2015-2016学年江苏省扬州市邗江中学高二(下)期中数学试卷(理科)
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应的位置上.
1.C53= .
2.已知复数z满足(i是虚数单位),则|z|= .
3.观察式子,…,则可归纳出 .
4.用数学归纳法证明等式时,第一步验证n=1时,左边应取的项是
5.把分别写有“灰”、“太”、“狼”的三张卡片随意排成一排,则能使卡片排成的顺序从左向右或从右向左都可以念为“灰太狼”的概率是
.(用分数表示)
6.设函数f(x)=(x>0),观察:
f1(x)=f(x)=,
f2(x)=f(f1(x))=,
f3(x)=f(f2(x))=,
f4(x)=f(f3(x))=,
…
根据以上事实,由归纳推理可得:
当n∈N
且n≥2时,fn(x)=f(fn﹣1(x))= .
7.某射手射击所得环数ξ的分布列如表,已知ξ的期望Eξ=8.9,则y的值为 .
ξ
7
8
9
10
P
x
0.1
0.3
y
8.若把英语单词“book”的字母顺序写错了,则可能出现的错误共有 种(用数字作答).
9.已知扇形的圆心角为2α(定值),半径为R(定值),分别按图一、二作扇形的内接矩形,若按图一作出的矩形面积的最大值为 ,则按图二作出的矩形面积的最大值为 .
10.若,则(a0+a2+a4)2﹣(a1+a3)2的值为 .
11.如果复数z满足|z|=1,那么|z﹣3+i|的最大值是 .
12.四面体ABCD中,,∠ABD=30°,∠ABC=60°,则AB与CD所成角为 .
13.在6×6的表中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车,每一行、每一列都只有一辆车,每辆车占一格,共有 种停放方法.(用数字作答)
14.(理)已知△ABC三边a,b,c的长都是整数,且a≤b≤c,如果b=m(m∈N
),则这样的三角形共有 个(用m表示).
二、解答题:本大题共6小题,共计90分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.
15.已知复数z=b﹣2i(b为实数),且是实数.
(1)求复数z;
(2)若复数(z+ai)2在复平面上对应的点在第四象限,试求实数a的取值范围.
16.已知的展开式中第3项的系数与第5项的系数之比为.
(1)求n的值;
(2)求展开式中的常数项.
17.已知,.
(1)当n=1,2,3时,分别比较f(n)与g(n)的大小(直接给出结论);
(2)由(1)猜想f(n)与g(n)的大小关系,并证明你的结论.
18.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,底面△ABC是直角三角形,AB=AC=1,AA1=2,点P是棱BB1上一点,满足=λ(0≤λ≤1).
(1)若,求直线PC与平面A1BC所成角的正弦值;
(2)若二面角P﹣A1C﹣B的正弦值为,求λ的值.
19.一个摸球游戏,规则如下:在一不透明的纸盒中,装有6个大小相同、颜色各异的玻璃球.参加者交费1元可玩1次游戏,从中有放回地摸球3次.参加者预先指定盒中的某一种颜色的玻璃球,然后摸球.当所指定的玻璃球不出现时,游戏费被没收;当所指定的玻璃球出现1次,2次,3次时,参加者可相应获得游戏费的0倍,1倍,k倍的奖励(k∈N
),且游戏费仍退还给参加者.记参加者玩1次游戏的收益为X元.
(1)求概率P(X=0)的值;
(2)为使收益X的数学期望不小于0元,求k的最小值.
(注:概率学源于赌博,请自觉远离不正当的游戏!)
20.设(1﹣x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,n∈N
,n≥2.
(1)设n=11,求|a6|+|a7|+|a8|+|a9|+|a10|+|a11|的值;
(2)设bk=ak+1(k∈N,k≤n﹣1),Sm=b0+b1+b2+…+bm(m∈N,m≤n﹣1),求||的值.
2015-2016学年江苏省扬州市邗江中学高二(下)期中数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应的位置上.
1.C53= 10 .
【考点】组合及组合数公式.
【分析】根据组合数的公式,计算即可.
【解答】解:
===10.
故答案为:10.
2.已知复数z满足(i是虚数单位),则|z|= \sqrt{5} .
【考点】复数求模.
【分析】直接利用复数的模等于分子的模与分母的模,即可求出复数的模,
【解答】解:由题意可知==.
故答案为:.
3.观察式子,…,则可归纳出 \frac{2n+1}{n+1}(n≥1) .
【考点】归纳推理.
【分析】根据已知中,分析左边式子中的数与右边式了中的数之间的关系,由此可写出结果.
【解答】解:根据题意,每个不等式的右边的分母是n+1.
不等号右边的分子是2n+1,
∴1+…+<(n≥1).
故答案为:(n≥1).
4.用数学归纳法证明等式时,第一步验证n=1时,左边应取的项是 1+2+3+4
【考点】用数学归纳法证明不等式.
【分析】本题考查的知识点是数学归纳法的步骤,由等式,当n=1时,n+3=4,而等式左边起始为1的连续的正整数的和,由此易得答案.
【解答】解:在等式中,
当n=1时,n+3=4,
而等式左边起始为1的连续的正整数的和,
故n=1时,等式左边的项为:1+2+3+4
故答案为:1+2+3+4
5.把分别写有“灰”、“太”、“狼”的三张卡片随意排成一排,则能使卡片排成的顺序从左向右或从右向左都可以念为“灰太狼”的概率是
\frac{1}{3} .(用分数表示)
【考点】古典概型及其概率计算公式.
【分析】本题是一个古典概型,试验发生包含的事件是三张卡片全排列,满足条件的事件是卡片排成的顺序从左向右或从右向左都可以念为“灰太狼”,写出事件数,根据古典概型概率公式得到概率.
【解答】解:由题意知本题是一个古典概型,
试验发生包含的事件是三张卡片全排列,共有A33=6种结果,
满足条件的事件是卡片排成的顺序从左向右或从右向左都可以念为“灰太狼”,共有2种结果,
根据古典概型概率公式得到P==,
故答案为:
6.设函数f(x)=(x>0),观察:
f1(x)=f(x)=,
f2(x)=f(f1(x))=,
f3(x)=f(f2(x))=,
f4(x)=f(f3(x))=,
…
根据以上事实,由归纳推理可得:
当n∈N
且n≥2时,fn(x)=f(fn﹣1(x))= \frac{x}{({2}^{n}﹣1)x+{2}^{n}} .
【考点】归纳推理.
【分析】观察所给的前四项的结构特点,先观察分子,只有一项组成,并且没有变化,在观察分母,有两部分组成,是一个一次函数,根据一次函数的一次项系数与常数项的变化特点,得到结果.
【解答】解:∵函数f(x)=(x>0),观察:
f1(x)=f(x)=,
f2(x)=f(f1(x))=,
f3(x)=f(f2(x))=,
f4(x)=f(f3(x))=,
…
所给的函数式的分子不变都是x,
而分母是由两部分的和组成,
第一部分的系数分别是1,3,7,15…2n﹣1,
第二部分的数分别是2,4,8,16…2n
∴fn(x)=f(fn﹣1(x))=
故答案为:
7.某射手射击所得环数ξ的分布列如表,已知ξ的期望Eξ=8.9,则y的值为 0.4 .
ξ
7
8
9
10
P
x
0.1
0.3
y
【考点】离散型随机变量及其分布列.
【分析】根据分布列的概率之和是1,得到关于x和y之间的一个关系式,由变量的期望值,得到另一个关于x和y的关系式,联立方程,解出要求的y的值.
【解答】解:由表格可知:x+0.1+0.3+y=1,
7x+8×0.1+9×0.3+10×y=8.9
解得y=0.4.
故答案为:0.4.
8.若把英语单词“book”的字母顺序写错了,则可能出现的错误共有 11 种(用数字作答).
【考点】计数原理的应用.
【分析】首先用倍分法求出单词“book”四个字母中其不同的排列数目,再在其中排除正确的1种情况,即可得答案.
【解答】解:根据题意,因为“book”四个字母中的两个“o”是相同的,则其不同的排列有×A44=12种,
而正确的排列只有1种,
则可能出现的错误共有11种;
故答案为:11.
9.已知扇形的圆心角为2α(定值),半径为R(定值),分别按图一、二作扇形的内接矩形,若按图一作出的矩形面积的最大值为 \frac{1}{2}{R^2}tanα ,则按图二作出的矩形面积的最大值为 {R^2}tan\frac{α}{2} .
【考点】函数的最值及其几何意义.
【分析】思考图二与图一有怎样的联系?将图二拆分成两个图一的形式,可以类比得到结论.图一角是2α,图二拆分后角是α,故最值为,两个则为R2tan
【解答】解:图一作出的矩形面积的最大值为R2tanα,图二可拆分成两个,
图一角是2α,图二拆分后角是α,故矩形面积的最大值为R2tan,两个则为R2tan.
10.若,则(a0+a2+a4)2﹣(a1+a3)2的值为 1 .
【考点】二项式定理的应用.
【分析】通过对x分别赋值1,﹣1,求出各项系数和和正负号交替出现的系数和,两式相乘得解.
【解答】解:对于,
令x=1得=a0+a1+a2+a3+a4
令x=﹣1得=a0﹣a1+a2﹣a3+a4
两式相乘得1=(a0+a2+a4)2﹣(a1+a3)2
故答案为1
11.如果复数z满足|z|=1,那么|z﹣3+i|的最大值是 \sqrt{10}+1 .
【考点】复数的代数表示法及其几何意义.
【分析】由题意画出图形,利用|z﹣3+i|的几何意义,即圆上的点与定点P(3,﹣1)距离求得答案.
【解答】解:由|z|=1,的复数z在复平面内对应的点在以原点为圆心,以1为半径的圆上,
如图,
|z﹣3+i|的几何意义为圆上的点与定点P(3,﹣1)距离,其最大值为.
故答案为:.
12.四面体ABCD中,,∠ABD=30°,∠ABC=60°,则AB与CD所成角为 60° .
【考点】解三角形.
【分析】根据题意画出相应的图形,如图所示,在三角形ABD中,过A作AE垂直于BD,交BD于点E,连接CE并延长,使EF=EC,连接BF,DF,AF,可得出∠ABF为AB与CD所成角,求法为:在三角形ABE中,由30°所对的直角边等于斜边的一半,根据AB的长求出AE的长,进而利用勾股定理求出BE的长,发现BE为BD的一半,即E为BD的中点,又BC=DC,CE为BD上的中线,根据三线合一得到CE垂直于BD,根据AE垂直于面BCDF,可得出AE垂直于EF,再由EF=CE,BE=DE,得到四边形BCDF为平行四边形,再由邻边BC=DC,可得出四边形BCDF为菱形,得出BF=BC,由BC的长,得出BF的长,在直角三角形AEF中,由EF及AE的长,利用勾股定理求出AF的长,在三角形ABF中,利用余弦定理表示出cos∠ABF,将三边长代入求出cos∠ABF的值,由∠ABF的范围,利用特殊角的三角函数值即可求出∠ABF的度数,即为AB与CD所成角的度数.
【解答】解:根据题意画出相应的图形,如图所示:
在△ABD中,过A作AE⊥BD,交BD于点E,连接CE,并延长使EF=EC,连接BF,DF,AF,
在△ABE中,∠ABD=30°,AB=2,
∴AE=AB=1,根据勾股定理得到BE=,
又BD=2,∴E为BD的中点,
∵BC=DC=3,∴CF⊥BD,又AE⊥BD,
∴BD⊥面ACF,又面ABD与面ACF交于直线BD,
∴AE⊥面BCD,
∴AE⊥CF,
∵CE=EF,BE=DE,
∴四边形BCDF为平行四边形,又BC=DC,
∴四边形BCDF为菱形,
∴BF=BC=CD=DF=3,
在Rt△BCE中,BC=3,BE=,
根据勾股定理得:CE==,
∴EF=CE=,又AE=1,
在Rt△AEF中,根据勾股定理得:AF=,
在△ABF中,AB=2,BF=3,AF=,
∴由余弦定理得:cos∠ABF==,
又0<∠ABF≤90°,∴∠ABF=60°,
则AB与CD所成角为60°.
故答案为:60°
13.在6×6的表中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车,每一行、每一列都只有一辆车,每辆车占一格,共有 14400 种停放方法.(用数字作答)
【考点】分步乘法计数原理.
【分析】利用分步计数原理,第一步先选车,第二种再排列,问题得以解决
【解答】解:第一步先选车有种,第二步因为每一行、每一列都只有一辆车,每辆车占一格,从中选取一辆车后,把这辆车所在的行列全划掉,依次进行,则有=种,根据分步计数原理得;
=14400种.
故答案为:14400.
14.(理)已知△ABC三边a,b,c的长都是整数,且a≤b≤c,如果b=m(m∈N
),则这样的三角形共有 \frac{m(m+1)}{2} 个(用m表示).
【考点】进行简单的合情推理.
【分析】本题是推理和证明这一章的习题,考查合情推理能力.讲评时可改为c=m再探究.本题也可以用线性规划知识求解.
【解答】解:当m=1时,这样的三角形共有1个,即(1,1,1)
当m=2时,这样的三角形共有3个,即(1,2,2);(2,2,2);(2,2,3).
当m=3时,这样的三角形共有6个,即:(1,3,3);(2,3,3);(2,3,4);(3,3,3);(3,3,4);
(3,3,5).
当m=4时,这样的三角形共有10个…
当m=5时,这样的三角形共有15个…
…
根据上述结论我们可以推断:当b=m(m∈N
),则这样的三角形共有个
故答案为:
二、解答题:本大题共6小题,共计90分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.
15.已知复数z=b﹣2i(b为实数),且是实数.
(1)求复数z;
(2)若复数(z+ai)2在复平面上对应的点在第四象限,试求实数a的取值范围.
【考点】复数代数形式的乘除运算;复数的代数表示法及其几何意义.
【分析】(1)把z=b﹣2i(b为实数),代入,利用复数代数形式的乘除运算化简后由虚部等于0求得b的值,则z可求;
(2)直接展开乘方运算,然后由实部大于0且虚部小于0求解实数a的取值范围.
【解答】解:(1)∵z=b﹣2i,
由=为实数,
则b=4.
∴z=4﹣2i;
(2)∵(z+ai)2=(4﹣2i+ai)2=16﹣(a﹣2)2+8(a﹣2)i在复平面上对应的点在第四象限,
∴,解得﹣2<a<2.
∴实数a的取值范围是(﹣2,2).
16.已知的展开式中第3项的系数与第5项的系数之比为.
(1)求n的值;
(2)求展开式中的常数项.
【考点】二项式定理的应用.
【分析】(1)直接根据的展开式中第3项的系数与第5项的系数之比为列出关于n的方程,结合组合数的性质即可求出结论;
(2)先求出其通项,再令自变量的指数为0即可求出结论.
【解答】解:(1)由题设,得,
则 n2﹣5n﹣50=0 n=10或n=﹣5(舍)
(2)=
当
即当r=8时为常数项.
17.已知,.
(1)当n=1,2,3时,分别比较f(n)与g(n)的大小(直接给出结论);
(2)由(1)猜想f(n)与g(n)的大小关系,并证明你的结论.
【考点】用数学归纳法证明不等式;不等式比较大小.
【分析】(1)先令n=1,2,3.分别求得f(n)和g(n),再通过计算比较它们的大小即可;
(2)通过前3项进行归纳猜想,用数学归纳法证明.检验n取第一个值时,等式成立,假设n=k时成立,证明当n=k+1时也成立,即可得到猜想成立.
【解答】解:(1)当n=1时,f(1)=1,,f(1)>g(1),
当n=2时,,,f(2)>g(2),
当n=3时,,g(3)=2,f(3)>g(3).
(2)猜想:f(n)>g(n)(n∈N
),即.
下面用数学归纳法证明:①当n=1时,上面已证.
②假设当n=k时,猜想成立,即
则当n=k+1时,
=;
而,下面转化为证明:
只要证:,需证:(2k+3)2>4(k+2)(k+1),
即证:4k2+12k+9>4k2+12k+8,此式显然成立.所以,当n=k+1时猜想也成立.
综上可知:对n∈N
,猜想都成立,
即成立.
18.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,底面△ABC是直角三角形,AB=AC=1,AA1=2,点P是棱BB1上一点,满足=λ(0≤λ≤1).
(1)若,求直线PC与平面A1BC所成角的正弦值;
(2)若二面角P﹣A1C﹣B的正弦值为,求λ的值.
【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面所成的角.
【分析】(1)如图所示,建立空间直角坐标系,设平面A1BC的法向量为=(x,y,z),则,可得.设直线PC与平面A1BC所成角为θ,则sinθ==.
(2)设二面角P﹣A1C﹣B的平面角为α,由图可知为锐角,由于sinα=,可得cosα=.由于=λ(0≤λ≤1),可得P(1,0,2λ).设平面A1CP的法向量为=(x0,y0,z0),=,即可得出.
【解答】解:(1)如图所示,建立空间直角坐标系,
A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),A1(0,0,2),P.
=(1,0,﹣2),=(﹣1,1,0),=.
设平面A1BC的法向量为=(x,y,z),
则,即,取=(2,2,1),
设直线PC与平面A1BC所成角为θ,
则sinθ====.
(2)设二面角P﹣A1C﹣B的平面角为α,由图可知为锐角,
∵sinα=,∴cosα==.
∵=λ(0≤λ≤1),
∴P(1,0,2λ).
∴=(1,﹣1,2λ),=(1,0,2λ﹣2).
设平面A1CP的法向量为=(x0,y0,z0),
则,即,
取=(2﹣2λ,2,1),
∴===.
∴=.
化简解得:λ2+8λ﹣9=0,0≤λ≤1,
解得λ=1.
19.一个摸球游戏,规则如下:在一不透明的纸盒中,装有6个大小相同、颜色各异的玻璃球.参加者交费1元可玩1次游戏,从中有放回地摸球3次.参加者预先指定盒中的某一种颜色的玻璃球,然后摸球.当所指定的玻璃球不出现时,游戏费被没收;当所指定的玻璃球出现1次,2次,3次时,参加者可相应获得游戏费的0倍,1倍,k倍的奖励(k∈N
),且游戏费仍退还给参加者.记参加者玩1次游戏的收益为X元.
(1)求概率P(X=0)的值;
(2)为使收益X的数学期望不小于0元,求k的最小值.
(注:概率学源于赌博,请自觉远离不正当的游戏!)
【考点】离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列.
【分析】(1)事件“X=0”表示“有放回的摸球3回,所指定的玻璃球只出现1次”,由此能求出P(X=0).
(2)依题意,X的可能取值为k,﹣1,1,0,分别求出相应的概率,由此求出E(X),进而能求出k的最小值.
【解答】解:(1)事件“X=0”表示“有放回的摸球3回,所指定的玻璃球只出现1次”,
则P(X=0)=3×=.
(2)依题意,X的可能取值为k,﹣1,1,0,
且P(X=k)=()3=,
P(X=﹣1)=()3=,
P(X=1)=3×=,
P(X=0)=3×=,
∴参加游戏者的收益X的数学期望为:
E(X)==,
为使收益X的数学期望不小于0元,故k≥110,
∴k的最小值为110.
20.设(1﹣x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,n∈N
,n≥2.
(1)设n=11,求|a6|+|a7|+|a8|+|a9|+|a10|+|a11|的值;
(2)设bk=ak+1(k∈N,k≤n﹣1),Sm=b0+b1+b2+…+bm(m∈N,m≤n﹣1),求||的值.
【考点】数列与函数的综合;二项式定理的应用.
【分析】(1)由二项式定理可得ak=(﹣1)k ,再由二项式系数的性质,可得所求和为210;
(2)由组合数的阶乘公式可得bk=(﹣1)k+1 ,再由组合数的性质,可得当1≤k≤n﹣1时,bk=(﹣1)k+1 =(﹣1)k+1 (+)=(﹣1)k﹣1 ﹣(﹣1)k ,讨论m=0和1≤m≤n﹣1时,计算化简即可得到所求值.
【解答】解:(1)由二项式定理可得ak=(﹣1)k ,
当n=11时,|a6|+|a7|+|a8|+|a9|+|a10|+|a11|=++…+
=(++…++)=210=1024;
(2)bk=ak+1=(﹣1)k+1 =(﹣1)k+1 ,
当1≤k≤n﹣1时,bk=(﹣1)k+1 =(﹣1)k+1 (+)
=(﹣1)k+1 +(﹣1)k+1 =(﹣1)k﹣1 ﹣(﹣1)k ,
当m=0时,||=||=1;
当1≤m≤n﹣1时,Sm=b0+b1+b2+…+bm=﹣1+
[(﹣1)k﹣1 ﹣(﹣1)k ]
=﹣1+1﹣(﹣1)m=﹣(﹣1)m,
即有||=1.
综上可得,||=1.
2016年7月14日