第七章 万有引力与宇宙航行
3 万有引力理论的成就
基础过关练
题组一 计算天体的质量
1.“科学真是迷人”。天文学家已经测出月球表面的加速度g、月球的半径R和月球绕地球运转的周期T等数据,根据万有引力定律就可以“称量”月球的质量了。已知引力常量为G,忽略月球自转的影响,则月球的质量为 ( )
A. B. C. D.
2.长征五号遥五运载火箭将“嫦娥五号”探测器送入预定轨道,执行月面采样任务后平安归来,首次实现我国地外天体采样返回。已知“嫦娥五号”探测器在距离月球表面h高处环月做匀速圆周运动的周期为T,月球半径为R,引力常量为G,据此可以求出月球的质量是 ( )
A. B.
C. D.
3.科幻电影中,人类利用地球赤道上的“行星发动机”将地球送至距离太阳系很远的比邻星附近,成为比邻星的行星。若太阳质量为m1,流浪前地球绕太阳运行的轨道半径为r1,周期为T1,流浪后地球绕比邻星运行的轨道半径为r2,周期为T2,则比邻星的质量为 ( )
A.m1 B.m1 C.m1 D.m1
题组二 计算天体的密度
4.若已知卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径为r,线速度大小为v,地球半径为R,引力常量为G,则地球的平均密度为 ( )
A. B. C. D.
5.设火星为质量均匀分布的球体,半径为R,在火星表面h高处由静止释放一可视为质点的小物体,测出物体落地时间为t。忽略火星自转,不计火星表面的气体阻力,引力常量为G,依据题中信息,可知火星的密度为 ( )
A. B. C. D.
题组三 发现未知天体
6.关于万有引力定律应用于天文学研究的历史事实,下列说法中正确的是 ( )
A.天王星和海王星都是运用万有引力定律经过大量计算而发现的
B.在18世纪已经发现的七颗行星中,人们发现第七颗行星——天王星的运动轨道总是同根据万有引力定律计算出来的结果有比较大的偏差,于是有人推测,在天王星轨道外还有一颗行星,是它的存在引起了上述偏差
C.第八颗行星是牛顿运用自己发现的万有引力定律,经过大量计算而发现的
D.天王星是英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶合作研究后共同发现的
能力提升练
题组一 地表重力加速度法计算天体质量和密度
1.中国空间站未来将形成“三个舱段”+“三艘飞船”、总质量超过100吨的空间站组合体。已知空间站距地面的高度为h,地球半径为R,地球表面的重力加速度为g,引力常量为G,忽略地球自转影响,则 ( )
A.地球的质量为M=
B.地球的密度为
C.空间站的运行周期为
D.空间站运行的线速度大小为
2.(多选题)设想在将来的某一天,一位航天员乘坐中国航天集团的飞行器,成功降落在火星上。他在离火星地面高h(h远小于火星的半径)处无初速度释放一小球,认为小球在火星表面做初速度为零的匀加速直线运动,即火星上的自由落体运动(不计阻力),并测得小球落地时速度为v,已知引力常量为G,火星半径为R,下列说法正确的是 ( )
A.小球下落所用的时间t=
B.火星表面的重力加速度g=
C.火星的质量M=
D.若火星可视为质量均匀分布的球体,则火星的密度ρ=
题组二 环绕运行法计算天体质量和密度
3.一卫星在某一行星表面附近做匀速圆周运动,其周期为T。假设航天员在该行星表面用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力,物体静止时,弹簧测力计的示数为F。已知引力常量为G,忽略行星自转的影响,这颗行星的质量为 ( )
A. B.
C. D.
4.我国计划在2030年之前实现载人登月。假设未来航天员乘飞船来到月球,绕月球做匀速圆周运动时,月球相对飞船的张角为θ,如图所示,引力常量为G,则下列说法正确的是 ( )
A.θ越大,飞船的运行速度越小
B.θ越大,飞船做圆周运动的周期越大
C.若测得周期和张角θ,可求出月球质量
D.若测得周期和张角θ,可求出月球密度
5.中国空间站是我国自主建成的太空实验室。已知“空间站”绕地球做匀速圆周运动,经过时间t,运动的弧长为s,与地球中心连线转过的角度为θ(弧度),引力常量为G。
(1)求“空间站”环绕地球的周期T;
(2)求地球的质量M;
(3)已知地球半径为R,求地球的平均密度。
答案与分层梯度式解析
第七章 万有引力与宇宙航行
3 万有引力理论的成就
基础过关练
1.A 在月球表面,物体的重力等于月球对物体的万有引力,即mg=G,可得M=,故A正确,B错误;已知月球绕地球运转的周期T,月球的半径R,不能求出月球的质量,C、D错误。
2.D “嫦娥五号”探测器在距离月球表面h高处环月做匀速圆周运动,万有引力提供向心力,有G=m(R+h),解得M=,D正确。
3.A 地球绕太阳运行时,有G=mr1,地球绕比邻星运行时,有G=mr2,解得比邻星的质量为m2=m1,A正确。
4.A 卫星绕地球做匀速圆周运动,万有引力提供向心力,有=m,解得地球质量M=;而地球的体积V=πR3,则地球的平均密度为ρ==,选A。
方法技巧
求解中心天体密度“三步走”
5.C 由题可知,小物体在火星表面做自由落体运动,则h=gt2,可得火星表面的重力加速度g=;在火星表面有G=mg,可得火星的密度为ρ===,选C。
6.B 天王星是在1781年发现的,而卡文迪什测出引力常量G的值是在1798年,在此之前人们还不能用万有引力定律做有实际意义的计算,故A错误;太阳系的第八颗行星即海王星,是由英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶各自独立地利用万有引力定律计算出轨道,由德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近首先发现的,C、D错误。
能力提升练
1.C 根据题意,在地球表面有G=mg,解得地球质量M=,A错误;地球的体积为V=πR3,则地球的密度为ρ=,B错误;空间站在轨运行时,由万有引力提供向心力,可得G=m'·(R+h),解得T=,C正确;空间站运行的线速度大小为v==R,D错误。
2.BCD 根据v2=2gh,解得火星表面的重力加速度为g=,小球下落所用的时间t==,A错误,B正确;根据万有引力与重力的关系可知G=mg,解得火星的质量为M=,C正确;若火星可视为质量均匀分布的球体,则火星的密度为ρ===,D正确。
3.A 设行星质量为M,半径为R,卫星质量为m',在行星表面,有F=mg,解得行星表面的重力加速度g=,卫星在这一行星表面附近做匀速圆周运动,万有引力提供向心力,有G=m'R,G=m'g,联立解得M=,故选A。
方法技巧 研究天体的圆周运动和天体表面物体的运动问题,重力加速度g是联系的桥梁,需掌握两种关系:一是在星球表面物体所受重力等于星球对其的万有引力;二是物体绕星球做匀速圆周运动,其向心力由万有引力提供。
4.D
模型建构 设月球半径为R,飞船绕月球做圆周运动的轨道半径为r,则sin =。
解析 根据几何关系可知,θ越大,飞船绕月球做圆周运动的轨道半径越小。由G=m解得v=,可见轨道半径越小,飞船运行的线速度越大,A错误;由G=mr得T=2π,可知轨道半径越小,飞船做圆周运动的周期越小,B错误;若测得周期T和张角θ,由G=mr、r=、ρ=,可得M=,ρ=,由于R未知,只能测得月球密度,而不能测得月球质量,C错误,D正确。
5.答案 (1) (2) (3)
解析 (1)“空间站”环绕地球做圆周运动的角速度为ω=
则周期为T==
(2)“空间站”环绕地球运动的线速度大小为v=
则“空间站”环绕地球运动的轨道半径为r==
根据万有引力提供向心力,可得=mω2r
联立解得地球质量为M=
(3)地球半径为R,则体积为V=πR3
解得地球的平均密度为ρ=
7(共15张PPT)
3 万有引力理论的成就
必备知识 清单破
知识点 1
知识点 1
“称量”地球的质量
1.对于地球表面的物体,若不考虑地球自转,其所受的重力等于地球对物体的万有引力,即mg=
,可得Gm地=gR2(黄金代换式),地球的质量m地= 。
2.推广:若知道其他天体表面的重力加速度、天体的半径及G值,利用上式可计算出该天体的
质量。
1.质量为m的行星绕太阳(质量为m太)做匀速圆周运动时,太阳对行星的万有引力提供向心力,
有G =m r,解得m太= 。只要知道行星绕太阳运动的周期T和轨道半径r,就可以计
算出太阳的质量。
2.推广:若知道卫星绕行星运动的周期T和轨道半径r,就可计算出行星的质量m行= 。
知识点 1
知识点 2
计算天体的质量
1.海王星的发现:英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观
测资料,各自独立地利用万有引力定律计算出天王星外“新”星的轨道。1846年9月23日晚,
德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星,人们称其为“笔尖下发现
的行星”。
2.其他天体的发现:近100年来,人们在海王星的轨道之外又发现了冥王星、阋神星等几个较
大的天体。
3.预言哈雷彗星回归:英国天文学家哈雷依据万有引力定律,计算了1531年、1607年、1682年
出现的三颗彗星的轨道,并大胆预言这三次出现的彗星是同一颗星,周期约为76年。
知识点 1
知识点 3
发现未知天体及预言哈雷彗星回归
知识辨析
1.已知地球绕太阳转动的周期T和轨道半径r,能求出地球的质量吗
2.海王星是人们直接应用万有引力定律计算出轨道而发现的吗
3.若知道某行星绕太阳做圆周运动的线速度v和轨道半径r,能否求出太阳的质量
一语破的
1.不能。应用公式 =m地 r时,消去了地球的质量m地,可以计算出中心天体太阳的质
量m太,而不能求出m地。
2.不是。人们发现天王星的实际轨道与理论轨道存在偏差,然后运用万有引力定律计算出
“新”星的轨道,从而发现了海王星。
3.能。由G =m ,可得m太= 。
1.地表重力加速度法
已知条件:天体(如地球)的半径R及其表面的重力加速度g。
分析思路:不考虑天体的自转时,天体表面物体所受的重力等于天体对物体的万有引力,即mg
=G ,解得天体的质量为M= 。代入ρ= ,V= ,解得天体的密度为ρ= 。
关键能力 定点破
定点1
天体质量和密度的计算
特别说明 若题目中出现“g”“地面”“自由落体”“竖直上抛”等字样时,常采用“地
表重力加速度法”求解天体的质量。
2.环绕运行法
已知条件:行星(或卫星)环绕中心天体做匀速圆周运动的轨道半径r及其他相关运动参量,如
线速度(v)、角速度(ω)或周期(T)等。
分析思路:行星(或卫星)绕中心天体做匀速圆周运动,中心天体对行星(或卫星)的万有引力提
供向心力,可得G =m =mrω2=mr ,解得中心天体的质量为M= = = 。若已
知中心天体的半径为R,结合ρ= ,V= ,解得中心天体的密度为ρ= = =
。
特殊情况:(1)当卫星环绕中心天体表面运动时,卫星的轨道半径r可认为等于天体半径R,则ρ=
。故只要测出卫星在中心天体表面附近环绕中心天体运动的周期T,即可估算中心天体
的密度。
(2)若已知卫星的线速度v和运行周期T(轨道半径r未知),则由G =m 和v= ,解得中心
天体的质量M= 。
典例 已知在地球表面上,赤道处的重力加速度大小为g1【1】,两极处的重力加速度大小为g2
【2】,地球自转的角速度为ω,引力常量为G,地球可视为质量分布均匀的球体,则地球的密度为
( )
A. · B. ·
C. · D. ·
信息提取
【1】在赤道处,物体随地球一起转动,它受到的万有引力的一个分力提供向心力,另一分力产
生重力加速度g1;
【2】物体在两极处是不转动的,没有向心力,它受到的万有引力全部产生重力加速度g2。
思路点拨
(1)物体在两极处,重力等于万有引力,即mg2= 。(2)物体在赤道处,随地球一起转动所需
的向心力为Fn=mω2R;万有引力是合力,重力和向心力是它的两个分力,合力与两个分力都在
同一直线上,根据力的合成与分解【3】列出万有引力、重力和向心力之间的关系式,求出地球
的质量、半径,结合密度公式ρ= 【4】,求出地球的密度。
解析 设地球半径为R,物体在地球两极处,有 =mg2(由【2】得到),物体在赤道处,有
=mg1+mω2R,解得M= ,R= (由【1】【3】得到),则地球的密度为ρ= =
,代入地球半径R= ,解得ρ= · (由【4】得到),故D正确。
答案 D
1.解决天体环绕问题的两条基本思路
(1)行星(或卫星)绕恒星(或行星)的运动均可视为匀速圆周运动,万有引力提供其运动所需的
向心力,有G =man=m =m r=mω2r=mωv,可推知an= 、v= 、ω= 、T=2π
。可以看出,环绕天体绕中心天体做匀速圆周运动的线速度(v)、角速度(ω)、周期(T)
及向心加速度an与环绕天体的质量无关,只与中心天体的质量M和轨道半径r有关。多个环绕
天体绕同一中心天体做匀速圆周运动时,r越大,v越小,ω越小,an越小,T越大。
(2)忽略天体的自转,在天体表面附近,物体绕天体做匀速圆周运动,物体的重力等于天体对物
体的万有引力,即mg=G ,从而得出R2g=GM,进一步推得v= ,ω= ,T=2π 。
定点2
天体环绕运动问题的分析与计算
2.解决天体运动问题的关键
(1)建立物理模型——绕中心天体做匀速圆周运动。
(2)应用物理规律——万有引力定律和圆周运动规律。
(3)利用黄金代换式“R2g=GM”——用R2g代换GM,简化记忆和解题。
典例 我国2020年发射的火星探测器“天问一号”,实现了火星的环绕、着陆和巡视探测。
已知火星和地球绕太阳公转的轨道都可近似为圆轨道,火星公转轨道半径约为地球公转轨道
半径的 倍【1】,火星的半径约为地球半径的 ,火星的质量约为地球质量的 【2】,以下说法正
确的是 ( )
A.火星的公转周期比地球的小
B.火星的公转速度比地球的大
C.探测器在火星表面时所受的火星引力比在地球表面时所受的地球引力小
D.探测器在火星表面附近环绕火星运行的速度比在地球表面附近环绕地球运行的速度大
信息提取
【1】火星和地球绕同一个中心天体(太阳)公转,知道轨道半径之比,就可以求出周期、线速
度大小之比。
【2】知道火星与地球的质量之比和半径之比,根据黄金代换式就可以求出火星与地球表面
的重力加速度之比。
思路点拨
(1)比较围绕同一中心天体运动的不同环绕天体的周期大小,常采用开普勒第三定律: =k。
(2)根据万有引力提供向心力列式时,注意选取向心加速度的不同表达式:G =ma=m =mω
2r=m r=m(2πf)2r。
解析 火星的公转轨道半径大于地球公转轨道半径,根据开普勒第三定律可知,火星的公转
周期比地球的大,A错误;根据v= 可知,火星的公转速度比地球的小,B错误;根据g= ,
则 = · = ×22= ,则探测器在火星表面时所受的火星引力比在地球表面时所受的
地球引力小,C正确;根据v火= = = = v地,则探测器在火星表面附近
环绕火星运行的速度比在地球表面附近环绕地球运行的速度小,D错误。
答案 C
