第七章 万有引力与宇宙航行
2 万有引力定律
基础过关练
题组一 天体运动的探索历程
1.美国科学家于2016年2月11日宣布,他们探测到引力波的存在,引力波是实验验证爱因斯坦相对论的最后一块缺失的“拼图”,相对论在一定范围内弥补了牛顿力学的局限性。关于牛顿发现万有引力定律,下列说法错误的是 ( )
A.开普勒总结出关于行星绕太阳运行的规律,为牛顿发现万有引力定律提供了有力的帮助
B.万有引力定律可以计算任何两个有质量的物体之间的万有引力大小
C.开普勒、第谷、牛顿、卡文迪什对发现和完善万有引力定律都是有贡献的
D.卡文迪什在实验室里测出了引力常量的数值
题组二 行星与太阳间的引力及月—地检验
2.牛顿利用他发现的运动规律把行星的向心加速度与太阳对它的引力联系起来,并深入思考了月球受到的引力与地面物体受到的引力的关系。设太阳质量为m1,地球质量为m2,月球质量为m3,地球与太阳间距离为R,月球与地球间距离为r。若地球绕太阳的运动及月球绕地球的运动可以看成匀速圆周运动。关于得出万有引力定律的推理,下列说法正确的是 ( )
A.根据地球绕太阳的运动规律及开普勒第三定律得出,太阳对地球的吸引力F∝
B.根据牛顿第三定律及对称性,地球对太阳的吸引力F'∝与太阳对地球的吸引力F∝的比例系数相同
C.类比地球绕太阳的运动规律及开普勒第三定律得出,地球对月球的吸引力f∝
D.若地球对苹果的吸引力与地球对月球的力是同一种力,则苹果自由落体的加速度与月球绕地球做圆周运动的向心加速度之比为
题组三 万有引力定律的理解及计算
3.(多选题)关于万有引力定律的表达式F=G,下列说法正确的是 ( )
A.公式中的G为引力常量,它是由卡文迪什通过实验测得,其大小与单位制的选择有关
B.当r趋近于零时,万有引力定律不再适用,两物体间不存在相互作用的引力
C.万有引力的大小与两物体质量的乘积成正比,与两物体间距离成反比
D.m1对m2的引力与m2对m1的引力是一对作用力与反作用力
4.2024年4月25日20时59分,神舟十八号载人飞船搭载三位航天员成功发射,次日三位航天员进入离地面高度为H的空间站。已知地球质量为M,地球半径为R,某航天员的质量为m,引力常量为G,则该航天员在空间站里受到地球的引力大小为 ( )
A.0 B. C. D.
5.(经典题)如图所示,点L1和点L2称为地月连线上的拉格朗日点。在拉格朗日点处的物体在地球与月球的共同作用下,可与月球同步绕地球转动。中国探月工程中的“鹊桥号”中继卫星是世界上首颗运行于地月拉格朗日点L2的通信卫星,已知地球质量是月球质量的81倍,地月球心间距离约为L2点与月球球心间距离的6倍,则地球对“鹊桥号”中继卫星的引力与月球对“鹊桥号”中继卫星的引力大小之比约为 ( )
A. B. C. D.
6.已知火星质量为地球质量的k倍,其半径为地球半径的p倍,由此可知,同一物体在火星表面与在地球表面受到的万有引力的比值为(忽略星球自转) ( )
A. B. C. D.
7.(经典题)我国在太原卫星发射中心发射了一颗大气环境监测卫星,该卫星将推动我国在生态环境、气象、农业等领域的遥感应用。若用F表示该卫星在发射过程中到地心的距离为x时所受地球的万有引力的大小,则下列图像中可能正确的是 ( )
8.如图所示,A、B两球由同种匀质材料组成,B的半径为A的2倍,A、B两球间的万有引力大小为F,C为B球中心的一部分,半径和A球半径相等,则C与A间的万有引力大小为 ( )
A.F B.F C.F D.F
9.(经典题)(多选题)如图所示,三颗质量均为m的地球同步卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上,设地球质量为M,半径为R,引力常量为G,下列说法正确的是 ( )
A.地球对一颗卫星的引力大小为
B.一颗卫星对地球的引力大小为
C.两颗卫星之间的引力大小为
D.三颗卫星对地球引力的合力大小为
10.质量均匀分布、半径为R的球体,在与球心O距离x(x>R)处有一质点A。现从球体中挖去两个半径为的球体,三个球体相切且球心与切点共线,如图所示,则剩余部分对质点A万有引力的方向 ( )
A.可能沿F1
B.可能沿F2
C.可能沿F3
D.沿F1、F2、F3方向均有可能
能力提升练
题组一 万有引力与重力的关系
1.假设地球可视为质量均匀分布的球体,已知地球表面的重力加速度在两极处的大小为g0,在赤道处的大小为g,地球的半径为R,则地球的自转周期为 ( )
A.2π B.π
C.4π D.2π
2.一质量为m的物块在地球的北极与在地球赤道上的重力差为ΔF,地球自转周期为T,则可求出地球半径R为 ( )
A. B.
C. D.
3.中国科学院沈阳自动化研究所主持研制的“海斗一号”在无缆自主模式下刷新了中国下潜深度纪录,最大下潜深度超过了10 000米。若把地球看成质量分布均匀的球体,且球壳对球内任一质点的万有引力为零,忽略地球的自转,则下列关于“海斗一号”下潜所在处的重力加速度大小g和下潜深度h的关系图像可能正确的是 ( )
4.2023年,神舟家族太空接力,“奋斗者”号极限深潜,真正实现了“可上九天揽月,可下五洋捉鳖”!已知“奋斗者”号在马里亚纳海沟的坐底深度为d(10 909 m),空间站离地面的高度为h(400 km)。假设地球质量分布均匀,半径为R,不考虑其自转,且质量均匀分布的球壳对壳内物体的引力为零,则深度为d处和高度为h处的重力加速度之比为 ( )
A. B.
C. D.
题组二 用“填补法”求解万有引力
5.如图所示,有一质量为M、半径为R、质量分布均匀的球体,在距球心2R处有一质量为m的质点,若以球心O为中心挖去一个半径为的球体,引力常量为G,则剩下部分对质点的万有引力为 ( )
A. B. C. D.
6.(教材深研拓展)如图所示,在半径为R、质量均匀分布的某个球体中,挖出一半径为的球形空穴,空穴跟球体相切,另一均匀小球的球心位于空穴中心与空穴跟球体的切点连线所在直线上的A处,小球球心与球形空穴中心间的距离为d=2R,引力常量为G,已知带空穴的球体与小球之间的万有引力大小为F0。现将小球向左移动使得d=,这时球体与小球间的引力F与F0的比值约等于 ( )
A.1.5 B.2.5 C.3.8 D.4.6
答案与分层梯度式解析
第七章 万有引力与宇宙航行
2 万有引力定律
基础过关练
1.B 开普勒通过整理第谷的观测数据,总结出了行星绕太阳运行的规律,牛顿结合牛顿运动定律和开普勒行星运动定律总结出了万有引力定律,卡文迪什在实验室通过扭秤实验测出了引力常量的数值,四人均为发现和完善万有引力定律作出了贡献,A、C、D说法正确;当两个物体距离很近时,物体不能视为质点,万有引力定律不再适用,故B说法错误。
2.C 若地球绕太阳的运动为匀速圆周运动,则太阳对地球的吸引力提供向心力,有F=m2R,根据开普勒第三定律可知=k,联立可得F=4π2k·∝,A错误;太阳对地球的吸引力为F=4π2k·∝,同理可得,地球对太阳的吸引力为F'=4π2k'·∝,由于受力物体不同,所以二者的比例系数不相同,B错误;类比地球绕太阳的运动规律及开普勒第三定律得出,地球对月球的吸引力为f=4π2k″·∝,C正确;若地球对苹果的吸引力与地球对月球的力是同一种力,则a月==,a苹==,所以苹果自由落体加速度与月球绕地球做圆周运动的向心加速度之比为=,D错误。
3.AD 公式中的G为引力常量,它由卡文迪什通过扭秤实验测得,其大小与单位制的选择有关,A正确;当两物体间的距离r趋近于零时,两物体不能看成质点,万有引力定律不再适用,但两物体间存在相互作用的引力,B错误;两物体间的万有引力与质量的乘积成正比,与它们之间距离的二次方成反比,C错误;m1对m2的引力与m2对m1的引力是一对作用力与反作用力,始终大小相等,方向相反,D正确。
4.D 航天员在空间站里时距地心的距离为r=R+H,则航天员受到地球的引力大小为F==,选D。
5.B 设地球质量为M地,月球质量为M月,L2点与月球球心间的距离为L,则L2点与地球球心间的距离为7L,根据万有引力定律公式F=G可得所求两个引力的大小之比约为∶=81∶49,B正确。
6.B 设物体的质量为m,地球的质量为M,火星的质量为M',物体在地球表面时,根据万有引力与重力的关系可得G=mg,物体在火星表面时有F=G=G=mg,故同一物体在火星表面与在地球表面受到的万有引力的比值为,B正确。
7.D 该卫星到地心的距离为x时,所受地球的万有引力的大小为F=,其中G为引力常量,m为卫星的质量,M为地球的质量,知F与x的二次方成反比,F-x图线为曲线,A、B错误;将F=等号两边取对数,有ln F=ln (GMm)-2ln x,可得ln F-ln x图线为直线,且图线斜率为负,C错误,D正确。
8.C 根据万有引力定律可得,A、B间的万有引力大小为F=G=G,A、C间的万有引力大小为F'=G,M'=M,所以F'=F,C正确。
9.BC 根据万有引力定律可知,地球与一颗卫星间的引力大小为F=,A错误,B正确;三颗卫星等间隔分布,由几何关系可知,任意两颗卫星之间的距离为r,故两颗卫星之间的引力大小为F'==,C正确;三颗卫星处在圆轨道的内接正三角形的顶点,根据三力平衡知识可知,三颗卫星对地球引力的合力大小为零,D错误。
10.A 在挖去的地方用相同材料补全,完整球体对质点A的万有引力方向水平向左,根据万有引力公式F=G,可知被挖去的上方球体对质点A的万有引力小于被挖去的下方球体对质点A的万有引力,则被挖去的两球体对质点A的万有引力的合力方向斜向左下方,图中剩余部分对质点A万有引力的方向斜向左上方,所以剩余部分对质点A万有引力的方向可能沿F1,A正确。
能力提升练
1.D
关键点拨 物体在赤道处,地球的万有引力的一个分力提供物体随地球自转所需的向心力,另一分力等于物体的重力;在两极处,地球的万有引力等于物体的重力。
解析 在地球两极处有=mg0,在赤道处有=mg+mR,联立解得T=2π,D正确。
2.A 设物块在地球北极的重力为mg,在地球赤道上的重力为mg0,物块在北极时,重力等于地球对其的万有引力,即mg=;物块在赤道上时,由牛顿第二定律有-mg0=mR,根据题意有mg-mg0=ΔF,联立解得R=,A正确。
3.D
模型建构
解析 设地球的质量为M,地球的半径为R,“海斗一号”下潜h深度后,以地心为球心、以(R-h)为半径的球体的质量为M',由于地球质量分布均匀,则有=;由于球壳对壳内任一质点的万有引力为零,根据万有引力定律,地球对“海斗一号”的万有引力为F==mg,联立以上两式并整理可得g=(R-h)=-h,知g-h图线为斜率为负的一次函数图线,故选D。
4.A 质量为m1的物体在深度为d处,G=m1g1,且=;质量为m2的物体在高度为h处,G=m2g2,解得深度为d处和高度为h处的重力加速度之比为=,A正确。
5.C
图形剖析
解析 剩下部分对质点的万有引力应等于完整球体对质点的万有引力减去被挖去的小球体对质点的万有引力,即F=-,被挖去的小球体的质量为M'=ρπ,完整球体的质量为M=ρπR3,联立可得剩下部分对质点的万有引力为F=,C正确。
方法技巧
“填补法”的应用技巧
(1)形状的要求:大球内挖掉小球,挖掉其他形状的物体时不可用此法,如挖掉的是立方体或其他不规则形状的物体,非球形物体挖掉小球等情况均不适合用此法。
(2)三心的位置关系:大球球心、小球球心、第三个球的球心(或质点),若三心共线,则三力共线,可进行代数运算;若三心不共线,则三力不共线,遵循矢量运算法则。
6.A 完整球体对小球的万有引力大小为F1=G=,挖去部分对小球的万有引力大小为F2=G=,剩余部分球体对小球的万有引力大小为F0=F1-F2=;当小球向左移动使得d=R时,完整球体对小球的万有引力大小为F3=G=,挖去部分对小球的万有引力大小为F4=G=,剩余部分球体对小球的万有引力大小为F=F3-F4=,所以≈1.5,故选A。
7(共20张PPT)
2 万有引力定律
必备知识 清单破
知识点 1
知识点 1
行星与太阳间的引力
1.太阳对行星的引力
2.行星对太阳的引力
从太阳与行星间相互作用的角度看,两者的地位完全相当,因此,行星对太阳的引力F'∝ 。
3.行星与太阳间的引力
由于F∝ 、F'∝ ,而F=F',则F∝ ,写成等式为F=G ,式中的G与太阳、行星都没
有关系。
导师点睛 分析太阳与行星间的引力时,构建了两个理想化模型:
(1)匀速圆周运动模型——行星绕太阳的运动看作匀速圆周运动。
(2)质点模型——研究天体间的引力时,由于天体间的距离很远,可以将天体看作质点,即天体
的质量集中在球心上。
知识点 1
知识点 2
月—地检验
猜想 维持月球绕地球运动的力与使得苹果下落的力是同一种力,同样遵从平方反比的规律
检验方法 (1)对月—地系统和物—地系统分析,月球在轨道上运动时的加速度a月= g= g≈2.7×10-3 m/s2
(2)天文观测:月球围绕地球做匀速圆周运动的加速度a月= ≈2.7×10-3 m/s2
(3)对比结果:月球在轨道上运动的加速度近似等于月球的向心加速度
结论 地面物体所受的地球的引力、月球所受地球的引力,与太阳、行星间的引力,都遵从相同的规律
1.内容:自然界中任何两个物体都相互吸引,引力的方向在它们的连线上,引力的大小与物体
的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比。
2.表达式:
3.公式F=G 的适用条件
(1)严格地说,万有引力定律只适用于计算两个质点间的引力大小,r是两个质点间的距离。
知识点 1
知识点 3
万有引力定律
(2)两个质量分布均匀的球体间的相互作用也可以用此公式来计算,其中的r是两个球体球心
间的距离。
(3)一个质量分布均匀的球体与球外一个质点间的万有引力也可用此公式计算,式中的r是球
体的球心到质点的距离。
4.引力常量
(1)测量:由英国物理学家卡文迪什通过扭秤实验测量得出,常取G=6.67×10-11 N·m2/kg2。
(2)意义:引力常量的普适性成了万有引力定律正确性的有力证据。
知识辨析
1.太阳对不同行星的引力与行星的质量有什么关系 行星对太阳的引力与太阳的质量有什么
关系
2.根据F=G ,两物体无限接近时,它们之间的万有引力无限大,这种说法正确吗
3.任何两个物体之间的万有引力都能利用公式F=G 计算吗
一语破的
1.其他条件不变时,太阳对不同行星的引力与行星的质量成正比,行星对太阳的引力与太阳的
质量成正比。
2.不正确。因为两物体距离很近时,物体不能看成质点,万有引力定律公式不再适用。
3.F=G 只适用于质点之间、质量分布均匀的球体之间、质点和质量分布均匀的球体之
间万有引力的计算,形状不规则、质量分布不均匀的两物体不能看成质点时,它们之间的距
离r不易确定,不能用万有引力定律公式计算。
1.纬度对重力的影响
如图所示,设地球的质量为M,半径为R,A处物体的质量为m,物体受到地球的万有引力为F引,方
向指向地心O。由万有引力定律公式可得F引=G 。F向提供物体随地球自转需要的向心力,
方向垂直于地轴;mg就是物体的重力G,产生使物体压地面的效果。
关键能力 定点破
定点1
万有引力与重力
(1)物体在赤道上:重力和向心力在一条直线上,有F引=F向+mg,即G =mRω2+mg,所以mg=G
-mRω2。(ω为地球自转的角速度)
(2)物体在地球两极处:物体随地球自转所需的向心力为零,所以mg=F引=G 。
(3)物体在地面上其他位置:重力是万有引力的一个分力,重力的大小mg离地心。
综上分析可知,随着纬度的升高,物体随地球自转的向心加速度逐渐减小,重力逐渐增大。
2.高度对重力的影响(不考虑地球自转)
(1)在地球表面:mg=G →地球表面的重力加速度g= 。
(2)在距地面高h处:mgh=G →离地面高h处的重力加速度gh= ,高度h越大,重力加
速度gh越小。
(3)g和gh的关系: = 。
知识拓展 黄金代换式——gR2=GM
由于物体随地球自转需要的向心加速度很小,一般情况下认为重力近似等于万有引力。因此
不考虑地球自转时,在地球表面及表面附近有mg=G ,化简得gR2=GM。
gR2=GM通常叫作黄金代换式,适用于任何天体,在某星体的质量M未知的情况下,可以用该星
体的半径和表面的重力加速度表示M。
3.深度对重力的影响
万有引力定律有两个重要推论,推论一:在匀质球壳内的任意位置处,质点受到球壳万有引力
的合力为零。推论二:在匀质球体内部距离球心r处,质点受到的引力就等于半径为r的球体对
质点的引力。
根据两个推论分析在深度为h的矿井的底部的重力加速度,思路如下:
在地球表面:g= = = πGρR
在矿井底部:g'= = = πGρ(R-h)
可得g'= g
典例 某航天员在飞船发射前测得自身连同航天服等随身装备共重840 N。在火箭发射阶
段,发现当飞船随火箭以大小为a= 的加速度匀加速竖直上升【1】到某位置时(其中g为地球
表面处的重力加速度),其身体下方的体重计的示数为1 220 N【2】。已知地球半径R=6 400 km,
地球表面的重力加速度g取10 m/s2(求解过程中可能用到的量 ≈1.03, ≈1.02)。问:
(1)该位置处的重力加速度g'是地面处重力加速度g的多少倍
(2)该位置距地球表面的高度h为多大
信息提取
【1】火箭上升过程中,加速度不变,航天员所受合外力不变,而重力加速度减小,可知重力减
小,支持力也减小。
【2】体重计对航天员的支持力大小等于体重计的示数。
思路点拨
(1)在飞船发射前和到达某高度处,对航天员分别进行受力分析,据牛顿第二定律【3】列方程,求
g'与g的关系。
(2)在地球表面和距地面h高度处,利用重力和万有引力的关系【4】,列方程求h。
解析 (1)飞船发射前,对航天员受力分析,有G=mg,得m=84 kg。
在h高度处,对航天员受力分析,有F-mg'=ma,其中a= ,F=1 220 N,解得 = (由【2】【3】
得到)。
(2)根据万有引力公式,在地面处,有G =mg;在h高度处,有G =mg'(由【4】得到)。
联立以上两式解得h≈0.02R=128 km。
答案 (1) (2)128 km
计算一些不完整球形物体(含球穴)间的万有引力时,常采用“填补法”。所谓填补法,就是对
于非对称的物体,通过填补后构成对称物体,然后再利用对称物体所满足的物理规律进行求
解的方法。利用“填补法”求解物体间的万有引力的具体步骤为:
(1)把从均匀球体上挖去的部分补上;
(2)计算完整球体所受的万有引力;
(3)计算补上部分所受的万有引力;
(4)两者之差即所求球体剩余部分所受的万有引力。
定点2
用“填补法”求解万有引力
典例 两个质量分布均匀、密度相同且大小相同的实心小球紧靠在一起【1】,它们之间的万
有引力为F。现将其中一个小球中挖去半径为原球半径一半的球【2】,并按如图所示的形式紧
靠在一起,三个球心在一条直线上,试计算它们之间的万有引力大小。
信息提取
【1】两小球质心之间的距离等于小球的直径,可由万有引力定律求它们之间的作用力。
【2】挖去小球的直径恰好等于原球的半径,体积为原球体积的 。
思路点拨
右边小球挖掉部分后质量分布不均匀,且不能看成质点,则不能直接应用万有引力定律求左
边小球与右边小球剩余部分之间万有引力的值,可以用“填补法”【3】处理该问题。
已知两实心小球之间的万有引力,再求出左边小球与挖出小球之间的万有引力,由力的合成
规律可得,两者之差即为待求万有引力。
解析 如图甲所示,原来是两个实心小球,设球的半径为r,它们之间的万有引力为F=G
(由【1】得到) ①
从右边的球体中挖去一小球体后,设剩余部分与左边球体之间的万有引力为F'。
左球与右球挖掉小球体后剩余部分(图乙)间的万有引力F'等于原来两实心小球间的万有引
力F(图甲)与左球和挖去的小球体间万有引力F1(图丙)之差。(由【3】得到)
F1=G ②
且m1∶m= ∶r3=1∶8 ③
联立①②③式得F1= F
左球与右球剩余部分之间的万有引力大小为
F'=F-F1= F
答案 F
