(共29张PPT)
知识点1 汽车过拱形桥
必备知识 清单破
3 圆周运动的实例分析 4 圆周运动与人类文明(选学)
汽车过拱形桥 汽车过凹形路面
示意图 最高点
最低点
受力 分析 在最高点,重力和支持力的合
力提供向心力,mg-FN=m , 汽车处于失重状态 在最低点,重力和支持力的合
力提供向心力,FN-mg=m ,
汽车处于超重状态
对桥 (路面) 的压力 F'N=mg-m ,对桥的压力小 于汽车的重力,汽车速度越
大,对桥的压力越小 F'N=mg+m ,对路面的压力
大于汽车的重力,汽车速度越
大,对路面的压力越大
速度v 的讨论 0≤v< 时,0 时,汽车将飞离桥面, 易发生危险 v越大,路面对车的支持力越
大,易挤爆车胎,故汽车在最
低点时速度也不能太大
知识点2 “旋转秋千”——圆锥摆
1.物理模型:细线下面悬挂一个钢球,使钢球在某个水平面内做匀速圆周运动,悬线旋转形成
一个圆锥面,这种装置叫圆锥摆。
2.向心力来源:由重力和悬线拉力的合力提供(如图)。
由F合=mg tan α=mω2r,r=l sin α得
ω= ,所以cos α=
则周期T= =2π 。
3.结论:悬线与中心轴的夹角α跟“旋转秋千”的角速度和悬线长度有关,与小球的质量无
关。在悬线长度一定的情况下,角速度越大则悬线与中心轴的夹角也越大(小于90°)。
知识点3 火车转弯
1.运动特点
火车转弯时做圆周运动,具有向心加速度。由于火车的质量很大,所以需要很大的向心力。
2.向心力的来源分析
(1)如果铁路弯道的内外轨一样高,火车转弯时,外轨对外侧车轮的轮缘的弹力是火车转弯所
需向心力的主要来源,这样铁轨和车轮极易受损。
(2)如果在弯道处使外轨略高于内轨,火车以规定的行驶速度v0转弯时,所需的向心力几乎完
全由重力和铁轨对火车的支持力的合力提供,即F合=mg tan θ=m ,其中r为弯道半径,θ为轨道
所在平面与水平面的夹角。
3.规定速度
转弯时的速度v0= ,θ较小时,tan θ≈sin θ,而sin θ= ,故v0= ,其中h是两轨道的高度
差,L是两轨道间的距离,且L是一个定值。
4.轨道侧向压力分析
(1)当火车转弯速度v=v0时,所需的向心力由重力和支持力的合力提供,此时轮缘对内、外轨
均无侧向压力。
(2)当火车转弯速度v>v0时,所需向心力大于重力和支持力的合力沿水平方向的分力,外轨对
轮缘有向里的侧向压力。
(3)当火车转弯速度v轮缘有向外的侧向压力。
知识点4 离心运动
1.定义:在做圆周运动时,由于合外力提供的向心力消失或不足,以致物体沿圆周运动的切线
方向飞出或远离圆心而去的运动叫作离心运动。
2.合力与向心力的关系对圆周运动的影响
F合表示对物体提供的指向圆心方向的合外力,mω2r或m 表示物体做圆周运动所需的向心力。
(1)若F合=mω2r或F合=m ,即“提供”满足“需要”,物体做匀速圆周运动;
(2)若F合体将做离心运动;
(3)若F合>mω2r或F合>m ,即“提供”大于“需要”,物体做半径逐渐减小的近心运动;
(4)若F合=0,物体沿切线方向飞出。
3.离心机械:利用离心运动的机械叫作离心机械。常见的离心机械有洗衣机的脱水筒、离心
机。
导师点睛 物体做离心运动并不是物体受到离心力的作用,而是由于合外力不能提供足够的
向心力。所谓“离心力”也是由效果命名的,实际并不存在。
知识辨析
1.火车转弯时的向心力是车轨与车轮间的挤压提供的吗
2.汽车在拱形桥上行驶,对桥面的压力与车重有什么样的大小关系
3.做圆周运动的物体所受合外力突然消失,物体将沿圆周的半径方向飞出吗
4.洗衣机脱水筒的脱水原理是什么
一语破的
1.不是。在铁路弯道处,通常外轨比内轨高,目的是减轻轮缘与外轨间的挤压。火车以规定的
行驶速度转弯时,所需的向心力几乎完全由重力和铁轨对火车的支持力的合力提供。
2.对桥面的压力小于车重。汽车通过拱形桥最高点时,重力和支持力的合力提供向心力,且合
力向下指向圆心,所以汽车对桥面的压力小于其重力。
3.不是。沿圆周的切线方向飞出。
4.脱水筒的脱水原理是衣服对水的吸附力小于水做圆周运动所需的向心力。
关键能力 定点破
定点1 车辆转弯的动力学分析
1.水平面上弯道转弯
汽车、摩托车和自行车在水平地面上转弯时,其向心力是由地面的侧向摩擦力提供的,受力
分析如图所示。这时重力和地面对车的支持力平衡,车辆安全转弯时,有Ffmax=μmg≥m ,所
以车辆转弯的安全速度v≤ 。
2.外高内低斜面式弯道转弯
此时跟火车转弯处外高内低的轨道情相似,若转弯时所需的向心力F向由重力mg和支持力
FN的合力提供,如图所示,满足F向=mg tan θ=m ,可得v= 。当车速v> 时,摩擦
力将产生沿斜面向下的分力(类似于外轨对火车轮缘的弹力);若车速满足0擦力将产生沿斜面向上的分力(类似于内轨对火车轮缘的弹力)。
3.飞机的水平转弯
飞机在空中水平面内匀速率转弯时,机身倾斜,空气对飞机的升力和飞机的重力的合力提供
飞机转弯所需的向心力,如图所示。根据受力分析有F sin θ=m ,F cos θ=mg,解得v=
。改变转弯速度时,可以改变转弯的半径和机身的倾角。
定点2 竖直面内圆周运动的两类典型模型
1.两类典型模型—— 轻绳模型、轻杆模型
在竖直平面内做圆周运动的物体,按运动至轨道最高点时的受力情况可分为两类:一是无支
撑的(如球与绳连接,沿内轨道运动的“过山车”等),称为“轻绳模型”;二是有支撑的(如球
与杆连接,小球在弯管内运动等),称为“轻杆模型”。
轻绳模型 轻杆模型
情景 图示 在最高点无支撑
在最高点有支撑
弹力 特征 弹力可能向下,也可能等于零 弹力可能向下,可能向上,也
可能等于零
2.在最高点时绳、杆、环、管的临界情况分析
受力 示意图 FN向下 FN等于零
FN向下
FN为零
FN向上
力学 特征 mg+FN=m mg±FN=m
临界 特征 FN=0,vmin= 竖直向上的支持力FN=mg,vmin
=0
过最高 点条件 v≥ v≥0
速度和 弹力 关系 讨论 分析 (1)若v≥ ,小球能过最高 点,FN+mg=m ;①当v> 时,绳、轨道对球产生弹力,
FN>0;②当v= 时,FN=0; (2)若v< ,小球不能过最高 点,即在到达最高点前小球已
经脱离了圆轨道或小球只在
圆心以下的圆弧轨道上运动 (1)当v=0时,FN=mg,FN为支持
力,沿半径背离圆心;
(2)当0 ,FN沿半径背离圆心,随v的
增大而减小;
(3)当v= 时,FN=0;
(4)当v> 时,FN+mg=m ,
FN沿半径指向圆心,并随v的
增大而增大
典例 如图甲所示,一长为l的轻绳【1】,一端穿在过O点的水平转轴上,另一端固定一质量未知
的小球,整个装置绕O点在竖直面内转动。小球通过最高点时【2】,绳对小球的拉力F与其速度
二次方v2的关系【3】如图乙所示,重力加速度为g,下列判断正确的是( )
A.图像对应的函数表达式为F=m +mg
B.绳长不变,用质量较小的球做实验,图线的横轴截距b变小
C.绳长不变,用质量较小的球做实验,得到的图线斜率更大
D.重力加速度g=
D
信息提取 【1】不计重力,只能提供沿绳方向的拉力,不能提供支持力。
【2】小球通过最高点时,向心力竖直向下;由于轻绳只能提供拉力,则小球在竖直平面内做圆
周运动时所需向心力不能小于重力。
【3】在最高点对小球进行受力分析,结合圆周运动规律得到F与v2的关系式。
思路点拨 在最高点,重力和拉力的合力提供小球做圆周运动的向心力,结合牛顿第二定律
【4】求出拉力F与v2的关系式,结合图线的横轴截距以及斜率【5】分析判断各选项。
解析 小球在最高点时,根据牛顿第二定律有F+mg=m ,解得F=m -mg(由【1】【2】
【3】【4】得到),选项A错误;当F=0时, 根据表达式有mg=m ,结合图线解得g= (由【5】得
到),选项D正确;由g= 可知b的大小与小球的质量无关,绳长不变,用质量较小的球做实验,图
线的横轴截距b不变,选项B错误;根据F=m -mg知,F-v2图线的斜率k= ,绳长不变,用质量较
小的球做实验,图线斜率更小(由【5】得到),选项C错误。
题型 圆周运动的临界问题
讲解分析
1.水平面内的圆周运动的临界问题
(1)模型特征:在水平面上做圆周运动的物体,当角速度ω变化时,物体有远离或向着圆心运动
的趋势。
(2)临界标志:题目中经常出现“刚好”“恰好”“正好”“最大”“最小”“至少”等字
眼,这些关键词恰恰说明此题中含有临界条件。
(3)两类情景
a.与摩擦力有关的临界问题
两物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间的摩擦力恰好达到最大静摩擦力,即f=
f静max。
学科素养 题型破
如果仅由摩擦力提供向心力,则静摩擦力的方向一定指向圆心;如果除摩擦力以外还有
其他力,则静摩擦力的方向不一定指向圆心,物体的向心力由各个力沿半径方向的分力的合
力提供。
b.与弹力有关的临界问题
①分离的临界条件:物体间的弹力恰好为零,即FN=0;
②绳拉力的临界条件:绳恰好拉直,且无弹力,即FT=0;绳恰好拉断,张力FT恰好达到绳子的最大
承受力。
2.竖直面内圆周运动的临界问题
对于竖直平面内的圆周运动,首先要分清是轻绳模型还是轻杆模型。轻绳模型和轻杆模型在
最低点的受力特点是一致的。在最高点轻杆模型中杆可以提供竖直向上的支持力,而轻绳模
型中绳不能提供支持力。
(1)轻绳模型
解决轻绳模型的临界问题要分析出绳子恰好无弹力这一临界状态下的角速度(或线速度)
等。在最高点时,轻绳模型的临界条件是mg=m ,v= 即临界速度。
(2)轻杆模型
解决轻杆模型的临界问题要分析出恰好无弹力这一临界状态下的角速度、线速度等,轻杆模
型中物体能做完整圆周运动的临界条件是在最高点时物体的速度v=0。
典例呈现
例题 如图所示,轻杆长3L,在杆两端分别固定质量均为m的球A和B,光滑水平转轴穿过杆上
距球A为L处的O点【1】,外界给系统一定能量后,杆和球在竖直平面内转动,球B运动到最高点
时,杆对球B恰好无作用力【2】。已知重力加速度为g,忽略空气阻力,则球B在最高点时 ( )
A.球B的速度为零
B.球A的速度大小为
C.水平转轴对杆的作用力大小为1.5mg
D.水平转轴对杆的作用力大小为2.5mg
C
信息提取 【1】球A、B做圆周运动的半径分别为L、2L,ωA=ωB;
【2】球B在最高点只受重力作用,即重力恰好提供向心力。
思路点拨 (1)由球B在最高点的受力,根据牛顿第二定律【3】和向心力公式【4】求出球B的速
度,根据v=ωr,结合ωA=ωB及A、B做圆周运动的半径关系求出球A的速度;(2)球A在最低点,其重
力和杆对其的拉力的合力提供向心力,根据牛顿第二定律结合向心力公式求出杆的拉力;(3)
分析杆的受力,受A、B球的弹力和水平转轴的作用力,再根据牛顿第三定律【5】结合平衡条件
【6】求出水平转轴对杆的作用力。
解析 球B运动到最高点时,杆对球B恰好无作用力,即球B的重力恰好提供向心力,有mg=m
,解得v= ;由于A、B两球的角速度相等,即ωA=ωB,RA=L,RB=2L,根据v=ωr,可得球A的速
度大小v'= = (由【1】【2】【3】【4】得到),A、B错误;球B运动到最高点时对杆无弹
力,杆受到A球对其的拉力和水平转轴的作用力,此时球A所受重力和杆的拉力的合力提供球
A做圆周运动所需的向心力,有F-mg=m ,解得F=1.5mg,可知球A对杆的拉力大小也为1.5mg,
所以水平转轴对杆的作用力大小为1.5mg(由【5】【6】得到),选项C正确,D错误。
素养解读 解决圆周运动综合问题,向心力来源的分析是解题的关键。本题通过轻杆两端连
接的两小球在竖直平面内做圆周运动,考查学生对轻杆模型中物体在最高点、最低点的受力
特点及运动特点的理解,深化了运动观念,培养模型构建、分析综合、推理论证的科学思维。第二章 匀速圆周运动
3 圆周运动的实例分析 4 圆周运动与人类文明(选学)
基础过关练
题组一 汽车过桥问题
1.某同学经过长时间的观察后发现,路面出现水坑的地方,如果不及时修补,水坑很快会变大,善于思考的他结合学过的物理知识,对这个现象提出了多种解释,则下列说法中不合理的解释是 ( )
A.车辆上下颠簸过程中,某些时刻处于超重状态
B.把坑看作凹陷的弧形,车对坑底的压力比平路大
C.车辆的驱动轮在坑中时,对地的摩擦力比平路大
D.坑洼路面与轮胎间的动摩擦因数比平直路面大
2.公路在通过小型水库的泄洪闸的下游时,常常要修建凹形路面,也叫“过水路面”。如图所示,汽车通过凹形路面的最低点时( )
A.汽车对路面的压力比汽车的重力小
B.汽车对路面的压力比汽车的重力大
C.汽车的加速度为零,受力平衡
D.汽车的速度越大,汽车对路面的压力越小
3.如图所示,车厢顶部悬挂一个轻质弹簧,弹簧下端拴一个质量为m的小球。当汽车以某一速度在水平地面上匀速行驶时,弹簧长度为L1;当汽车以大小相同的速度通过一个桥面为圆弧形的拱桥的最高点时,弹簧长度为L2,下列选项中正确的是 ( )
A.L1=L2
B.L1>L2
C.L1D.前三种情况均有可能
题组二 交通工具的转弯问题
4.在高速公路的拐弯处,通常路面都设计成外高内低。如图所示,在某路段汽车向左拐弯,汽车左侧的路面比右侧的路面低一些。汽车的运动可看成是半径为R的圆周运动。设内侧、外侧路面高度差为h,路基的水平宽度为d,路面的宽度为L。已知重力加速度为g。要使车轮与路面之间的横向(即垂直于前进方向)摩擦力等于零,则汽车转弯时的车速应等于( )
A.
5.火车转弯时,如果铁路弯道的内、外轨一样高,则外轨对轮缘(如图甲所示)挤压的弹力F提供火车转弯的向心力(如图乙所示),但是靠这种办法得到向心力,铁轨和车轮极易受损。在修筑铁路时,弯道处的外轨会略高于内轨(如图丙所示),当火车以规定的行驶速度转弯时,内、外轨均不会受到轮缘的侧向挤压,设此时的速度大小为v,重力加速度为g,以下说法中正确的是 ( )
A.该弯道的半径R=
B.当火车质量改变时,规定的行驶速度也将改变
C.当火车的速率大于v时,外轨将受到轮缘的挤压
D.按规定速度行驶时,支持力小于重力
题组三 圆锥摆模型
6.如图所示,固定的锥形漏斗内壁是光滑的,内壁上有两个质量相等的小球A和B,在各自不同的水平面内做匀速圆周运动,以下物理量大小关系正确的是 ( )
A.线速度vA>vB B.角速度ωA>ωB
C.向心力FA>FB D.向心加速度aA>aB
7.(多选题)如图所示,将一质量为m的摆球用长为L的细绳吊起,上端固定,使摆球在水平面内做匀速圆周运动,细绳就会沿圆锥面旋转,这样就构成了一个圆锥摆,已知细绳与竖直方向的夹角为θ,重力加速度为g,下列说法正确的是 ( )
A.摆球受重力、拉力和向心力的作用
B.摆球受重力和拉力的作用
C.摆球运动的周期为2π
D.摆球运动的转速为 sin θ
题组四 离心运动
8.离心分离器在医学检验等领域发挥着重要作用。如图是展示离心分离原理的示意图,在盛有清水的圆筒转鼓中倒入同样大小的钢球(灰色球)和木球(白色球),然后启动电机使其绕轴以足够大的速度旋转,则稳定后球的分布情况是 ( )
A B
C D
9.如图甲,滚筒洗衣机脱水时,衣物紧贴着滚筒壁在竖直平面内做顺时针的匀速圆周运动。如图乙,一件小衣物(可理想化为质点)的质量为m,滚筒半径为R,周期为T,重力加速度为g,a、b分别为小衣物经过的最高位置和最低位置。下列说法正确的是 ( )
A.衣物所受合力的大小始终为mR
B.衣物转到b位置时脱水效果最好
C.脱水过程中衣物上的水做近心运动
D.衣物在a位置和b位置对滚筒壁的压力都大于mg
能力提升练
题组一 交通工具的转弯问题
1.为了解决高速列车在弯道上运行时轮轨间的磨损问题,保证列车能经济、安全地通过弯道,常用的办法是将弯道曲线外轨轨枕下的道床加厚,使外轨高于内轨,外轨与内轨的高度差叫曲线外轨超高。已知某曲线路段设计外轨超高值为70 mm,两铁轨间距离为1 435 mm,最佳的过弯速度为350 km/h,g取10 m/s2则该曲线路段的半径约为( )
A.40 km B.30 km C.20 km D.10 km
2.港珠澳大桥总长约55公里,是世界上总体跨度最长、钢结构桥体最长、海底沉管隧道最长的跨海大桥,也是世界公路建设史上技术最复杂、施工难度最大、工程规模最庞大的桥梁。如图所示的路段是一段半径约为120 m的圆弧形弯道,路面水平,路面对轮胎的最大静摩擦力为压力的。若汽车通过圆弧弯道时做匀速圆周运动,汽车可视为质点,不考虑空气阻力,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度g=10 m/s2,下列说法正确的是( )
A.汽车以72 km/h的速率通过此圆弧形弯道时的向心加速度为43.2 m/s2
B.汽车以72 km/h的速率通过此圆弧形弯道时的角速度为0.6 rad/s
C.晴天时,汽车以100 km/h的速率可以安全通过此圆弧形弯道
D.下雨时,汽车以80 km/h的速率可以安全通过此圆弧形弯道
3.钢架雪车是一项精彩刺激的冬奥会比赛项目,运动员在起跑区推动雪车起跑后俯卧在雪车上,再经出发区、滑行区和减速区的一系列直道、弯道后到达终点,用时少者获胜。图(a)是比赛中一名运动员在滑行区某弯道的图片,假设可视为质点的人和车的总质量m=90 kg,其在弯道上P处做水平面内圆周运动的模型如图(b),车在P处既无侧移也无切向加速度,速率v=30 m/s,弯道表面与水平面成θ=53°,不计摩擦力和空气阻力,重力加速度g=10 m/s2, sin 53°=0.8。则在P处 ( )
A.车对弯道的压力大小为900 N
B.人对车的压力大小为1 500 N
C.人和车做圆周运动的半径为67.5 m
D.人和车的加速度大小为7.5 m/s2
题组二 圆锥摆模型
4.(多选题)两个质量相同的小球a、b用长度不等的细线拴在天花板上同一点并在空中同一水平面内做匀速圆周运动,如图所示,则关于a、b两小球说法正确的是 ( )
A.a球角速度大于b球角速度
B.a球线速度大于b球线速度
C.a球向心力大于b球向心力
D.a球向心加速度小于b球向心加速度
5.(多选题)如图,轻杆中点及一端分别固定有两个完全相同的小球A和B,另一端与O点相连。当轻杆绕竖直定轴OO2匀速转动时,A、B在水平面上做匀速圆周运动。下列说法正确的是 ( )
A.小球A、B的角速度大小之比为2∶1
B.小球A、B的线速度大小之比为1∶2
C.小球A、B的加速度大小之比为1∶2
D.小球A、B受轻杆的作用力大小之比为1∶2
6.如图所示,由两根轻杆连接成的一个“V”形光滑支架,它可以绕竖直轴线OO'匀速转动。两根轻杆与水平面间夹角均为θ=53°。“V”形支架的AB杆上套有一根原长为L=0.5 m的轻弹簧,轻弹簧的下端固定于“V”形支架下端B处,轻弹簧的上端连接一个小球,小球穿在杆上可以沿AB杆无摩擦地滑动。已知小球质量m=1 kg,支架静止时弹簧被压缩了,求:
(1)轻弹簧的劲度系数k;
(2)轻弹簧恰为原长时,支架的角速度ω0;
(3)当ω=ω0时轻弹簧弹力的大小。
7.如图所示,在光滑的圆锥体顶端用长为L的细线悬挂一质量为m的小球。圆锥体固定在水平面上不动,其轴线沿竖直方向,母线与轴线之间的夹角θ=30°。重力加速度大小为g。现使小球绕圆锥体的轴线在水平面内做匀速圆周运动。
(1)当小球的角速度ω1=时,求细线对小球的拉力大小;
(2)当小球的角速度ω2=时,求细线对小球的拉力大小。
答案与分层梯度式解析
第二章 匀速圆周运动
3 圆周运动的实例分析
4 圆周运动与人类文明(选学)
基础过关练
1.D 车辆上下颠簸过程中,在某些时刻加速度向上,则汽车处于超重状态,故A正确;把坑看作凹陷的弧形,轮胎在坑底时,根据牛顿第二定律有FN-mg=m,则根据牛顿第三定律知,车对坑底的压力比对平路的压力大,车辆的驱动轮出坑时,对地的摩擦力比对平路的大,故B、C正确;动摩擦因数由接触面的粗糙程度决定,而坑洼路面可能比平直路面更光滑,则动摩擦因数可能更小,故D错误。本题是选不正确的,故选D。
2.B 汽车通过凹形路面最低点时,重力和支持力的合力提供向心力,由N-mg=m和牛顿第三定律可知,速度越大,汽车对路面的压力越大,D错误。故选B。
3.B 小球随汽车匀速行驶时,受力平衡,重力与弹簧弹力等大反向;小球随汽车一起做圆周运动时,向心力是由重力和弹簧弹力的合力提供的,所以只有弹力减小才能使小球获得指向圆心的合力,小球才能做圆周运动。弹力减小,弹簧的形变量减小,故L1>L2,B正确。
4.B 设路面的倾角为θ,根据牛顿第二定律得mg tan θ=m,B正确。
5.C 令弯道处的坡面倾角为θ,当火车以规定的行驶速度转弯时,由垂直于坡面的支持力与重力的合力提供向心力,如图所示,
则有mg tan θ=m,可知按规定速度行驶时,支持力大于重力,故D错误。
6.A
设漏斗的顶角为2θ,则小球受到的合力为F合=,故vA>vB、ωA<ωB,A正确,B错误。
7.BC 摆球受重力和绳子拉力两个力的作用,设摆球做匀速圆周运动的周期为T,则有mg tan θ=m,B、C正确,A、D错误。
8.A 根据向心力的表达式F=mω2r,转动时密度大的物体(钢球)所需的向心力大,周围水对其水平方向作用力小于所需的向心力,则做离心运动,向外运动;密度小的物体(木球)所需的向心力小,周围水对其水平方向作用力大于所需的向心力,则做近心运动,向里运动,稳定后球的分布情况为A图所示。故选A。
9.B 衣物做匀速圆周运动,由所受外力的合力提供向心力,可知,衣物所受合力的大小始终为F=mR,可知,衣物在b位置对滚筒壁的压力大于mg,衣物在a位置对滚筒壁的压力不一定大于mg,故D错误。
能力提升练
1.C 设该曲线路段的倾角为θ,列车以最佳速度过弯道时,所受支持力与重力的合力提供向心力,则有mg tan θ=m m≈19 376.9 m,故A、B、D错误,C正确。
2.C 汽车通过此圆弧形弯道时做匀速圆周运动,轨道半径R=120 m,运动速率v=72 km/h=20 m/s,向心加速度为a=,晴天时μ=0.8,解得vm≈111.5 km/h,所以汽车以100 km/h的速率可以安全通过此圆弧形弯道;下雨时μ=0.4,解得vm≈78.9 km/h<80 km/h,所以汽车以80 km/h的速率不能安全通过此圆弧形弯道,故C正确,D错误。
3.C 对人和车受力分析,如图所示,
根据几何关系有N==ma,解得r=67.5 m,a≈13.33 m/s2,故C正确,D错误。
4.BC
如图所示,对其中一个小球受力分析,重力和细线的拉力的合力提供小球做匀速圆周运动的向心力。设细线与竖直方向夹角为θ,由几何关系可知,小球所受合力F=mg tan θ,由向心力公式可得F=mrω2,设小球与悬挂点的高度差为h,则有r=h tan θ,联立可得ω=,由此可知两球的角速度相等,即ωa=ωb,故A错误。由图可知ra>rb,根据v=rω可得va>vb,B正确。两球质量相等且ra>rb,根据F=mrω2可得Fa>Fb,C正确。由an=rω2可知ana>anb,D错误。
5.BC 小球A、B绕同一转轴转动,则角速度相等,即两球的角速度大小之比为1∶1,选项A错误;小球A、B转动的半径之比为1∶2,根据v=ωr可知两球的线速度大小之比为1∶2,选项B正确;根据a=ωv可知,小球A、B的加速度大小之比为1∶2,选项C正确;两球受轻杆的作用力在竖直方向的分力与重力平衡,水平方向的分力提供向心力,因此,可知小球A、B受轻杆的作用力大小之比不等于1∶2,选项D错误。
6.答案 (1)80 N/m (2) N
解析 (1)
L,设此时弹簧弹力为F1,对小球受力分析如图甲
此时弹簧弹力F1=kL
由平衡条件可得F1=mg sin θ
解得k=80 N/m。
(2)轻弹簧恰为原长时,小球只受重力和杆的支持力FN1,如图乙所示
则竖直方向上有FN1 cos θ=mg
水平方向上有FN1 sin θ=mr
由几何关系得r=L cos θ
解得ω0= rad/s。
(3)当ω=ω0时,设杆对小球的支持力为FN2,弹簧弹力为F2,弹簧压缩量为x,对小球受力分析如图丙所示
由胡克定律得F2=kx
竖直方向上有FN2 cos θ+F2 sin θ=mg
水平方向上有FN2 sin θ-F2 cos θ=mRω2
由几何关系得R=(L-x)cos θ
解得F2= N。
7.答案 (1)mg
解析 (1)小球离开圆锥体的临界条件为圆锥体对小球的支持力为FN=0
由牛顿第二定律可列出方程mg tan θ=mL sin θ
解得ω0=
因ω1=<ω0,FN≠0,对小球进行受力分析,如图甲所示,根据牛顿第二定律有
T1 sin θ-N1 cos θ=mL sin θ
T1 cos θ+N1 sin θ-mg=0
解得T1=mg
(2)因ω2=L sin α
T2 cos α-mg=0
解得T2=mg。
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