(共15张PPT)
第24章 圆
24.1.2.2
垂径定理推论及作图
授课：
时间：
知识回顾
O
C
D
A
B
M
(1)什么是垂径定理？如何用符号语言表达？
如图, ⊙O的直径CD⊥弦AB,垂足为M.
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
符号语言:
∵直径CD⊥AB,
∴AM＝BM, ＝, ＝.
(2)垂径定理条件与结论是什么？
问题思考
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
(2)垂径定理条件与结论是什么？
垂径定理的条件与结论:
一条直线满足①过圆心; ②垂直于弦,
则可以推出:
③平分弦; ④平分弦所对的优弧; ⑤平分弦所对的劣弧.
(3)若一条直线满足①③, 能推出②④⑤吗
问题探索
垂径定理的条件与结论:
一条直线满足①过圆心; ②垂直于弦,
则可以推出: ③平分弦; ④平分弦所对的优弧; ⑤平分弦所对的劣弧.
(3)若一条直线满足①③, 能推出②④⑤吗
O
C
D
A
B
M
已知:___________________________________.
求证: ________________________.
如图, 圆O的直径CD平分弦AB,交点为M
CD⊥AB, ＝, ＝
证明: 连接OA,OB, 则OA＝OB,
∴△OAB是等腰三角形,
∵AM＝BM,
∴CD⊥AB,
∴ ＝, ＝.
(等腰三角形三线合一)
(垂径定理)
问题探索
垂径定理的推论1:
一条直线满足①过圆心; ③平分弦,
则可以推出: ②垂直于弦; ④平分弦所对的优弧; ⑤平分弦所对的劣弧.
(2)如何用文字语言表达呢？
O
C
D
A
B
M
平分弦的直径垂直于弦, 并且平分弦所对的两条弧.
(3)下面的图形满足这条推论吗
归纳总结
垂径定理推论1:
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦, 并且平分弦所对的两条弧.
符号语言:
∵直径CD平分AB,
∴CD⊥AB, ＝, ＝.
O
C
D
A
B
M
垂径定理的推论1的条件与结论:
一条直线满足①过圆心; ③平分弦,
则可以推出: ②垂直于弦; ④平分弦所对的优弧; ⑤平分弦所对的劣弧.
典例精析
例1.如图, AB是⊙O的直径, 点D是弦BC的中点, OE交BC于点D, 连结AC.
若BC＝6, DE＝1, 求AC的长.
解: ∵点D是弦BC的中点,
∴ OD⊥BC,BD＝CD＝3,
设OD＝x,则OB＝OE＝x＋1,
在Rt△ODB中, x2＋32＝(x＋1)2,
解得x＝4,
∵OD是△ABC的中位线,
∴AC＝2OD＝8.
小试锋芒
练习1.如图, AB是⊙O的一条弦, 点C是AB的中点, 连接OC并延长交劣弧AB于点D, 连接OB, DB.若AB＝4, CD＝1, 求△BOD的面积.
答案: △BOD的面积＝ .
类比探索
若一条直线满足②③, 能推出①④⑤吗
已知:_________________________________________.
求证: _______________________________.
如图, 直线CD平分弦AB,且垂直弦AB, 垂足为M
CD是圆O的直径, ＝, ＝
O
C
D
A
B
M
证明: 连接OA,OB,
∵直线CD垂直平分AB,
∴直线CD是AB的垂直平分线,
∵OA＝OB,∴点O在AB的垂直平分线上,
∴ ＝, ＝.
垂径定理的条件与结论:
一条直线满足①过圆心; ②垂直于弦,
则可以推出: ③平分弦; ④平分弦所对的优弧; ⑤平分弦所对的劣弧.
归纳总结
垂径定理推论2: 垂直平分弦的直线经过圆心.
符号语言:
∵直线CD垂直平分AB,
∴点O在CD上, ＝, ＝.
O
C
D
A
B
M
垂径定理的推论2的条件与结论:
一条直线满足②垂直于弦; ③平分弦,
则可以推出: ①过圆心; ④平分弦所对的优弧; ⑤平分弦所对的劣弧.
典例精析
①
②
③
④
“啪”, 小雯的圆镜子掉在地上碎了, 小雯找到了四块较为完整的碎片.
(1)若想复原小雯的镜子, 需要带第几块去 为什么
应该带第④块去, 因为它有一段完整的弧.
(2)如何确定镜子的圆心呢
典例精析
“啪”, 小雯的圆镜子掉在地上碎了, 小雯找到了四块较为完整的碎片.
(1)若想复原小雯的镜子, 需要带第几块去 为什么
应该带第④块去, 因为它有一段完整的弧.
(2)如何确定镜子的圆心呢
O
在弧上任取两条弦AB,BC,
过弦AB,BC作中垂线l1,l2,
两条中垂线l1,l2,的交点O即圆心, 圆心O到弧上任意一点即为半径.
A
B
C
l1
l2
(3)作图的依据是什么
垂直平分弦的直线经过圆心.
小试锋芒
练习2.如图, 在5×5正方形网格中, 一条圆弧经过A, B, C三点, 那么这条圆弧所在圆的圆心是( ).
A. 点P B. 点Q C. 点R D. 点M
B
小试锋芒
练习3.如图, 要把残破的圆形轮片复制完整, 已知弧上的三点A, B, C.
(1)用尺规作图法找出所在圆的圆心(保留作图痕迹, 不写作法);
(2)若△ABC是等腰三角形, 底边BC＝8cm, 腰AB＝5cm, 求圆片的半径r.
O
D
答案: (1)如图所示;
(2)圆片的半径r＝ cm .
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第24章 圆
24.1.2.3
垂径定理的应用
授课：
时间：
赵州桥
河北省赵县的洨(xiáo)河上, 有一座世界闻名的石拱桥, 叫安济桥, 又叫赵州桥. 它是隋朝的石匠李春设计和参加建造的, 已经有一千四百多年了.
赵州桥非常雄伟. 桥长五十多米, 有九米多宽, 中间行车马, 两旁走人. 这么长的桥, 全部用石头砌成, 下面没有桥墩, 只有一个拱形的大桥洞, 横跨在三十七米多宽的河面上. 大桥洞顶上的左右两边, 还各有两个拱形的小桥洞. 平时, 河水从大桥洞流过, 发大水的时候, 河水还可以从四个小桥洞流过. 这种设计, 在建桥史上是一个创举, 既减轻了流水对桥身的冲击力, 使桥不容易被大水冲毁, 又减轻了桥身的重量, 节省了石料.
这座桥不但坚固, 而且美观. 桥面两侧有石栏, 栏板上雕刻着精美的图案: 有的刻着两条相互缠绕的龙, 嘴里吐出美丽的水花; 有的刻着两条飞龙, 前爪相互抵着, 各自回首遥望; 还有的刻着双龙戏珠. 所有的龙似乎都在游动, 真像活了一样.
赵州桥体现了古代劳动人民的智慧和才干, 是我国宝贵的历史文化遗产.
问题探索
赵州桥的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m, 求赵州桥主桥拱的半径.
A
B
(1)由题意得AB＝____;
(2)要确定主桥拱的半径, 要先确定________________.
37m
所在圆的圆心
典例精析
例1.赵州桥的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m,求赵州桥主桥拱的半径.
A
B
C
D
O
过点O作OC⊥AB交于点C, 垂足为D.
∴AD＝BD＝AB＝18.5m,
在Rt△ADO中, 设OA＝r, 则OD＝r－7.23,
∴r2＝18.52＋(r－7.23)2
解得r ≈ 27.3,
∴赵州桥主桥拱的半径约27.3m.
设所在圆的圆心为O,连接OA,如何求OA呢
解:设所在圆的圆心为O,连接OA,
归纳总结
由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.
O
O
O
r
d
h
r2＝d2＋(r－h)2
r2＝d2＋(h－r)2
r
d
h
小试锋芒
练习1.如图, 武汉晴川桥可以近似地看作半径为250m的圆弧, 桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连, 其正下方的路面AB长度为300m, 那么这些钢索中最长的一根为( ).
A. 50m B. 45m C. 40m D. 60m
O
C
D
A
小试锋芒
练习2.《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一, 其中第九卷《勾股》中记载了一个 “圆材埋壁” 的问题: “今有圆材, 埋在壁中, 不知大小.以锯锯之、深一寸, 锯道长一尺, 问径几何 ”
用几何语言表达为: 如图, AB是⊙O的直径, 弦CD⊥AB于点E, EB＝1寸, CD＝10寸, 求直径AB的长.
答案:直径AB的长为26寸.
典例精析
例2. 直径为26dm的圆柱形排水管, 截面如图所示,点O是截面圆心.若管内有积水, 当水面宽为24dm时, 求积水的最大深度.
O
A
B
分析: 圆柱形排水管直径为26dm, 大于水面宽24dm, 则有____种情况, 你能画出简图吗
2
O
A
B
O
典例精析
例2. 直径为26dm的圆柱形排水管, 截面如图所示,点O是截面圆心.若管内有积水, 当水面宽为24dm时, 求积水的最大深度.
A
B
O
C
D
过点O作OD⊥AB交圆上于点D, 垂足为C.
∴AC＝BC＝AB＝12dm,OA＝OD＝13dm,
在Rt△ACO中, 设CD＝x, 则OC＝13－x,
∴132＝122＋(13－x)2
解得x ＝ 8,
∴积水的最大深度为8dm.
解:情况① 连接OA,
典例精析
例2. 直径为26dm的圆柱形排水管, 截面如图所示,点O是截面圆心.若管内有积水, 当水面宽为24dm时, 求积水的最大深度.
A
B
O
C
D
过点O作CD⊥AB交圆上于点D, 垂足为C.
∴AC＝BC＝AB＝12dm,OA＝OD＝13dm,
在Rt△ACO中, 设CD＝x, 则OC＝x－13,
∴132＝122＋(x－13)2
解得x ＝ 18,
∴积水的最大深度为8dm或18dm.
解:情况② 连接OA,
小试锋芒
练习3.已知⊙O的直径CD＝10cm, AB是⊙O的弦, AB⊥CD, 垂足为M, 且AB＝8cm, 则AC的长为________________.
2cm或4cm
谢 谢 观 看
