第三章 万有引力定律
2 万有引力定律
基础过关练
题组一 对万有引力定律的理解
1.(多选题)牛顿以天体之间普遍存在着引力为依据,运用严密的逻辑推理,建立了万有引力定律。在建立万有引力定律的过程中,牛顿( )
A.接受了胡克等科学家关于“吸引力与两中心距离的二次方成反比”的猜想
B.根据地球上一切物体都以相同加速度下落的事实,得出物体所受地球的引力与其质量成正比,即F∝m的结论
C.根据F=ma和牛顿第三定律,分析了地月间的引力关系,进而得出F∝m1m2
D.根据大量实验数据得出了比例系数G的大小
2.哥白尼、第谷、开普勒等人对行星运动的研究漫长而曲折,牛顿在他们研究的基础上,得出了科学史上最伟大的定律之一——万有引力定律。下列说法中正确的是( )
A.第谷通过整理大量的观测天文数据得到行星运动规律
B.牛顿发现了万有引力定律并通过精确的计算得出了引力常量
C.牛顿“月—地”检验表明地面物体所受地球引力与月球所受地球引力遵循同样规律
D.由万有引力定律的公式F=G可知,当r→0时,引力F→∞
3.(多选题)要使两物体间的万有引力减小到原来的,下列办法可以采用的是 ( )
A.使两物体的质量各减小一半,距离不变
B.使其中一个物体的质量减小到原来的,距离不变
C.使两物体间的距离增大为原来的2倍,质量不变
D.使两物体间的距离和两物体的质量都减小为原来的
题组二 万有引力与重力的关系
4.航天员王亚平在“天宫一号”飞船内进行了我国首次太空授课,演示了一些完全失重状态下的物理现象。若飞船质量为m,距地面高度为h,地球质量为M,半径为R,引力常量为G,则飞船所在处的重力加速度大小为 ( )
A.0 B.
5.火星的质量和半径分别约为地球的,地球表面的重力加速度为g,则火星表面的重力加速度约为 ( )
A.0.2g B.0.4g C.2.5g D.5g
题组三 万有引力定律的简单应用
6.两个大小相同的实心匀质小铁球,紧靠在一起时它们之间的万有引力为F;若两个半径为小铁球2倍的实心匀质大铁球紧靠在一起,则它们之间的万有引力为( )
A.2F B.4F C.8F D.16F
7.宇宙中存在的一种四星系统如图所示,四颗星稳定地分布在正方形的四个顶点上,它们都绕正方形中心做匀速圆周运动。若每个星体的质量均为m,引力常量为G,正方形的边长为a,则每个星体所受万有引力大小为 ( )
A.
C.
能力提升练
题组一 对万有引力定律的理解与应用
1.(多选题)牛顿著名的“月—地检验”证明思路如下:设月球在半径为r(r=60R,R为地球半径)的轨道上绕地球做匀速圆周运动,运行周期为T,从运动学角度得到月球的向心加速度为a;假定物体在地面受到的重力与地球吸引月球的力是相同性质的力,都遵从与距离的平方成反比的规律,从动力学角度得到物体在地面处的重力加速度为g和物体在月球所在轨道处的加速度为g'。根据牛顿的思路,下列关系正确的是( )
A.g'=
C.a=
2.如图所示,有一个质量为M、半径为R、质地均匀的大球体,从中挖去一个半径为的小球体,并在空腔中心放置一质量为m的质点,则大球体的剩余部分对该质点的万有引力大小为(已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零,引力常量为G) ( )
A.G D.0
3.如图甲所示,两个半径均为R、质量均为M的均匀球体靠在一起,与两球体球心相距均为2R的质点受到两球对它的万有引力的合力大小为F1。现紧贴球的边缘各挖去一个半径为的小球,如图乙所示,挖去后,质点M受到的万有引力的合力大小为F2,则 ( )
A.F2=F1
C.F2=F1
题组二 万有引力与重力的关系
4.(多选题)假如地球自转速度增大,关于物体所受的重力,下列说法正确的是 ( )
A.放在赤道地面上物体的万有引力不变
B.放在两极地面上物体的重力不变
C.放在赤道地面上物体的重力减小
D.放在两极地面上物体的重力增加
5.理论上已经证明:质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。假设地球是一个半径为R、质量分布均匀的实心球体,O为球心,以O为原点建立坐标轴Ox,如图所示。一个质量一定的小物体(可视为质点,假设它能够在地球内部移动)在x轴上各位置受到的引力大小用F表示,则下列选项中的四个F随x的变化关系图正确的是 ( )
A B
C D
答案与分层梯度式解析
第三章 万有引力定律
2 万有引力定律
基础过关练
1.AB 在建立万有引力定律的过程中,牛顿根据地球上一切物体都以相同加速度下落的事实,得出物体受地球的引力与其质量成正比,即F∝m的结论,再根据牛顿第三定律进而得出F∝m1m2;同时牛顿接受了平方反比猜想;然后进行月—地检验,进一步得出地球与物体间的引力与天体间的引力是同一性质的力;但牛顿没有测出比例系数G的大小,而在牛顿提出万有引力定律100多年后,卡文迪许利用扭秤测量出引力常量G的大小,A、B正确,C、D错误。
2.C 开普勒通过整理大量的观测天文数据得到行星运动规律,A错误;牛顿发现了万有引力定律,卡文迪许通过实验得出了引力常量,B错误;牛顿“月—地”检验表明地面物体所受地球引力与月球所受地球引力遵循同样规律,C正确;当r→0时,不能将两个物体视为质点,万有引力定律的公式就不再适用,D错误。故选C。
3.ABC 由万有引力定律F=G,而D中两物体间的万有引力保持不变,故A、B、C正确。
4.B “天宫一号”飞船绕地球飞行时与地球之间的万有引力F引=G,故选B。
5.B 在地球表面近似有mg=G=0.4,故选B。
6.D 设小铁球的半径为R,则两小球间的万有引力F=GGπ2ρ2·(2R)4=16F。选D。
7.D 对于每一个星体均受到另外
三个星体的万有引力的作用,以其中一个星体为研究对象,其受力如图所示,与相邻的两个星体的万有引力大小为F1=F3=,选D。
能力提升练
1.AC 物体在地球表面,有,C正确,D错误。
2.C 若将挖去的小球体补回,可知大球体剩余部分对质点的万有引力等于完整大球体对质点的万有引力与挖去小球体对质点的万有引力之差,挖去的小球体球心与质点重合,对质点的万有引力为零,则剩余部分对质点的万有引力等于完整大球体对m的万有引力;以大球体球心为中心分离出半径为,故选C。
方法技巧 填补法求解万有引力
运用“填补法”解题的关键是紧扣万有引力定律的适用条件,先填补后运算,运用“填补法”解题主要体现了等效思想。
3.A 把整个球体对质点的引力看成是挖去的小球体和剩余部分对质点的引力的矢量和。两个完整的均质球体对球外质点的万有引力大小为F1=2G
F1,故选A。
4.ABC 地球自转速度增大,物体受到的万有引力不变,A正确;在两极,物体受到的万有引力等于其重力,则其重力不变,B正确,D错误;而对于放在赤道地面上的物体,F万=G+mω2r,物体受到的万有引力不变,ω增大,G减小,C正确。
5.A 由题意,物体在地球内部距离球心x(x7(共19张PPT)
知识点1 万有引力定律的建立
1.构建两个理想化模型
(1)匀速圆周运动模型:行星绕太阳的运动可以看作匀速圆周运动。行星做匀速圆周运动时,
受到一个指向圆心(太阳中心)的引力,正是这个引力提供了向心力。
(2)质点模型:由于天体间的距离很远,研究天体间的引力时,将天体看成质点,即天体的质量集
中在球心上。
必备知识 清单破
2 万有引力定律
(2)行星对太阳的引力
根据牛顿第三定律可知,行星对太阳的引力F'∝ 。
2.推导行星与太阳间的引力
(1)太阳对行星的引力
(3)结论
行星和太阳的地位完全相当,则F∝ ,写成等式为F=G 。式中的G为比例系数,与
太阳、行星都没有关系。
知识点2 月—地检验
猜想 维持月球绕地球运动的力与使苹果下落的
力是同一种力
推理 根据牛顿第二定律,月球绕地球做匀速圆周
运动的向心加速度a月是苹果在地面附近的
自由落体加速度a苹的
结论 地面物体所受的重力与地球吸引月球、太
阳吸引行星的力是同一性质的力
知识点3 万有引力定律
1.内容:任何两个物体之间都存在相互作用的引力,引力的大小与这两个物体的质量的乘积成
正比,与这两个物体之间的距离的平方成反比。
2.表达式:F=G ,其中G称为引力常量。
3.公式F=G 的适用条件
(1)严格地说,万有引力定律只适用于计算两个质点间的引力大小,r是两个质点间的距离。
(2)两个质量分布均匀的球体间的相互作用也可以用此公式来计算,其中的r是两个球体球心
间的距离。
(3)一个质量分布均匀的球体与球外一个质点间的万有引力也可用此公式计算,式中的r是球
体的球心到质点的距离。
知识点4 引力常量
1.牛顿得出了万有引力与物体质量及它们之间距离的关系,但没有测出引力常量G。
2.英国物理学家卡文迪许通过实验推算出引力常量G的值。通常情况下取G=6.67×10-11 N·m2/kg2。
知识辨析
1.太阳对不同行星的引力与行星的质量有什么关系 行星对太阳的引力与太阳的质量有什么
关系
2.根据F=G ,两物体无限接近时,它们之间的万有引力无限大,这种说法正确吗
3.任何两个物体之间的万有引力都能利用公式F=G 计算吗
一语破的
1.其他条件不变时,太阳对不同行星的引力与行星的质量成正比,行星对太阳的引力与太阳的
质量成正比。
2.不正确。因为两物体距离很近时,物体不能看成质点,万有引力定律公式不再适用。
3.F=G 只适用于质点之间、质量分布均匀的球体之间、质点和质量分布均匀的球体之
间万有引力的计算,形状不规则、质量分布不均匀的两物体不能看成质点时,它们之间的距
离r不易确定,不能用万有引力定律公式计算。
关键能力 定点破
定点1 万有引力与重力
1.纬度对重力的影响
如图所示,设地球的质量为M,半径为R,A处物体的质量为m,物体受到地球的万有引力为
F引,方向指向地心O。由万有引力定律公式可得F引=G 。F向提供物体随地球自转需要的
向心力,方向垂直于地轴;mg就是物体的重力G,产生使物体压地面的效果。
(1)物体在赤道上:重力和向心力在一条直线上,有F引=F向+mg,即G =mRω2+mg,所以mg=G
-mRω2。(ω为地球自转的角速度)
(2)物体在地球两极处:物体随地球自转所需的向心力为零,所以mg=F引=G 。
(3)物体在地面上其他位置:重力是万有引力的一个分力,重力的大小mg离地心。
综上分析可知,随着纬度的升高,物体随地球自转的向心加速度逐渐减小,重力逐渐增大。
2.高度对重力的影响(不考虑地球自转)
(1)在地球表面:mg=G →地球表面的重力加速度g= 。
(2)在距地面高h处:mgh=G →离地面高h处的重力加速度gh= ,高度h越大,重力加
速度gh越小。
(3)g和gh的关系: = 。
知识拓展 黄金代换式——gR2=GM
由于物体随地球自转需要的向心加速度很小,一般情况下认为重力近似等于万有引力。因此
不考虑地球自转时,在地球表面及表面附近有mg=G ,化简得gR2=GM。
gR2=GM通常叫作黄金代换式,适用于任何天体,在某星体的质量M未知的情况下,可以用该星
体的半径和表面的重力加速度表示M。
3.深度对重力的影响
万有引力定律有两个重要推论,推论一:在匀质球壳内的任意位置处,质点受到球壳万有引力
的合力为零。推论二:在匀质球体内部距离球心r处,质点受到的引力就等于半径为r的球体对
质点的引力。
根据两个推论分析在深度为h的矿井的底部的重力加速度,思路如下:
在地球表面:g= = = πGρR
在矿井底部:g'= = = πGρ(R-h)
可得g'= g
定点2 用“填补法”求解万有引力
计算一些不完整球形物体(含球穴)间的万有引力时,常采用“填补法”。所谓填补法,就
是对于非对称的物体,通过填补后构成对称物体,然后再利用对称物体所满足的物理规律进
行求解的方法。利用“填补法”求解物体间的万有引力的具体步骤为:
(1)把从均匀球体上挖去的部分补上;
(2)计算完整球体所受的万有引力;
(3)计算补上部分所受的万有引力;
(4)两者之差即所求球体剩余部分所受的万有引力。
典例 两个质量分布均匀、密度相同且大小相同的实心小球紧靠在一起【1】,它们之间的万
有引力为F。现将其中一个小球中挖去半径为原球半径一半的球【2】,并按如图所示的形式紧
靠在一起,三个球心在一条直线上,试计算它们之间的万有引力大小。
答案 F
信息提取 【1】两小球球心之间的距离等于小球的直径,可由万有引力定律求它们之间的
作用力。
【2】挖去小球的直径恰好等于原球的半径,挖去小球的体积为原球体积的 。
思路点拨 右边小球挖掉部分后质量分布不均匀,且不能看成质点,则不能直接应用万有引
力定律求左边小球与右边小球剩余部分之间万有引力的值,可以用“填补法”【3】处理该问
题。
已知两实心小球之间的万有引力,再求出左边小球与挖出小球之间的万有引力,由力的合成
规律可得,两者之差即为待求万有引力。
解析 如图甲所示,原来是两个实心小球,设球的半径为r,它们之间的万有引力为F=G
(由【1】得到) ①
从右边的球体中挖去一小球体后,设剩余部分与左边球体之间的万有引力为F'
左球与右球挖掉小球体后剩余部分(图乙)间的万有引力F'等于原来两实心小球间的万有引
力F(图甲)与左球和挖去的小球体间万有引力F1(图丙)之差。(由【3】得到)
F1=G ②
且m1∶m= ∶r3=1∶8 ③
联立①②③式得F1= F
左球与右球剩余部分之间的万有引力大小为
F'=F-F1= F
