【章节考点培优】1.6有理数的乘法-2025-2026学年七年级上册数学沪科版（2024）（含答案解析）

/ 让学习更有效 新课备课备考 | 数学学科
2025-2026学年七年级上册数学单元考点培优沪科版（2024）
第1章 有理数 1.6 有理数的乘方
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．截至2023年底，我国森林面积约为3465000000亩，森林覆盖率达到24.02%．将数字3465000000用科学记数法表示为 （　　）
A．0.3465×109 B．3.465×109 C．3.465×108 D．34.65×108
2．火星围绕太阳公转的轨道半长径为230000000km．将230000000用科学记数法表示为（　　）
A．23×107 B．2.3×108 C．2.3×109 D．0.23×109
3．钓鱼岛是钓鱼岛列岛的主岛，是中国固有领土，位于中国东海，面积4 384 000 m2，将这个数据用科学记数法可表示为（　　）
A．4.384×106m2 B．43.84×105m2
C．0.4384×107m2 D．4384×103m2
4．云浮市图书馆有图书约为6700000，用科学记数法表示6700000正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．若|m+2|+（n-1）2=0，则m+2n的值为（　　）
A．－5 B．－1 C．0 D．4
6．若x是有理数，则x2+1一定是（　　）
A．等于1 B．大于1 C．不小于1 D．不大于1
7．国家统计局网站公布，我国2022年全年完成造林面积约为3830000公顷．数据3830000用科学记数法可以表示为（　　）
A．383×104 B．38.3×105 C．3.83×106 D．0.383×107
8．（﹣2）3的值是（　　）
A．﹣5 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣9
9．苏步青来自“数学家之乡”，为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约 218 000 000公里的行 星 命名为“苏步青星”，数 据218000 000 用科学记数法表示为（　　）
A．0.218×10° B．
C．21.8×101 D．
10．已知，，，则的值为（　　）
A．10或 B．10或4 C．或4 D．或
二、填空题
11．“长征是宣言书，长征是宣传队，长征是播种机”．二万五千里长征是中国历史上的伟大壮举，也是人类史上的奇迹．将25000用科学记数法可表示为　 　．
12．今年4月上旬广西柳州市区248000株洋紫荆树进入盛花期，吸引许多民众驻足观赏，将数248000用科学记数法表示为　 　．
13．若实数满足，则代数式的值是　 　．
14．规定一种新运算：，如：，请比较大小：　 　（填“＜”、“＝”或“＞”）．
15．用科学记数法表示-5259000=　 　 ；用科学记数法表示5259000≈ 　 　（精确到万位）
16．求 的值，可令 ，则 ，因此 .仿照以上推理，计算出 的值为　 　.
三、计算题
17．计算：
（1）；
（2）
四、解答题
18．已知与互为相反数，与互为倒数，是到原点距离为3的数，是最大的负整数．求的值．
19．若xn＝3，yn＝4，求（2xn）2 2yn的值．
20．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，|x﹣1|＝2，求+（a+b）x﹣|x|的值．
21．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．如：．
（1）求的值；
（2）若，求a的值．
22．（1）根据是非负数，且非负数中最小的数是0，解答下列问题．
①取何值时，的值最小，最小值是多少？
②取何值时，的值最大，最大值是多少？
（2）已知若，则，即，若，则，即，如果、、是有理数，且，时，求的值．
23．如图，数轴上A点表示数a，B点表示数b，表示A点和B点之间的距离，且a、b满足．
（1）求 A和B 两点之间的距离；
（2）若在数轴上存在一点C，且，求 C点表示的数；
（3）若在原点 O处放一挡板（忽略挡板的厚度），一小球甲从点A处以 1 个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点 B 处以2个单位/秒的速度 也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒）；
①分别表示甲、乙两小球到原点的距离（用t表示）；
②求甲、乙两小球到原点的距离相等时经历的时间．
参考答案及试题解析
1．B
【解答】解：将数字3465000000用科学记数法表示为： 3.465×109.
故答案为：B.
【分析】用科学记数法表示较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此可求解.
2．B
【解答】解：230000000=2.3×108．
故答案为：B．
【分析】利用科学记数法的定义及书写要求求解即可。
3．A
【解答】解：4 384 000 m2，将这个数据用科学记数法可表示为4.384×106m2
故答案为：A
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数.
4．D
5．C
【分析】根据非负数的性质列式求出m、n的值，然后代入代数式进行计算即可求解．
【解答】根据题意得，m+2=0，n-1=0，
解得m=-2，n=1，
∴m+2n=-2+2×1=0．
故选C．
【点评】本题考查了绝对值非负数，平方数非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．
6．C
【解答】∵x是有理数，
∴x2一定是非负数，
∴x2+1一定是不小于1．
故选C．
【分析】根据平方的定义可知若x是有理数，则x2一定是非负数，所以可推出x2+1一定是不小于1．此题主要考查了平方的性质，一个数的平方一定大于或等于0．
7．C
【解答】解：3830000=3.83×106.
故答案为：C
【分析】根据科学记数法的表示形式为：a×10n，其中1≤|a|＜10，此题是绝对值较大的数，因此n=整数数位-1.
8．C
【解答】解：∵3是奇数，
∴（﹣2）3的结果为负数.
∵23=8，
∴（﹣2）3=﹣8.
故答案为：C.
【分析】先确定出幂的符号，再求出23的值即可.
9．B
【解答】解：将218000000用科学记数法表示为2.18×108．
故答案为：B．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
10．B
11．
12．2.48×105
【解答】解：将248000用科学记数法表示为2.48×105．
故答案为：2.48×105．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
13．3
【解答】∵实数满足且，，
∴，，
∴，，
∴．
故答案为：．
【分析】本题考查二次根式非负性，平方的非负性.利用二次根式非负性，平方的非负性可列出方程组，，解方程组可求出，的值，再代入式子进行计算可求出答案．
14．=
【解答】解：（-3）×4-（-3）-4+1=-12；，
所以。
故答案为：=。
【分析】首先把新运算转化成常规运算，并分别求和的值，即可得出=。
15．；
【解答】-5259000用科学记数法表示为-5.259×106，
5259000精确到万位用科学记数法表示为5.26×106
【分析】科学记数法的表示形式为：a×10n。其中1≤|a|＜10，此题是绝对值较大的数，因此n=整数数位-1。先用科学记数法表示，再按要求取近似值。
16．
【解答】解：令 ，
则 ，
∴ ，
∴ ，
则 .
故答案为：
【分析】根据题目所给计算方法，令 ，再两边同时乘以 ，求出 ，用 ，求出 的值，进而求出 的值.
17．（1）
（2）
18．6或
19．解：原式= （2×3）2×2×4
=36×2×4 =288.
【解析】【【分析】直接将xn=3，yn=4的值代入原式计算即可.
20． 或-2.
21．（1）解：由
.
（2）解：，
可得，．
【分析】（1）根据定义“ ☆ ”的运算法则，结合有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算，即可求解；
（2）根据定义“ ☆ ”的运算法则，结合， 列出关于a的方程，即可求得a的值，得到答案.
（1）
；
（2），
．
22．解：（1）是非负数，
其最小值是0．
取最小值，
取最小值0，
，解得，
的值最小为；
答：当时，有最小值，最小值是；
取最大值，
取最小值，
，解得，
的最大值是5．
答：当时，有最大值，最大值是5；
（2），，
，，，且三个数中有一个数为负，其他两个数为正，
当，，时，
原式；
当，，时，
原式；
当，，时，
原式．
综上：代数式的值为-1．
【分析】（1）①先利用绝对值的非负数可得|x+3|≥0，再求出的值最小为即可；
②先利用绝对值的非负数可得|x-2|≥0，再求出的最大值是5即可；
（2）分类讨论：①当，，时，②当，，时，③当，，时，再分别利用绝对值的性质求解即可.
23．（1）解：∵，
∴，，
∴，，
∴的距离为：.
（2）解：设数轴上点C表示的数为c，
∵，
∴，即，
∵，
∴点C不可能在的延长线上，C点可能在线段上和线段的延长线上；
①当C点在线段上时，则有，
得，
解得；
②当C点在线段的延长线上时，则有，
得，
解得，
故当时，或.
（3）解：①∵甲球运动的路程为： ，，
∴甲球与原点的距离为：；
乙球到原点的距离分两种情况：
当时，乙球从点 B 处开始向左运动，一直到原点O，
∵，乙球运动的路程为：，
∴乙球到原点的距离为：；
当 时，乙球从原点 O 处开始一直向右运动，
此时乙球到原点的距离为：；
②当时，得，
解得：；
当时，得，
解得：；
当秒或秒时，甲乙两小球到原点的距离相等.
【分析】（1）先根据非负数的性质求出a、b的值，再根据两点间的距离公式即可求得A、B两点之间的距离；
（2）设数轴上点C表示的数为c，可得，分C点在线段AB上和C点在线段AB的延长线上两种情况讨论，即可求解；
（3）①甲球到原点的距离=甲球运动的路程+OA的长，乙球到原点的距离分两种情况：当0＜t≤3时，乙球从点B处开始向左运动，一直到原点O，此时OB的长度-乙球运动的路程即为乙球到原点的距离；当t＞3时，乙球从原点O处开始向右运动，此时乙球运动的路程-OB的长度即为乙球到原点的距离；
②分：当0＜t≤3和t＞3两种情况分析，列出方程，求解即可.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)