(共17张PPT)
第21章 一元二次方程
21.3.1
传播问题
授课：
时间：
疫情四年，恍若隔世。
回首往昔，生活翻天覆地的变化让人不禁感慨。
如今，我们更应懂得珍惜当下，
感恩每一个平凡而美好的瞬间。
问题探索
假设有1个人感染病毒, 这种病毒每轮传染5个人.
(1) 初始感染病毒的人数为_____人;
(2) 第一轮能感染____人, 共有____人感染病毒;
(3) 第二轮能感染____人, 共有____人感染病毒;
(4) 第三轮能感染____人, 共有____人感染病毒.
1
5
6
30
36
180
216
典例精析
例1. 有一人患了流感, 经过两轮传染后共有121个人患了流感, 每轮传染中平均一个人传染了几个人？
…
…
1 2 …
…
1 2 …
…
1 2 …
…
…
1 2 …
解:设每轮传染中平均一个人传染了x个人.
初始感染数__人
第一轮感染总数____人
第二轮感染总数_________人
1
x＋1
x2＋2x＋1
典例精析
例1. 有一人患了流感, 经过两轮传染后共有121个人患了流感, 每轮传染中平均一个人传染了几个人？
解:设每轮传染中平均一个人传染了x个人.
(x＋1)2＝121
解得x1＝10,x2＝－12(不合题意, 舍去)
∴每轮传染中平均一个人传染了10个人.
如果按照这样的传染速度,三轮传染后有多少人患流感 第n轮呢
初始感染人数 第1轮 第2轮 第3轮 第n轮
1
1＋x
(1＋x)2
(1＋x)3
(1＋x)n
∴三轮传染后有(1+10)3=1331人患流感.
典例精析
例2.某种植物的主干长出若干数目的支干, 每个支干又长出同样数目的小分支, 主干, 支干和小分支的总数是91, 每个支干长出多少小分支
主干
支干
支干
……
小分支
小分支
……
……
小分支
小分支
……
解:设每个支干长出x个小分支.
1
x
x2
1＋x＋x2＝91
解得x1＝9,x2＝－10(舍去)
∴每个支干长出9个小分支.
分析思考
这两种传播问题有什么不同？
重复传播
不重复传播
重复传播的万能公式: 总数=初始数
不重复传播的万能公式(2轮): 总数=
小试锋芒
练习.某生物实验室需培育一群有益菌, 现有60个活体样本, 经过两轮培育后, 总数达24000个, 其中每个有益菌每一轮可分裂出若干个相同数目的有益菌.
(1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌
(2)按照这样的分裂速度, 经过三轮培育后有多少个有益菌
答案：(1) 每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出19个有益菌;
(2) 经过三轮培育后有480000个有益菌.
小试锋芒
练习.为了宣传垃圾分类, 小智写了一篇倡议书, 决定用朋友圈转发的方式传播.他设计了如下的传播规则: 将倡议书发表在自己的朋友圈上, 再邀请 个好友转发, 每个好友转发之后, 又邀请 个互不相同的好友转发, 以此类推.已知经过两轮转发后, 共有111个人参与了宣传活动, 则 的值为_____.
10
问题探索
中秋将至, 小雯、小智和他们的好朋友在准备互送一些贺卡.
(1)若互送贺卡的人数共3人, 共需要送出贺卡____张;
(2)若互送贺卡的人数共4人, 共需要送出贺卡____张;
(3)若互送贺卡的人数共5人, 共需要送出贺卡____张;
(4)若互送贺卡的人数共n人, 共需要送出贺卡_________张.
6
12
20
n(n－1)
典例精析
例3.中秋将至, 小雯、小智和他们的好朋友在准备互送一些贺卡.若他们共送贺卡72张, 则这个他们共有多少人
解:设他们共有x人.
x(x－1)＝72
解得x1＝9,x2＝－8(舍去)
∴他们共有9人.
典例精析
例4.要组织一次排球邀请赛, 参赛的每两个队之间都要比赛一场. 根据场地和时间等条件, 赛程计划安排7天, 每天安排4场比赛, 比赛组织者应邀请多少个队参赛
全部比赛的场次为____场.
解:设比赛组织者应邀请x个队参赛.
x(x－1)＝28
解得x1＝8, x2＝－7(舍去)
∴比赛组织者应邀请8个队参赛.
28
分析思考
这两种计数问题有什么不同？
两两之间只计数1次
重复计数的万能公式: 总数=
不重复计数的万能公式: 总数=
两两之间会计数2次
小试锋芒
练习.随着中考结束, 初三某毕业班的每一个同学都向其他同学曾送一张自己的照片留作纪念, 全班共送了2256张照片, 若该班有x名同学, 则根据题意可列出方程为( ).
A.x(x 1)＝2256 B.x(x＋1)＝2256 C.2x(x 1)＝2256 D.12x(x 1)＝2256
A
练习.在一次酒会上, 每两人都只碰一次杯, 如果一共碰杯55次, 则参加酒会的人数为( ).
A. 9人 B. 10人 C. 11人 D. 12人
C
解决实际问题的基本过程
一元二次方程
实际问题
一元二次方程的解
实际问题的答案
设未知数
列方程
解
方
程
检验
★基本过程：审、设、列、解、验、答
谢 谢 观 看(共14张PPT)
第21章 一元二次方程
21.3.2
增长率与利润问题
授课：
时间：
问题思考
2022年和2023年国内生产总值分别约为120万亿元、126万亿元.
2023年相比于2022年国内生产总值是上升了还是下降了？
如何计算增长率呢
解: 2023年国内生产总值增长率＝.
问题思考
思考下列问题, 并填空:
(1)某公司1月份产值为100万元,2月份产值为110万元,则2月份的增长率为____;
(2)某公司1月份产值为100万元,2月份产值为90万元,则2月份的下降率为_____;
(3)某工厂1月份产量100吨,二月份增长率为x,则二月份的产量为___________;三月份增长率为x, 则三月份的产量为__________;
(4)某工厂1月份产量100吨,二月份下降率为x,则二月份的产量为___________; 三月份下降率x, 则三月份的产量为___________;
(5)某工厂1月份产量100吨,二月份下降率为x,则二月份的产量为___________;三月份增长率为x，则三月份的产量为______________.
10%
10%
100(1＋x)
100(1＋x)2
100(1－x)
100(1－x)2
100(1－x)
100(1－x)(1＋x)
典例精析
哪种药品成本的年平均下降率较大
甲种药品
乙种药品
原生产成本5000元/t
原生产成本6000元/t
现生产成本3000元/t
现生产成本3600元/t
两年前
两年后
甲种药品的生产成本下降_____元/t; 乙种药品的生产成本下降_____元/t.
2000
2400
典例精析
例1.两年前生产1 甲种药品的成本是5000元, 生产1 乙种药品的成本是6000元, 随着生产技术的进步, 现在生产1 甲种药品的成本是3000元, 生产1 乙种药品的成本是3600元, 哪种药品成本的年平均下降率较大
解:设甲种药品下降率为 ，乙种药品下降率为 .
5000(1－x)2＝3000
解得x1≈0.225, x2 ≈1.774
6000(1－y)2＝3600
解得y1≈0.225, y2 ≈1.774(舍去)
∴甲种药品下降率约为22.5%，乙种药品下降率约为22.5%，下降率相同.
为什么要舍去1.774
下降率范围一般在0%到100%.
(舍去)
小试锋芒
练习1.电影 讲述了普通人与国家之间息息相关的动人故事. 一上映就获得全国人民的追捧, 第一天票房约3亿元, 以后每天票房按相同的增长率增长, 第三天的票房收入为5.88亿元, 则平均每天票房的增长率是________.
练习2.某校去年对实验器材的投资为2万元, 预计今明两年的投资总额为8万元, 若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是 , 可列方程____________________.
2(1＋ )＋2(1＋ )2＝8
40%
问题思考
成本50元/条
服装公司
设计
为合理定价, 现投入市场.
当定价为100元/件, 能售出50件
每降低1元, 就能多售出5件
销售单价为多少元时，每天的销售利润可达4000元？
问题思考
定价(单位:元) 100 99 98 ... 51 50
降价金额(单位:元) ...
销量(单位:件) ...
利润(单位:元) ...
成本50元/条
服装公司
设计
为合理定价, 现投入市场.
当定价为100元/件, 能售出50件
每降低1元, 就能多售出5件
销售单价为多少元时，每天的销售利润可达4000元？
50
55
60
295
2500
2695
2880
295
300
0
0
1
2
49
50
x
50＋5x
(100－x－50)(50＋5x)
100－x
典例精析
例2.某服装公司设计了一件新裙子, 成本价格是50元/件, 为了合理定价, 现投放市场试销, 据市场部调查, 销售单价是100元时, 每天的销售量是50件, 若销售单价每降低1元, 每天就可多售出5件, 但要求销售单价不得低于成本. 销售单价为多少元时, 每天的销售利润可达4000元
解: 设销售单价应降价 元.
(100－x－50)(50＋5x)＝4000
解得x1＝10, x2 ＝30.
100－10＝90,100－30＝70,
∴销售单价为90元或70元时, 每天的销售利润可达4000元.
还有其它的解法吗？
问题思考
定价(单位:元) 100 99 98 ... 51 50
降价金额(单位:元) ...
销量(单位:件) ...
利润(单位:元) ...
成本50元/条
服装公司
设计
为合理定价, 现投入市场.
当定价为100元/件, 能售出50件
每降低1元, 就能多售出5件
销售单价为多少元时，每天的销售利润可达4000元？
50
55
60
295
2500
2695
2880
295
300
0
0
1
2
49
50
x
50＋5(100－x)
(x－50)[50＋5(100－x)]
100－x
典例精析
例2.某服装公司设计了一件新裙子, 成本价格是50元/件, 为了合理定价, 现投放市场试销, 据市场部调查, 销售单价是100元时, 每天的销售量是50件, 若销售单价每降低1元, 每天就可多售出5件, 但要求销售单价不得低于成本. 销售单价为多少元时, 每天的销售利润可达4000元
解: 设销售单价为 元.
(x－50)[50＋5(100－x)]＝4000
解得x1＝70, x2 ＝90.
∴销售单价为90元或70元时, 每天的销售利润可达4000元.
小试锋芒
练习3.某水果店进口一种水果, 卖出每千克水果盈利5元, 每天可卖出1000千克, 经市场调查发现, 在进价不变的情况下, 若每千克售价涨0.5元, 每天销量将减少40千克.
(1)若以每千克盈利9元的价钱出售, 则每天能盈利_____元;
(2)若水果店想保证每天销售这种水果的盈利达到6000元, 同时又要使顾客觉得不太贵, 则每千克水果应涨价多少元
6120
解: 设每千克水果应涨价 元, 每千克涨1元, 每天将减少80千克.
(5＋x)(1000－80x)＝6000
解得x1＝2.5, x2 ＝5.
∵要使顾客觉得不太贵,
∴应涨价2.5元.
谢 谢 观 看(共13张PPT)
第21章 一元二次方程
21.3.3
几何问题
授课：
时间：
问题思考
一个矩形的长宽之比为3:2, 面积为150cm2.
你能求出这个矩形的长和宽吗
解:设矩形的长为3x cm,宽为2x cm.
3x·2x＝150
解得x1＝5, x2 ＝－5(舍去)
∴这个矩形的长为15cm,宽为10cm.
3x
2x
典例精析
例1.如图, 要设计一本书的封面, 封面长27cm, 宽21cm, 正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形, 如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一, 上、下边衬等宽, 左、右边衬等宽, 应如何设计四周边衬的宽度(精确到0.1cm)
(1)封面的面积为_______,中间图案面积为_________;
(2)封面长宽之比＝____,中间图案的长宽之比＝____;
(3)等量关系是什么？如何设未知数呢？
567cm2
425.25cm2
9:7
9:7
解:设中间图案的长宽分别为9x cm,7x cm.
典例精析
例1.如图, 要设计一本书的封面, 封面长27cm, 宽21cm, 正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形, 如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一, 上、下边衬等宽, 左、右边衬等宽, 应如何设计四周边衬的宽度(精确到0.1cm)
解:设中间图案的长宽分别为9x cm,7x cm.
9x·7x＝27×21×
解得x1＝≈2.6, x2＝(舍去)
∴中间图案的长宽分别约23.4 、18.2 .
＝1.8cm, ＝1.4cm,
∴上、下边衬宽1.8 , 左右边衬宽1.4 .
还有其它的解法吗？
典例精析
例1.如图, 要设计一本书的封面, 封面长27cm, 宽21cm, 正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形, 如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一, 上、下边衬等宽, 左、右边衬等宽, 应如何设计四周边衬的宽度(精确到0.1cm)
封面长宽之比＝____,中间图案的长宽之比＝____,
则上下边衬宽与左右边衬宽之比为_____;
等量关系是什么？如何设未知数呢？
9:7
9:7
解:设上、下边衬的宽均为9x cm, 则左、右边衬的宽均为7x cm.
9:7
典例精析
例1.如图, 要设计一本书的封面, 封面长27cm, 宽21cm, 正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形, 如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一, 上、下边衬等宽, 左、右边衬等宽, 应如何设计四周边衬的宽度(精确到0.1cm)
解:设上、下边衬的宽均为9x cm,
则左、右边衬的宽均为7x cm.
(27－18x)(21－14x)＝ ×27×21.
解得x1＝≈2.8(舍去), x2＝ ≈0.2,
∴上、下边衬宽约1.8 , 左右边衬宽约1.4 .
小试锋芒
练习1.梅兰竹菊, 被称为“四君子”, 在中国文化中具有非常重要的象征意义, 代表着高尚的品德和精神追求．在我校第十三届艺术节活动中, 某班同学在长90cm、宽30cm的展板上展出了四幅书画作品.每幅作品面积为520cm2
(作品尺寸均相同), 如图所示, 作品与展板外沿、作品之间均贴有宽度相同的彩色纸带, 求彩色纸带的宽度.
答案:彩色纸带的宽度2 cm.
问题思考
宽20m
长32m
路宽2m
如何计算绿地剩余面积？
问题思考
宽20m
长32m
路宽2m
如何计算绿地剩余面积？
解:绿地剩余面积＝(32－2)×(20－2)＝540m2.
典例精析
例2.如图, 在一块宽为20m, 长为32m的矩形地面上修筑同样宽的两条道路,余下的部分种上草坪.
要使草坪的面积为540m2, 你能求出道路的宽吗
解:设道路的宽为x m(0(20－x)(32－x)＝540.
解得x1＝2, x2＝50(舍去),
∴道路的宽为2 m.
思考：还有其它列方程的方法吗？
20×32－32x－20x＋x2＝540.
小试锋芒
练习2.如图, 某校课外生物小组的试验园是长35米、宽20米的矩形.为便于管理, 要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道, 使种植面积为600平方米, 则小道的宽为多少米 若设小道的宽为x米, 则根据题意可列方程为( ).
A. 35×20 35x 20x＋2x2＝600;
B. 35×20 35x 2×20x＝600;
C. (35 2x)(20 x)＝600;
D. (35 x)(20 2x)＝600.
C
小试锋芒
练习3.如图, 某旅游景点要在长、宽分别为12米、10米的矩形水池内部建一个与矩形的边互相平行的正方形观赏亭, 观赏亭的四边连接四条与矩形的边互相平行且宽度相等的道路, 已知道路的宽为正方形边长的(每条道路的一侧均与正方形观赏亭的一边在同一直线上), 若道路与观赏亭的面积之和是矩形水池面积的, 求道路的宽.
答案:道路的宽为2 m.
谢 谢 观 看
