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1.平衡状态:物体在力的作用下保持静止或匀速直线运动的状态。
2.平衡状态的特征
(1)静止状态的特征:v=0,a=0,两者同时成立。
(2)匀速直线运动状态的特征:v≠0,a=0。
5 共点力的平衡
必备知识 清单破
知识点 1 平衡状态
1.共点力平衡的条件:合外力等于0,即F合=0。另一种表达是 ,其中 和 分别是将
物体所受的力正交分解后在x轴和y 轴上的合力。
2.平衡条件的推论
推论1:“等值反向”原理
若物体在n个共点力作用下处于平衡状态,则其中任意一个力必定与另外(n-1)个力的合力构
成一对平衡力,即任意一个力与另外(n-1)个力的合力大小相等、方向相反。
推论2:“封闭多边形”原理
如果物体受到三个共点力达到平衡,顺次平移这些力的作用线,使其首尾相接,则必构成
一个封闭的三角形。当物体受到几个共点力达到平衡时,顺次平移这些力的作用线,使其首
知识点 2 平衡条件
尾相接,则必构成一个封闭的多边形。
推论3:“三力汇交”原理
当物体受到不平行的三个力作用而达到平衡时,这三个力必在同一平面内,且三个力的
作用线或作用线的延长线必相交于一点,这就是三力汇交原理。
1.如果物体的速度为零,物体就一定处于平衡状态吗
不一定。如果物体的速度v=0且加速度a=0,则处于平衡状态;如果v=0但a≠0,则处于非平
衡状态。
2.怎样判断物体是否处于平衡状态
物体处于平衡状态的标志是加速度为零。判断物体是否处于平衡状态,就看其加速度
是否为零,与物体的速度无关。
知识辨析
提示
提示
1.解答共点力平衡问题的一般步骤
(1)选取研究对象,对于有相互作用的两个或两个以上的物体构成的系统,应明确所选研究对
象是系统整体还是系统中的某一个物体。
(2)对所选研究对象进行受力分析,并画出受力分析图。
(3)对研究对象所受的力进行处理。对三个共点力的平衡问题,一般根据共点力平衡的条件
结合力的平行四边形定则(或三角形定则)进行求解。对四个或四个以上共点力的平衡问题,
一般建立合适的直角坐标系,用正交分解法求解。
关键能力 定点破
定点 1 平衡问题的处理方法
方法 内容 图例
合成法 物体受三个共点力的作用而平衡时,其中任意两个力的合力一定与第三个力等大反向。可利用平行四边形定则,根据正弦定理、余弦定理或
相似三角形等数学知识求解
效果分解法 物体受到几个共点力的作用而平衡,将某一个力按力的作用效果分解,则其分力和其他力在其分解的方向上满足平衡条件。常用于解决三力平
衡问题
2.共点力平衡问题的常见处理方法
方法 内容 图例
正交分解法 物体受到三个或三个以上力的作用而平衡,将物体所受的力分解为相互垂直的两组,每组力都满足平衡条件
力的三角形法 物体受同一平面内三个互不平行的力作用处于平衡状态时,可以将表示这三个力的有向线段平移,构成一个首尾依次相接的矢量三角形,根据正弦定理、余弦定理或相似三角形等数学知识求解未知力
典例 在科学研究中,可以用风力仪直接测量风力的大小,其原理如图所示。仪器中一根轻质金
属丝悬挂着一个金属球,无风时,金属丝竖直下垂;当受到沿水平方向吹来的风时【1】,金属丝偏离竖直方向一个角度,风力越大,偏角越大。通过传感器,就可以根据偏角的大小指示出风力【2】。
重力加速度大小为g。那么,风力大小F跟金属球的质量m、偏角θ之间有什么样的关系呢
信息提取 【1】有风时,金属球受到三个力的作用:重力mg、水平方向的风力F和金属丝的
拉力FT。
【2】金属球受到的风力F和拉力FT的合力与重力是平衡力,满足大小相等、方向相反。
思路点拨 取金属球为研究对象,它受到三个力的作用:重力mg、水平方向的风力F和金属丝
的拉力FT,如图所示。这三个力是共点力,在这三个共点力的作用下金属球处于平衡状态,则这
三个力的合力为零,可以根据合成法【3】、效果分解法【4】、正交分解法【5】、矢量三角形法【6】
求解。
解析 解法一(合成法):
金属球在三个力的作用下平衡,风力F和拉力FT的合力与重力等大反向,作出受力分析图如图
甲所示,由平行四边形定则可得F=mgtan θ。(由【1】、【2】和【3】得到)
解法二(效果分解法):
金属球的重力有两个作用效果:使金属球抵抗风力和使金属丝拉紧,所以可以将重力沿水平
方向和金属丝的方向进行分解,如图乙所示,由几何关系可得F=F‘=mg tan θ。(由【1】、
【4】得到)
甲
乙
解法三(正交分解法):
以金属球球心为坐标原点,取水平方向为x轴、竖直方向为y轴,建立坐标系,如图丙所示。水
平方向的合力 和竖直方向的合力 均为零,即 =FT sin θ-F=0, =FT cos θ-mg=0,解得
F=mg tan θ。(由【1】、【5】得到)
解法四(矢量三角形法):
金属球在风力F和拉力FT与重力mg三个力的作用下平衡,将表示三个力的有向线段平移组成
矢量三角形,如图丁所示,由三角形性质可得F=mg tan θ。(由【1】、【6】得到)
由所得结果可见,当金属球的质量m一定时,偏角θ只跟风力F有关。因此,根据偏角θ的大小就
可以指示出风力的大小。
丙
答案 F=mg tan θ
1.问题界定
动态平衡问题是指物体的状态发生缓慢变化,可以认为任一时刻物体都处于平衡状态。
2.常用方法
(1)解析法:对研究对象的任一状态进行受力分析,建立平衡方程,求出因变参量与自变参量的
函数关系,然后根据自变参量的变化确定因变参量的变化。很多情况是通过三角函数分析力
的变化情况,一般用于较简单的动态平衡问题。
(2)图解法:对研究对象进行受力分析,再根据平行四边形定则或三角形定则画出不同状态下
力的矢量图(画在同一图中),然后根据表示力的有向线段的长度、方向的变化判断各个力的
变化情况。
定点 2 动态平衡问题
①平行四边形法
物体受三个力作用,当一个力大小、方向均不变,另一个力方向不变,第三个力大小、方
向均变化时,根据平行四边形定则,将大小、方向均不变的力沿另两个力的反方向分解(或将
大小、方向均不变的力的平衡力沿另两个力的方向分解),根据物体处于平衡状态时合力为
零以及两个分力的大小、方向变化情况,判断另两个力的大小、方向变化情况。
如轻绳一端连接圆弧形细杆,另一端与小球相连,在悬点A沿杆缓慢上移的过程中,分析轻绳
的拉力和斜面的支持力的变化情况时,采用平行四边形法,如图所示。
②矢量三角形法
物体受三个力作用,一个力大小、方向均不变,另一个力方向不变,第三个力大小、方向
均变化时,或另两个力始终相互垂直,根据物体处于平衡状态时合力为零,将表示三个力的有
向线段首尾相接,作在一个力的矢量三角形中,根据动态变化过程中,三角形中边的长度、方
向的变化情况判断力的大小、方向的变化情况。
如粉刷工人缓慢上推“涂料滚”时,分析撑杆对“涂料滚”的推力和墙壁对其的支持力
时,可利用矢量三角形法,如图所示。
③相似三角形法
在三力平衡问题中,如果有一个力是恒力,另外两个力的方向都变化,且题目给出了空间
几何关系,多数情况下力的矢量三角形与空间几何三角形相似,可利用相似三角形对应边成
比例进行讨论、计算。
如图简易起重装置中,AC是上端带有滑轮的固定支架,BC为质量不计的轻杆,杆的一端C
用铰链固定在支架上,另一端B与两根轻绳连接,一根轻绳悬挂质量为m的重物,另一根轻绳跨
过滑轮A连接在左侧的卷扬机上。
对结点B,受到上方轻绳对B的拉力T、下方轻绳对B的拉
力T‘和杆对B的弹力N,三力组成的矢量三角形与几何三角形
ABC相似,有 = = 。在重物被提起过程中,AC、BC不
变,AB变短,mg不变,因此N大小不变,T大小变小。
典例1 如图所示,轻绳的两端分别系在圆环A和小球B上,圆环A套在粗糙的水平直杆MN上。
现用水平力F拉着轻绳上的一点O【1】,使小球B从图中实线位置缓慢上升到虚线位置【2】,圆环
A始终保持在原位置不动,在这一过程中,环对杆的摩擦力Ff和环对杆的压力FN的变化情况是
( )
A.Ff不变,FN不变 B.Ff增大,FN不变 C.Ff增大,FN减小 D.Ff不变,FN减小
信息提取 【1】结点O受三个力作用,连接B的一段轻绳的拉力(大小等于小球重力)大小、
方向都不变,力F始终水平,即方向不变,而连接A的一段轻绳的拉力大小和方向都变化。
【2】小球B缓慢上升,可以认为任一时刻都处于平衡状态。
解析 方法一:图解法
以结点O为研究对象进行受力分析。由题可知,O点处于动态平衡状态,则可作出三力的平衡
关系图如图(a),由图可知水平拉力F增大(由【1】、【2】得到)。以环、绳和小球构成的整
体作为研究对象,作受力分析图如图(b),由整个系统平衡可知FN'=(mA+mB)g,Ff'=F。可知Ff'增
大,FN'不变。由牛顿第三定律可知Ff增大,FN不变,故B正确。
方法二:解析法
以结点O为研究对象,受力分析如图(a)所示,由平衡条件得T1 cos α=mBg,T1 sin α=F,故T1= ,
F=mBg tan α。以环、绳和小球构成的整体为研究对象,受力分析如图(b)所示,由平衡条件得
FN'=(mA+mB)g,Ff'=F=mBg tan α。B上升过程中,α增大,tan α增大,Ff'增大,而FN'不变(由【1】、
【2】得到)。由牛顿第三定律可知Ff增大,FN不变,故B正确。
答案 B
导师点睛 求解动态平衡问题时,关键是合理利用图形将已知条件体现出来,根据三角形边
的变化情况确定相对应的力的变化情况。
(3)辅助圆法
物体受到三个力作用处于动态平衡状态,一个力大小、方向均不变,另两个力中有一个
力的大小不变,或另两个力方向夹角不变时,可采用辅助圆法。将物体所受的三个力首尾相
接,作在一个力的矢量三角形中,根据动态变化过程中,三角形三条边的长度、方向的变化情
况作出辅助圆,结合数学知识判断力的大小、方向的变化情况。
①一力恒定,另一力大小不变
如图甲所示,F1恒定,F3的大小恒定,则F2与F3的交点在以F1的始端为圆心、以F3的大小为
半径的圆上。
②一个力不变,另两个力方向的夹角不变
如图乙所示,F1恒定,F2与F3所在直线之间的夹角α恒定,
则F2、F3的交点在变化过程中始终位于同一圆周上,F1
是该圆周的一条弦。
典例2 (多选)如图,柔软轻绳ON的一端O固定,其中间某点M拴一重物,用手拉住绳的另一
端N。初始时,OM竖直且MN被拉直,OM与MN之间的夹角为α 。现将重物向右上方缓
慢拉起【1】,并保持夹角α不变【2】。在OM由竖直到被拉到水平的过程中
( )
A.MN上的张力逐渐增大
B.MN上的张力先增大后减小
C.OM上的张力逐渐增大
D.OM上的张力先增大后减小
信息提取 【1】重物的状态发生缓慢变化,可以认为任一时刻都处于平衡状态。
【2】OM和MN上的拉力的方向均发生变化,但这两个力之间的夹角保持不变。
思路点拨 可按以下两种思路进行分析:
(1)解析法【3】:先正确分析物体的受力,画出受力分析图,假设一个角度,利用三力平衡得到矢
量方程,确定所求力与所设角度的三角函数关系,利用角度的动态变化研究三角函数的变化,
进而得到力的变化情况。
(2)辅助圆法【4】:本题中重力G恒定,另两个力方向间的夹角α保持不变,可借助辅助圆解答本
题。
解析 解法一:以重物为研究对象,受重力mg、MN的拉力F1、OM的拉力F2,三个力构成矢量
三角形,如图甲所示,
各力之间的夹角已标出,由正弦定理得 = = ,α不变,β由很小逐渐增大到
90°,γ从钝角变化到锐角,因此sin β增大,sin γ先增大后减小,根据上式可知F1逐渐增大,当β=
90°时,F1达到最大值;F2先增大后减小。
解法二:选重物为研究对象,受重力mg、绳MN的拉力F1、绳OM的拉力F2,将三力平移到一个
矢量三角形中,重物被缓慢拉起的过程中,绳同时逆时针转动。重力G恒定,OM、MN之间的
夹角α不变,所以F1、F2的交点C在某一圆上,且这个圆就是矢量三角形的外接圆。如图乙所
示,作出一系列力的矢量三角形,从图中可以看出,MN上的拉力F1逐渐增大,OM上的拉力F2先
增大后减小,正确选项为A、D。
答案 AD
学科素养 题型破
题型 平衡中的临界、极值问题
讲解分析
1.当某物理量变化时,会引起其他几个物理量的变化,从而使物体所处的平衡状态“恰好出
现”或“恰好不出现”,在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述。
2.平衡问题中常见的临界条件
(1)两接触物体脱离与不脱离的临界条件是相互作用力为0(主要体现为两物体间的弹力为0);
(2)绳子断与不断的临界条件为绳中的张力达到它所能承受的最大张力;
(3)存在摩擦力作用的两物体间发生相对滑动或相对静止的临界条件为静摩擦力达到最大。
①明确研究对象,画受力示意图;
②假设可发生的临界状态;
③列出临界状态下的平衡方程并求解
①根据物体的平衡条件作出力的矢量三角形;
②对矢量三角形进行动态分析,确定极值
①对研究对象受力分析,建立平衡方程;
②应用数学方法分析产生极值的条件和状态
3.解决这类问题常用到的方法
例题 如图所示,倾角为θ=37°、质量为M的斜面体A置于水平地面上,在斜面体和竖直墙面之
间放置一质量为m的光滑球B,斜面体受到水平向右的外力,系统始终处于静止状态【1】。已知
sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,重力加速度大小为g。
(1)求球B受到斜面体的弹力大小N1和墙面的弹力大小F1;
(2)若斜面体受到水平向右的外力大小为 mg,求此时斜面体受到的水平地面的摩擦力;
(3)若斜面体与水平地面间的动摩擦因数为μ,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,为了使系统处于
静止状态,求水平向右的外力F的大小范围【2】。
典例呈现
信息提取 【1】系统所受合力为零。
【2】F最大时,斜面体有向右运动的趋势,摩擦力向左;F最小时,斜面体有向左运动的趋势,摩
擦力向右;水平向右的外力F取值在最大值和最小值之间。
思路点拨 (1)前两问用隔离法、整体法分析,根据共点力平衡条件求解。
(2)第(3)问,当F最大时,斜面体受到的摩擦力向左且刚好等于最大静摩擦力;当F最小时,斜面
体受到的摩擦力向右,可能刚好等于最大静摩擦力,也可能小于最大静摩擦力。
解析 (1)用隔离法,对B球受力分析,如图甲所示,由共点力的平衡条件,水平方向有N1 sin θ-F1
=0
竖直方向有N1 cos θ-mg=0
解得N1= mg,F1= mg
(2)用整体法,对A、B整体分析,F= mg时,设斜面体受到水平地面的摩擦力为f,如图乙所示:
由共点力的平衡条件有F1-F-f=0
解得f= mg,摩擦力方向水平向右。
(3)斜面体受到水平地面的最大静摩擦力是fm=μ(M+m)g
①水平向右的外力最大(设为Fm)时,斜面体有向右运动的趋势,摩擦力向左,如图丙所示
由平衡条件有Fm-F1-fm=0
解得Fm= mg+μ(M+m)g
②水平向右的外力最小(设为Fmin)时,斜面体有向左运动的趋势,摩擦力向右。
(a)如果F1≤fm,即 mg≤μ(M+m)g时,受力如图丁所示,Fmin=0
则0≤F≤ mg+μ(m+M)g
(b)如果F1>fm,即 mg>μ(M+m)g时,受力如图戊所示,Fmin= mg-μ(M+m)g
则 mg-μ(m+M)g≤F≤ mg+μ(m+M)g
答案 (1) mg mg (2) mg 方向水平向右 (3)见解析
素养解读 本题考查连接体的动态平衡问题,整体法与隔离法的应用。用隔离法容易看清单
个物体的受力情况,在分析系统内各物体(或一个物体的各个部分)间的相互作用时常用隔离
法;使用整体法只分析整体之外的物体对整体的作用力(外力),不考虑整体内部之间的相互作
用力(内力),在分析外力对系统的作用时常用整体法。第三章 相互作用——力
5 共点力的平衡
基础过关练
题组一 共点力平衡的条件
1.(多选)下面关于共点力的平衡与平衡条件的说法正确的是 ( )
A.如果物体的运动速度为零,则必处于平衡状态
B.如果物体的运动速度大小不变,则必处于平衡状态
C.如果物体处于平衡状态,则物体受到的沿任意方向的合力都必为零
D.如果物体受到三个共点力的作用而处于平衡状态,则任意两个力的合力与第三个力大小相等、方向相反
2.(多选)物体受到三个共点力的作用,这三个力大小是以下哪种情况时,有可能使物体处于平衡状态( )
A.F1=3 N,F2=4 N,F3=6 N B.F1=1 N,F2=2 N,F3=4 N
C.F1=2 N,F2=4 N,F3=6 N D.F1=5 N,F2=5 N,F3=1 N
3.(2024黑龙江绥化月考)鞠躬,即弯腰行礼,是表示对他人敬重的一种礼节,也是我国传统的礼仪之一。如图甲所示,鞠躬时人上身前倾一定角度,全身保持平衡,可简化为图乙,若头的重力为G、颈椎对头的支持力为F1、颈部肌肉的拉力为F2。则下列关于人头部的受力示意图可能正确的是 ( )
题组二 三力平衡问题
4.如图所示,将连接一重物的轻质小滑轮放置在一个轻弹性绳上,绳A、B两端在同一水平线上。不计一切摩擦,若将B端水平向左缓慢移动一小段距离,则弹性绳的长度将 ( )
A.变短 B.变长 C.不变 D.无法确定
5.(多选)(2024湖北荆州期中)如图所示,轻质细绳AO和BO相交于O点,其A、B端是固定的,在O点用轻质细绳悬挂质量为m的物体,平衡时AO水平,BO与水平方向的夹角为θ,已知细绳AO和BO能承受的最大拉力相同,AO和BO的拉力大小分别为F1和F2,重力加速度为g。则 ( )
A.F1=mg tan θ
B.F2=
C.F1与F2的合力大小为mg,方向竖直向上
D.增大物体的质量,最先断的是细绳BO
6.(多选)如图所示,跨过光滑定滑轮的轻绳一端系着铁球(大小不可忽略,轻绳延长线过球心),一端连在水平台上的玩具小车上,小车牵引着水平绳使球沿光滑竖直墙面从较低处匀速上升。在铁球上升且未离开墙面的过程中,下列说法正确的是 ( )
A.绳对球的拉力变小
B.绳对球的拉力变大
C.竖直墙面对球的支持力变小
D.竖直墙面对球的支持力变大
7.如图所示,光滑的大圆环固定在竖直平面上,圆心为O点,P为环上最高点,轻弹簧的一端固定在P点,另一端拴接一个套在大环上质量为m的小球,小球静止,弹簧与竖直方向的夹角θ=30°,重力加速度为g,则下列说法正确的是 ( )
A.小球所受弹簧的弹力大小等于mg
B.小球所受弹簧的弹力大小等于mg
C.小球所受大圆环的支持力大小等于mg
D.大圆环对小球的弹力方向一定沿OQ指向圆心O
题组三 多力平衡问题
8.(经典)如图所示,a、b两物体在竖直向上的恒力F作用下,一起沿粗糙竖直墙面匀速向上运动,a、b两物体的质量分别为M、m,重力加速度为g,则( )
A.a物体与墙壁间存在弹力和摩擦力作用
B.a物体受到5个力作用
C.a物体对b物体的作用力垂直于接触面
D.恒力F的大小等于(M+m)g
9.如图所示,倾角为θ=37°的固定斜面上有一质量为1 kg的木块,木块在水平力F的作用下沿斜面匀速向下运动,木块与斜面间的动摩擦因数μ=0.25,重力加速度g取10 m/s2,已知 sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,则推力F的大小最接近的数值是 ( )
A.3 N B.4 N C.5 N D.6 N
10.(多选)如图所示,物体的质量为2 kg,两根轻细绳AB和AC的一端固定于竖直墙上,另一端系于物体上(θ=60°),在物体上另施加一个方向与水平方向也成θ角的拉力F,若要使绳都能伸直,下列F的值不可能的是(取重力加速度g=10 m/s2) ( )
A.4 N
11.负重运动是运动员体能训练的常用方式之一,如图所示,运动员通过细绳拉着质量为m的轮胎在水平地面上向前一起匀速运动。已知细绳与水平方向的夹角为θ,轮胎与水平地面之间的动摩擦因数为μ,重力加速度为g,不计空气阻力。请画出轮胎的受力示意图并求解:
(1)细绳对轮胎的拉力大小F;
(2)地面对轮胎的支持力大小FN。
能力提升练
题组一 连接体的静态平衡问题
1.用轻质细线把两个质量未知的小球悬挂起来,如图所示。现对小球a持续施加一个向左偏下30°角的恒力,并对小球b持续施加一个向右偏上30°角的同样大的恒力,最后达到平衡。表示平衡状态的图可能是( )
2.(经典)如图所示,有40颗质量相等的小球(可视为质点),将它们用长度相等的轻绳依次连接,再将两端固定在天花板上,静止时,连接天花板的轻绳与水平方向的夹角为30°。已知40颗小球的总重力为8 N,则第25颗小球与第26颗小球之间轻绳的张力大小为 ( )
A.1 N B.3 N C.7 N D.9 N
3.(多选)如图所示,质量为M、半径为R的半球形物体A放在水平地面上,通过最高点处大小不计的钉子用水平细线拉住一质量为m、半径为r的光滑球B,重力加速度为g,则 ( )
A.A对地面的压力大小等于(M+m)g
B.A对地面的摩擦力方向向左
C.细线对B的拉力大小为mg
D.A对B的支持力大小为mg
题组二 连接体的动态平衡问题
4.一个截面是直角三角形的木块放在水平地面上,在斜面上放一个光滑小球,球的一侧靠在竖直墙上,木块处于静止状态,如图所示。若在光滑小球的最高点再施加一个竖直向下的力F,木块仍处于静止状态,则地面对木块的支持力FN和摩擦力f的变化情况是 ( )
A.FN增大,f不变 B.FN增大,f增大
C.FN不变,f增大 D.FN不变,f不变
5.如图,一粗糙的固定斜杆与水平方向成θ角,一定质量的滑环A静止悬挂在杆上某位置。现用一根轻质细绳AB一端与滑环A相连,另一端与小球B相连,且轻绳AB与斜杆垂直。另一轻质细绳BC沿水平方向拉小球B,使小球B保持静止。将水平细绳BC的C端沿圆弧缓慢移动到竖直位置,B的位置始终不变,则在此过程中( )
A.轻绳AB上的拉力先减小后增大
B.轻绳BC上的拉力先增大后减小
C.斜杆对A的支持力一直在减小
D.斜杆对A的摩擦力一直在减小
6.如图所示,粗糙的斜面固定在水平地面上,斜面顶端装有一光滑定滑轮。一细绳跨过滑轮,一端与斜面上的物块M相连,另一端悬挂物块N,系统处于静止状态。现用水平向左的拉力F缓慢拉动物块N,直至悬挂N的细绳与竖直方向成45°角,物块M始终保持静止,则此过程中( )
A.水平拉力F的大小可能保持不变
B.M所受斜面的支持力一定增大
C.M所受斜面的摩擦力大小一定一直增大
D.M所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增大
题组三 “活结”与“死结”、“活杆”与“死杆”模型
7.(经典)(多选)如图所示,轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆M、N上的a、b两点,悬挂衣服的衣架钩是光滑的,挂于绳上处于静止状态。如果只人为改变一个条件,当衣架静止时,下列说法正确的是 ( )
A.将杆N向右移一些,绳子a端对杆的拉力变小
B.绳的右端上移到b',绳子a端对杆的拉力大小不变
C.绳的两端高度差越小,绳子a端对杆的拉力越小
D.若只换挂质量更大的衣服,则衣服架悬挂点不会左右移动
8.如图所示,物块A的质量为mA=2 kg,用绳悬挂在绳PQ和绳PCB的结点上,PQ偏离竖直方向的角度β=37°,PC水平,连接B的绳与水平方向的夹角α=53°。所有绳及光滑的滑轮的质量不计。木块B静止在水平面上,质量mB=8 kg。已知cos 53°=0.6,sin 53°=0.8,重力加速度g取10 m/s2。求:
(1)PQ绳和PC绳的拉力分别为多大;
(2)地面对木块B的支持力和摩擦力分别为多大。
9.(经典)如图甲所示,细绳AD跨过固定的水平轻杆BC右端的定滑轮挂住一个质量为M1的物体,∠ACB=30°;图乙中轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙上,另一端G通过细绳EG拉住,EG与水平方向也成30°角,在轻杆的G点用细绳GF拉住一个质量为M2的物体,重力加速度为g,求:
(1)细绳AC段的张力FTAC与细绳EG的张力FTEG之比;
(2)轻杆BC对C端的支持力;
(3)轻杆HG对G端的支持力。
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.CD 2.ACD 3.C 4.A 5.BCD 6.BD
7.A 8.D 9.B 10.AD
1.CD 物体运动速度为零时不一定处于平衡状态,如做竖直上抛运动的物体运动到最高点时,速度为零,只受重力作用,处于非平衡状态,A错误;物体运动速度大小不变、方向变化时,物体不做匀速直线运动,一定不处于平衡状态,B错误;物体处于平衡状态时,合力为零,物体受到的沿任意方向的合力都必为零,C正确;物体受到三个共点力作用而处于平衡状态时,合力为零,则任意两个共点力的合力与第三个力等大反向,D正确。
2.ACD
关键点拨 物体要处于平衡状态,所受的合力一定为0,物体受三个共点力作用,则其中两个力的合力与第三个力等大反向。两个力的合力取值范围为≤F12≤F1+F2,第三个力的大小应在这个范围内。
A、C、D选项中三个力的合力均可为零,即可能使物体处于平衡状态;B选项中,F1、F2两个力的合力范围为1 N≤F12≤3 N,由于F3=4 N不在该范围之内,不符合题意,选A、C、D。
3.C 由共点力的平衡条件可知,三个共点力平衡,任意两个力的合力需与第三个力等大反向。根据平行四边形定则,只有C选项可能满足三力平衡的条件,故选C。
4.A 对轻质小滑轮进行受力分析,如图甲所示,设滑轮两侧弹性绳之间的夹角为θ,根据共点力的平衡条件,可得2F cos =mg;若将B端水平向左缓慢移动一小段距离,滑轮两侧弹性绳之间的夹角θ减小(见图乙),则弹性绳的弹力F减小,由F=kx可知弹性绳的伸长量变小,故长度将变短,选A。
5.BCD 对结点O受力分析,受到三段轻绳的拉力,根据力的平衡条件可知,F1和F2的合力与竖直绳的拉力等大反向,即F1与F2的合力大小为mg,方向竖直向上,如图所示,则细绳AO的拉力F1=,细绳BO的拉力F2=,故B、C正确,A错误。因F16.BD 球沿光滑竖直墙面匀速上升时,绳与竖直方向的夹角θ逐渐增大,球受到重力、绳的拉力和墙的支持力,处于平衡状态,对球受力分析如图所示,可得T=,N=mg tan θ;球上升时,θ增大,则T、N增大,故选B、D。
一题多解 球受到重力、绳的拉力和墙的支持力,处于平衡状态,球沿光滑竖直墙面匀速上升时,绳与竖直方向的夹角θ增大,重力的大小和方向都保持不变,墙的支持力N方向不变,画出动态矢量三角形如图所示,则N增大,T增大,故选B、D。
7.A
关键点拨 弹簧对小球的弹力为拉力,而不是支持力。假设弹簧对小球的弹力为支持力,即沿弹簧轴线斜向下,而圆环对小球的弹力沿半径方向,小球所受的力在一条直线的同侧,小球不可能受力平衡,故弹簧对小球的弹力沿轴线斜向上。
对小球受力分析,受重力G、弹簧的拉力F及圆环的弹力FN,其中圆环的弹力沿半径向外,如图所示,D错误;弹簧的拉力F沿弹簧轴线斜向上,与竖直方向成30°角,圆环的弹力FN与竖直方向成60°角,由几何关系知,表示FN和G的有向线段长度相等,所以FN=G=mg,F=F'=mg(或者:由正弦定理得,又G=mg,解得FN=mg,F=F'=mg),A正确,B、C错误。
8.D 对a、b两物体整体受力分析,受重力、恒力F,由于墙壁对a没有支持力(易错点)(若存在支持力,a、b整体水平方向受力不会平衡),故也就没有摩擦力,由平衡条件得F=(M+m)g,故A错误,D正确;a物体受到重力、b对其的摩擦力和压力、恒力F,共4个力,B错误;a对b有摩擦力和支持力,这两个力的合力竖直向上,与b的重力平衡,所以a物体对b物体的作用力竖直向上,故C错误。
9.B 木块沿斜面匀速向下运动,受力平衡,对木块进行受力分析,如图所示:
将重力mg和水平力F沿斜面方向和垂直斜面方向分解,由平衡条件列出方程,垂直斜面方向有FN=mg cos θ+F sin θ,沿斜面方向有mg sin θ=F cos θ+f,其中滑动摩擦力f=μFN,联立解得F= N≈4.2 N,故选B。
10.AD 绳伸直,假设绳上存在弹力,对物体进行受力分析,如图所示
根据平衡条件,在竖直方向有FB sin θ+F sin θ=mg,在水平方向有FB cos θ+FC=F cos θ,解得FB=-F,FC=2F cos θ-,要使绳都能伸直,则FB和FC均不小于零,解得,代入数据得 N,故F的值不可能的选项应为A、D。
11.答案 图见解析 (1) (2)
解析
轮胎在水平地面上匀速运动时,受到重力、地面的支持力和摩擦力、细绳的拉力,受力示意图如图所示:
(1)(2)根据平衡条件,在水平方向,有F cos θ=f
在竖直方向,有F sin θ+FN=mg
且f=μFN
联立解得,细绳对轮胎拉力大小F=
地面对轮胎的支持力大小FN=。
能力提升练
1.A 2.C 3.AD 4.B 5.C 6.D 7.BD
1.A 将两球连同它们之间的细线看成一个整体,对整体受力分析,如图所示,根据平衡条件可知a球上方的细线必定沿竖直方向,故A正确。
2.C 由题意,以右侧20颗小球整体为研究对象,设每颗小球的质量为m,其受力如图甲所示,由共点力的平衡条件可得F= N;再对第21到25这5颗小球整体受力分析,如图乙所示,可得第25颗小球与第26颗小球之间轻绳的张力大小为F1= N=7 N,故选C。
3.AD
关键点拨 球与球相接触处的弹力方向垂直于过接触点的公切面(即在两球心的连线上),指向受力物体,则A、B间的弹力方向与竖直方向的夹角θ满足 cos θ=。
对A、B整体受力分析,受重力和地面的支持力,根据平衡条件可知,支持力大小等于整体的重力,结合牛顿第三定律可知整体对地面的压力大小等于地面的支持力,故A对地面的压力大小等于(M+m)g;A、B相对地面无滑动趋势,故不受地面的摩擦力,A正确,B错误。对B受力分析,如图所示,根据平衡条件可得F=,FT=mg tan θ;根据几何关系有cos θ=,则tan θ=,可解得A对B的支持力大小为F=mg,细线对B的拉力大小为FT=mg,C错误,D正确。
4.B 对球和木块整体受力分析,如图甲所示,施加F以后,水平方向有f=N,竖直方向,地面对木块的支持力的大小由(M+m)g变为(M+m)g+F,地面对木块的支持力FN增大,C、D错误。对球分析,如图乙所示,将木块对球的弹力F1正交分解,竖直方向有F1·cos θ=mg+F,水平方向有F1 sin θ=N,施加F后木块对球的弹力F1增大,则墙对球的弹力N也增大,因此木块与地面间的摩擦力f增大,故A错误,B正确。
5.C
关键点拨 “水平细绳BC的C端沿圆弧缓慢移动到竖直位置,B的位置始终不变”,小球处于动态平衡状态,受重力、绳AB以及绳BC的拉力,重力的大小、方向不变,绳AB的拉力方向不变,绳BC的拉力大小、方向均变化,用图解法分析轻绳AB、BC的拉力变化情况。
由题意知,小球B处于平衡状态,对小球B受力分析如图甲所示,BC由水平方向变到竖直方向,由图分析可以看出,轻绳BC上的拉力先减小后增大,轻绳AB上的拉力一直在减小,故A、B错误;滑环A处于静止状态,对A受力分析如图乙所示,由于AB绳对A的拉力FT一直在减小,故斜杆对A的支持力也一直在减小,斜杆对A的摩擦力Ff一直等于mAg sin θ,保持不变,故C正确,D错误。
6.D
对物块N受力分析,受重力、水平拉力F和细绳的拉力T,重力大小、方向都不变,水平拉力F方向不变,T与竖直方向的夹角变大,三力构成矢量三角形如图所示,则水平拉力F逐渐增大,细绳的拉力T也一直增大,故A错误。对物块M分析,细绳的拉力一直沿斜面方向,垂直斜面方向的受力不变,则M所受斜面的支持力不变,B错误。物块N与物块M的质量大小关系不确定,设斜面倾角为θ,若mNg>mMg sin θ,最初M受到的摩擦力f沿斜面向下,随着绳子拉力T的增大,摩擦力f也逐渐增大;若mNg7.BD
模型构建 由于衣架钩是光滑的,则衣架两侧是同一根绳,属于“活结”模型,绳上拉力处处相等,所以衣架两侧的绳子与竖直方向的夹角相等。对悬挂衣服的衣架受力分析,如图所示,根据平衡条件可得F1=F2=。
设晾衣绳的长度为L,绳与水平方向的夹角为θ,由几何关系可得,两杆之间的距离等于L cos θ,晾衣绳一端在杆上上下移动时,绳子的长度不变,两杆之间的距离不变,则θ角不变,根据F1=F2=,可知绳上的拉力大小不变,可知绳的两端高度差的大小对绳的拉力大小没有影响,B正确,C错误。当杆N向右移动后,两杆之间的距离变大,绳长不变,所以θ减小,根据F1=F2=可知绳的拉力变大,A错误。若只换挂质量更大的衣服,绳长和两杆间距离不变,θ不变,则悬挂点不会移动,D正确。
8.答案 (1)25 N 15 N (2)68 N 9 N
模型构建 结点P属于“死结”模型,与其连接的绳PQ、PC、PA的张力不一定相等;滑轮C两侧的绳是同一根绳,绳上的拉力处处相等,这属于“活结”模型。
(1)对结点P受力分析,设PQ绳的拉力为F1,PC绳的拉力为F2,PA绳的拉力F3大小为mAg,如图所示:
由平衡条件可得F1 sin β=F2
F1 cos β=mAg
解得F1=25 N,F2=15 N
(2)对物块B受力分析,如图所示:
由平衡条件有F2 sin α+FN=mBg
f=F2 cos α
解得FN=68 N,f=9 N
9.答案 (1) (2)M1g,方向与水平方向成30°角指向右上方 (3)M2g,方向水平向右
模型构建
解析 题图甲和乙中的两个物体都处于平衡状态,首先判断与物体相连的细绳,其拉力大小等于物体的重力大小;分别取C点和G点为研究对象,进行受力分析,如图甲和乙所示,根据共点力平衡的条件可求解。
(1)图甲中细绳AD跨过定滑轮拉住质量为M1的物体,物体处于平衡状态,细绳AC段的拉力
FTAC=FTCD=M1g
图乙中由FTEG sin 30°=M2g,得FTEG=2M2g。
所以。
(2)图甲中,三个力之间的夹角都为120°,有FNC=FTAC=M1g,方向与水平方向成30°角,指向右上方。
(3)图乙中,根据平衡条件有FTEG sin 30°=M2g,FTEG cos 30°=FNG,所以FNG=M2g,方向水平向右。
方法技巧 关于“固定杆”和“活动杆”的模型分析
(1)“固定杆”就是将轻杆固定在墙壁上(不能转动),此时轻杆上的弹力方向不一定沿着杆的方向,能对其末端的物体提供不沿杆方向的作用力。正是因为杆的作用力不一定沿着杆,所以需要用平衡条件来判定弹力的大小及方向。
(2)“活动杆”就是用铰链或者转动装置将轻杆与墙壁连接,其特点是杆上的弹力方向一定沿着杆的方向,对其末端的物体只可以提供沿杆的力。
