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知识点1 矢量的合成与分解
力(运动)的合成与分解,既体现了矢量的运算法则,同时又反映了物理学研究问题的重要
方法——等效替代。
必备知识 清单破
2 运动的合成与分解
知识点2 运动的合成与分解
1.合运动和分运动
一个物体同时参与两个运动时,这两个运动叫作分运动,而物体的实际运动叫作合运
动。
2.合运动与分运动的关系
(1)等效性:各分运动的共同效果与合运动的效果相同;
(2)等时性:各分运动与合运动同时发生和结束;
(3)独立性:各分运动之间彼此独立,互不影响;
(4)同一性:各分运动与合运动是指同一物体参与的分运动和实际发生的运动,不能是几个不
同物体发生的不同运动。
3.运动的合成与分解
(1)已知分运动求合运动,叫作运动的合成;已知合运动求分运动,叫作运动的分解。
(2)运动的分解
①分解的目的:把复杂的运动简化为比较简单的直线运动。
②分解的方法:根据运动的实际效果分解,也可采用正交分解法。
采用正交分解法对运动进行分解,处理方法一般是建立平面直角坐标系,把位移、速度
和加速度等合矢量分解到两个垂直的坐标轴上,如图所示,合位移l、合速度v、合加速度a跟
分矢量的关系如下:
l= v= a=
矢量的方向,我们可以用合矢量与某个分矢量夹角的正切值来表示,即tan α= ,tan β= ,
tan γ= 。
4.位移、速度、加速度的合成与分解
(1)位移的合成与分解
一个物体同时发生两个方向的位移(分位移),它的效果可以用合位移来替代;同样,这个
物体运动的合位移也可以用两个分位移来替代。由分位移求合位移叫作位移的合成;由合位
移求分位移叫作位移的分解。
(2)位移、速度、加速度的合成与分解都遵循平行四边形定则。
知识点3 运动的合成与分解的应用
小船渡河模型:小船在静水中的运动方向与船头的指向相同,其速度是船的静水速度;小船随
水漂流的速度即水流速度,它的方向与河岸平行;小船的实际运动是合运动。
知识辨析
1.合运动的速度一定大于分运动的速度吗
2.已知两个分速度大小,就可以确定合速度的大小吗
3.运动的合成与分解的思想只适用于分运动是匀速运动的情况吗
一语破的
1.不一定。由平行四边形定则可知,代表合运动速度的对角线的长度不一定大于代表分运动
速度的边长。合速度可能大于分速度,可能小于分速度,还可能等于分速度。
2.不可以。矢量的合成一定要考虑方向。
3.不是。适用于任何运动形式。
关键能力 定点破
定点1 合运动性质的判断
分运动 矢量图 合运动
两个匀速直线运动 匀速直线运动
一个匀速直线运动和一个匀
变速直线运动 匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直
线运动 初速度为零的匀
加速直线运动
两个初速度不为零的匀加速
直线运动 匀变速直线运动
匀变速曲线运动
定点2 小船渡河问题
1.分析思路
(1)首先弄清楚合运动与分运动
(2)利用正交分解法处理两个分运动:分解到沿河岸方向与垂直于河岸方向。
图示
垂直河岸方向 v⊥=v船1=v船 sin θ
d=v⊥t
沿河岸方向 v∥=|v水-v船2|=|v水-v船 cos θ|
x=v∥t
渡河时间 t= = ,渡河时间仅由v船垂直于河岸
的分量v船1决定,与v水无关
2.两种特殊渡河方式
船头垂直河岸,即v船垂直于河
岸时,渡河时间最短,最短渡
河时间tmin=
情形1:v船>v水 最短的渡河位移为河的宽度
d;船头应偏向河的上游,使船
的合速度v合与河岸垂直,则
cos θ= ,t= = =
情形2:v船圆弧相切时,角α最大,位移最
短;则sin α= ,xmin= =
d
典例 一小船渡河,河宽d=180 m,水流速度v1=2.5 m/s,船在静水中的速度为v2=5 m/s【1】,则:
(1)欲使船在最短的时间内渡河【2】,船头应朝什么方向 用多长时间 位移是多少
(2)欲使船渡河的航程最短【3】,船头应朝什么方向 用多长时间 位移是多少
(3)如果其他条件不变,水流速度变为6 m/s,则船过河的最短时间和最小位移是多少
信息提取 【1】v1【2】渡河时间只与垂直于河岸的船的分速度有关,与水流速度无关。
【3】因v1思路点拨 (1)正确区分分运动和合运动,船的航行方向也就是船头指向,是分运动方向,船的
运动方向也就是船的实际运动方向,一般情况下与船头指向不一致。
(2)当v水>v船时,船不能垂直到达河对岸,但仍存在最短航程;当v船与v合垂直时,航程最短,最短航
程为xmin= d。
解析 (1)欲使船在最短时间内渡河,船头应朝垂直于河岸的方向(由【2】得到)。当船头垂
直于河岸时,如图甲所示。
渡河时间t= = s=36 s,v合= = m/s,位移为x=v合t=90 m。
(2)欲使船渡河航程最短,应使合运动的速度方向垂直于河岸(由【1】【3】得到),船头应偏
向上游,设船头指向与河岸夹角为β,如图乙所示,有v2 cos β=v1,解得β=60°。最小位移为xmin=d=
180 m,所用时间t'= = = s=24 s。
(3)最短渡河时间只与v2有关,当船头垂直于河岸渡河时时间最短,t= =36 s;
水流速度变为v'1=6 m/s,v'1>v2,则船的合速度不可能垂直于河岸,无法垂直于河岸渡河。如图
丙所示,以v'1矢量的末端为圆心、以v2矢量的大小为半径画圆弧,从v'1矢量的始端向圆弧作切
线,则合速度沿此切线方向时航程最短,设船头指向与上游河岸夹角为α,则cos α= ,最小位
移为x'min= = d= ×180 m=216 m。
答案 (1)垂直于河岸方向 36 s 90 m
(2)偏向上游,与河岸夹角为60° 24 s 180 m (3)36 s 216 m
定点3 关联速度问题
1.问题特征:两物体由绳或杆相连,在运动过程中的实际速度通常不同。由于连接两物体的绳
或杆是不可伸长的、或杆是不可压缩的,所以两物体速度沿绳或杆方向的分速度相同。
2.分析关联速度问题的思路
(1)确定合速度:绳子(或杆)末端的两个物体运动的实际速度。
(2)确定分速度:每个物体的合速度产生了两个实际效果,一个是使绳或杆伸缩的趋势,另一个
是使绳或杆转动的趋势;进而确定每个物体的两个分速度——沿绳或杆方向的分速度和垂直
于绳或杆方向的分速度。
(3)画速度分解的示意图:根据平行四边形定则,作出每个物体实际速度及两个分速度构成的
平行四边形。
(4)应用关联性求解:根据绳子(或杆)末端的两个物体分别沿绳(或杆)方向的分速度相等建立
方程,利用三角函数等数学知识求解。
3.常见模型
模型 情景图示
绳关联
vB=v1=vA cos θ
绳关联
vA1=vB1,即vA cos α=vB cos β
杆关联
vA1=vB1,即vA cos α=vB sin α第一章 抛体运动
2 运动的合成与分解
基础过关练
题组一 合运动与分运动
1.关于合运动、分运动的说法,正确的是 ( )
A.运动的合成与分解符合平行四边形定则
B.合运动的位移一定比其中的一个分位移大
C.合运动的速度一定比两个分速度大
D.合运动的时间一定比分运动的时间长
2.竖直放置的两端封闭的玻璃管中注满清水,内有一个红蜡块能在水中匀速上浮。如图所示,当红蜡块从玻璃管的下端匀速上浮的同时,第一次使玻璃管水平向右匀速运动,测得红蜡块运动到顶端所需时间为t1;第二次使玻璃管水平向右加速运动,测得红蜡块从下端运动到顶端所需时间为t2。则 ( )
A.t1=t2 B.t1>t2
C.t13.(多选题)一物体在xOy平面内从坐标原点开始运动,沿x轴和y轴方向运动的速度随时间t变化的图像分别如图甲、乙所示,则物体0~t0时间内 ( )
A.做匀变速运动
B.做非匀变速运动
C.运动的轨迹可能如图丙所示
D.运动的轨迹可能如图丁所示
4.河北杂技,历史悠久,源远流长。如图甲所示,在杂技表演中,演员A沿竖直杆匀减速向上爬,同时演员B顶着杆匀速水平向右移动。若建立如图乙所示的坐标系,其中x与y分别表示演员A在水平方向、竖直方向的位移,则在该过程中演员A的运动轨迹可能是下图中的( )
题组二 位移和速度的合成与分解
5.(多选题)在杂技表演中,猴子沿竖直杆向上做初速度为零、加速度为a的匀加速运动,同时人顶着直杆以速度v0水平匀速移动,经过时间t,猴子沿杆向上移动的高度为h,人顶杆沿水平地面移动的距离为x,如图所示。关于猴子的运动情况,下列说法中正确的是 ( )
A.相对地面的运动轨迹为直线
B.相对地面做匀变速曲线运动
C.t时刻猴子相对地面的速度大小为v0+at
D.t时间内猴子相对地面的位移大小为
6.公交车是人们出行的重要交通工具,如图所示是某公交车内部座位示意图,其中座位A和座位B的连线与公交车的前进方向垂直。当公交车在某一站台由静止开始启动做匀加速直线运动的同时,一名乘客从A座位沿A、B连线相对公交车以2 m/s的速度匀速运动到B座位,则站在站台上的人看到 ( )
A.该乘客的运动轨迹为直线
B.该乘客的运动轨迹为曲线
C.因该乘客在公交车上做匀速直线运动,所以乘客处于平衡状态
D.当公交车的速度为5 m/s时,该乘客对地的速度为7 m/s
7.直升机空投物资时,可以停留在空中不动,设投出的物资离开飞机后由于降落伞的作用在空中能匀速下落,无风时落地速度为5 m/s。若飞机停留在离地100 m高处空投物资,由于风的作用,可使降落伞和物资在水平方向产生1 m/s的速度。求:
(1)物资在空中运动的时间;
(2)物资落地时速度的大小。
题组三 小船渡河问题
8.(多选题)下列图中实线为河岸,河水的流动方向如图中v的箭头所示,虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线。则其中可能正确的是 ( )
A B
C D
9.(多选题)一小船要渡过一条两岸平行,宽为120 m的河流,当船头朝向斜向上游与上游河岸的夹角为53°时,小船恰从A点沿直线到达正对岸的B点,如图所示。已知小船在静水中的速度为5 m/s,河内各处水流速度相同且保持不变。则下列说法正确的是(sin 53°=0.8, cos 53°=0.6) ( )
A.水流速度大小为4 m/s
B.水流速度大小为3 m/s
C.小船渡河时间为40 s
D.小船渡河时间为30 s
10.一艘渔船以一定的速度垂直河岸向对岸驶去,当河水流速恒定时,关于渔船所通过的路程、过河时间与水速的关系,下列说法正确的是 ( )
A.水流速越大,路程越大,时间越长
B.水流速越大,路程越大,时间越短
C.水流速越大,路程和时间都不变
D.水流速越大,路程越大,但时间不变
能力提升练
题组一 运动合成与分解的应用
1.质量为1 kg的物体在水平面内做曲线运动,已知该物体在两个互相垂直方向上的分运动的速度—时间图像分别如图甲、乙所示,则下列说法正确的是( )
A.2 s末物体速度大小为7 m/s
B.物体所受的合外力大小为3 N
C.物体的初速度大小为5 m/s
D.物体初速度的方向与合外力方向垂直,做匀变速曲线运动
2.(多选题)质量为2 kg的质点在xOy平面上做曲线运动,沿x方向的速度—时间图像和沿y方向的位移—时间图像分别如图甲、乙所示,下列说法正确的是( )
A.质点的初速度大小为5 m/s
B.质点所受的合外力大小为3 N,做匀加速曲线运动
C.2 s末质点速度大小为6 m/s
D.2 s内质点的位移大小约为14 m
题组二 小船渡河问题
3.(多选题)随着我国全面进入主汛期,防汛形势十分严峻。各地区各部门坚持人民至上、生命至上,全力以赴抗洪抢险。某船积极参加抗洪,已知该船在静水中的最大速度为5 m/s。现让该船渡过某条河,假设河的两岸是平行线,河水流速恒定,河宽d=100 m。船以最短时间渡河,航线与岸的夹角为60°,则 ( )
A.渡河时间为20 s
B.河水流速为10 m/s
C.实际渡河位移为 m
D.调整船头斜向上游,可以到达正对岸
4.小船匀速横渡一条河流,两河岸平行,当船头垂直河岸航行时,在出发后10 min到达河对岸下游120 m处;若船头保持与河岸成α角向上游航行,出发后12.5 min到达河正对岸。 sin 37°=0.6,求:
(1)水流的速度大小;
(2)小船在静水中的速度、河的宽度以及船头与河岸间的夹角α。
答案与分层梯度式解析
第一章 抛体运动
2 运动的合成与分解
基础过关练
1.A 运动的合成与分解符合平行四边形定则,A正确;根据平行四边形定则可知,合位移可能比分位移大,也可能比分位移小,还可能与分位移相等,B错误;合速度可能比分速度大,也可能比分速度小,还可能与分速度相等,C错误;合运动和分运动有等时性,合运动的时间一定等于分运动的时间,故D错误。
2.A 两个分运动相互独立,互不影响,红蜡块两次上浮的运动时间相等,t1=t2,故选A。
3.AC 0~t0时间内物体沿x轴方向做匀速直线运动,沿y轴方向做匀减速直线运动,所受合力沿y轴负方向且大小保持不变,物体做轨迹向y轴负方向弯曲的匀变速曲线运动,故A、C正确。
4.C 由题意知,演员B水平向右做匀速直线运动,加速度为零;演员A沿杆向上做匀减速直线运动,加速度向下,故演员A的实际加速度竖直向下;初速度与加速度不在一条直线上,所以演员A的运动轨迹为向下弯曲的曲线。故选C。
5.BD 猴子在水平方向上做匀速直线运动,在竖直方向上做初速度为零的匀加速直线运动,所以猴子的实际运动轨迹为曲线,A错误;因为猴子的加速度恒定,所以相对地面做的是匀变速曲线运动,B正确;t时刻猴子对地的速度大小为vt=,D正确。
6.B 乘客所受合力沿车前进方向,与其速度方向不在一条直线上,故乘客的运动轨迹为曲线,A、C错误,B正确;当公交车的速度为5 m/s时,该乘客对地的速度为v= m/s,D错误。
7.答案 (1)20 s (2) m/s
解析 物资在整个下落过程中,水平方向与竖直方向均做匀速直线运动
(1)竖直方向,则有h=vyt
得物资在空中运动的时间t=20 s
(2)落地时,水平方向速度vx=1 m/s,竖直方向速度为vy=5 m/s,由平行四边形定则可知,落地速度大小v= m/s
8.AB 小船渡河的运动可看作小船随水流的运动和小船沿船头方向运动的合运动,虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线,小船合运动的速度方向就是其实际运动的方向,分析可知,可能正确的是A、B。
9.BD 根据题意,将小船在静水中的速度与河水流速合成,如图所示,
小船恰从A点沿直线到达正对岸的B点,则小船渡河的实际速度v=v静 sin 53°=4 m/s,则小船渡河时间为t= s=30 s,由几何关系可得,水流速度大小为v水=v静 cos 53°=3 m/s,故选B、D。
规律总结 小船过河的合运动与分运动
合运动→船的实际运动v合→平行四边形对角线
10.D 船头垂直河岸,则渡河时间t=,则水流速越大,路程越大,C错误,D正确。故选D。
能力提升练
1.D 根据题意可知,物体在x方向做初速度为零的匀加速直线运动,在y方向做匀速直线运动,2 s末,vx=3 m/s,vy=4 m/s,因而v==1.5 m/s2,ay=0,根据牛顿第二定律得Fx=max=1×1.5 N=1.5 N,Fy=0,因而合外力F=1.5 N,B错误;t=0时,vx=0,vy=4 m/s,因而初速度v0=4 m/s,C错误;由于初速度v0=4 m/s,沿y方向,合外力F=1.5 N,沿x方向,故物体做匀变速曲线运动,D正确。
2.AB 由v-t图像可知质点在x方向的初速度大小为vx0=3 m/s,由y-t图像可得质点在y方向上做匀速直线运动,速度大小为vy= m≈12 m,D错误。
3.ACD 渡河时间t=时,船可到达正对岸,D正确。
4.答案 (1)0.2 m/s (2) m/s 200 m 53°
思路点拨 (1)看到“船头垂直河岸航行时,在出发后10 min到达河对岸下游120 m处”,想到“过河最短时间为10 min,10 min内船沿水流方向运动了120 m”。
(2)看到“船头保持与河岸成α角向上游航行,出发后12.5 min到达河正对岸”,想到“航程最短时,过河时间为12.5 min,最短航程为河的宽度”。
解析 (1)船头垂直河岸航行时,如图甲所示。
由x=v2t1得v2= m/s=0.2 m/s。
(2)船头保持与河岸成α角向上游航行时,如图乙所示,有v2=v1 cos α,d=v1 sin α·t2,由图甲可得d=v1t1,联立解得α=53°,v1= m/s,d=200 m。
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