华文字博物馆大门的高度约为．
21．(1)等腰三角形的“三线合一”
(2)
(3)作图见解析
（1）解：上述材料【原理说明】中的依据是：等腰三角形的“三线合一”，
故答案为：等腰三角形的“三线合一”；
（2）由（1）知：，，，
∴，，
∴，
∴；
（3）作的垂直平分线，交于点，以点为圆心，以为半径作，交于点，连接，
由作图可知，为的直径，
∴，
∵点在上，
∴直线是的切线，
则直线即为所作．
22．(1)
(2)，证明见解析
(3)
（1）解：如图①，延长交的延长线于点，
，
，
是的中点，
，
在和中，
，
，
，
是的平分线，
，
，
，
，
故答案为：；
（2），
证明：如图②，延长交的延长线于点，
是的中点，
，
，
，
在和中，
，
，
，
是的平分线，
，
，
，
，
，
；
（3），
证明：如图③，延长交的延长线于点，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
．
23．(1)见解析
(2)或或或
（1）解：当时，，函数为一次函数，此时，令，则，解得，
∴一次函数与轴的交点为；
当时，，函数为二次函数，
∵，
∴
，
∴当时，与轴总有交点，
∴无论取什么实数，图象与轴总有公共点；
（2）解：当时，不符合题意，
当时，对于函数，
令，则，
∴，
∴或
∴或，
∵，整数，使图象与轴的公共点中有整点，即为整数，
∴或或或或或或或，
解得或或（舍去）或（舍去）或或或（舍去）或（舍去），
∴或或或．