23.2.3 关于原点对称的点的坐标 课件(共18张PPT) 人教版数学九年级上册

(共18张PPT)
第23章 旋转
23.2.3
关于原点对称的点的坐标
授课：
时间：
x
y
1
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3
O
1
2
3
-1
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-1
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-3
知识回顾
如图, 已知点P和点O, 作点P关于点O成中心对称的点P’.
O
P
P’
作图方法:
①连接PO并延长;
②在延长线上截取OP’＝OP;
③点P’即为所求.
解: 如图, 点P’即为所求.
若点P在平面直角坐标系中, 点P,P’的坐标有什么关系？
知识探索
x
y
1
2
3
O
1
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3
-1
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-3
-1
-2
-3
探索1.如图, 平面直角坐标系中, 画出点A,B,C,D及它们的关于原点O的对称点A’,B’,C’,D’, 填写下表.
原坐标 所在位置 对称点 所在位置
A(1,0)
B(-3,0)
C(0,2)
D(0,-4)
A
A’
B
B’
C
C’
D’
D
x轴正半轴
x轴负半轴
y轴正半轴
y轴负半轴
x轴正半轴
x轴负半轴
y轴正半轴
y轴负半轴
A’(-1,0)
B’(3,0)
C’(0,-2)
D’(0,4)
坐标轴上的点关于原点对称的点有什么特点？
探索2.如图, 平面直角坐标系中, 画出点E,F,G,H及它们的关于原点O的对称点E’,F’,G’,H’, 填写下表.
进一步探索
x
y
1
2
3
O
1
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3
-1
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-1
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-3
原坐标 所在象限 对称点 所在象限
E(1,2)
F(-3,1)
G(-4,-2)
H(3,-4)
E
E’
F
F’
G
H’
H
第一象限
E’(-1,-2)
F’(3,-1)
G’(4,2)
H’(-3,4)
猜想: 点P(x,y)关于原点对称的点的坐标为P’ ________.
第二象限
第三象限
第四象限
第三象限
第四象限
第一象限
第二象限
G’
(－x,－y)
验证猜想
猜想: 点P(x,y)关于原点对称的点的坐标为P’(－x,－y).
x
y
O
P(x,y)
P’
M
N
已知: _____________________________;
求: _________.
点P, P’关于原点O对称, 且P(x,y)
P’的坐标
证明: 过点P,P’作x轴的垂线段交x轴与点M,N.
∵点P, P’关于原点O对称,
∴OP＝OP’,
∵∠POM＝∠P’ON,∠PMO＝∠P’NO,
∴△PMO≌△P’NO(AAS)
∴PM＝P’N＝y,OM＝ON＝x,
∴P’(－x,－y).
归纳总结
x
y
O
P(x,y)
P’(－x,－y)
关于原点对称的点的坐标为
已知点P(x,y).
P’(－x,－y).
关于x轴对称的点的坐标为
P’(x,－y).
关于y轴对称的点的坐标为
P’(－x,y).
P’(－x,y)
P’(x,－y)
横纵坐标
互为相反数
纵变横不变
横变纵不变
小试锋芒
练习1.平面直角坐标系内有一点P(－3,4).
(1) 点P关于x轴对称的点的坐标为________;
(2) 点P关于y轴对称的点的坐标为______;
(3) 点P关于原点对称的点的坐标为________;
(－3,－4)
(3,4)
(3,－4)
练习2.已知点A( 1,a), 点B(b,2)关于原点对称, 则a＋b的值是( ).
A. 1 B. 1 C. 2 D. 2
A
小试锋芒
练习3. 已知点M(1 2m, m 1)关于原点的对称点M’在第一象限.
点M在第____象限;
(2) m的取值范围在数轴上表示正确的是( ).
三
A
B
C
D
C
典例精析
例1.如图, 作出△ABC关于原点对称的△A’B’C’.
x
y
1
2
3
O
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-3
O
A
B
C
(1) 写出△ABC三个顶点的坐标.
A(－2,3),B(－4,0),C(－1,－3)
(2) 如何作出△A’B’C’
∵点A,A’关于原点对称,
∴A’(2,－3),
同理B’(4,0),C’(1,3),
连接A’,B’,C’得△A’B’C’.
A’
B’
C’
思考：作关于原点对称的图形的步骤是什么？
归纳总结
x
y
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O
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-3
O
A
B
C
A’
B’
C’
作关于原点对称的图形的步骤:
写出图形顶点坐标;
写出图形顶点关于原点的对称点的坐标;
描点, 连线.
小试锋芒
练习4. 已知△ABC的三个顶点坐标为A(3,－2),B(－2,2),C(－4,－2).
(1) 在平面直角坐标系中作△ABC;
(2) 作△ABC关于原点O对称的△A’B’C’;
(3) 求△A’B’C’的面积.
x
y
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O
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3
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-1
-2
-3
O
A
B
C
A’
B’
C’
解: (1) 如图, △ABC即为所求;
(2) 如图, △A’B’C’即为所求;
(3) △A’B’C’的面积为14.
小试锋芒
练习5. 如图, 菱形ABCD对角线交点与坐标原点O重合, 点A( 2,5), 则点C的坐标是( ).
A. (5, 2) B. (2, 5) C. (2,5) D. ( 2, 5)
B
问题探索
如图, 点P(x1,y1),P’(x2,y2)关于点M(a,b)对称.
x
y
O
P
P’
M
(1) 图中PM,P’M有怎样的数量关系;
∵点P,P’关于点M对称;
∴PM＝P’M.
(2) 猜想x1,x2与a有怎样的数量关系
y1,y2与b的数量关系呢
问题探索
如图, 点P(x1,y1),P’(x2,y2)关于点M(a,b)对称.
x
y
O
P
P’
M
x1
x2
a
y2
y1
b
A
B
猜想x1,x2与a有怎样的数量关系 y1,y2与b的数量关系呢
解: 由题意易得△APM≌△BMP’,
∴AM＝BP’,
∴a－x1＝x2－a,得,
同理AP=BM,得.
思考：还有其它的证明方法吗？
问题探索
如图, 点P(x1,y1),P’(x2,y2)关于点M(a,b)对称.
x
y
O
P
P’
M
A
B
猜想x1,x2与a有怎样的数量关系 y1,y2与b的数量关系呢
解: 将P,P’平移至AB.
∴M(a,b)到点O(0,0),横坐标－a,纵坐标－b,
∴P(x1,y1)平移后点A的坐标为(x1－a,y1－b),
∴P’(x2,y2)平移后点B的坐标为(x2－a,y2－b),
∵点A,B关于点O对称
∴ x1－a＋ x2－a＝0, y1－b＋ y2－b＝0,
∴, .
归纳总结
如图, 若点P(x1,y1),P’(x2,y2)中点为M,
那么中点坐标为
x
y
O
P
P’
M
.
小试锋芒
练习6.已知点A(2,－5)与B(－4,1)关于点M对称, 则点M的坐标为_______.
(－1,2)
练习7.点P(1,－1)关于点N(－1,0)对称的点P’的坐标为______.
(－3,1)
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