《培优卷》——第三单元倍数与因数（含解析）-2025-2026学年五年级上册数学（北师大版）

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《培优卷》——第三单元倍数与因数（单元测试）-2025-2026学年五年级上册数学（北师大版）
一、单选题
1．下面四个数中，(　　)是质数
A．1 B．9 C．14 D．19
2．三个连续的自然数都是合数，它们可以是（　　）。
A．3，4，5 B．8，9，10 C．11，12，13
3．长方形的长和宽都是质数，那么它的周长一定是(　　)。
A．质数 B．合数
C．既不是质数，也不是合数 D．无法确定
4．有两个不同的质数的和是14，它们的积是（　　）
A．33 B．24 C．13 D．45
5．两个自然数，个位上的数字相同，它们的差一定是（　　）的倍数。
A．3 B．4 C．2和5
6．在4、6、7、9这四个数中，两个数是互质数的有（　　）组。
A．2 B．3 C．4 D．5
7．如果三位数□42是3的倍数，那么□里可能是（　　）。
A．3，6，9 B．2，5，8 C．1，4，7
8．某个七位数 1993□□□能够同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么它的最后三位数字是(　　)
A．135 B．345 C．320 D．325
二、判断题
9．2.5÷5=0.5，可以说2.5是5的倍数。（　　）
10．一个大于0的自然数，不是质数就是合数。（　　）
11．一个数的最大因数和最小倍数都是它本身．（　　）
12．任何自然数都至少有2个因数。（　　）
13．在自然数中，除了质数以外都是合数。（　　）
14．因为85>75，所以85的因数比75的因数多。（　　）
15．所有的合数都是偶数。（　　）
16．除了2以外，任何一个质数加上1所得的数一定是2的倍数。(　　)
三、填空题
17．□56□是一个四位数，它既是3的倍数，也是5的倍数。这个数最大是　 　，如果还是2的倍数，这个数最大是　 　。
18． 两个质数的和是60，积是851，这两个质数分别是　 　和　 　。
19．用3个10以内的不同质数组成一个三位数，使它既是3的倍数，又有因数2。这个数最大是　 　
20．从0、1、2、3这四张数字卡片中任选两张能摆出　 　个质数。
21．（质数）两个不同质数的积的约数有　 　个。
22．用0、4、5这三个数字，组成是5的倍数的三位数有　 　，组成是3的倍数的最小三位数是　 　。
23．在1﹣10各数中，质数有　 　，在11﹣20各数中，合数有　 　．
24．小新将数字1到6排列成三个两位数，且三个数的和是93。其中只有一个数是3的倍数，也只有一个数是4的倍数，没有5的倍数。既不是3的倍数又不是4的倍数的数是　 　。
25．在0、1、7、8中选出3个数字，组成一个能同时被3、5整除的最小三位数是 　 　。
四、操作题
26．小宇帮妈妈看商店，小玲去该店买了一些修正带和水彩笔，付了100元，小宇说应找回37元。按照下面的价格，小宇说得对吗？为什么？
五、解决问题
27．五(1)班同学分组做游戏，按3人一组或5人一组分，都正好分完。已知五(1)班同学的人数在40人至 50 人之间，五(1)班有多少名同学？
28．有48个同学排队，要求每列的人数相同，请问有多少种排法
29．数学课上，李老师在筐里放了36个苹果，让静文去拿。不许一次拿完，也不许一个一个地拿，要每次拿的个数相同，拿到最后正好一个不剩。共有多少种拿法 每种拿法各拿多少次？
30．学校会议室长15米，宽9米。现在准备重新换地砖，有两种规格的正方形地砖(如图所示)，选哪种地砖不用切割就能恰好铺满地面 这种方砖至少要买多少块
31．有0、1、4、7、9五个数字，从中选出四个数字，组成不同的四位数，如果把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来，第五个数是几？（注意：90%的同学会做错）
32．妈妈买了一些康乃馨和郁金香，店员找给妈妈的钱对吗？请说明理由。
33．4只同样的瓶子内分别装有一定数量的油．每瓶和其他各瓶分别合称一次，记录千克数如下：8，9，10，11，12，13。已知4只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数，求最重的两瓶内有多少油？
34．一个两位数有6个约数，且这个数最小的3个约数之和为10，那么此数为几？
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：A项：1既不是质数，也不是合数；
B项：9是合数；
C项：14是合数；
D项：19是质数。
故答案为：D。
【分析】一个数只有1和它本身两个因数，这个数就是质数；一个数除了1和它本身两个因数，还有别的因数，这个数就是合数。
2．【答案】B
【解析】【解答】解：A：3，5的质数，4是合数；
B：8，9，10都是合数；
C：11，13是质数，12是合数。
故答案为：B。
【分析】质数是只有1和本身两个因数的数；合数是除了1和本身外还有其它因数的数。
3．【答案】B
【解析】【解答】解：周长=(长+宽)×2，
所以周长一定为合数。
故答案为：B
【分析】 质数是指在大于 1 的自然数中，除了 1 和它自身外，不能被其他自然数整除的数；合数是指自然数中除了能被 1 和本身整除外，还能被其他数（0 除外）整除的数。再根据长方形周长公式，分析长和宽都是质数时周长的性质。
4．【答案】A
【解析】【解答】14=3+11，
3×11=33。
故答案为：A。
【分析】根据题意可知，先将14分成两个质数的和，也就是14=3+11，然后用乘法求出这两个质数的积，据此列式解答。
5．【答案】C
【解析】【解答】解：两个自然数，个位上的数字相同，它们的差一定是2和5的倍数。
故答案为：C。
【分析】两个自然数，个位上的数字相同，说明它们的差的个位上的数字一定是0，个位上的数字是0的数一定是2和5的倍数。
6．【答案】C
【解析】【解答】在4、6、7、9这四个数中，两个数是互质数的有4和7、
6和7、
7和9、
4和9.
故答案为：C
【分析】根据质数与互质数的定义，即可解答。
7．【答案】A
【解析】【解答】解：4＋2=6
6＋3=9
6＋6=12
6＋9=15，这些数都是3的倍数，所以□里可能是3、6、9。
故答案为：A。
【分析】一个数各个数位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
8．【答案】C
【解析】【解答】解： 能被2和5整除个位为0，能被9整除所有数字之和可以被9整除，
故十位，百位上的数字之和为5或14，
故后三位可能形式为050，140，230，320，410，500，590，680，770，860，950，
能被4整除的后三位数也能被4整除，能被8整除的，后三位必能被8整除，
可排除其它，只剩下320，680，
在考虑能被7整除，验证只有320满足条件。
故答案为：C。
【分析】 本题是考查能被2、3、4、5、6、7、8、9整除的数的特征．关键是根据能被2、5的数据特征确定个位，再根据能被9整除的数的特征确定十位和百位上的数，再用排除法排除不符合条件的。
9．【答案】错误
【解析】【解答】解：因数和倍数都是在整数范围内，原题说法错误。
故答案为：错误
【分析】整数a除以整数b(a、b都不为0)，如果能整除a就是b的倍数，b就是a的因数。
10．【答案】错误
【解析】【解答】解：1大于0，但它既不是质数也不是合数。原题说法错误。
故答案为：错误。
【分析】质数的意义：一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；
合数的意义：一个自然数，如果除了1和它本身还有其他的因数，这样的数叫做合数。
11．【答案】正确
【解析】【解答】解：一个数的最大因数和最小倍数都是它本身。原题说法正确。
故答案为：正确。
【分析】一个数的最小因数是1，最大因数是它本身；一个数的最小倍数是它本身，没有最大的倍数。
12．【答案】错误
【解析】【解答】解：自然数1只有1个因数。原题说法错误。
故答案为：错误。
【分析】大于1的自然数都至少有2个因数，1只有1个因数。
13．【答案】错误
【解析】【解答】解：在自然数中（0除外）中，除了质数以外还有合数和1。
故答案为：错误。
【分析】非0的自然数包括：质数、合数、1。
14．【答案】错误
【解析】【解答】85=1×85=5×17，有4个因数；
75=1×75=3×25=5×15，有 6个因数；
85的因数比75的因数少，原题说法错误。
故答案为：错误。
【分析】求一个数的因数的方法最简单的就是用除法，用这个数连续除以1，2，3，……，除到它本身为止，能整除的就是它的因数，分别求出85和75的因数，再比较数量。
15．【答案】错误
【解析】【解答】解：例如9、15、25等这些奇数也是合数，原题说法错误.
故答案为：错误
【分析】合数是除了1和本身外还有其它因数的数，合数可能是偶数也可能是奇数.
16．【答案】正确
【解析】【解答】解：因为1是奇数，且除2外的质数也一定是奇数，奇数+奇数=偶数，偶数是2的倍数，所以原题干说法正确。
故答案为：正确。
【分析】质数：一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）；
奇偶数：整数中，是2的倍数的数叫作偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫作奇数；奇数+奇数=偶数，据此可以判断。
17．【答案】8565；7560
【解析】【解答】解：□56□是一个四位数，它既是3的倍数，也是5的倍数。个位撒花姑娘必须是0或5，8＋5＋6＋5=24，这个数最大是是8565；7＋5＋6=18，如果还是2的倍数，这个数最大是7560。
故答案为：8565；7560。
【分析】个位上是0或5，并且各个数位上的数的和是3的倍数，这个数同时是3和5的倍数；
个位上是0、2、4、6、8，并且各个数位上的数的和是3的倍数，这个数同时是2和3的倍数。
18．【答案】23；37
【解析】【解答】解：两个质数的和是60， 60 以内的质数有 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59， 其中和是60的有7和53， 13和47， 17和43， 19和41， 23和37， 29和31， 其中积是851的只有23和37，所以这两个数分别是23和37。
故答案为：23；37。
【分析】质数的定义是在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数；由于要找的数在60以内，所以先列出60以内的所有质数，从列出的质数中找出两两相加等于60，且两两相乘积为851的组合，从而确定符合条件的两个质数。
19．【答案】732
【解析】【解答】解：10以内的质数有2、3、5、7，
732既是3的倍数，又有因数2。是最大的三位数。
故答案为：732。
【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；同时是2、3的倍数的数的特征是这个数个位上的数字是偶数，所有数位上的数字之和是3的倍数。
20．【答案】3
【解析】【解答】解：从0、1、2、3这四张数字卡片中任选两张能摆出的数有：10、12、13、20、21、23、30、31、32，质数有13、23、31，共3个。
故答案为：3。
【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数。
21．【答案】4
【解析】【解答】解：设这两个质数为A，B，根据质数的定义可知它们积的因数有：A×B、A、B、1，共4个。
所以两个不同质数的积的约数有4个。
故答案为：4。
【分析】两个质数的积的最小因数是1，最大因数是这两个数的积，还有这两个质数也是积的因数。
22．【答案】405，450，540；405
【解析】【解答】解：组成是5的倍数的三位数有：540、450、405；
组成是3的倍数的最小三位数是：405。
故答案为：540、450、405；405。
【分析】个位上是0或者5的数是5的倍数；一个数各个数位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
23．【答案】2，3，5，7；12，14，15，16，18，20
【解析】【解答】解：在1﹣10各数中，质数有：2，3，5，7；在11﹣20各数中，质数有11，13，17，19，其余都为合数：12，14，15，16，18，20；
故答案为：2，3，5，7；12，14，15，16，18，20．
【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数，如果除了1和它本身还有其它因数，这样的数叫做合数；据此可以采用一一列举再排除的方法解答．解答此题关键是理解质数和合数的含义，掌握判断一个数是质数还是合数的方法．
24．【答案】23
【解析】【解答】解：首先，我们知道1+2+3+4+5+6=21，如果将这六个数组成三个两位数，总和为93，那么每个两位数的平均值约为31。根据题目条件，我们可以尝试组合数来满足题目要求。因为没有一个数是5的倍数，所以个位数不可能为5或0。又因为只有一个数是3的倍数和只有一个数是4的倍数，我们可以开始排列组合这些数。
一个可能的组合是：12，36，和45。但是，45既是3的倍数也是5的倍数，因此不满足条件。我们需要重新组合。
另一个可能的组合是：15，24，和36。15是3和5的倍数，所以不满足条件。再次重新组合。
最后，我们找到一个满足所有条件的组合：16，23，和54。其中16是4的倍数，54是3的倍数，23既不是3的倍数也不是4的倍数，且三个数相加等于93。
故答案为：23。
【分析】一个数各个数位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数；
一个整数末尾两位数是4的倍数，这个数就是4的倍数；
本题的关键在于理解并应用3和4的倍数的特性，同时利用排列组合的思路，通过尝试不同的组合来找到满足题目所有条件的数。
25．【答案】180
【解析】【解答】解：3的倍数的特点：各位上的数的和是3的倍数。
5的倍数的特点：个位上是0、5
【分析】5的倍数，个位上只能是0、5，在几个数字中，只能选择个位是0的三位数，符合3的倍数，再从1、7、8中，选出两个数字，加起来是3的倍数的，可以是1、8，页可以是7、8，题目要求是最小的三位数，那么只能是180。
26．【答案】解：小宇说得不对，修正带和水彩笔的单价是5的倍数，100也是5的倍数，所以找回的钱应该是5的倍数，而37不是5的倍数，所以小宇说得不对。
【解析】【分析】找回的钱应该是5的倍数，而37不是5的倍数，所以小宇说得不对。
27．【答案】解：40~50 之间是5的倍数的数有 40、45、50，其中只有 45是3的倍数，所以五(1)班有45 名同学。
【解析】【分析】先写出40~50 之间是5的倍数的数，并且这个数还得是3的倍数，只有45符合，则五(1)班有45 名同学。
28．【答案】解：1×48、2×24、3×16、4×12、6×8、8×6、12×4、16×3、24×2、48×1一共10种排法答：一共有10种排法
【解析】【分析】找因数可以一对一对地找，从小到大按顺序找
29．【答案】解：36=2×18=3×12=4×9=6×6
符合的36的因数有：2，3，4，6，9，12，18。
答：共有7种拿法， 每次拿2个拿18次， 每次拿3个拿12次， 每次拿4个拿9次， 每次拿6个拿6次， 每次拿18个拿2次， 每次拿12个拿3次， 每次拿9个拿4次。
【解析】【分析】找到能被26整除的数有多少个，即36的因数有多少，就是多少种拿法；注意1和36除外；据此解答。
30．【答案】解：15米=150分米，9米=90分米，
150不是8的倍数，所以要用边长是6分米的地砖，
（150×90）÷（6×6）
=13500÷36
=375（块）
答：选边长6分米的地砖不用切割就能恰好铺满地面，这种方砖至少要买375块。
【解析】【分析】因为不用切割，所以会议室的长和宽一定是地砖边长的倍数，根据倍数的知识确定地砖的种类。用会议室的面积除以每块地砖的面积即可求出需要地砖的块数。
31．【答案】解：因为0+1+4+7+9=21，21能被3整除，所以从中去掉0或9选出的两组四个数字组成的四位数能被3整除，即0，1，4，7或1，4，7，9两种组合情况；
第一种情况：1047、1074、1407、1704、1470、1740、4017、4071……
第二种情况：1479、1497、1749、1794、1947、1974、……
其中最小的五个数字从小到大排列起来是1047<1074<1407<1470<1479。
答：第五个数是1479。
【解析】【分析】3的倍数的特征：如果一个数的各个数位上数字之和是3的倍数，则这个数也是3的倍数；
从小到大排列即要从最小的找起，第五个数即是找其中最小的五个数排列，因此根据组成的四位数中找出最小的五个数排列即可解答。
32．【答案】答：找的钱数不对。因为康乃馨10一枝，郁金香5元一枝，都是5的倍数，妈妈付的50元也是5的倍数，所以找回的钱也应该是5的倍数，而13不是5的倍数，所以找回的钱不对。
【解析】【分析】个位上是0或5的数是5的倍数，据此可以解答。
33．【答案】解：由于每只瓶都称了三次，因此记录数据之和是4瓶油（连瓶）重量之和的3倍，即4瓶油（连瓶）共重（8+9+10+11+12+13）÷3=21 （千克）
而油重之和及瓶重之和均为质数，所以它们必为一奇一偶，由于2是唯一的偶质数，只有两种可能：
（1） 油重之和为19千克，瓶重之和为2千克，每只瓶重 千克，最重的两瓶内的油为 （千克），
（2）油重之和为2千克，瓶重之和为19千克，每只瓶重 千克，最重的两瓶内的油为 （千克），这与油重之和 2千克矛盾。
因此最重的两瓶内共有 12 千克油。
【解析】【分析】因为每瓶油都称3次，所以4瓶油的质量之和是3的倍数，经过计算，4瓶油（连瓶）计算得出的结果是合数，而且4只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数，所以它们必为一奇一偶，由于2是唯一的偶质数，只有两种可能：
第一种： 油重之和为19千克，瓶重之和为2千克；
第二种：油重之和为2千克，瓶重之和为19千克。
然后得到两种情况下最重的两瓶内油的重量。
34．【答案】解：最小的三个约数中必然包括约数1，除去1以外另外两个约数之和为9，由于9是奇数，所以这两个约数的奇偶性一定是相反的，其中一定有一个是偶数，如果一个数包含偶约数，那么它一定是2的倍数，即2是它的约数。于是2是这个数第二小的约数，而第三小的约数是7，所以这个两位数是14的倍数，由于这个两位数的约数中不含3、4、5、6，所以这个数只能是14或98，其中有6个约数的是98。
答：此数是98。
【解析】【分析】一个数最小的约数是1，最大的约数是它本身。先确定这个两位数最小的约数1，然后确定另外两个较小的约数之和是9；根据“奇数+偶数=奇数”可以得到这两个约数中一定有一个约数是2，那么另外一个较小的约数就是7。前三个约数的积是14，那么这个两位数一定是14的倍数。然后从14的两位数倍数中找出6个约数的数即可。
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