2025年秋沪科版八年级数学上册 第15章 轴对称图形和等腰三角形 综合测试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2025年秋沪科版八年级数学上册 第15章 轴对称图形和等腰三角形 综合测试卷（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 99.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-07-25 07:29:21 | ||
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文档简介
2025年秋沪科版八年级数学上册 第15章综合测试卷
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
1.端午节是中国传统节日，下列与端午节有关的文创图案中，成轴对称的是( )
2．若点M(2a，1)与点N(4，－b)关于x轴对称，则ab的值为( )
A．2 B．－1 C．－2 D．3
3．如图所示的是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在( )
A．△ABC的三条中线的交点
B．△ABC三条角平分线的交点
C．△ABC三条高所在直线的交点
D．△ABC三边的垂直平分线的交点
(第3题) (第4题)
4．如图，若△ABC与△A1B1C1关于直线MN对称，BB1交MN于点O，则下列说法不一定正确的是( )
A．AC＝A1C1 B．BO＝B1O
C．CC1⊥MN D．AB∥B1C1
5．下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上的中线的是( )
,A) ,B) ,C) ,D)
6．如图是通过折纸制作五角星的过程，则下列结论错误的是( )
A．∠1＝∠2 B．∠1＝∠3 C．∠1＝∠4 D．∠3＝∠2
7．如图，△ABC是等边三角形，D是AC的中点，DE⊥BC，CE＝3，则△ABC的周长为( )
A．12 B．24 C．36 D．48
(第7题) (第8题) (第9题)
8．如图，在四边形ABDC中，对角线AD平分∠BAC，∠ACD＝138°，∠ACB＋∠BCD＝90°，则∠ADB的度数为( )
A．42° B．48° C．50° D．53°
9．如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，AD＝12，BC＝10，AD平分∠BAC，E是线段AC上的动点，P是线段AD上的动点，则PC＋PE的最小值为( )
A. B. C. D.
10．如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，F是CB延长线上一点，AF⊥CF，垂足为F，下列结论：①BC＝DE；②AF＝CF；③四边形ABCD的面积等于AC2；④S△BCD＝S△ABF＋S△ADE，其中正确的是( )
A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④
(第10题) (第11题) (第12题)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11．如图所示的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为__________．
12．如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥BC于点E，若AB＝4，BC＝5，S△ABC＝6，则DE的长为______．
13．如图，CD是等边三角形ABC边AB上的中线，AC的垂直平分线交AC于点E，交CD于点F.若DF＝1，则CD的长为________．
(第13题) (第14题)
14．如图，在△ABC中，AB＝BC，D是BC上一点，DE⊥AB于点E，DF⊥BC，交AC于点F，连接BF.
(1)若∠AFD＝145°，则∠EDF＝________；
(2)若F是AC的中点，则∠ABC与∠CFD之间的数量关系为______________．
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15．如图，在平面直角坐标系中，网格上的每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点坐标分别为A(－1，0)，B(－3，3)，C(－5，1)．
(1)在图中画出△ABC关于y轴对称的△DEF(点A，B，C的对应点分别为点D，E，F)；
(2)在(1)的条件下，写出点D，E，F的坐标．
16．如图，已知AB＝DC，∠A＝∠D，AC与DB相交于点O，求证：∠OBC＝∠OCB.
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠B＝30°，点E在BC上，作ED⊥AB于点D，且EC＝ED.求证：D为AB的中点．
18．如图，已知在△ABC中，点D在边AC上，且AB＝AD，∠B＝2∠C.
(1)尺规作图：作∠BAC的平分线AP，交BC于点P；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)的条件下，求证：点D在线段PC的垂直平分线上．
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19．如图，在△ABC中，EF是AC的垂直平分线，AD⊥BC，D为线段BE的中点．
(1)求证：AB＝CE；
(2)若∠C＝32°，求∠BAC的度数．
20．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E是BC的中点，过点E作EF∥AD交CA的延长线于点P，交AB于点F.
(1)求证：△APF是等腰三角形；
(2)求证：BF＝CP；
(3)若AB＝12，AC＝8，试求出PA的长．
六、(本题满分12分)
21．如图，灯塔C在海岛A 的北偏东75°的方向，某天9时，一艘船从海岛A 出发，以30 n mile/h的速度向东航行，11时到达 B 处，此时测得灯塔C在B 处的北偏东60°的方向．
(1)求∠C的度数；
(2)已知在以灯塔C为中心，周围25 n mile的范围内均有暗礁，若该船继续向东航行，是否有触礁的危险？请说明理由．
七、(本题满分12分)
22．我们定义：在四边形ABCD中，如果∠A＝α(0°＜α＜180°)，∠C＝180°－α，对角线BD平分∠ABC，我们称这种四边形为“分角对补四边形”．
【特例感知】(1)如图①，当α＝90°时，由角平分线的性质可得DA＝__________；
【猜想论证】(2)如图②，当α为任意度数时，猜想DA与DC的数量关系，并给予证明；
【探究应用】(3)请利用(2)中的结论解决问题：如图③，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°.BD平分∠ABC，求证：BD＋AD＝BC.
八、(本题满分14分)
23．如图①，已知等边三角形ABC，P，Q分别是边AB，BC上的动点(端点除外)，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，向点B，C运动，且它们的运动速度相同，AQ，CP交于点M.
(1)求证：AQ＝CP；
(2)当点P，Q分别在AB，BC边上运动时，∠QMC的大小变化吗？若变化，请说明理由；若不变，请直接写出它的度数；
(3)如图②，若点P，Q在运动到终点后继续在射线AB，BC上运动，直线AQ，CP交于点M，则∠QMC的大小变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
答案
一、1.B 2.A 3.B 4.D 5.A 6.C 7.C 8.B
9．D 10.C
二、11.5 12. 13.3
14．(1)70° (2)∠CFD＝∠ABC
三、15.解：(1)如图，△DEF即为所作．
(2)由图可知，D(1，0)，E(3，3)，F(5，1)．
16．证明：在△ABO和△DCO中，
∴△ABO≌△DCO，∴OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.
四、17.证明：∵ED⊥AB，∴∠ADE＝90°.
在Rt△ADE和Rt△ACE中，∵
∴Rt△ADE≌Rt△ACE，∴∠CAE＝∠DAE.
在Rt△ACB中，∠CAE＋∠DAE＋∠B＝90°，∠B＝30°，∴∠CAE＝∠DAE＝∠B＝30°，∴EA＝EB.
∵ED⊥AB，∴AD＝BD，即D为AB的中点．
18．(1)解：如图，射线AP即为所作．
(2)证明：如图，连接PD.
∵AP平分∠BAC，∴∠PAB＝∠PAD.
又∵AB＝AD，AP＝AP，∴△PAB≌△PAD.
∴∠B＝∠ADP.
∵∠B＝2∠C，∠ADP＝∠DPC＋∠C，
∴2∠C＝∠DPC＋∠C，∴∠DPC＝∠C，∴DP＝DC，
∴点D在线段PC的垂直平分线上．
五、19.(1)证明：连接AE.∵AD⊥BC，且D为线段BE的中点，∴AD垂直平分线段BE，∴AB＝AE.
∵EF垂直平分线段AC，∴AE＝CE，∴AB＝CE.
(2)解：∵AE＝CE，∠C＝32°，∴∠CAE＝∠C＝32°，
∴∠AEB＝∠CAE＋∠C＝64°.
∵AB＝AE，∴∠B＝∠AEB＝64°，
∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝84°.
20．(1)证明：如图，∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1＝∠2.
∵EF∥AD，∴∠2＝∠P，∠1＝∠3.∴∠3＝∠P.
∴AF＝AP.∴△APF是等腰三角形．
(2)证明：如图，延长FE至点Q，使得EQ＝EF，连接CQ.∵E为BC的中点，∴BE＝CE.
又∵∠FEB＝∠QEC，EF＝EQ，
∴△EBF≌△ECQ，
∴∠BFE＝∠Q，CQ＝BF.
又∵∠BFE＝∠3，∠3＝∠P，
∴∠Q＝∠P.∴CQ＝CP，∴CP＝BF.
(3)解：由(1)知，AP＝AF，由(2)知，BF＝CP，
∴AB＝BF＋AF＝PC＋AP＝AC＋AP＋AP＝AC＋2AP.
∵AB＝12，AC＝8，∴12＝8＋2AP，∴PA＝2.
六、21.解：(1)根据题意得∠BAC＝90°－75°＝15°，∠CBE＝90°－60°＝30°，
∴∠C＝∠CBE－∠BAC＝30°－15°＝15°.
(2)没有触礁的危险，理由如下：
如图，过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D，
根据题意，得AB＝30×(11－9)＝60(n mile)，
由(1)知，∠BAC＝∠ACB，∴BC＝AB＝60 n mile，
∵∠CBD＝30°，∴CD＝BC＝30 n mile.
∵25<30，∴若该船继续向东航行没有触礁的危险．
七、22.(1)DC
(2)解：DA＝DC，
证明：如图①，过点D作DE⊥BA交BA的延长线于点E，DF⊥BC于点F，
∵BD平分∠EBF，DE⊥BA，DF⊥BC，∴DE＝DF.
∵∠BAD＋∠C＝180°，∠BAD＋∠EAD＝180°，
∴∠EAD＝∠C.又∵∠E＝∠DFC＝90°，
∴△DEA≌△DFC，∴DA＝DC.
(3)证明：如图②，在BC上截取BG＝BD，连接DG，
∵AB＝AC，∠A＝100°，∴∠ABC＝∠C＝40°.
∵BD平分∠ABC，∴∠DBG＝∠ABC＝20°.
∵BD＝BG，
∴∠BGD＝∠BDG＝80°，即∠A＋∠BGD＝180°，
由(2)的结论得AD＝DG.
∵∠BGD＝∠C＋∠GDC，
∴∠GDC＝∠C＝40°，∴DG＝CG，
∴AD＝DG＝CG，∴BD＋AD＝BG＋CG＝BC.
八、23.(1)证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABQ＝∠CAP＝60°，AB＝CA.
又∵点P，Q的运动速度相同，∴AP＝BQ.
在△ABQ与△CAP中，∵
∴△ABQ≌△CAP，∴AQ＝CP.
(2)解：∠QMC的大小不变，为60°.
(3)解：∠QMC的大小不变．
同(1)可得，△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ＝∠ACP.
∵∠QMC是△APM的外角，∴∠QMC＝∠BAQ＋∠APM＝∠ACP＋∠APM＝180°－∠PAC＝180°－60°＝120°.
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
1.端午节是中国传统节日，下列与端午节有关的文创图案中，成轴对称的是( )
2．若点M(2a，1)与点N(4，－b)关于x轴对称，则ab的值为( )
A．2 B．－1 C．－2 D．3
3．如图所示的是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在( )
A．△ABC的三条中线的交点
B．△ABC三条角平分线的交点
C．△ABC三条高所在直线的交点
D．△ABC三边的垂直平分线的交点
(第3题) (第4题)
4．如图，若△ABC与△A1B1C1关于直线MN对称，BB1交MN于点O，则下列说法不一定正确的是( )
A．AC＝A1C1 B．BO＝B1O
C．CC1⊥MN D．AB∥B1C1
5．下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上的中线的是( )
,A) ,B) ,C) ,D)
6．如图是通过折纸制作五角星的过程，则下列结论错误的是( )
A．∠1＝∠2 B．∠1＝∠3 C．∠1＝∠4 D．∠3＝∠2
7．如图，△ABC是等边三角形，D是AC的中点，DE⊥BC，CE＝3，则△ABC的周长为( )
A．12 B．24 C．36 D．48
(第7题) (第8题) (第9题)
8．如图，在四边形ABDC中，对角线AD平分∠BAC，∠ACD＝138°，∠ACB＋∠BCD＝90°，则∠ADB的度数为( )
A．42° B．48° C．50° D．53°
9．如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，AD＝12，BC＝10，AD平分∠BAC，E是线段AC上的动点，P是线段AD上的动点，则PC＋PE的最小值为( )
A. B. C. D.
10．如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，F是CB延长线上一点，AF⊥CF，垂足为F，下列结论：①BC＝DE；②AF＝CF；③四边形ABCD的面积等于AC2；④S△BCD＝S△ABF＋S△ADE，其中正确的是( )
A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④
(第10题) (第11题) (第12题)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11．如图所示的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为__________．
12．如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥BC于点E，若AB＝4，BC＝5，S△ABC＝6，则DE的长为______．
13．如图，CD是等边三角形ABC边AB上的中线，AC的垂直平分线交AC于点E，交CD于点F.若DF＝1，则CD的长为________．
(第13题) (第14题)
14．如图，在△ABC中，AB＝BC，D是BC上一点，DE⊥AB于点E，DF⊥BC，交AC于点F，连接BF.
(1)若∠AFD＝145°，则∠EDF＝________；
(2)若F是AC的中点，则∠ABC与∠CFD之间的数量关系为______________．
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15．如图，在平面直角坐标系中，网格上的每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点坐标分别为A(－1，0)，B(－3，3)，C(－5，1)．
(1)在图中画出△ABC关于y轴对称的△DEF(点A，B，C的对应点分别为点D，E，F)；
(2)在(1)的条件下，写出点D，E，F的坐标．
16．如图，已知AB＝DC，∠A＝∠D，AC与DB相交于点O，求证：∠OBC＝∠OCB.
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠B＝30°，点E在BC上，作ED⊥AB于点D，且EC＝ED.求证：D为AB的中点．
18．如图，已知在△ABC中，点D在边AC上，且AB＝AD，∠B＝2∠C.
(1)尺规作图：作∠BAC的平分线AP，交BC于点P；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)的条件下，求证：点D在线段PC的垂直平分线上．
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19．如图，在△ABC中，EF是AC的垂直平分线，AD⊥BC，D为线段BE的中点．
(1)求证：AB＝CE；
(2)若∠C＝32°，求∠BAC的度数．
20．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E是BC的中点，过点E作EF∥AD交CA的延长线于点P，交AB于点F.
(1)求证：△APF是等腰三角形；
(2)求证：BF＝CP；
(3)若AB＝12，AC＝8，试求出PA的长．
六、(本题满分12分)
21．如图，灯塔C在海岛A 的北偏东75°的方向，某天9时，一艘船从海岛A 出发，以30 n mile/h的速度向东航行，11时到达 B 处，此时测得灯塔C在B 处的北偏东60°的方向．
(1)求∠C的度数；
(2)已知在以灯塔C为中心，周围25 n mile的范围内均有暗礁，若该船继续向东航行，是否有触礁的危险？请说明理由．
七、(本题满分12分)
22．我们定义：在四边形ABCD中，如果∠A＝α(0°＜α＜180°)，∠C＝180°－α，对角线BD平分∠ABC，我们称这种四边形为“分角对补四边形”．
【特例感知】(1)如图①，当α＝90°时，由角平分线的性质可得DA＝__________；
【猜想论证】(2)如图②，当α为任意度数时，猜想DA与DC的数量关系，并给予证明；
【探究应用】(3)请利用(2)中的结论解决问题：如图③，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°.BD平分∠ABC，求证：BD＋AD＝BC.
八、(本题满分14分)
23．如图①，已知等边三角形ABC，P，Q分别是边AB，BC上的动点(端点除外)，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，向点B，C运动，且它们的运动速度相同，AQ，CP交于点M.
(1)求证：AQ＝CP；
(2)当点P，Q分别在AB，BC边上运动时，∠QMC的大小变化吗？若变化，请说明理由；若不变，请直接写出它的度数；
(3)如图②，若点P，Q在运动到终点后继续在射线AB，BC上运动，直线AQ，CP交于点M，则∠QMC的大小变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
答案
一、1.B 2.A 3.B 4.D 5.A 6.C 7.C 8.B
9．D 10.C
二、11.5 12. 13.3
14．(1)70° (2)∠CFD＝∠ABC
三、15.解：(1)如图，△DEF即为所作．
(2)由图可知，D(1，0)，E(3，3)，F(5，1)．
16．证明：在△ABO和△DCO中，
∴△ABO≌△DCO，∴OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.
四、17.证明：∵ED⊥AB，∴∠ADE＝90°.
在Rt△ADE和Rt△ACE中，∵
∴Rt△ADE≌Rt△ACE，∴∠CAE＝∠DAE.
在Rt△ACB中，∠CAE＋∠DAE＋∠B＝90°，∠B＝30°，∴∠CAE＝∠DAE＝∠B＝30°，∴EA＝EB.
∵ED⊥AB，∴AD＝BD，即D为AB的中点．
18．(1)解：如图，射线AP即为所作．
(2)证明：如图，连接PD.
∵AP平分∠BAC，∴∠PAB＝∠PAD.
又∵AB＝AD，AP＝AP，∴△PAB≌△PAD.
∴∠B＝∠ADP.
∵∠B＝2∠C，∠ADP＝∠DPC＋∠C，
∴2∠C＝∠DPC＋∠C，∴∠DPC＝∠C，∴DP＝DC，
∴点D在线段PC的垂直平分线上．
五、19.(1)证明：连接AE.∵AD⊥BC，且D为线段BE的中点，∴AD垂直平分线段BE，∴AB＝AE.
∵EF垂直平分线段AC，∴AE＝CE，∴AB＝CE.
(2)解：∵AE＝CE，∠C＝32°，∴∠CAE＝∠C＝32°，
∴∠AEB＝∠CAE＋∠C＝64°.
∵AB＝AE，∴∠B＝∠AEB＝64°，
∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝84°.
20．(1)证明：如图，∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1＝∠2.
∵EF∥AD，∴∠2＝∠P，∠1＝∠3.∴∠3＝∠P.
∴AF＝AP.∴△APF是等腰三角形．
(2)证明：如图，延长FE至点Q，使得EQ＝EF，连接CQ.∵E为BC的中点，∴BE＝CE.
又∵∠FEB＝∠QEC，EF＝EQ，
∴△EBF≌△ECQ，
∴∠BFE＝∠Q，CQ＝BF.
又∵∠BFE＝∠3，∠3＝∠P，
∴∠Q＝∠P.∴CQ＝CP，∴CP＝BF.
(3)解：由(1)知，AP＝AF，由(2)知，BF＝CP，
∴AB＝BF＋AF＝PC＋AP＝AC＋AP＋AP＝AC＋2AP.
∵AB＝12，AC＝8，∴12＝8＋2AP，∴PA＝2.
六、21.解：(1)根据题意得∠BAC＝90°－75°＝15°，∠CBE＝90°－60°＝30°，
∴∠C＝∠CBE－∠BAC＝30°－15°＝15°.
(2)没有触礁的危险，理由如下：
如图，过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D，
根据题意，得AB＝30×(11－9)＝60(n mile)，
由(1)知，∠BAC＝∠ACB，∴BC＝AB＝60 n mile，
∵∠CBD＝30°，∴CD＝BC＝30 n mile.
∵25<30，∴若该船继续向东航行没有触礁的危险．
七、22.(1)DC
(2)解：DA＝DC，
证明：如图①，过点D作DE⊥BA交BA的延长线于点E，DF⊥BC于点F，
∵BD平分∠EBF，DE⊥BA，DF⊥BC，∴DE＝DF.
∵∠BAD＋∠C＝180°，∠BAD＋∠EAD＝180°，
∴∠EAD＝∠C.又∵∠E＝∠DFC＝90°，
∴△DEA≌△DFC，∴DA＝DC.
(3)证明：如图②，在BC上截取BG＝BD，连接DG，
∵AB＝AC，∠A＝100°，∴∠ABC＝∠C＝40°.
∵BD平分∠ABC，∴∠DBG＝∠ABC＝20°.
∵BD＝BG，
∴∠BGD＝∠BDG＝80°，即∠A＋∠BGD＝180°，
由(2)的结论得AD＝DG.
∵∠BGD＝∠C＋∠GDC，
∴∠GDC＝∠C＝40°，∴DG＝CG，
∴AD＝DG＝CG，∴BD＋AD＝BG＋CG＝BC.
八、23.(1)证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABQ＝∠CAP＝60°，AB＝CA.
又∵点P，Q的运动速度相同，∴AP＝BQ.
在△ABQ与△CAP中，∵
∴△ABQ≌△CAP，∴AQ＝CP.
(2)解：∠QMC的大小不变，为60°.
(3)解：∠QMC的大小不变．
同(1)可得，△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ＝∠ACP.
∵∠QMC是△APM的外角，∴∠QMC＝∠BAQ＋∠APM＝∠ACP＋∠APM＝180°－∠PAC＝180°－60°＝120°.