第二章 匀速圆周运动
2 匀速圆周运动的向心力和向心加速度
第1课时 向心力
基础过关练
题组一 向心力及向心力来源分析
1.下列关于向心力的说法正确的是 ( )
A.物体由于做圆周运动而产生了一个向心力
B.对做匀速圆周运动的物体进行受力分析时,不能遗漏向心力
C.做匀速圆周运动的物体,向心力大小不变,是恒力
D.做匀速圆周运动的物体,向心力是物体所受的合力
2.如图所示,物体A、B随水平圆盘绕轴匀速转动,物体B在水平方向所受的作用力有 ( )
A.圆盘对B及A对B的摩擦力,两力都指向圆心
B.圆盘对B的摩擦力指向圆心,A对B的摩擦力背离圆心
C.圆盘对B及A对B的摩擦力和向心力
D.圆盘对B的摩擦力和向心力
3.如图所示,一辆轿车正在水平路面上做匀速圆周运动,下列说法正确的是 ( )
A.水平路面对轿车弹力的方向斜向上
B.静摩擦力提供向心力
C.重力、支持力的合力提供向心力
D.轿车受到的重力、支持力和摩擦力的合力为零
4.(多选题)下列关于几种圆周运动实例的说法中,正确的是 ( )
A.图甲中小球在竖直圆形轨道内运动,经过轨道上与圆心等高的A点时,轨道对小球的支持力提供小球所需的向心力
B.图乙中放在水平转台上的物体随转台一起匀速转动,物体受到的静摩擦力方向始终指向圆心
C.图丙中小球做圆锥摆运动,细绳的拉力与小球重力的合力提供小球运动所需的向心力
D.图丁的圆筒匀速转动的角速度越大,紧贴圆筒壁一起运动的物体a所受摩擦力也越大
题组二 实验探究向心力的大小
5.如图所示是探究向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系的实验装置图,转动手柄1,可使变速轮塔2和3以及长槽4和短槽5随之匀速转动。皮带分别套在变速轮塔2和3的不同圆盘上,可使两个槽内的小球6、7分别以不同的角速度做匀速圆周运动。小球做圆周运动的向心力由横臂8的挡板对小球的压力提供,球对挡板的反作用力,通过横臂8的杠杆作用使弹簧测力筒9下降,从而露出标尺10,标尺10上露出的红白相间的等分格显示出两个球所受向心力的比值。那么:
(1)在该实验中应用了 (填“理想实验法”“控制变量法”或“等效替代法”)来探究向心力的大小与质量m、角速度ω和半径r之间的关系。
(2)当用两个质量相等的小球做实验,且左边小球的轨道半径为右边小球的2倍时,转动手柄发现右边标尺上露出的红白相间的等分格数为左边的2倍,那么,左边变速轮塔与右边变速轮塔的角速度之比为 。
题组三 向心力表达式的理解及应用
6.(多选题)如图所示,在光滑的横杆上穿着两质量分别为m1、m2的小球,小球用细线连接起来,当转台匀速转动时,两小球与横杆不发生相对滑动,下列说法正确的是 ( )
A.两小球的速率一定相等
B.两小球的角速度一定相等
C.两小球所需的向心力一定相等
D.两小球到转轴的距离与其质量成反比
7.链球运动员在将链球抛掷出去之前,总要双手抓住链条,加速转动几圈,如图所示,这样可以使链球的速度尽量增大,抛出去后飞行更远,在运动员加速转动的过程中,能发现他手中与链球相连的链条与竖直方向的夹角θ将随链球转速的增大而增大,不计空气阻力,则以下几个图像中能描述ω与θ的关系的是 ( )
题组四 变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点
8.(多选题)如图所示,正在抓着绳子荡秋千的小孩,在离开最高点向最低点运动的过程中速度越来越大,下列说法中正确的是 ( )
A.绳子的拉力越来越大
B.绳子的拉力保持不变
C.小孩经图示位置时,加速度方向可能沿a所示的方向
D.小孩经图示位置时,加速度方向可能沿b所示(绳收缩)的方向
9.如图甲所示,A、B为固定在光滑水平面上的两根铁钉,小球C用细绳拴在铁钉B上(细绳能承受足够大的拉力),A、B、C在同一直线上。t=0时,给小球一个垂直于绳的速度,使小球绕着两根铁钉在水平面上做圆周运动。在0≤t≤10 s时间内,细绳的拉力随时间变化的规律如图乙所示。
(1)两铁钉间的距离为绳长的几分之几
(2)求t=10.5 s时细绳的拉力大小。
能力提升练
题组一 创新实验探究向心力大小的表达式
1.如图甲为探究向心力跟质量、半径、角速度关系的实验装置,金属块放置在转台上,电动机带动转台做圆周运动,改变电动机的电压,可以改变转台的转速,光电计时器可以记录转台每转一圈的时间,金属块被约束在转台的凹槽中,只能沿半径方向移动,且跟转台之间的摩擦力很小,可以忽略不计。
(1)某同学为了探究向心力跟角速度的关系,需要控制 和 两个物理量保持不变,改变转台的转速,对应每个转速由力传感器读出金属块受到的拉力,由光电计时器读出转动的周期T,计算出转动的角速度ω= 。
(2)上述实验中,该同学多次改变转速后,记录了一组力与对应周期的数据,他用图像法来处理数据,结果画出了如图乙所示的图像,该图线是一条过原点的直线,请你分析他的图像横坐标x表示的物理量是 (填正确答案的字母序号)。
A.ω B.T C. D.T2
(3)为了验证向心力跟半径、质量的关系,还需要用到的实验器材有 和天平。
2.某兴趣小组的同学设计了图甲所示的装置测量滑块和水平台面间的动摩擦因数。水平转台能绕竖直的轴匀速转动,装有遮光条的小滑块放置在转台上,细线一端连接小滑块,另一端连到固定在转轴上的力传感器上,连接传感器的计算机能显示出细线的拉力F,安装在铁架台上的光电门可以显示遮光条通过光电门的时间Δt,兴趣小组采取了下列步骤:
①用螺旋测微器测量遮光条的宽度d。
②用刻度尺测量滑块旋转半径R。
③将滑块放置在转台上,使细线刚好伸直。
④控制转台以某一角速度匀速转动,记录力传感器和光电门的示数,分别为F1和Δt1;依次增大转台的角速度,并保证每次都做匀速转动,记录对应的力传感器示数F2、F3…和光电门的示数Δt2、Δt3…。
回答下面的问题:
(1)滑块匀速转动的线速度大小可由v= 计算得出。
(2)处理数据时,兴趣小组的同学以力传感器的示数F为纵轴,对应的线速度大小的平方v2为横轴,建立直角坐标系,描点后拟合为一条直线,如图乙所示,设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度为g,滑块质量未知,则滑块和台面间的动摩擦因数μ= 。
(3)该小组同学换用相同材料的质量更大的滑块再次做了该实验,保持滑块旋转半径为R不变,作出F-v2的新图像,将两图像绘制于同一坐标系中,可能是下图中的 。
题组二 匀速圆周运动的动力学问题
3.如图所示,光滑固定的水平圆盘中心有一个光滑的小孔,用一穿过小孔的细绳连接质量分别为m1、m2的小球A和B,让B球悬挂,A球在光滑的圆盘面上绕圆盘中心做匀速圆周运动,角速度为ω,半径为r,则关于r和ω的关系图像正确的是 ( )
4.如图所示,位于竖直面内的光滑金属细圆环半径为R,质量分别为m1和m2的两带孔小球穿于环上。当圆环最终以角速度ω绕竖直直径匀速转动时,发现两小球均离开了原位置,它们和圆心的连线与竖直方向的夹角分别记为θ1和θ2,下列说法正确的是 ( )
A.若m1>m2,则θ1>θ2
B.若m1θ2
C.若θ1<θ2,则m1>m2
D.θ1和θ2总是相等,与m1和m2的大小无关
题组三 圆周运动中的临界问题
5.一根轻质细线一端系一可视为质点的小球,小球的质量为m,细线另一端固定在一光滑圆锥顶上,如图甲所示,设小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为ω,线的张力T随ω2变化的图像如图乙所示,下列说法正确的是 ( )
A.细线的长度为
B.细线的长度为
C.细线的长度为
D.细线的长度为
6.如图所示,水平转盘的中心有一个光滑的竖直小圆孔,质量为m的物体A放在转盘上,物体A到圆孔的距离为r,物体A通过轻绳与物体B相连,物体B的质量也为m。若物体A与转盘间的动摩擦因数为μ(μ<1),设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,则转盘转动的角速度ω在什么范围内,才能使物体A随转盘转动而不滑动 (重力加速度为g)
答案与分层梯度式解析
第二章 匀速圆周运动
2 匀速圆周运动的向心力和向心加速度
第1课时 向心力
基础过关练
1.D 物体做圆周运动需要向心力,向心力由物体受到的力来提供,不是物体做圆周运动产生的力,A错误;向心力是按作用效果命名的,做匀速圆周运动的物体,向心力由物体所受合力提供,B错误,D正确;做匀速圆周运动的物体,向心力大小不变,但方向时刻在变化,不是恒力,C错误。故选D。
2.B 以A、B整体为研究对象,受重力、圆盘的支持力及圆盘对B的摩擦力,重力与支持力平衡,摩擦力提供向心力,即摩擦力指向圆心;以A为研究对象,受重力、B的支持力及B对A的摩擦力,重力与支持力平衡,B对A的摩擦力提供A做圆周运动的向心力,即方向指向圆心,由牛顿第三定律可知,A对B的摩擦力背离圆心,所以物体B在水平方向受圆盘对B指向圆心的摩擦力和A对B背离圆心的摩擦力。故选B。
3.B 水平路面对轿车的弹力方向竖直向上,故A错误;在竖直方向重力和支持力相互平衡,轿车做圆周运动靠水平路面对车轮的静摩擦力提供向心力,轿车受到的重力、支持力和摩擦力的合力不为零,故B正确,C、D错误。
易混易错 本题考查向心力的来源。对向心力的理解要注意以下两点:①向心力不是性质力,可以由某个力来提供,也可以由某个力的分力或几个力的合力来提供;②只有做匀速圆周运动的物体所受合力才等于向心力。
4.ABC 图甲中小球在竖直圆形轨道内运动,经过与圆心O等高的A点时,受到重力和支持力,其中轨道对小球的支持力提供小球所需向心力,A正确;图乙中物体放在水平转台上并随转台一起匀速转动,物体受到重力、支持力和静摩擦力,静摩擦力提供向心力,指向圆心,B正确;图丙中小球做圆锥摆运动,小球受到重力和绳子的拉力,两个力的合力提供向心力,故C正确;图丁中无论圆筒匀速转动的角速度多大,紧贴圆筒壁一起运动的物体a所受摩擦力与其重力等大反向,故D错误。
5.答案 (1)控制变量法 (2)1∶2
解析 (1)该实验采用的是控制变量法。
(2)线速度大小相等,则角速度与半径成反比,故可知左边变速轮塔与右边变速轮塔的角速度之比为1∶2。
6.BCD 两小球随着杆及转台一起转动,角速度一定相等,两小球用细线连接,两小球所需的向心力等于细线的张力,有m1ω2r1=m2ω2r2,则,B、C、D正确;r不一定相等,所以由v=ωr知,v不一定相等,故A错误。
7.D 设链条与运动员手臂的总长为L,链球做圆周运动的向心力由重力mg和拉力F的合力提供,向心力Fn=mg tan θ=mω2(L sin θ),解得ω2=,故D正确。
8.AC 小孩在最高点时,速度为零,受重力和绳的拉力,合力沿运动轨迹的切线方向,绳子的拉力大小等于重力沿绳方向的分力大小,小于重力;在最低点时,小孩受到的绳子的拉力与重力的合力提供向心力,所以绳子的拉力大于重力。因此在小孩离开最高点向最低点运动的过程中,绳子的拉力逐渐增大,故A正确,B错误。在离开最高点向最低点运动的过程中,小孩的速度增大,合力的一个分力指向圆心,提供向心力,另一个分力沿运动轨迹的切线方向,使小孩速度增大,所以小孩经题图所示位置时,加速度方向可能沿图中a所示的方向,故C正确,D错误。
9.答案 (1) (2)6 N
解析 (1)根据题意可知,水平面光滑,给小球一个垂直于绳的速度,小球在绳子的拉力作用下做匀速圆周运动,设绳长为L,小球的速度为v,由图乙可知,0~6 s内,绳子的拉力大小不变,则有F1=m=5 N
6~10 s内,绳子的拉力大小不变,设两铁钉间的距离为ΔL,则有F2=m=6 N
联立解得ΔL=L
(2)根据题意,由图乙可知,第一个半圈经历的时间为6 s,则有=t1=6 s
则第二个半圈经历的时间t2==5 s
则t=10.5 s时,小球在转第二个半圈,则绳子的拉力大小为6 N。
能力提升练
1.答案 (1)金属块转动半径 金属块质量
(2)C (3)刻度尺
解析 (1)根据F=mrω2知要研究向心力大小与角速度的关系,需控制金属块质量和金属块转动半径不变,改变转台的转速,对应每个转速由力传感器读出金属块受到的拉力。转动的周期为T,则转动的角速度ω=。
(2)图线是一条过原点的倾斜直线,根据F=mrω2,ω=,C正确。
(3)为了验证向心力跟半径、质量的关系,需要测金属块转动半径和金属块质量,故还需要用到的实验器材有刻度尺和天平。
2.答案 (1) (3)C
解析 (1)滑块通过光电门的时间为Δt,可得滑块匀速转动的线速度大小v=。
(2)滑块随转台匀速转动,可得F+μmg=。
(3)结合F-v2的表达式可知,换用相同材料的质量更大的滑块做实验,得到的图像的斜率和纵轴截距变大;当F=0时,横轴截距a=v2=μgR,滑块材料相同,因此μ相同,因此横轴截距不变,故C正确。
3.B 根据题意可得m2g=m1rω2,得r=与ω2成正比,C、D错误。
4.D 当圆环最终以角速度ω绕竖直直径匀速转动时,小球做匀速圆周运动的向心力F向=mg tan θ=mRω2 sin θ,可得 cos θ=,由此可知,θ与ω大小、R大小有关,与小球质量无关。故选D。
5.A 设细线长为L,圆锥母线与竖直方向的夹角为θ,当ω=0时,小球静止,受重力mg、支持力N和细线的拉力T而平衡,此时有T1=mg cos θ≠0。ω增大时,T增大,N减小,当N=0时,角速度为ω0。当ω<ω0时,由牛顿第二定律有T sin θ-N cos θ=mω2L sin θ,T·cos θ+N sin θ=mg,解得T=mω2L sin2 θ+mg cos θ;当ω>ω0时,小球离开圆锥面,细线与竖直方向的夹角变大,设为β,由牛顿第二定律得T sin β=mω2L sin β,所以T=mLω2,此时T-ω2图线的反向延长线经过原点,可知T-ω2图线的斜率变大,结合图乙可得T2=mL,故选A。
6.答案
解析 当A将要沿转盘背离圆心滑动时,A所受的摩擦力为最大静摩擦力,方向指向圆心,此时A做圆周运动的向心力等于绳的拉力与最大静摩擦力的合力,即
F+Ffmax=mr ①
由于B静止,故有F=mg ②
又因为Ffmax=μFN=μmg ③
由①②③式可得ω1=
当A将要沿转盘向圆心滑动时,A所受的摩擦力为最大静摩擦力,方向背离圆心,此时A做圆周运动的向心力为
F-Ffmax=mr ④
由②③④式可得ω2=
故要使A随转盘一起转动而不滑动,角速度ω的范围为。
方法技巧 关于水平面内匀速圆周运动的临界问题,要特别注意分析物体做圆周运动的向心力来源,考虑达到临界条件时物体所处的状态,即临界线速度、临界角速度,然后分析该状态下物体的受力特点,结合圆周运动的知识,列方程求解。碰到较多的是如下三种情况:
(1)与绳的弹力有关的临界条件:绳的弹力恰好为0。
(2)与支持面的弹力有关的临界条件:支持力恰好为0。
(3)因静摩擦力而产生的临界问题:静摩擦力达到最大值。
7第二章 匀速圆周运动
2 匀速圆周运动的向心力和向心加速度
第2课时 向心加速度
基础过关练
题组一 对向心加速度的理解
1.在匀速圆周运动中,关于向心加速度,下列说法正确的是 ( )
A.向心加速度是恒量
B.向心加速度的方向保持不变
C.向心加速度的方向始终与线速度方向垂直
D.向心加速度是反映线速度的大小变化快慢的物理量
2.在世界各国研发第三代主战坦克的潮流中,中国新一代主战坦克99A式主战坦克达到了世界先进水平。坦克前进是使用履带式前进装置,如图是坦克内部传动装置的一部分齿轮图,图中A和B两个齿轮彼此是咬合的,B和C两个齿轮是共轴的,已知A、B、C三个齿轮的半径比为4∶1∶3,下列说法中正确的是( )
A.角速度之比ωA∶ωB∶ωC=1∶4∶3
B.边缘点的线速度大小之比为vA∶vB∶vC=1∶4∶3
C.边缘点的线速度大小之比为vA∶vB∶vC=2∶2∶3
D.边缘点的向心加速度之比aA∶aB∶aC=1∶4∶12
题组二 向心加速度的计算
3.化曲为圆是曲线运动的一种分解方式,如图所示,在变力作用下质量为m的物体的轨迹可以分为很多小段,每小段都可以看成圆的一部分,在B点物体受到的力F与速度v的夹角为θ,则物体在B点的向心加速度大小为 ( )
A.
C.
4.如图所示,地球可以看成半径为R的球体绕地轴O1O2以角速度ω匀速转动,A、B为地球上两点。下列说法中正确的是( )
A.A、B两点具有不同的角速度
B.A、B两点的线速度大小之比为1∶
C.A、B两点的向心加速度大小之比为∶1
D.A、B两点的向心加速度方向都指向球心
5.如图所示为两级皮带传动装置,转动时皮带均不打滑,中间两个轮子是固定在一起的,轮1的半径和轮2的半径相同,轮3的半径和轮4的半径相同,且为轮1和轮2半径的一半,则轮1边缘的a点与轮4边缘的c点相比( )
A.线速度大小之比为1∶4
B.角速度大小之比为4∶1
C.向心加速度大小之比为8∶1
D.向心加速度大小之比为1∶8
能力提升练
题组一 向心加速度的计算
1.某研究小组在“估测甩手时指尖的最大向心加速度”课题研究中,利用摄像机记录甩手动作,A、B、C是甩手动作最后3帧(每秒25帧)照片指尖的位置。根据照片建构A、B之间运动模型:开始阶段,指尖A以肘关节M为圆心做圆周运动,到接近B的最后时刻,指尖以腕关节N为圆心做圆周运动。测得A、B之间的距离为26 cm,B、N之间的距离为17 cm。粗略认为A、B之间平均速度为甩手动作最后阶段指尖做圆周运动的线速度。重力加速度为g。请估测甩手时指尖的最大向心加速度是 ( )
A.5g B.10g C.25g D.50g
2.(多选题)如图所示,小球A用轻质细线拴着在水平面内做半径为R的匀速圆周运动,当小球A运动到最左侧时,在小球A的正上方高度为R处的小球B水平飞出,飞出时的速度大小为。不计空气阻力,重力加速度为g,要使小球A在运动一周的时间内能与小球B相碰,则小球A的向心加速度大小可能为 ( )
A.
题组二 向心力与向心加速度的综合分析
3.质量不计的轻质弹性杆P插入桌面上的小孔中,杆的另一端套有一个质量为m的小球,今使小球在水平面内做半径为R的匀速圆周运动,且角速度为ω,如图所示,重力加速度大小为g,则杆的上端受到球对其作用力的大小为( )
A.mω2R B.m
C.m D.不能确定
4.(多选题)如图甲所示,轻杆一端固定在O点,另一端固定一小球(大小不计),现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时,杆与小球间弹力大小为F,小球在最高点的速度大小为v,其F-v2图像如图乙所示。则 ( )
A.小球的质量为
B.当地的重力加速度大小为
C.v2=c时,小球对杆的弹力方向向上
D.v2=2b时,小球受到的弹力与重力大小相等
答案与分层梯度式解析
第二章 匀速圆周运动
2 匀速圆周运动的向心力和向心加速度
第2课时 向心加速度
基础过关练
1.C 在匀速圆周运动中,向心加速度大小恒定,方向总是指向圆心,即向心加速度的方向时刻在变,向心加速度不是恒量,A、B错误;向心加速度的方向始终与线速度方向垂直,C正确;向心加速度只改变线速度的方向,D错误。故选C。
2.D A和B边缘线速度大小相等,B和C的角速度相等,A、B、C半径比为4∶1∶3,有vA=vB,ωB=ωC,由v=ωr,a=ω2r得ωA∶ωB∶ωC=1∶4∶4,vA∶vB∶vC=1∶1∶3,aA∶aB∶aC=1∶4∶12,故选D。
3.C 在B点把物体受到的力F沿着速度方向和垂直于速度方向分解,则向心力大小为Fn=F sin θ,由牛顿第二定律可得物体在B点的向心加速度大小为an=,故选C。
4.C A、B两点同轴转动,角速度相同,故A错误;因为A、B两点绕地轴转动,A点的转动半径大于B点的转动半径,由题图可知,rA=R sin 60°=∶1,故C正确;A、B两点的向心加速度方向垂直指向地轴,故D错误。
5.D 由题意知2va=2v3=v2=vc,其中v2、v3为轮2和轮3边缘的线速度大小,所以va∶vc=1∶2,A错误;设轮4的半径为r,则aa=,B错误。
能力提升练
1.C 根据题意甩手动作每秒25帧,得从A到B的时间间隔为t=,代入rNB=17 cm=0.17 m,解得a≈248.5 m/s2≈25g,故选C。
2.AD B做平抛运动,到达小球A所在水平面时,在竖直方向上有R=,故A、D正确。
3.C 对小球进行受力分析,小球受两个力,一个是重力,另一个是杆对小球的作用力F,两个力的合力充当向心力。由平行四边形定则可得F=m,故C正确。
4.ACD 当小球在最高点受到的弹力方向向下时,有F+mg=,A正确,B错误;v2=c时,小球受到的弹力方向向下,则小球对杆的弹力方向向上,C正确;v2=2b时,小球受到的弹力与重力大小相等,D正确。
7(共27张PPT)
知识点1 向心力
1.定义:做匀速圆周运动的物体所受的指向圆心的合力。
2.方向:始终沿着半径指向圆心,与线速度方向垂直。
3.作用效果:向心力只改变速度的方向,不改变速度的大小。
4.向心力是由某个力或者几个力的合力提供的,是根据力的作用效果命名的。
必备知识 清单破
2 匀速圆周运动的向心力和向心加速度
知识点2 向心力的大小
1.实验探究
控制变量 探究内容
m、r相同,改变ω 探究向心力F与角速度ω的关系
m、ω相同,改变r 探究向心力F与半径r的关系
ω、r相同,改变m 探究向心力F与质量m的关系
2.公式:F=mω2r或F=m 。
3.来源:可以是重力、弹力、摩擦力等各种性质的力,也可以是几个力的合力,还可以是某个
力的分力。
知识点3 向心加速度
1.定义:做匀速圆周运动的物体,在向心力作用下产生的指向圆心的加速度。
2.方向:沿半径方向指向圆心,与线速度方向垂直,且时刻在变化,因此匀速圆周运动是加速度
方向不断变化的变加速曲线运动。
3.匀速圆周运动的加速度大小
知识辨析
1.向心力对物体运动的速度大小与方向有什么影响
2.圆周运动中,合外力等于向心力吗
3.物体做圆周运动的速度越大,向心力一定越大吗
4.任何做圆周运动的物体的加速度都指向圆心吗
5.向心加速度的公式a= =ω2r,适用于变速圆周运动吗
6.能不能由a= =ω2r得到“向心加速度既与v2成正比,也与ω2成正比”的结论
一语破的
1.向心力只能改变速度的方向,不能改变速度的大小。
2.不一定。匀速圆周运动的合外力等于向心力,变速圆周运动的向心力是合外力的一个分力。
3.不一定。物体做圆周运动所需的向心力,不仅和物体的速度有关,还和物体的质量、运动半
径有关。
4.不是。物体做匀速圆周运动,其加速度一定指向圆心;若做非匀速圆周运动,加速度不指向
圆心,但它的向心加速度一定指向圆心。
5.适用。向心加速度的公式a= =ω2r也适用于变速圆周运动,在应用时要注意a、ω、v必须
是同一时刻的瞬时值。
6.不能。只能说在匀速圆周运动中,当运动半径一定时,向心加速度a与v2成正比,与ω2成正比。
关键能力 定点破
定点1 向心力的来源
向心力来源的几个实例分析
实例 示意图 向心力来源
用细线拴住小球在光滑水平
面内做匀速圆周运动 细线的拉力提供向心力,F=FT
物体随转盘做匀速圆周运动,
且相对转盘静止 转盘对物体的静摩擦力提供
向心力,F=Ff
小球在细线拉力作用下,在水
平面内做匀速圆周运动 重力和细线的拉力的合力提
供向心力,F=F合
木块紧贴筒壁,随圆筒绕轴线
做圆周运动 圆筒侧壁对木块的弹力提供
向心力,F=FN
定点2 对向心加速度的理解
1.向心加速度与半径的关系
(1)当线速度一定时,向心加速度与运动半径成反比,如图甲所示。
(2)当角速度一定时,向心加速度与运动半径成正比,如图乙所示。
由a-r图像可以看出:向心加速度an与r是成正比还是反比,要看是角速度ω恒定还是线速
度v恒定。
2.向心加速度的注意要点
(1)向心加速度的公式适用于所有圆周运动的向心加速度的计算,包括非匀速圆周运动,但a与
v具有瞬时对应性。
(2)向心加速度只改变速度的方向,不改变速度的大小。
(3)无论是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动,向心加速度的方向都指向圆心。非匀速圆周
运动合加速度不指向圆心,但向心加速度一定指向圆心,只改变速度的方向。
条件 规律
当同轴转动时,角速度相同 由a=rω2知,向心加速度与半径成正比
当皮带、链条传动时,轮边缘各点线速度大
小相等 由a= 知,向心加速度与半径成反比
半径相同 由a= =ω2r=4π2n2r= 知,向心加速度与线
速度的平方成正比、与角速度的平方成正
比、与转速的平方成正比、与周期的平方
成反比
3.在传动装置中,对向心加速度公式的理解
4.用运动学的方法求向心加速度
(1)Δv的方向:如图所示,质点做匀速圆周运动从A点运动到B点,用图体现时间逐渐减小到趋于
零时Δv与线速度的关系。
结论:Δt趋近于零时,Δv垂直于此时的线速度。即Δv指向圆心。
(2)向心加速度的方向:由于Δv指向圆心,由加速度定义a= 可知,加速度总是与Δv的方向一
致,故向心加速度方向指向圆心。
(3)向心加速度的大小:先作出做匀速圆周运动的物体的速度情况如图甲所示,再作出速度与
速度改变量的关系图如图乙所示。
由于A点的速度vA方向垂直于半径r,B点的速度vB方向垂直于另一条半径r,所以∠AOB=∠
CBD,故等腰△AOB和△CBD相似,根据对应边成比例可得: = ,由于时间t很短,故AB近似
等于 ,而 =vA·Δt,所以 = ,又因为a= ,故a= 。由于v=ωr,代入a= 可得a=ω2r。
5.常见匀速圆周运动的实例
图例 受力分析 力的分解方法 满足的方程及向心加
速度
圆锥摆(小球在水平
面内做匀速圆周运
动) F cos θ=mg
F sin θ=mω2l·sin θ
或mg tan θ=mω2l sin θ
a=g tan θ
物块相对于光滑的斜
面静止,在水平面内
做匀速圆周运动 FN cos θ=mg
FN sin θ=mω2r
或mg tan θ=mω2r
a=g tan θ
飞机在水平面内做匀
速圆周运动 F升 cos θ=mg
F升 sin θ=mω2r
或mg tan θ=mω2r
a=g tan θ
A在光滑的水平面内
做匀速圆周运动 FN=mg
F拉=mBg=mω2r
a=ω2r
典例 如图所示,一个大轮通过皮带带动小轮转动,皮带和两轮之间无相对滑动【1】,大轮的半
径是小轮半径的2倍,大轮上的一点S【2】离转动轴的距离是大轮半径的 。当大轮边缘上的P
点【3】的向心加速度是12 m/s2时,大轮上的S点和小轮边缘上的Q点的向心加速度各为多少
答案 4 m/s2 24 m/s2
信息提取 【1】大轮与小轮边缘各点的线速度大小相等。
【2】【3】P点、S点同轴转动,角速度相等。
思路点拨 已知P点的向心加速度,由于P点、Q点线速度大小相等,可用公式a= 【4】求Q点
的向心加速度;由于P点、S点角速度相等,可用公式a=ω2r【5】求S点的向心加速度。
解析 S点和P点的角速度相等,即ωS=ωP
则 = (由【5】得到)
故aS= aP= ×12 m/s2=4 m/s2
P点和Q点的线速度大小相等,即vP=vQ
则 = (由【4】得到)
故aQ= aP=2×12 m/s2=24 m/s2
定点3 涉及连接体圆周运动的实例分析
1.圆周运动中的连接体问题
(1)圆周运动中的连接体问题是指两个或两个以上的物体通过一定的约束绕同一转轴做圆周
运动的问题。
(2)这类问题的一般解题思路是:分别隔离物体进行受力分析,画出受力示意图,确定轨道平面
和半径。
(3)要特别注意物理量间的关系,例如,同轴转动的两物体角速度、周期和转速相同,连接杆(或
连接绳)对关联两物体的作用力等大、反向,等等。
情景图示 情景分析
A、B两小球固定在杆上 计算杆OA段的拉力时,以小球A为研究对象,
杆OA段与AB段拉力的合力提供向心力;计
算杆AB段的拉力时,以小球B为研究对象,杆
AB段的拉力提供向心力
2.常见的情景分析
A、B两物块间由轻绳(或轻杆)连接,随转盘一起转动 当转盘的转速逐渐增大时,物块A受到的静
摩擦力先达到最大值;转速继续增加,A、B间
绳子开始有拉力,当B受到的静摩擦力达到最
大值后两物块开始滑动(A、B两物块与转盘
间动摩擦因数相等)
A、B两小球用轻线相连,穿在光滑轻杆上 两球随杆绕转轴O在水平面内做圆周运动
时,两球所受向心力大小相等,角速度相同,圆
周运动的轨道半径之比等于小球质量的反
比
特别提醒 圆周运动中的连接体经常涉及临界问题,需考虑达到临界条件时物体所处的状
态,分析该状态下物体的受力特点,结合圆周运动知识列方程求解。通常涉及的两种力的临
界条件为:a.与绳(线)、接触面的弹力有关的临界条件,弹力恰好为零;b.与静摩擦力有关的临
界条件,静摩擦力达到最大值。
典例 如图,在匀速转动的水平圆盘上,沿直径方向放着用细线相连的质量均为m的两物体A
和B【1】,它们分别在圆盘圆心两侧【2】,与圆心间的距离分别为rA=r,rB=2r,两物体与圆盘间的动
摩擦因数均为μ,最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑
动【3】时,已知重力加速度为g,下列说法正确的是 ( )
A.此时细线张力为4μmg
B.此时圆盘的角速度为ω=
C.此时A所受摩擦力方向沿半径指向圆心
D.此时B所受摩擦力方向沿半径背离圆心
B
信息提取 【1】细线中产生张力时,张力也沿直径方向,可提供向心力。
【2】A、B的向心力沿半径指向圆心,方向相反。
【3】细线的拉力与摩擦力的合力提供向心力。当圆盘转速较小时A、B受力如图甲所示,转
速较大时A、B受力如图乙所示。
思路点拨 解答本题的关键点有两个:(1)当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动
时,A、B所受摩擦力都达到最大静摩擦力;
(2)对A、B进行受力分析,由牛顿第二定律求出A、B两物体与圆盘保持相对静止的最大角速
度及细线的拉力。
解析 两物体A和B随着圆盘匀速转动时,合外力提供向心力,则F=mω2R,B的运动半径比A的
运动半径大,所以B所需向心力大,细线上各处拉力相等,所以当圆盘转速加快到两物体刚好
还未发生滑动时,A、B所受摩擦力都达到最大静摩擦力,此时B所受的静摩擦力方向指向圆
心,A所受的静摩擦力方向背离圆心,选项C、D错误;设此时细线的拉力大小为T,根据牛顿第
二定律,对B有T+μmg=2mω2r,对A有T-μmg=mω2r,联立解得T=3μmg,ω= ,选项B正确,A错
误。
