第六章 圆周运动
3 向心加速度
基础过关练
题组一 向心加速度的理解
1.下列关于向心加速度的说法中正确的是 ( )
A.向心加速度的方向保持不变,始终指向圆心
B.向心加速度是描述线速度大小变化快慢的物理量
C.圆周运动中的向心加速度就是物体的加速度
D.物体做非匀速圆周运动时,向心加速度的大小也可用an=来计算
题组二 向心加速度的计算
2.课间跑操时,某同学以恒定速率沿圆弧形弯道运动,时间t内速度方向偏转了θ角,跑过的弧长为s,则该同学的向心加速度大小为 ( )
A. B. C. D.
3.一个地球仪绕与其“赤道面”垂直的“地轴”匀速转动的示意图如图所示。P点和Q点位于同一条“经线”上,Q点和M点位于“赤道”上,O为“地心”。下列说法正确的是 ( )
A.P、Q的线速度大小相等
B.P、M的角速度大小相等
C.P、Q的向心加速度大小相等
D.P、M的向心加速度方向均指向O
4.在很多24小时营业的餐厅,“欢乐送”送餐机器人足以承担深夜的送餐任务。某次送餐机器人(可视为质点)性能测试路径如图所示,半径为R=2 m的半圆弧、与长为L=6 m的直线路径AB、CD分别相切于A、D、B、C点。为保证安全,机器人做匀速圆周运动的加速度最大为a=2 m/s2,则机器人匀速率安全绕测试路径运行一圈的最短时间为 ( )
A.(3+π)s B.(3+2π)s
C.(6+π)s D.(6+2π)s
5.如图所示,走时准确的时钟,分针与秒针由转轴到针尖的长度之比是3∶5,则下列说法正确的是 ( )
A.分针与秒针的角速度之比为12∶1
B.分针与秒针的周期之比为1∶60
C.分针针尖与秒针针尖的线速度大小之比为1∶60
D.分针针尖与秒针针尖的向心加速度大小之比为1∶6 000
6.(多选题)如图所示,做匀速圆周运动的质点在时间t内由A点运动到B点,所对的圆心角为60°,长为L。关于质点加速度的大小,下列说法正确的是 ( )
A.向心加速度为
B.向心加速度为
C.平均加速度为
D.平均加速度为
能力提升练
题组一 转动模型中的加速度
1.如图所示,B和C是一组塔轮,即B和C固定在同一转轴上,但半径不同,其半径之比为RB∶RC=3∶2,A轮的半径大小与C轮相同,它与B轮紧靠在一起,当A轮绕过其中心的竖直轴匀速转动时,由于摩擦作用,B轮也随之无相对滑动地转动。a、b、c分别为三轮边缘的三个点,则在运动过程中,a、b、c三点 ( )
A.线速度大小之比为3∶3∶2
B.加速度大小之比为3∶3∶2
C.转速之比为2∶3∶2
D.周期之比为2∶3∶2
2.如图甲是中学物理实验室常用的感应起电机,它主要由两个大小相等、直径约为30 cm的感应玻璃盘组成。其中一个玻璃盘通过从动轮与主动轮连接,如图乙。现摇动摇把使主动轮以60 r/min的转速匀速旋转,已知主动轮的半径约为8 cm,从动轮的半径约为2 cm,P和Q是玻璃盘边缘上的两点,若转动时皮带不打滑,下列说法正确的是 ( )
A.玻璃盘的转动方向与摇把转动方向相同
B.从动轮的转速是260 r/min
C.P点的线速度大小约为3.8 m/s
D.Q点的向心加速度约为48 m/s2
题组二 “摆”模型中的加速度
3.如图所示,细线的下端系着一个小钢球,用手拿着细线的上端,使小钢球在水平面内做匀速圆周运动。当小球的角速度为ω1时,小球在较低的圆周1上做匀速圆周运动,此时细线对小球的拉力为T1,小球的向心加速度为a1,小球的线速度为v1;当小球的角速度为ω2时,小球在较高的圆周2上做匀速圆周运动,此时细线对小球的拉力为T2,小球的向心加速度为a2,小球的线速度为v2。则 ( )
A.ω1>ω2 B.T1>T2 C.a1
v2
4.(多选题)如图所示,有一竖直放置在水平地面上、内壁光滑的圆锥形漏斗,圆锥中轴线与母线的夹角为θ=45°,可视为质点的小球A、B在不同高度的水平面内沿漏斗内壁做同方向的匀速圆周运动,两个小球的质量mA=2m,mB=m,重力加速度为g。若A、B两球轨道平面距圆锥顶点O的高度分别为4h和h,图示时刻两球刚好在同一条母线上,下列说法正确的是 ( )
A.球A和B的向心加速度大小分别为2g和g
B.两球所受漏斗支持力大小之比与其所受向心力大小之比相等
C.球A和球B的线速度大小之比为1∶2
D.从图示时刻开始,球B旋转两周与球A在同一条母线上相遇一次
答案与分层梯度式解析
第六章 圆周运动
3 向心加速度
基础过关练
1.D 向心加速度的方向始终指向圆心,故方向不断变化,A错误;向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量,B错误;在圆周运动中,物体的加速度是向心加速度和切向加速度的矢量和,C错误;物体做非匀速圆周运动时,向心加速度的大小也可以用an=来计算,D正确。
2.B 该同学的线速度大小为v=,角速度大小为ω=,则向心加速度大小为a=vω=,B正确。
3.B 同轴转动的物体上各点的角速度相等,可知P、Q、M的角速度均相等,B正确;球面上各点做圆周运动的半径为各点到地轴的距离,可知RP4.D 机器人匀速率绕测试路径运行一圈,路程一定,运行速率越大,所用的时间越短。根据向心加速度公式an=,可知机器人的向心加速度越大,速率越大,由于机器人的加速度最大为a=2 m/s2,则机器人匀速率运动的最大速率v=2 m/s,故最短时间为t===(6+2π) s,D正确。
5.D 秒针转动一周的时间为1 min,分针转动一周的时间为60 min,则分针与秒针的周期之比为T1∶T2=60∶1,根据ω=,可得分针与秒针的角速度之比为ω1∶ω2=1∶60,A、B错误;根据v=ωr,可得分针针尖与秒针针尖的线速度大小之比为==×=,C错误;根据a=vω,可得分针针尖与秒针针尖的向心加速度大小之比为==×=,D正确。
6.AD 质点的角速度大小为ω==,轨迹圆的半径为r==,故质点的向心加速度大小为an=ω2r=,A正确,B错误;质点做圆周运动的速度大小v=,根据几何关系可知,质点从A点到B点的速度变化量大小Δv=v=,则质点从A点到B点的平均加速度大小==,C错误,D正确。
能力提升练
1.A 由题可知,A轮和B轮通过摩擦传动,则a、b的线速度大小相等,B和C同轴转动,则b、c的角速度相等,由公式v=ωr可知,b、c的线速度大小之比为vb∶vc=RB∶RC=3∶2,则a、b、c三点的线速度大小之比为3∶3∶2,A正确;由公式a=ω2r可知,b、c的加速度大小之比为ab∶ac=3∶2,由公式a=可知,a、b的加速度大小之比为aa∶ab=2∶3,则a、b、c三点的加速度大小之比为2∶3∶2,B错误;由公式n=可知,b、c的转速之比为1∶1,由公式n=可知,a、b的转速之比为3∶2,则a、b、c三点的转速之比为3∶2∶2,C错误;由公式T=可知,a、b、c三点的周期之比为2∶3∶3,D错误。
2.C 由题图可知,玻璃盘的转动方向与主动轮转动的方向相反,所以玻璃盘的转动方向与摇把转动方向相反,A错误;主动轮与从动轮靠皮带传动,边缘线速度大小相等,由ω==2πn,得转速n=,所以从动轮的转速n'=n=×60 r/min=240 r/min,B错误;从动轮的角速度为ω'=2πn'=2π×4 rad/s=8π rad/s,P点的线速度大小vP=ω'·=8π×0.15 m/s≈3.8 m/s,C正确;根据向心加速度公式得Q点的向心加速度a=ω'2·=(8π)2×0.15 m/s2≈95 m/s2,D错误。故选C。
3.C 小球在水平面内做匀速圆周运动,受力分析如图所示,重力和细线的拉力的合力提供向心力(点拨:圆锥摆模型),设线长为l,细线与竖直方向的夹角为θ,在水平方向,根据牛顿第二定律有mg tan θ=mω2l sin θ,可得ω=,由于θ1<θ2,有cos θ1>cos θ2,则ω1<ω2,A错误;细线上的拉力为T=,由于θ1<θ2,有cos θ1>cos θ2,则T1cos θ2,sin θ14.BD 对球A进行受力分析,如图所示,在竖直方向有FN sin θ=2mg,在水平方向由牛顿第二定律可得FN cos θ=2maA,解得aA=g,同理可得aB=g,A错误;由题意可知,对两球都有F支 cos θ=F向,可得=,故两球所受漏斗支持力大小之比与其所受向心力大小之比相等,B正确;由F向=ma=m,结合几何关系可得vA===2,vB===,球A和球B的线速度大小之比为2∶1,C错误;由ω=及上述分析可得,球A与球B的角速度之比为ωA∶ωB=∶=1∶2,则从图示时刻开始计时,下一次相遇时有ωBt-ωAt=2π,解得ωBt=4π,即球B旋转两周与球A在同一条母线上相遇一次,D正确。
7(共10张PPT)
1.向心加速度
(1)定义:物体做匀速圆周运动时的加速度总指向圆心,这个加速度称为向心加速度。
(2)意义:描述线速度方向改变的快慢。
2.向心加速度的方向
向心加速度的方向时刻在变化,总是沿半径指向圆心,即始终与线速度方向垂直,所以圆周运
动一定是变加速曲线运动。
3 向心加速度
必备知识 清单破
知识点 1
知识点 1
匀速圆周运动的加速度方向
知识点 1
知识点 2
匀速圆周运动的加速度大小
知识辨析
1.任何做圆周运动的物体的加速度都指向圆心吗
2.向心加速度的公式an= =ω2r,适用于变速圆周运动吗
3.能不能由an= =ω2r得到“向心加速度既与v2成正比,也与ω2成正比”的结论
一语破的
1.不是。物体做匀速圆周运动,其加速度一定指向圆心;若做非匀速圆周运动,加速度不指向
圆心,但它的向心加速度一定指向圆心。
2.适用。向心加速度的公式an= =ω2r也适用于变速圆周运动,在应用时要注意an、ω、v必须
是同一时刻的瞬时值。
3.不能。只能说在匀速圆周运动中,当运动半径一定时,向心加速度an与v2成正比,与ω2成正
比。
1.向心加速度与物体的加速度
(1)物体做匀速圆周运动时,向心加速度就是物体运动的合加速度。
(2)物体做变速圆周运动时,合加速度不指向圆心。加速度有两个分量:一个是切向分加速度
at,改变线速度大小;另一个是向心加速度an,满足an= =ω2r,式中的v指某瞬间的线速度,an即该
瞬间的向心加速度。
2.对向心加速度基本公式的理解
(1)公式an= :由公式可知,r一定时,an与v2成正比;v大小一定时,an与r成反比。
(2)公式an=rω2:由公式可知,r一定时,an与ω2成正比;ω一定时,an与r成正比。
关键能力 定点破
定点
对向心加速度的理解
(3)由上面的分析可知,an与v、ω、r的大小有关,要判断向心加速度an与半径r的关系,一定要利
用控制变量法,先弄清是线速度v大小不变还是角速度ω不变。
条件 规律
同轴转动,角速度相同 由an=rω2知,向心加速度与半径成正比
边沿传动,轮边沿各点线速度大小相等 由an= 知,向心加速度与半径成反比
半径相同 由an= =ω2r=4π2n2r= ·r可知,向心加速度
与v2成正比、与ω2成正比、与n2成正比、与T
2成反比
3.在传动装置中,对向心加速度公式的理解
典例 如图所示,一个大轮通过皮带带动小轮转动,皮带和两轮之间无相对滑动【1】,大轮的半
径是小轮半径的2倍,大轮上的一点S【2】离转动轴的距离是大轮半径的 。当大轮边缘上的P
点【3】的向心加速度是12 m/s2时,大轮上的S点和小轮边缘上的Q点的向心加速度各为多少
信息提取
【1】大轮与小轮边缘各点的线速度大小相等。
【2】【3】P点、S点同轴转动,角速度相等。
思路点拨
已知P点的向心加速度,由于P点、Q点线速度大小相等,可用公式an= 【4】求Q点的向心加速
度;由于P点、S点角速度相等,可用公式an=ω2r【5】求S点的向心加速度。
解析 S点和P点的角速度相等,即ωS=ωP
则 = (由【5】得到)
故aS= aP= ×12 m/s2=4 m/s2
P点和Q点的线速度大小相等,即vP=vQ
则 = (由【4】得到)
故aQ= aP=2×12 m/s2=24 m/s2
答案 4 m/s2 24 m/s2