(共18张PPT)
知识点1 预言彗星回归和未知星体
1.预言彗星回归:哈雷和克雷洛先后根据牛顿引力理论,预言彗星回归的时间,并得到了证
实。
2.海王星的发现:英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文爱好者勒维耶根据天王星的
观测资料,利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道、质量、位置。1846年9月23
日,德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星。
必备知识 清单破
3 预言未知星体 计算天体质量
知识点2 计算天体质量
1.地球质量的计算
(1)思路:地球表面的物体,若不考虑地球自转,物体的重力等于地球对物体的万有引力。
(2)关系式:mg=G 。
(3)结果:M= ,只要知道g、R、G的值,就可以计算出地球的质量。
2.太阳质量的计算
(1)思路:质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时,行星与太阳间的万有引力提供向心力。
(2)关系式:G =m r。
(3)结论:M= ,只要知道行星绕太阳运动的周期T和轨道半径r就可以计算出太阳的质量。
(4)推广:若已知卫星绕行星运动的周期T和卫星与行星之间的距离r,可计算行星的质量M,公
式是M= 。
知识辨析
1.已知地球绕太阳转动的周期T和轨道半径r,能求出地球的质量吗
2.海王星是人们直接应用万有引力定律计算出轨道而发现的吗
3.若知道某行星绕太阳做圆周运动的线速度v和轨道半径r,能否求出太阳的质量
一语破的
1.不能。应用公式 =m地 r时,消去了地球的质量m地,可以计算出中心天体太阳的质
量m太,而不能求出m地。
2.不是。人们发现天王星的实际轨道与理论轨道存在偏差,然后运用万有引力定律计算出
“新”星的轨道,从而发现了海王星。
3.能。由G =m ,可得m太= 。
关键能力 定点破
定点1 天体质量和密度的计算
1.地表重力加速度法
(1)已知条件:天体(如地球)的半径R及其表面的重力加速度g。
(2)分析思路:不考虑天体的自转时,天体表面物体所受的重力等于天体对物体的万有引力,即
mg=G ,解得天体的质量为M= 。代入ρ= ,V= ,解得天体的密度为ρ= 。
特别说明 若题目中出现“g”“地面”“自由落体”“竖直上抛”等字样时,常采用“地
表重力加速度法”求解天体的质量。
2.环绕运行法
(1)已知条件:行星(或卫星)环绕中心天体做匀速圆周运动的轨道半径r及其他相关运动参量,
如线速度(v)、角速度(ω)或周期(T)等。
(2)分析思路:行星(或卫星)绕中心天体做匀速圆周运动,中心天体对行星(或卫星)的万有引力
提供向心力,可得G =m =mrω2=mr ,解得中心天体的质量为M= = = 。若
已知中心天体的半径为R,结合ρ= ,V= ,解得中心天体的密度为ρ= = =
。
(3)特殊情况:①当卫星环绕中心天体表面运动时,卫星的轨道半径r可认为等于天体半径R,则
ρ= 。故只要测出卫星在中心天体表面附近环绕中心天体运动的周期T,即可估算中心天
体的密度。
②若已知卫星的线速度v和运行周期T(轨道半径r未知),则由G =m 和v= ,解得中心天
体的质量M= 。
定点2 天体环绕运动问题的分析与计算
1.解决天体环绕问题的两条基本思路
(1)行星(或卫星)绕恒星(或行星)的运动均可视为匀速圆周运动,万有引力提供其运动所需的
向心力,有G =ma=m =m r=mω2r=mωv,可推知a= 、v=
、ω= 、T=2π 。可以看出,环绕天体绕中心天体做匀速圆周运动的线速度
(v)、角速度(ω)、周期(T)及向心加速度a与环绕天体的质量无关,只与中心天体的质量M和轨
道半径r有关。多个环绕天体绕同一中心天体做匀速圆周运动时,r越大,v越小,ω越小,a越小,T
越大。
(2)忽略天体的自转,在天体表面附近,物体绕天体做匀速圆周运动,物体的重力等于天体对物
体的万有引力,即mg=G ,从而得出R2g=GM,进一步推得v= ,ω= ,T=2π 。
2.解决天体运动问题的关键
(1)建立物理模型——绕中心天体做匀速圆周运动。
(2)应用物理规律——万有引力定律和圆周运动规律。
(3)利用黄金代换式“R2g=GM”——用R2g代换GM,简化记忆和解题。
典例 我国2020年发射的火星探测器“天问一号”,实现了火星的环绕、着陆和巡视探测。
已知火星和地球绕太阳公转的轨道都可近似为圆轨道,火星公转轨道半径约为地球公转轨道
半径的1.5倍【1】,火星的半径约为地球半径的 ,火星的质量约为地球质量的 【2】,以下说法正
确的是 ( )
A.火星的公转周期比地球的小
B.火星的公转速度比地球的大
C.探测器在火星表面时所受的火星引力比在地球表面时所受的地球引力小
D.探测器在火星表面附近环绕火星运行的速度比在地球表面附近环绕地球运行的速度大
C
信息提取 【1】火星和地球绕同一个中心天体(太阳)公转,知道轨道半径之比,就可以求出
周期、线速度大小之比。
【2】知道火星与地球的质量之比和半径之比,根据黄金代换式就可以求出火星与地球表面
的重力加速度之比。
思路点拨 (1)比较围绕同一中心天体运动的不同环绕天体的周期大小,常采用开普勒第三
定律: =k。
(2)根据万有引力提供向心力列式时,注意选取向心力的不同表达式:G =ma=m =mω2r=m
r=m(2πf)2r。
解析 火星的公转轨道半径大于地球公转轨道半径,根据开普勒第三定律可知,火星的公转
周期比地球的大,A错误;根据v= 可知,火星的公转速度比地球的小,B错误;根据g= ,
则 = · = ×22= ,则探测器在火星表面时所受的火星引力比在地球表面时所受的
地球引力小,C正确;根据v火= = = = v地,则探测器在火星表面附近
环绕火星运行的速度比在地球表面附近环绕地球运行的速度小,D错误。
定点3 双星与多星问题
1.双星模型
(1)构建“双星”模型
两个离得比较近的天体,其他星球对它们的万有引力可以忽略不计,它们在彼此间的引力作
用下绕两者连线上的某一点做圆周运动,这样的两颗星组成的系统称为双星模型。
(2)“双星”模型的特点
①两颗星的运行轨道为同心圆,圆心是它们连线上的某一点。
②两颗星的周期、角速度相同,即T1=T2,ω1=ω2。
③两颗星的运动半径之和等于它们的中心之间的距离,即r1+r2=L。
④两颗星的向心力大小相等,由它们之间的万有引力提供,即G =m1 r1=m1 =m1r1 ,
=m2 r2=m2 =m2r2 。
(3)几个结论
①轨道半径:r1= L,r2= L。由m1r1=m2r2,可知双星系统中两颗星的运动半径之比等
于其质量的反比。
②星体质量:m1= ,m2= ,m1+m2= 。
③周期:T=2πL 。
2.三星模型
三个质量相等的星体,一个星
体位于中心位置不动,另外两
个星体围绕它做圆周运动
三个质量相等的星体分别位
于一正三角形的顶点处,都绕
三角形的中心做圆周运动
这三个星体始终位于同一直
线上,中心星体受力平衡,运
转的星体由其余两个星体的
万有引力的合力提供向心力,
两运转星体的转动方向相同,
角速度大小、线速度大小、
周期相等 三个星体在同一圆轨道上运
动,相对位置不变,即构成的
正三角形的边长不变化。每
个星体运行所需的向心力都
由其余两个星体对它的万有
引力的合力提供。三个星体
的转动方向相同,角速度大
小、线速度大小、周期相等
典例 (多选)2017年,人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复
原的过程,在两颗中子星合并前约100 s时,它们相距约400 km【1】,绕二者连线上的某点每秒转
动12圈【2】,将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体,由这些数据、引力常量并利用牛顿
力学知识,可以估算出这一时刻两颗中子星 ( )
A.质量之积
B.质量之和
C.速率之和
D.各自的自转角速度
BC
信息提取 【1】建立双星模型,400 km是两颗中子星做圆周运动的半径之和。
【2】两颗中子星做圆周运动的频率为12 Hz。
思路点拨 (1)情景模型化——双星模型,如图所示:
(2)两颗中子星的周期及角速度都相同,应用各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供列
方程组【3】解答问题。
解析 双中子星做匀速圆周运动的频率f=12 Hz,由彼此间的万有引力提供向心力,有 =
m1r1(2πf)2,G =m2r2(2πf)2,且r1+r2=l=400 km,解得m1+m2= (由【1】【2】【3】得到),
A不符合题意,B符合题意。由v=2πfr,可得v1+v2=2πfr1+2πfr2=2πfl,C符合题意。根据题中所给
信息不能得出各自自转的角速度,D不符合题意。第三章 万有引力定律
3 预言未知星体 计算天体质量
基础过关练
题组一 预言未知星体
1.(多选题)下列说法正确的是 ( )
A.海王星是人们依据万有引力定律计算出其运行轨道而发现的
B.天王星是人们依据万有引力定律计算出其运行轨道而发现的
C.天王星的运行轨道偏离根据万有引力定律计算出来的轨道,其原因是天王星受到轨道外面其他行星的引力作用
D.以上说法都不对
2.关于行星运动的规律,下列说法符合史实和事实的是 ( )
A.开普勒在大量数据研究的基础上,推导出了行星运动的规律
B.牛顿通过扭秤实验结合“理想模型”物理思想测得引力常量G
C.天王星的运动轨道是亚当斯和开普勒共同研究推算出来的,后人称天王星为“笔尖下发现的行星”
D.在地球表面可以发射一颗卫星,绕地球运行的周期小于84分钟
题组二 计算天体的质量
3.已知地球半径为R,地球质量为m,太阳与地球中心间距为r,地球表面的重力加速度为g,地球绕太阳公转的周期为T,则太阳的质量为( )
A.
C.
4.航天员在一星球表面附近高h处,以初速度v0竖直向上抛出一小球,经过时间t小球落到星球表面。已知该星球的半径为R,引力常量为G,h R,不计星球表面的气体阻力,则该星球表面的重力加速度和该星球的质量分别为多大
5.在2049年的某一天,一位航天员乘坐中国航天集团的飞行器,成功地降落火星上。他在离火星表面高h(h远小于火星的半径)处无初速度释放一小球,认为小球在火星表面做初速度为零的匀加速直线运动,即火星上的自由落体运动,并测得小球落地时速度为v(不计阻力),已知引力常量为G,火星半径为R,他出了下列两个问题,请你利用学过的知识解答:
(1)求火星表面的重力加速度g;
(2)求火星的质量M。
题组三 计算天体的密度
6.若已知行星绕太阳公转的轨道半径为r,公转的周期为T,引力常量为G,则由此可以求出 ( )
A.行星的质量
C.行星的密度为
7.(经典题)中国空间站天和核心舱绕地球的运动可视为匀速圆周运动,已知其轨道距地面的高度为h,运行周期为T,地球半径为R,引力常量为G,由此可得到地球的平均密度为 ( )
A.
C.
8.我国航天技术飞速发展,设想数年后航天员登上了某行星表面。航天员手持小球从高度为h处,沿水平方向以速度v抛出,测得小球运动的水平距离为L。已知该行星的半径为R(h R),引力常量为G。求:
(1)行星表面的重力加速度大小;
(2)行星的平均密度。
题组四 天体运动相关物理量的分析和计算
9.设土星绕太阳的运动为匀速圆周运动,若测得土星到太阳的距离为R,土星绕太阳运动的周期为T,引力常量G已知,根据这些量,下列物理量中不能求出的是 ( )
A.土星线速度的大小
B.土星加速度的大小
C.土星的质量
D.太阳的质量
10.(多选题)土星外层有一个环,为了判断它是土星的一部分还是土星的卫星群,可以测量环中各层的线速度v与该层到土星中心的距离R之间的关系,则下列判断正确的是( )
A.若v2∝R,则外层的环是土星的卫星群
B.若v∝R,则外层的环是土星的一部分
C.若v∝,则外层的环是土星的一部分
D.若v2∝,则外层的环是土星的卫星群
11.(多选题)如图所示,a、b、c是地球大气层外圆形轨道上的三颗人造卫星,a和b的质量相等且小于c的质量,则 ( )
A.b所需向心力最小
B.b、c的周期相同且大于a的周期
C.b、c的向心加速度大小相等且大于a的向心加速度
D.b、c的线速度大小相等且小于a的线速度
能力提升练
题组一 天体质量和密度的计算
1.过去几千年来,人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内,行星“51peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕。“51peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动,周期约为4天,轨道半径约为地球绕太阳运动半径的。该中心恒星与太阳的质量比约为 ( )
A. B.1 C.5 D.10
2.已知地球半径为R,月球半径为r,地球与月球中心之间的距离为L。月球绕地球公转的周期为T1,地球自转的周期为T2,地球绕太阳公转的周期为T3,假设公转运动都视为圆周运动,引力常量为G,由以上条件可知( )
A.月球运动的加速度为a=
B.月球的质量为m月=
C.地球的密度为ρ=
D.地球的质量为M地=
3.2024年3月,我国探月工程四期鹊桥二号中继星成功发射升空。鹊桥二号入轨后,通过轨道修正、近月制动等系列操作,最终进入近月点距月球表面约200 km、远月点距月球表面约16 000 km、周期为24 h的环月大椭圆冻结轨道。已知月球半径约1 800 km,引力常量G=6.67×10-11N·m2/kg2,π=3.14。由上述数据可知月球的质量接近于 ( )
A.7.5×1018 kg B.7.5×1020 kg
C.7.5×1022 kg D.7.5×1024 kg
4.(多选题)某同学想根据平时收集的部分火星资料(如图所示)计算出火星的平均密度。下列计算火星密度的式子中正确的是(引力常量G已知,忽略火星自转的影响) ( )
A.ρ=
5.2023年6月20日,“长征六号”运载火箭搭载“试验二十五号”卫星在太原卫星发射中心点火起飞,随后顺利将卫星送入预定轨道,发射取得圆满成功。若卫星入轨后绕地球做匀速圆周运动,其线速度大小为v,轨道半径为r,地球的半径为R,引力常量为G,忽略地球的自转,则地球的密度为( )
A.
6.(多选题)下表是一些有关火星和地球的数据,利用引力常量G和表中选择的一些信息可以完成的估算是 ( )
信息序号 信息内容
① 地球一年约365天
② 地表重力加速度约为9.8 m/s2
③ 火星的公转周期为687天
④ 日地距离大约是1.5亿km
⑤ 地球半径为6 400 km
⑥ 地球近地卫星的周期
A.选择⑥可以估算地球的密度
B.选择①④可以估算太阳的密度
C.选择①③④可以估算火星公转的线速度
D.选择①②④可以估算太阳对地球的万有引力
题组二 天体运动中相关物理量的分析和计算
7.如图所示,在火星与木星轨道之间有一小行星带,假设该行星带中的小行星只受到太阳的引力,并绕太阳做匀速圆周运动。下列说法正确的是 ( )
A.太阳对各小行星的引力相同
B.各小行星绕太阳运动的周期均小于一年
C.小行星带内侧小行星的向心加速度大于外侧小行星的向心加速度
D.小行星带内侧各小行星绕太阳做圆周运动的线速度大于地球公转的线速度
8.探索火星的奥秘承载着人类征服宇宙的梦想。假设航天员某次利用飞船探测火星的过程中,飞船只在万有引力的作用下贴着火星表面做圆周运动时,测得其绕行速度为v,绕行周期为T,已知引力常量为G,则( )
A.火星表面的重力加速度为
B.火星的半径为
C.火星的密度为
D.火星的质量为
题组三 双星模型
9.(多选题)经长期观测,人们在宇宙中已经发现了“双星系统”,“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成,每个恒星的大小远小于两个恒星之间的距离,而且“双星系统”一般远离其他天体。两颗星球A、B组成双星系统,A、B的质量分别为m1、m2,在相互之间的万有引力作用下,绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两颗星球球心之间的距离为L,质量之比为m1∶m2=3∶2。则可知 ( )
A.A与B做圆周运动的角速度之比为2∶3
B.A与B做圆周运动的线速度之比为2∶3
C.A做圆周运动的半径为L
D.B做圆周运动的半径为L
10.(多选题)地月系统可认为是月球绕地球做匀速圆周运动如图(a)所示,月球绕地球运动的周期为T1;假设地月系统是一个双星系统如图(b)所示,在相互之间的万有引力作用下,绕连线上的O点做匀速圆周运动,月球绕O点运动的周期为T2。若地球、月球质量分别为M、m,两球心相距为r,引力常量为G,下列说法正确的是 ( )
A.图(a)月球绕地球运动的周期T1等于图(b)中月球绕O点运动的周期T2
B.图(a)中,地球密度为
C.地月双星轨道中O点到地心距离为r
D.图(a)中,若把部分月壤运回地球,最终月球绕地球做圆周运动的轨道半径将变小
答案与分层梯度式解析
第三章 万有引力定律
3 预言未知星体 计算天体质量
基础过关练
1.AC 海王星是人们根据万有引力定律计算出其轨道,然后由天文工作者在预言的位置附近观察到的;天王星是人们通过望远镜观察发现的,由于天王星的运行轨道偏离根据万有引力定律计算出来的轨道,引起了人们的思考,推测天王星轨道以外存在其他行星,进而发现了海王星。故A、C正确,B、D错误。
2.A 开普勒在大量数据研究的基础上,推导出了行星运动的规律,A正确;卡文迪许通过扭秤实验结合“理想模型”物理思想测得引力常量G,B错误;英国的亚当斯和法国的勒维耶各自独立地利用万有引力定律计算出了海王星的轨道,德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了海王星,人们称海王星为“笔尖下发现的行星”,C错误;由地球对卫星的万有引力提供向心力,得卫星做圆周运动的周期T=,如果轨道半径取地球半径,可以得出卫星绕地球运行的最小周期约为84分钟,故D错误。
3.B 由地球表面物体重力等于万有引力即m'g=,故选B。
4.答案
解析 设该星球表面的重力加速度为g,依题意有-h=v0t-gt2
解得g=
在该星球表面,物体的重力等于万有引力,有mg=G
解得M=。
5.答案 (1)
解析 (1)由题意根据运动学规律有v2=2gh
解得火星表面的重力加速度g=
(2)在火星表面一质量为m的物体所受的重力近似等于万有引力,即G=mg
联立解得火星的质量M=
6.B 依题意,根据牛顿第二定律,可得G,由于太阳的半径R未知,所以太阳的密度不能求出,由于行星的质量可以约掉,故也无法求出行星的质量及密度。故选B。归纳总结 估算天体质量和密度的注意事项
(1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时,估算的只是中心天体的质量,而非环绕天体的质量。
(2)区分天体半径R和轨道半径r,只有在天体表面附近的星体,才有r≈R;计算天体密度时,V=πR3中的“R”只能是中心天体的半径。
7.C 中国空间站天和核心舱绕地球做匀速圆周运动,万有引力提供向心力,有,选C。
8.答案 (1)
解析 (1)小球做平抛运动的水平位移x=L
则平抛运动的时间t=
根据h=
(2)根据G=mg得
该行星的质量M=
则该行星的平均密度ρ=
9.C 根据已知量可求出土星的线速度大小v=,无法求出土星的质量,所以选C。
10.BD 若外层的环为土星的一部分,则它们各层转动的角速度ω相等,由v=ωR知v∝R,B正确,C错误;若外层的环是土星的卫星群,则由G,故A错误,D正确。
11.ABD 人造卫星的运动为匀速圆周运动,其向心力等于地球对它的万有引力,由万有引力公式F=G,即卫星的线速度与轨道半径的平方根成反比,所以b、c的线速度大小相等,且小于a的线速度,故D正确。
能力提升练
1.B 行星绕恒星做匀速圆周运动,万有引力提供向心力,由G≈1,故选B。
2.A 由月球绕地球做圆周运动,有G,C、D错误。
导师点睛 (1)根据轨道半径r和运行周期T,求得M=,M是中心天体的质量,而不是环绕天体(行星或卫星)的质量;
(2)注意区分天体半径与轨道半径,只有环绕天体在中心天体表面做匀速圆周运动时,环绕天体的轨道半径r才可以认为等于中心天体半径R。
3.C 环月大椭圆冻结轨道的周期与半长轴分别为T1=24 h,R1=,解得M≈7.67×1022 kg,可知月球的质量接近于7.5×1022 kg,故选C。
4.ACD 设火星的近地卫星的质量为m,火星的质量为M,火星的万有引力提供其近地卫星做匀速圆周运动的向心力,则有,故选A、C、D。
5.A 根据题意,设地球和卫星的质量分别为M、m,由万有引力提供向心力有G,故选A。
6.AC 对地球近地卫星有G=mg,选择①②④,由于不知道地球的半径则不能求出地球的质量,因此不能够估算太阳对地球的万有引力,D错误。
7.C 根据万有引力定律公式F=G,小行星绕太阳运动的轨道半径大于地球公转的轨道半径,线速度小于地球绕太阳公转的线速度,D错误。
8.B 飞船在火星表面做匀速圆周运动,轨道半径等于火星的半径,根据v=,A错误。
9.BC 双星靠相互之间的万有引力提供向心力,相等的时间内转过相同的角度,则角速度相等,故A错误;向心力大小相等,有m1ω2r1=m2ω2r2,即m1r1=m2r2,因为质量之比为m1∶m2=3∶2,则轨道半径之比r1∶r2=2∶3,所以A做圆周运动的半径为L,故C正确,D错误;根据v=ωr,角速度相等,则双星的线速度之比等于半径之比,为2∶3,故B正确。
10.CD 根据万有引力提供向心力有G,即此时月球做圆周运动所需的向心力小于月球与地球间的万有引力,月球做向心运动,月球绕地球做圆周运动的轨道半径将变小,故D正确。
7
