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1.位移公式:x=vt。
2.在v-t图像中表示位移:做匀速直线运动的物体,其v-t图像是一条平行于时间轴的直线,其位
移在数值上等于v-t图线与对应的时间轴所包围的矩形的面积,如图所示。
3 匀变速直线运动的位移与时间的关系
必备知识 清单破
知识点 1 匀速直线运动的位移
1.在v-t图像中表示位移
(1)微元法推导
①把物体的运动分成几个小段,如图甲,每段位移≈每段起始时刻速度×每段的时间=对应矩
形面积。所以,整个过程的位移≈各个小矩形面积之和。
②把运动过程分为更多的小段,如图乙,各小矩形的面积之和可以更精确地表示物体在整个
过程的位移。
③把整个过程分得非常非常细,如图丙,小矩形合在一起成了一个梯形,梯形的面积就代表物
体在相应时间间隔内的位移。
知识点 2 匀变速直线运动的位移
(2)结论:做匀变速直线运动的物体的位移对应着v-t图像中的图线与对应的时间轴所包围的
面积。
2.位移与时间的关系
(1)公式推导
方法一:如上图丙中匀变速直线运动的v-t图像,其着色部分梯形的面积表示物体的位移。由
梯形的面积公式知物体的位移x= t,再将v=v0+at代入得x= t,整理得x=v0t+ at2。
方法二:仍然利用v-t图像中着色部分的面积表示物体的位移,但把该部分分割为两部分
(如图所示):
x1=v0t,x2= at2,所以x=x1+x2=v0t+ at2。
(2)各物理量的意义
(3)公式的理解:x=v0t+ at2适用于匀变速直线运动,x、v0、a均是矢量,应用时必须选取统一的
正方向,一般选初速度v0的方向为正方向。
①匀加速直线运动,a取正值;匀减速直线运动,a取负值。
②x>0,表示位移的方向与规定的正方向相同;x<0,表示位移的方向与规定的正方向相反。
(4)两种特殊形式
①当a=0时,x=v0t,物体做匀速直线运动。
②当v0=0时,x= at2,物体做初速度为零的匀加速直线运动。
1.关系式
2.关于公式的说明:v2- =2ax是矢量式,式中的v0、v、a、x都是矢量,使用时应先规定正方向,
然后根据正方向确定各物理量的正负。
3.两种特殊形式
(1)当初速度v0=0时,公式简化为v2=2ax,物体做初速度为零的匀加速直线运动。
(2)当末速度v=0时,公式简化为- =2ax,物体做匀减速直线运动至停止。
知识点 3 匀变速直线运动的速度与位移的关系
1.初速度越大,运动时间越长,匀变速直线运动的位移一定越大吗
不一定。匀变速直线运动的位移与初速度、加速度和运动时间三个因素有关,仅根据初
速度和运动时间不能确定位移的大小。
2.如何利用v-t图像求解物体运动的位移
在v-t图像中,图线与时间轴所围面积表示位移,若面积处于时间轴上方,位移为正;若面
积处于时间轴下方,位移为负。
3.在公式x= 中,x可以为负值吗 a和x可以同时为负值吗
可以。x= 是矢量式,运用时先规定正方向。若取v0的方向为正方向,物体做减速运动
时,a取负值;x为负值,说明位移的方向与初速度方向相反。
知识辨析
提示
提示
提示
4.建造滑梯时,若已知小孩在滑梯上下滑的加速度和在滑梯底端的安全速度,如何设计出滑梯
的长度
因为v和a已知,且小孩初速度为零,根据v2- =2ax可知x= ,要想保证小孩安全,则滑梯长度
x满足x≤ 。
提示
匀变速直线运动中规律很多,要想牢固掌握,就要搞清楚公式的来龙去脉、明确各量的
物理意义,这就要求学生自己能够推导公式。用v-t图像解决直线运动问题,往往能起到事半
功倍的效果。下面用v-t图像推导匀变速直线运动的一些常用推论公式。
1.平均速度公式
(1) = = = ,即做匀变速直线运动的物体,在一段时间t内的平均速度
等于这段时间内中间时刻的瞬时速度,还等于这段时间初、末速度矢量和
的一半。
关键能力 定点破
定点 1 匀变速直线运动的两个推论公式和两个速度
(2)图像法推导:设匀变速直线运动的初速度为v0,末速度为v,这段时间中间
时刻的瞬时速度为 ,作出v-t图像如图所示:
0~t时间内的位移x= t
平均速度 = =
中间时刻的瞬时速度的大小对应梯形中位线的长度,故 = = 。
2.位移差公式
(1)Δx=aT2,即以加速度a做匀变速直线运动的物体,在连续相等的时间T内的位移之差Δx为一
恒定值,且Δx=aT2。
(2)图像法推导:如图所示,匀变速直线运动中,连续相等时间T内的位移分
别为x1、x2、x3、x4、…,位移差x2-x1、x3-x2、x4-x3、…都等于图中着色矩
形的面积aT2,所以有Δx=aT2。
(3)数学方法推导
设物体做匀变速直线运动,其加速度为a,从某时刻起开始计时,此时的速度为v0,则自计时
时刻起T时间内的位移x1=v0T+ aT2,在第2个T时间内的位移x2=v0·2T+ a(2T)2-x1=v0T+ aT2,又
Δx=x2-x1,联立以上三式得Δx=aT2。
3.两个速度——中间时刻的瞬时速度 与中点位置的瞬时速度
做匀变速直线运动的物体,在t时间内通过一段位移x,设初速度为v0,t时刻的速度为v,中间
时刻 时的瞬时速度为 = ,中点位置 处的瞬时速度为 = 。
不论是匀加速直线运动还是匀减速直线运动,一定有 > ,如图所示。
知识拓展 推导中点位置的瞬时速度表达式:
如图所示,对AB段有 - =2a· ①,对BC段有v2- =2a· ②,①-②整理可得2 =v2+ ,可得
= 。
1.匀变速直线运动的5个常用公式的比较
定点 2 匀变速直线运动的常用公式的比较及其应用
一般形式 v0=0 一般应用
速度公式 v=v0+at v=at 不涉及位移x时优先选用
位移公式 x=v0t+ at2 x= at2 不涉及末速度v时优先选用
速度-位移公式 v2- =2ax v2=2ax 不涉及运动时间t时优先选用
平均速度 求位移公式 x= t x= t 不涉及加速度a时优先选用
位移差公式 Δx=aT2 Δx=aT2 求加速度时优先选用
2.应用运动学公式解题的步骤
(1)认真审题,画出物体的运动过程示意图。最好配上v-t图像。
(2)明确研究对象,明确已知量、待求量。
运动学中一共涉及初速度、末速度、加速度、时间、位移5个量,要从已知条件中找到3个。
(3)规定正方向(一般选取初速度v0的方向为正方向),确定各矢量的正、负。
(4)选择适当的公式求解。列出物体在各阶段的运动方程,同时列出物体各阶段运动间的关联方程。
(5)判断所得结果是否合乎实际情况,并根据结果的正负说明所求矢量的方向。
3.多过程匀变速直线运动
如果一个物体的运动过程比较复杂,整体上并不是匀变速直线运动,但是将整个过程分
成不同的阶段后,每个阶段都是匀变速直线运动过程,可以分段应用匀变速直线运动规律求解。
解决这类问题时需要注意以下两点:一是前一过程的末速度是后一过程的初速度,这是重要
的隐含条件;二是各个阶段的时间之和等于总时间,各个阶段的位移之和等于总位移。这两
个关系是解题的关键。
典例 某火车从静止开始做匀加速直线运动出站,连续经过如图所示的R、S、T三点,已知RS
段的距离是80 m,ST段的距离是RS段的两倍【1】,通过RS、ST两段的时间均为20 s【2】,火车经过
R点时到出发点的距离为( )
A.10 m B.20 m C.40 m D.80 m
信息提取 【1】RS与ST是相邻的两段距离,xST=2xRS=160 m,xRT=xRS+xST=3xRS=240 m。
【2】S点对应RT段的中间时刻。
思路点拨
物体做匀加速直线运动,加速度不变,通过RS段、ST段的时间相等,可分别用位移公式x=v0t+
at2【3】列方程,求出加速度和火车经过R点时的速度,再由速度-位移关系式v2- =2ax【4】求解火
车经过R点时到出发点的距离。
也可以运用位移差公式Δx=aT2【5】求出加速度,结合中间时刻的瞬时速度公式 = 【6】求
解火车经过S点时的速度。
解析 解法一:设火车的加速度为a,经过R点时速度为vR,通过RS段和ST段所用的时间均为T=
20 s,则有xRS=vRT+ aT2,xRT=vR·2T+ a·(2T)2(由【3】得到),联立解得a=0.2 m/s2,vR=2 m/s。
设出发点为O,有xOR= =10 m(由【4】得到),故选A。
解法二:设火车的加速度为a,根据位移差公式Δx=aT2,得xST-xRS=aT2(由【1】、【2】、【5】得
到),解得a= = m/s2=0.2 m/s2。
根据匀变速直线运动中间时刻的瞬时速度等于该段过程的平均速度,得火车经过S点时的速
度为vS= = = m/s=6 m/s(由【6】得到)。
设出发点为O,有xOS= = m=90 m(由【4】得到),则xOR=xOS-xRS=90 m-80 m=10 m,故选A。
答案 A
设物体做匀加速直线运动的加速度为a,在各个连续相等时间间隔T内的位移分别是x1、
x2、…、x6,如图所示。
(1)由公式Δx=aT2可得x4-x1=(x4-x3)+(x3-x2)+(x2-x1)=3aT2,同理:x5-x2=x6-x3=3aT2。可求出a1= ,
a2= ,a3= ,a1、a2、a3的平均值 = = 。
由上式可看出,所给的实验数据x1、x2、…、x6全部都用到了,减小了实验误差。
以上这种处理数据的方法叫逐差法。
定点 3 位移差公式Δx=aT2在纸带数据处理中的应用
巧记方法 将小相邻转变成大相邻:
可以将从A到G过程一分为二,简化为两大段AD、DG研究,每一段的时间间隔为3T,则xⅠ
=x1+x2+x3,xⅡ=x4+x5+x6,则由位移差公式Δx=aT2可得a= = 。
(2)若题中给出的是奇数段数据,如图中只给出了x1、x2、x3、x4、x5,应舍去一段长度的数据,
变成偶数段求解。一般舍去正中间的一段,即舍去x3,a1= ,a2= ,则a= 。
(3)若题设中连续相等时间间隔T内的位移只有两个数据xn、xm,已知n>m,则a= 。如
图所示,此时a= 。
初速度为零的匀加速直线运动是一种特殊的匀变速直线运动,由匀变速直线运动的基本
公式,可以推导出一些揭示该种运动的特点并使解决问题变得简单的推论,如下所示:
1.等分运动时间
从t=0开始计时,以T为时间单位,有
定点 4 初速度为零的匀加速直线运动的比例关系
(1)1T末、2T末、3T末、…、nT末的瞬时速度之比v1∶v2∶v3∶…∶vn=1∶2∶3∶…∶n。
(2)1T内、2T内、3T内、…、nT内的位移之比x1∶x2∶x3∶…∶xn=1∶4∶9∶…∶n2。
(3)第1个T内、第2个T内、第3个T内、…、第n个T内的位移之比Δx1∶Δx2∶Δx3∶…∶Δxn=
1∶3∶5∶…∶(2n-1)。
2.等分位移(以x为位移单位)
(1)通过x、2x、3x、…、nx所用时间之比t1∶t2∶t3∶…∶tn=1∶ ∶ ∶…∶ 。
(2)通过第1个x、第2个x、第3个x、…、第n个x所用时间之比Δt1∶Δt2∶Δt3∶…∶Δtn=1∶
( -1)∶( - )∶…∶( - )。
(3)x末、2x末、3x末、…、nx末的瞬时速度之比v1∶v2∶v3∶…∶vn=1∶ ∶ ∶…∶ 。
特别说明 由于末速度为零的匀减速直线运动可以看成初速度为零、加速度大小相等的反
向的匀加速直线运动,故以上规律也适用于末速度为零的匀减速直线运动。第二章 匀变速直线运动的研究
3 匀变速直线运动的位移与时间的关系
基础过关练
题组一 位移公式x=v0t+at2的理解及简单应用
1.一个物体以初速度v0=2 m/s做匀加速直线运动,它在前3 s内通过的位移是10.5 m,则它的加速度为( )
A.0.5 m/s2 B.1.0 m/s2
C.1.5 m/s2 D.2.0 m/s2
2.一列火车由等长的车厢连接而成,车厢间的间隙忽略不计。一人站在站台上与第一节车厢的最前端相齐。列车由静止开始做匀加速直线运动,已知第一节车厢经过他的时间是10 s,整列火车经过他的时间是30 s,则这列火车的车厢节数为( )
A.3节 B.6节 C.9节 D.12节
3.(多选)冰壶(Curling),又称掷冰壶、冰上溜石,是以队为单位在冰上进行的一种投掷性竞赛项目,属冬奥会比赛项目,并设有冰壶世锦赛。在某次比赛中,冰壶被投出后做匀减速直线运动,用时20 s停止,最后1 s内位移大小为0.2 m,则下面说法正确的是 ( )
A.冰壶的加速度大小是0.3 m/s2
B.冰壶的加速度大小是0.4 m/s2
C.冰壶第1 s内的位移大小是7.8 m
D.冰壶的初速度大小是6 m/s
4.(经典)(多选)在平直的公路上,汽车刹车做直线运动的位移x与时间t的关系为x=20t-2t2(式中各物理量均采用国际单位制中的单位),下列说法正确的是 ( )
A.汽车刹车的加速度大小为2 m/s2
B.汽车在前3 s内的平均速度为14 m/s
C.汽车在前6 s内的位移为48 m
D.汽车在第3 s内的位移为10 m
题组二 速度-位移关系式v2-=2ax的理解及简单应用
5.如图所示,某高速列车在某段铁轨上做匀加速直线运动,速度由5 m/s增加到10 m/s时通过的位移为x,则当速度由10 m/s增加到15 m/s时,它通过的位移是 ( )
A.x C.2x D.3x
6.(经典)(多选)某质点做匀减速直线运动,依次经过A、B、C三点,最后停在D点,如图所示。已知AB=6 m,BC=4 m,从A点运动到B点和从B点运动到C点两个过程速度变化量都为-2 m/s,则下列说法正确的是 ( )
A.质点的加速度大小为2 m/s2
B.质点到达B点时速度大小为2.55 m/s
C.A、D两点间的距离为12.25 m
D.质点从A点运动到C点的时间为4 s
7.高速公路的ETC电子收费系统如图所示,ETC通道的长度是识别区起点到自动栏杆的水平距离。某汽车以25.2 km/h的速度匀速进入识别区,ETC天线用了0.3 s的时间识别车载电子标签,识别完成后发出“滴”的一声,司机发现自动栏杆没有抬起,于是采取制动刹车,汽车刚好没有撞杆。已知司机的反应时间为0.4 s,刹车的加速度大小为5 m/s2,则该ETC通道的长度为( )
A.8.4 m B.7.8 m C.9.8 m D.10.0 m
8.一列长为L0=200 m的列车以a=2 m/s2的加速度由静止匀加速驶出车站。现测得列车经过铁路旁某一电线杆A所用的时间为10 s,经过前方另一电线杆B所用的时间为5 s。求:
(1)列车车头从电线杆A到达电线杆B的时间;
(2)A、B两电线杆之间的距离L。
题组三 匀变速直线运动的图像
9.(多选)游乐场升降机上下运动时,为了追求刺激会急速上升和下降。某次向上运动过程的速度 时间图像如图所示,根据图像可知 ( )
A.4~5 s内的加速度为1 m/s2
B.0~5 s内上升的高度为7 m
C.第1 s末与第3 s末的速度方向相同
D.第1 s内与第5 s内的加速度方向相同
10.(多选)一质点从零时刻出发,沿直线运动时的速度 时间图像如图所示,则以下说法正确的是 ( )
A.第1 s末质点的位移和速度都改变方向
B.第2 s末质点的运动方向改变
C.第4 s末质点回到出发点
D.第3 s末和第5 s末质点的位置相同
11.(多选)一汽车从某地出发沿平直公路行驶,其v2-x图像如图所示,则汽车 ( )
A.先做匀速直线运动后静止
B.加速阶段的加速度大小为1.5 m/s2
C.加速阶段的加速度大小为0.75 m/s2
D.加速运动的时间为 s
12.(多选)做直线运动的某质点的位移-时间图像(抛物线)如图所示,P(2 s,12 m)为图线上的一点,PQ为过P点的切线,与x轴交于点Q(0,4 m)。已知t=0时质点的速度大小为8 m/s,则下列说法正确的是 ( )
A.质点做匀减速直线运动
B.t=2 s时质点的速度大小为6 m/s
C.质点的加速度大小为2 m/s2
D.0~1 s时间内,质点的位移大小为4 m
能力提升练
题组一 位移公式x=v0t+at2的综合应用
1.某物体以30 m/s的初速度水平向右做匀减速直线运动,加速度大小为10 m/s2,速度减小到0后仍做加速度不变的运动,则5 s内该物体的( )
A.路程为25 m
B.位移大小为25 m,方向向右
C.速度改变量的大小为10 m/s
D.平均速度大小为13 m/s,方向向右
2.汽车在平直公路上做初速度为零的匀加速直线运动,途中用了6 s时间经过A、B两根电线杆,已知A、B间的距离为60 m,汽车经过B时的速度为15 m/s,汽车可视为质点,则下列说法错误的是 ( )
A.汽车经过A杆时的速度为5 m/s
B.汽车的加速度为15 m/s2
C.汽车从出发点到B杆所用时间为9 s
D.出发点到A杆的距离是7.5 m
3.(多选)滑块在粗糙水平地面上做匀减速直线运动直到静止,在第1 s内和第3 s内的位移大小分别为x1=6 m、x3=2 m,第3 s末滑块还没有停止运动,则下列说法正确的是 ( )
A.滑块的初速度大小为7 m/s
B.滑块第2 s末的速度大小为4 m/s
C.滑块运动的总位移大小为12 m
D.滑块停止运动前2 s内的平均速度大小为2 m/s
4.一质点沿x轴运动,其位置坐标x随时间t变化的规律为x=15+10t-5t2(x的单位为m,t的单位为s)。求:
(1)t=3 s时刻该质点的速度;
(2)在0~3 s内该质点的平均速度大小;
(3)质点处于x=20 m处时的速度大小。
题组二 速度-位移公式v2-=2ax的综合应用
5.滑跃式起飞是一种航母舰载机的起飞方式,飞机跑道的前一部分水平,跑道尾段略微翘起,如图所示。假设某飞机滑跃式起飞过程是两段连续的匀加速直线运动,前一段的初速度为0,加速度为5 m/s2,位移为160 m;后一段的加速度为4 m/s2,飞机的离舰速度为42 m/s,下列说法正确的是 ( )
A.跑道尾段的长为20 m
B.飞机起飞过程所需时间为8 s
C.飞机在前一段的末速度为38 m/s
D.飞机在整个起飞过程的平均速率约为21.2 m/s
6.(多选)冰壶比赛是冬奥会比赛项目之一。如图为某比赛场地示意图,a、b、c、O在同一水平直线上。某次训练中,运动员从a处推着冰壶沿图中虚线出发,到达虚线与投掷线MN的交点b处时,将冰壶以初速度v0=2.8 m/s推出,冰壶的加速度a1=-0.2 m/s2。冰壶沿虚线到达c点时,队友开始用毛刷摩擦冰面,以调节冰壶的运动,冰面被毛刷摩擦后冰壶的加速度变为原来的80%,冰壶恰好运动到圆垒的中心O处静止,已知从b到c用时t1=8 s。冰壶可视为质点,关于冰壶的运动,下列判断正确的是 ( )
A.在c点时速度大小为1.0 m/s
B.从c到O历时7.5 s
C.b、O间距离为20.5 m
D.从b到O的过程中平均速度大小为1.4 m/s
7.可爱的企鹅喜欢在冰面上玩游戏。如图所示,有一企鹅在倾斜冰面上,先以加速度a1=0.5 m/s2 从冰面底部由静止开始沿直线向上“奔跑”,8 s时突然卧倒,肚皮贴着冰面以大小为a2=4 m/s2的加速度匀减速向上滑行,直到最高点。求:
(1)企鹅向上“奔跑”的位移大小;
(2)企鹅在冰面向上运动的最大距离和总时间。
8.为确保校园道路安全,某中学门外路段设置的橡胶减速带如图所示,一汽车正以15 m/s的速度行驶在该路段,在离减速带50 m处该车开始做匀减速直线运动,结果以5 m/s的速度通过减速带,通过后立即以2.5 m/s2的加速度加速到原来的速度。汽车可视为质点,减速带的宽度忽略不计。求:
(1)汽车减速时的加速度以及减速阶段所用的时间。
(2)由于减速带的存在,该汽车通过这段距离多用的时间。
题组三 多物体直线运动的图像的应用
9.甲、乙两物体分别在水平面上做直线运动,取向右为正方向,它们运动的相关图像分别如图甲、乙所示。已知乙的初速度为0,下列说法正确的是( )
A.甲物体2 s时的加速度方向发生变化
B.乙物体2 s时的运动方向没有发生变化
C.甲物体0~2 s内的平均速度与2~4 s内的平均速度相同
D.乙物体4 s时的位置与0时刻的位置相同
10.(多选)甲、乙两辆汽车同时同地出发,沿同一方向做直线运动,两车速度的平方v2随x变化的图像如图所示,则下列说法正确的是( )
A.甲车的初速度大小为6 m/s
B.乙车的加速度大小为2 m/s2
C.两车在x=9 m处相遇
D.甲车在4 s内前进了8 m
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.B 2.C 3.BC 4.BD 5.B 6.AC
7.C 9.BC 10.BCD 11.CD 12.AC
1.B 根据匀变速直线运动的位移-时间关系有x=v0t+at2=10.5 m,代入数据解得a=1.0 m/s2,B正确。
2.C 以列车为参考系,把列车的运动转化为人做初速度为零、加速度大小等于列车的加速度的匀加速直线运动。(破题关键)设每节车厢长为L,人的加速度大小为a,则L=,nL=,其中t1=10 s,t2=30 s,联立解得n=9,故选C。
3.BC 冰壶运动的逆过程可看成初速度为零的匀加速直线运动(解题技法),最后1 s内的位移为0.2 m,根据匀变速直线运动的位移公式可得x1=,解得a=0.4 m/s2,故A错误,B正确;根据速度公式可得初速度为v0=at=0.4×20 m/s=8 m/s,则冰壶第1 s内的位移大小为x1'=v0t1- m=7.8 m,故C正确,D错误。
方法技巧 逆向思维法求解运动问题
逆向思维法是把运动过程的“末状态”作为“初状态”来反向研究问题的方法。如物体做末速度为零的匀减速直线运动,可看成反向的初速度为零的匀加速直线运动来处理,要注意两运动的加速度相同。末状态已知的情况下,若采用逆向思维法往往能起到事半功倍的效果。
4.BD 将匀变速直线运动的位移公式x=v0t+at2,与x=20t-2t2对比,可得汽车刹车的初速度v0=20 m/s,加速度a=-4 m/s2,A错误;根据x=20t-2t2可得汽车前3 s内的位移为x3=(20×3-2×32) m=42 m,故汽车在前3 s内的平均速度为=14 m/s,B正确;根据速度公式v=v0+at,可得汽车的刹停时间为t'==5 s(易错点),则汽车在前6 s内的位移为x6=x5=(20×5-2×52) m=50 m,C错误;汽车前2 s的位移为x2=(20×2-2×22) m=32 m,则汽车在第3 s内的位移为Δx=x3-x2=10 m,D正确。
易错分析 本题在分析C选项时,易根据位移公式x=20t-2t2,直接将t=6 s代入,得出汽车前6 s的位移为x6=(20×6-2×62) m=48 m,错选C。求解刹车类问题时,首先应求刹停时间,确定给定的时间内汽车是否已经停止运动。若盲目代入数值计算,容易出错。
5.B 由匀变速直线运动的速度-位移公式可得=x,则,可得x1=x,故B正确。
6.AC 质点做匀减速直线运动,由题意可知vA-vB=2 m/s,vB-vC=2 m/s,设加速度的大小为a,根据速度-位移公式得=2axAB,=2axBC,代入数据联立解得a=2 m/s2,vA=7 m/s,vB=5 m/s,vC=3 m/s,A正确,B错误;A、D间的距离为xAD= m=12.25 m,C正确;质点从A运动到C所用的时间为t= s=2 s,D错误。
一题多解 从A点到B点和从B点到C点两个过程速度变化量Δv相同,所以两个过程所用时间相同,设为T。由Δv=aT=-2 m/s和Δx=aT2=-2 m,解得T=1 s,a=-2 m/s2;从A点运动到C点的时间为2T=2 s;到达B点时是AC段的中间时刻,其速度等于AC段的平均速度,即vB==5 m/s,A正确,B、D错误。vB=vA+aT,vA=7 m/s,A、D间的距离为xAD= m=12.25 m,C正确。
7.C 根据题意,v0=25.2 km/h=7 m/s,在ETC天线识别过程(t1=0.3 s)及司机反应过程(t2=0.4 s)中,汽车匀速行驶(破题关键),则汽车在ETC通道运动的v-t图像如图所示:
汽车匀速行驶的距离s1=v0(t1+t2)=4.9 m,汽车刹车减速行驶的距离s2==4.9 m,则ETC通道的长度s=s1+s2=9.8 m,故选C。
8.答案 (1)12.5 s (2)281.25 m
解析 设列车车头到电线杆A时的速度为vA,到电线杆B时的速度为vB,则L0=vAtA+,L0=vBtB+,解得vA=10 m/s,vB=35 m/s
(1)列车车头从电线杆A到达电线杆B的时间t= s=12.5 s
(2)A、B两电线杆之间的距离L==281.25 m
9.BC 根据v-t图线的斜率表示加速度,可得4~5 s内的加速度为a1= m/s2=-2 m/s2,A错误;v-t图线与横轴围成的面积表示位移,则0~5 s内上升的高度为x=×2 m=7 m,B正确;由图可知0~5 s内升降机向上运动,第1 s末与第3 s末的速度方向相同,C正确;第1 s内升降机加速上升,加速度方向向上,第5 s内升降机减速上升,加速度方向向下,故第1 s内与第5 s内加速度方向相反,D错误。
10.BCD 第1 s末前后质点的速度均为正值,则第1 s末质点的位移和速度都没有改变方向,A错误;第2 s末质点的速度反向,即运动方向改变,B正确;因v-t图线与横轴围成的面积表示位移(破题关键),且t轴上方的位移为正,t轴下方的位移为负,则0~4 s内质点的位移为零,故4 s末质点回到出发点,C正确;3~4 s内和4~5 s内质点的位移大小相等、方向相反,则第3 s末和第5 s末质点的位置相同,D正确。
11.CD 由匀变速直线运动的速度-位移公式v2-=2ax,可得出v2=2ax+,知在v2-x图像中,倾斜直线表示物体做匀变速直线运动,斜率k=2a,纵轴截距b=。(破题关键)由题图可知,汽车先做匀加速直线运动,后做匀速直线运动,A错误;汽车加速阶段,图线斜率k=2a=1.5 m/s2,初速度v0满足=25 m2/s2,末速度vt满足=100 m2/s2,解得加速度a=0.75 m/s2,初速度v0=5 m/s,末速度vt=10 m/s,则加速时间t= s,故B错误,C、D正确。
12.AC 质点的位移-时间图像为抛物线,结合匀变速直线运动的位移公式x=v0t+at2,v0=8 m/s,t=2 s时的位移x=12 m,代入解得a=-2 m/s2,则x-t图像对应的函数关系式为x=8t-t2,可知质点做匀减速直线运动,加速度大小为2 m/s2,A、C正确;t=2 s时质点的速度为v=v0+at=8 m/s+(-2)×2 m/s=4 m/s,B错误;0~1 s时间内质点的位移x1=8×1 m-12 m=7 m,故D错误。
一题多解 位移-时间图像为抛物线,且图线的切线斜率变小,说明质点做匀减速直线运动,A正确;x-t图线的切线的斜率表示瞬时速度,故t=2 s时图线的切线的斜率表示该时刻的瞬时速度,v= m/s=4 m/s,B错误;加速度a= m/s2=-2 m/s2,C正确;0~1 s内,质点的位移大小为x=v0t1+×(-2)×12 m=7 m,D错误。
能力提升练
1.B 2.B 3.AD 5.D 6.BC 9.B 10.AC
1.B 物体速度减小到0所用的时间为t0= s=3 s,前3 s内物体运动的路程为s1=v0t0-=45 m,后2 s内物体反向做初速度为零的匀加速直线运动,运动的路程为s2=×10×22 m=20 m,所以5 s内该物体通过的路程为65 m,A错误;由匀变速直线运动的位移公式可得5 s内该物体的位移为x=v0t-at2=25 m,结果为正说明方向向右,B正确;物体的速度改变量的大小为Δv=at=10×5 m/s=50 m/s,C错误;5 s内该物体的平均速度大小为=5 m/s,D错误。
易混易错 注意与刹车问题的区分,刹停后汽车静止,不会反向运动,本题中物体速度减小到0后反向加速,整体看为匀变速直线运动,运动的v-t图像如图所示:
2.B 设汽车经过A杆时的速度为vA,从A杆到B杆过程,由匀变速直线运动的速度公式可得vB=vA+at,由位移公式可得vAt+at2=xAB,代入数据联立解得vA=5 m/s,a= m/s2,A正确,B错误;由速度公式可得vB=atB,故汽车从出发点到B杆所用时间为tB==9 s,C正确;由速度公式可得vA=atA,故汽车从出发点到A杆所用时间为tA==3 s,则出发点到A杆的距离是xA==7.5 m,D正确。
一题多解 根据题意,汽车经过A、B两根电线杆间距离的平均速度为 m/s=10 m/s,根据平均速度公式有,可得汽车经过A杆时的速度vA=5 m/s,汽车的加速度a= m/s2;根据速度公式可得汽车从出发点到B杆所用时间为tB==9 s,故A、C正确,B错误。根据速度-位移公式可得出发点到A杆的距离为xA==7.5 m,D正确。
3.AD 第3 s末滑块还没有停止运动,根据中间时刻的瞬时速度等于平均速度,可得v0.5==6 m/s,v2.5==2 m/s,则根据速度公式v=v0+at,可得2 m/s=6 m/s+a×2 s,解得a=-2 m/s2;根据位移公式x=v0t+at2,可得第1 s内的位移为x1=v0×1 s+×(-2)×12 m,解得v0=7 m/s,故A正确;滑块第2 s末的速度为v2=v0+at2=7 m/s-2×2 m/s=3 m/s,B错误;滑块停止运动所用时间t= s=3.5 s,滑块运动的总位移大小x=v0t+×2×3.52 m=12.25 m,C错误;滑块停止运动前2 s内是1.5~3.5 s内,1.5 s时的瞬时速度为v1.5=7 m/s-2 m/s2×1.5 s=4 m/s,由平均速度公式有滑块停止运动前2 s内的平均速度大小为=2 m/s,D正确。
速解 求解加速度时,由位移差公式可得x3-x1=2aT2,其中T=1 s,解得a=-2 m/s2;分析滑块停止运动前2 s内的平均速度大小时,采用逆向思维,滑块停止运动前2 s内的位移大小是Δx=|a|t2=4 m,则平均速度大小为=2 m/s。
4.答案 (1)20 m/s,方向与初速度方向相反
(2)5 m/s (3)0
解析 (1)由于质点的位置坐标x随时间t变化的规律为x=15+10t-5t2,对比匀变速直线运动的位移公式x=v0t+at2,可以转化成x-15=10t-5t2,
对照可得质点的初始位置坐标为x0=15 m,初速度为v0=10 m/s,加速度为a=-10 m/s2
则t=3 s时的速度为v=v0+at=10 m/s-10×3 m/s=-20 m/s,负号表示方向与初速度方向相反;
(2)将t=3 s代入x=15+10t-5t2,可得t=3 s时质点的位置坐标为x3=0
则0~3 s内该质点的位移为Δx=x3-x0=-15 m
平均速度大小为 m/s=5 m/s
(3)质点处于x=20 m处时,有20 m=15 m+10t-5t2,解得t=1 s
此时的速度为v1=v0+at=10 m/s-10×1 m/s=0
方法技巧 待定系数法求解未知量
在匀变速直线运动问题中,若题中给出速度或位移随时间变化的函数关系式,如x=mt+nt2,求解其他量时,可采用待定系数法,即将公式x=v0t+at2和函数关系式x=mt+nt2对比,可得v0=m,a=n。
5.D 飞机滑跃式起飞过程是两段连续的匀加速直线运动,前一段的末速度是后一段的初速度,由速度-位移关系式,对于前一段有=2a1x1,解得飞机在前一段的末速度为v1= m/s=40 m/s,运动时间为t1==8 s,故C错误;对于后一段,由速度-位移关系式,可得=2a2x2,解得跑道尾段长为x2= m=20.5 m,飞机在跑道尾段的运动时间为t2==0.5 s,则飞机起飞过程所需时间为t=t1+t2=8.5 s,故A、B错误;飞机在整个起飞过程的平均速率约为≈21.2 m/s,D正确。
6.BC 根据题意可知,冰壶从b点推出后做匀减速直线运动,根据匀变速直线运动速度公式可得到达c点时速度为vc=v0+a1t1=(2.8-0.2×8) m/s=1.2 m/s,故A错误;从c到O继续做匀减速直线运动,加速度变为a2=80%×a1=0.8×(-0.2) m/s2=-0.16 m/s2,从c到O所用时间为t2= s=7.5 s,B正确;根据匀变速直线运动速度-位移关系式可得b、c间距离为x1= m=16 m,c、O间距离为x2= m=4.5 m,则b、O间距离为x=x1+x2=20.5 m,C正确;根据平均速度的定义可得从b到O的过程中平均速度大小为≈1.3 m/s,D错误。
7.答案 (1)16 m (2)18 m 9 s
解析 (1)企鹅向上“奔跑”的位移大小为
x1=×0.5×82 m=16 m
(2)8 s末企鹅的速度大小
v1=a1t1=0.5×8 m/s=4 m/s
8 s末减速向上滑行,根据速度-位移公式可得
=-2a2x2
代入数据得0-(4 m/s)2=-2×4 m/s2·x2
解得企鹅上滑的距离x2=2 m
企鹅在冰面向上运动的最大距离为x=x1+x2=18 m
上滑时间t2==1 s
总时间t=t1+t2=9 s
一题多解 根据题意,企鹅向上“奔跑”的时间为t1=8 s,此时的速度v1=a1t1=0.5×8 m/s=4 m/s,然后上滑至最高点,运动的v-t图像如图所示:
上滑的时间为t2==1 s
则总时间为t=t1+t2=9 s
根据v-t图线与横轴所围的面积表示位移,可得企鹅向上“奔跑”的位移大小x1=×4×8 m=16 m
向上运动的最大距离x=×4×9 m=18 m
8.答案 (1)-2 m/s2 5 s (2)3 s
解析 (1)汽车做匀减速直线运动,初速度v0=15 m/s,末速度v=5 m/s,位移x=50 m,由速度-位移公式v2-=2ax
可得加速度a= m/s2=-2 m/s2
负号表示加速度方向与速度方向相反;
减速需要的时间t1==5 s
(2)汽车加速的时间t2==4 s
加速的位移x2=t2=40 m
汽车通过的总位移x=x1+x2=90 m
如果没有减速带,汽车匀速通过这段距离所用的时间t= s=6 s
由于减速带的存在,该汽车通过这段距离多用的时间Δt=t1+t2-t=3 s
9.B 由于v-t图线的斜率表示加速度,可知甲物体2 s时的加速度方向没有变化,A错误;a-t图线与时间轴围成的面积表示速度的变化量,因乙物体的初速度为0,可知乙物体在010.AC 根据匀变速直线运动的速度-位移公式可得=2a甲x甲,=2a乙x乙,结合题图可得v甲0=6 m/s,a甲=-2 m/s2,v乙0=0,a乙=1 m/s2,即甲车的初速度大小为6 m/s,乙车的加速度大小为1 m/s2,A正确,B错误;甲车做匀减速直线运动,停止运动的时间为t0==3 s,故在4 s内前进的位移为x==9 m,对于乙车,运动9 m时有9 m=a乙t2,解得t=3 s>3 s,可知甲车运动9 m先停下,之后乙车再到达x=9 m处,C正确,D错误。
