21.3 实际问题与一元二次方程 同步练习（含部分答案） 2025-2026学年人教版九年级上册数学

21.3实际问题与一元二次方程同步练习
一、选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在一次同学聚会上，参加的每个人都与其他人握手一次，共握手次，设参加这次同学聚会的有人，可得方程( )
A. B. C. D.
2.某商品连续两次涨价，由每件元涨为每件元，平均每次上涨的百分比为( )
A. B. C. D.
3.某校“研学”活动小组在一次户外实践时，发现一种植物的个主干上长出个枝干，每个枝干上再长出个小分支若在一个主干上的主干、枝干和小分支的数量之和是个，则根据题意，下列方程中正确的是( )
A. B. C. D.
4.某品牌手机原来每部售价为元，经过连续两次降价后，该手机每部售价为元，设平均每次降价的百分率为，根据题意，所列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
5.对于任意实数，，定义：，如：，若，则实数的值是( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
6.银行经过两次降息，一年期存款的年利率由降至设平均每次降息的百分率为，根据题意，所列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
7.一个多边形有条对角线，则这个多边形有 条边
A. B. C. D.
8.某学校生物兴趣小组在该校空地上围了一块面积为的矩形试验田，用来种植蔬菜如图，试验田一面靠墙，墙长，另外三面用长的篱笆围成，其中一边开有一扇宽的铁制小门设试验田垂直于墙的一边的长为，则的长为( )
A. 或 B. 或 C. D.
9.如图，在一幅矩形风景画的四周镶一条相同宽度的边框，制成一幅长为，宽为的挂图，设边框的宽为，如果风景画的面积是，下列方程符合题意的是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
10.小明向一些好友发送了一条新年问候的短信，获得信息的人也按小明发送的人数再加人向外转发，经过两轮短信的发送，共有人次手机上收到该短信，则小明发送短信给了 个好友．
11.一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小，如果把这个数的个位数字与十位数字交换，那么所得到的两位数比原来的数小，则原来的两位数是 ．
12.小明向一些好友发送了一条新年问候的短信，获得信息的人也按小明发送的人数再加人向外转发，经过两轮短信的发送，共有人次手机上收到该短信，则小明发送短信给了 个好友．
13.某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植株时，平均每株盈利元；若每盆增加株，平均每株盈利减少元，要使每盆的盈利达到元，每盆应多植多少株？设每盆多植株，则可列方程为 ．
14.九章算术第三章“衰分”介绍了比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”例如：已知，，三人分配奖金的“衰分比”为，若分得奖金元，则，所分得奖金分别为元和元某科研所三位技术人员甲、乙、丙攻关成功，共获得奖金万元，甲、乙、丙按照一定的“衰分比”分配奖金，若甲分得奖金万元，则“衰分比”是 用百分数表示
15.若两数的和为，积为，则这两数分别是 ．
三、解答题：本题共4小题，共32分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
某水果超市经销一种高档水果，售价每千克元．
若连续两次降价后每千克元，且每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率；
若按现价销售，每千克盈利元，每天可售出千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，超市决定采取适当的涨价措施，但超市规定每千克涨价不能超过元，若每千克涨价元，日销售量将减少千克现该超市希望每天盈利元，那么每千克应涨价多少元？
17.本小题分
某网店销售一种儿童玩具，每件进价元，规定单件销售利润不低于元，且不高于元试销售期间发现，当销售单价定为元时，每天可售出件，销售单价每上涨元，每天销售量减少件，该网店决定提价销售设每天销售量为件，销售单价为元
请直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围；
当销售单价是多少元时，网店每天获利元？
18.本小题分
如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长米围成的长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙．
若墙长为米，要围成的鸡场的面积为平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？
围成的鸡场的面积可能达到平方米吗？
若墙长为米，对建平方米面积的鸡场有何影响？
19.本小题分
如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．
如果，分别从，同时出发，那么几秒后，的长度等于？
在中，的面积能否等于？请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】略
2.【答案】
【解析】略
3.【答案】
【解析】略
4.【答案】
【解析】略
5.【答案】
【解析】略
6.【答案】
【解析】略
7.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查一元二次方程的应用，多边形的对角线根据多边形的对角线，求边数的问题一般都可以化为求一元二次方程的解的问题，求解中舍去不符合条件的解即可．可根据多边形的对角线与边的关系列方程求解．
【解答】
解：设多边形有条边，
则，
解得，舍去，
故多边形的边数为．
故选A．
8.【答案】
【解析】略
9.【答案】
【解析】略
10.【答案】
【解析】略
11.【答案】
【解析】略
12.【答案】
【解析】略
13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意找到题目蕴含的相等关系是解题的关键．设每盆多植株，则平均每株盈利，根据每盆总利润株数每株的盈利即可列出方程．
【解答】
解：设每盆多植株，可列出的方程：，
故答案为．
14.【答案】
【解析】解：设“衰分比”为，则乙获得奖金，丙获得奖金，
根据题意得：，
整理得，
解得或舍去，不符合实际，
“衰分比”是，
故答案为．
15.【答案】
【解析】略
16.【答案】【小题】
解：设每次下降的百分率为，由题意，得，
解得或舍去．
答：每次下降的百分率为；
【小题】
设每千克应涨价元，由题意，得，
解得，．，．
答：每千克应涨价元．

【解析】 略
略
17.【答案】【小题】
解：由题意，得，即与之间的函数关系式为：；
【小题】
根据题意，得，解得，，，答：当销售单价是元时，网店每天获利元．

【解析】 略
略
18.【答案】【小题】
解：设垂直于墙的一边长为米，则，解得，，当时，；当时，舍，鸡场的长为米，宽为米；
【小题】
设垂直于墙的一边长为米，则，即，，方程没有实数解，所以鸡场面积不可能达到平方米；
【小题】
当时，不能围成一个面积为平方米长方形鸡场；当时，可以围成一个面积为平方米长方形鸡场；当时，可以围成两种长宽不同的面积为平方米长方形鸡场．

【解析】 略
略
略
19.【答案】【小题】
解：后，的长度等于．
【小题】
的面积不能等于理由略．

【解析】 略
略