第七章 万有引力与宇宙航行
4 宇宙航行
基础过关练
题组一 宇宙速度
1.(经典题)(多选题)关于地球表面发射卫星时的三种宇宙速度,下列说法正确的是 ( )
A.在地球表面附近运动的卫星的速度大于第一宇宙速度
B.在地球表面附近运动的卫星的速度等于第一宇宙速度
C.若想让卫星进入月球轨道,发射速度需大于第二宇宙速度
D.若想让卫星进入太阳轨道,发射速度需大于第二宇宙速度
2.已知地球与月球的半径之比为4∶1,地球表面和月球表面的重力加速度大小之比为6∶1,地球的第一宇宙速度大小为7.9 km/s,≈2.4,则月球的第一宇宙速度大小为 ( )
A.400 m/s B.800 m/s
C.1.2 km/s D.1.6 km/s
3.已知火星的半径约为地球半径的,质量约为地球质量的,≈2.2。下列关于宇宙速度的理解正确的是 ( )
A.地面发射飞行器的速度超过16.7 km/s,飞行器绕地球沿椭圆轨道运动
B.地面发射火星探测器的速度大于11.2 km/s,且小于16.7 km/s
C.火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度
D.环绕火星的“环火器”的速度大于3.95 km/s
题组二 人造地球卫星(行星的卫星)
4.(经典题)(多选题)图中描绘的四种虚线轨迹,可能是人造地球卫星轨道的是 ( )
5.一颗在低圆轨道上运行的地球卫星,轨道平面与赤道平面的夹角为30°,卫星运行到某一位置时恰好能观测到南极点或北极点,已知地球半径为R,地球表面的重力加速度为g,则该卫星运行的周期为 ( )
A.4π B.4π
C.4π D.4π
6.在木星的卫星中,木卫一绕木星公转的周期为T,木卫二绕木星公转的周期为2T。只考虑木星对卫星的万有引力,卫星的公转视为匀速圆周运动,则木卫一和木卫二公转时 ( )
A.线速度大小之比为2∶
B.向心加速度大小之比为2∶
C.轨道半径之比为1∶4
D.角速度之比为4∶1
7.如图为“天宫”绕地球运行的示意图,测得“天宫”在t时间内沿顺时针方向从A点运动到B点,这段圆弧对应的圆心角为θ。已知地球的半径为R,地球表面的重力加速度为g,则“天宫”运动的 ( )
A.轨道半径为
B.线速度大小为
C.周期为
D.向心加速度大小为
题组三 地球同步卫星
8.(经典题)关于地球静止卫星,下列说法中不正确的是 ( )
A.运行周期为24 h
B.各国发射的这种卫星的轨道半径都一样
C.一定在赤道上空
D.运行速度大于7.9 km/s
9.北斗卫星导航系统由不同轨道卫星构成,其中北斗导航系统第41颗卫星为地球静止卫星,它的轨道半径约为4.2×107 m,第44颗卫星为倾斜地球同步卫星,运行周期等于地球的自转周期24 h。两种同步卫星的绕行轨道都为圆轨道,倾斜地球同步卫星轨道平面与地球赤道平面成一定夹角,如图所示。下列说法正确的是 ( )
A.两种同步卫星都可能经过北京的正上空
B.两种同步卫星的向心加速度大小相等
C.倾斜地球同步卫星经过赤道正上方同一位置,一天内只可能有1次
D.第41颗卫星的运行速度小于在赤道上随地球自转物体的速度
10.(教材习题改编)利用三颗位置适当的地球同步卫星,可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通信。已知地球同步卫星的线速度大小为v,地球自转的周期为T,地球的半径为R,引力常量为G,下列说法正确的是 ( )
A.三颗同步卫星受到地球的万有引力大小一定相等
B.任意两颗同步卫星的间距为
C.地球的质量为
D.同步卫星的向心加速度与地球表面的重力加速度大小之比为
能力提升练
题组一 卫星的运动参量分析
1.中国近年来发射了多颗北斗卫星,选取三颗北斗卫星a、b、c,如图所示,a为静止卫星,a和b的轨道半径相等,均大于c的轨道半径,以下说法不正确的是 ( )
A.卫星a、b、c的角速度关系是ωa=ωb<ωc
B.卫星a、b、c的线速度大小关系是va=vbC.卫星b的向心加速度大小大于地面的重力加速度大小
D.相同时间内,a和b卫星与地球的连线扫过的面积相等
2.(经典题)有a、b、c、d四颗地球卫星,a还未发射,在赤道表面上随地球一起转动,b是近地轨道卫星,c是地球同步卫星,d是高空探测卫星,各卫星排列位置如图所示,地球表面的重力加速度为g,则下列说法正确的是 ( )
A.a的向心加速度等于g
B.在相同时间内b转过的弧长最长
C.a的线速度大小等于b的线速度大小
D.d的运动周期可能是21 h
3.已知一个星球x的密度与地球的密度相同,星球x与地球的半径之比为1∶4,假设卫星A绕地球的运动与卫星B绕星球x的运动都是匀速圆周运动,且两卫星的轨道半径相等,如图所示。则下列说法正确的是 ( )
A.卫星A与卫星B的加速度大小之比为4∶1
B.卫星A与卫星B的线速度大小之比为2∶1
C.卫星A与卫星B的环绕周期之比为1∶8
D.地球与星球x的第一宇宙速度之比为1∶4
题组二 天体运动中的追及、共线问题
4.有两颗人造地球卫星A和B的轨道在同一平面内,A、B同向转动,轨道半径分别为r和4r,每隔时间t会发生一次“相冲”现象,即地球、卫星A和B三者位于同一条直线上,且A、B位于地球的同侧。已知引力常量为G,则地球质量可表示为 ( )
A. B.
C. D.
5.A、B两颗卫星在同一平面内沿同一方向绕地球做匀速圆周运动,它们之间的距离Δr随时间变化的关系如图所示。已知地球的半径为r,卫星A的线速度大于卫星B的线速度,若不考虑A、B之间的万有引力,则卫星A、B绕地球运行的周期分别为 ( )
A.7T0,56T0 B.9T0,72T0
C.8T0,64T0 D.14T0,56T0
6.如图所示,当木星在绕日公转过程中运行到日、地连线延长线上时,会形成“木星冲日”现象。已知地球质量为M,半径为R,公转轨道半径为r,地球表面重力加速度为g,公转周期为1年。假设木星质量是300M,半径是10R,公转轨道半径是5r,不考虑木星和地球的自转,不计木星和地球间的引力,≈2.4,则:
(1)木星表面的重力加速度为多大
(2)“木星冲日”平均多少年出现一次
题组三 天体运动的综合问题
7.未来某航天员正在太空旅行,来到火星表面登陆后,以速率v0竖直上抛一物体,物体上升的最大高度为h,已知火星半径为R,自转周期为T,引力常量为G,则 ( )
A.火星绕太阳运动的向心加速度a=R
B.忽略火星自转,火星的质量M=
C.火星同步卫星距火星表面的高度h0=-R
D.忽略火星自转,火星的第一宇宙速度v1=v0
8.(多选题)2024年5月29日16时12分,谷神星一号海射型遥二运载火箭搭载天启星座25星至28星在日照海域附近顺利升空,日照市民在海边一睹卫星发射的风采。假设这4颗卫星进入轨道后,均绕地球做匀速圆周运动,它们的轨道半径r的三次方与周期T的二次方的关系图像如图所示,图线的斜率为k。已知地球的半径为R,引力常量为G,将地球视为质量分布均匀的球体。忽略地球自转影响,根据提供的信息可知 ( )
A.地球的质量为
B.近地卫星的环绕周期为
C.地球表面的重力加速度大小为
D.地球的第一宇宙速度为2π
9.某载人宇宙飞船绕地球做圆周运动的周期为T,由于地球遮挡,航天员发现有T时间会经历“日全食”过程,如图所示。已知地球的半径为R,引力常量为G,地球自转周期为T0,太阳光可看作平行光,则下列说法正确的是 ( )
A.宇宙飞船离地球表面的高度为2R
B.一天内飞船经历“日全食”的次数为
C.航天员观察地球的最大张角为120°
D.地球的平均密度为
答案与分层梯度式解析
第七章 万有引力与宇宙航行
4 宇宙航行
基础过关练
1.BD 第一宇宙速度指物体在地球表面附近绕地球做匀速圆周运动的速度,故A错误,B正确;在地球表面发射卫星,若发射速度大于第二宇宙速度,则卫星会脱离地球引力的束缚,不会进入月球轨道,C错误;若想让卫星进入太阳轨道,需要脱离地球引力的束缚,发射速度需大于第二宇宙速度且小于第三宇宙速度,D正确。
2.D 在星球表面附近,根据万有引力与重力的关系可得G=mg;结合万有引力提供向心力,则有mg=m,解得星球的第一宇宙速度v=,则地球的第一宇宙速度为v地=,月球的第一宇宙速度为v月===v地≈1.6 km/s,D正确。
3.B 发射飞行器绕地球沿椭圆轨道运动时,地面发射速度应大于第一宇宙速度且小于第二宇宙速度,即速度大于7.9 km/s,且小于11.2 km/s,A错误;火星探测器脱离了地球引力的束缚,但未脱离太阳引力的束缚,故地面发射火星探测器的速度应大于第二宇宙速度且小于第三宇宙速度,即速度大于11.2 km/s且小于16.7 km/s,B正确;根据G=m,可得v=,火星与地球的第一宇宙速度之比为==,火星的第一宇宙速度为v火=v地≈3.53 km/s,而环绕火星的“环火器”的速度小于火星的第一宇宙速度,即小于3.53 km/s,C、D错误。
4.ABC 人造地球卫星绕地球转动时,由地球对卫星的万有引力提供向心力,而地球对卫星的万有引力方向指向地心,所以人造地球卫星做圆周运动的圆心是地心,则卫星轨道平面一定过地心(易错点),故选A、B、C。
5.D
模型建构 设卫星的轨道半径为r,卫星轨道平面与赤道平面的位置关系如图所示:
解析 根据几何关系可得sin 30°=,可得r=2R;卫星做圆周运动,万有引力提供向心力,可得=mr,在地球表面有=m'g,联立解得该卫星的运行周期为T=4π,D正确。
6.A 由开普勒第三定律可得=,解得木卫一和木卫二的公转轨道半径之比为=,C错误;根据万有引力提供向心力,有G=m=mω2r=ma,可得线速度v=,角速度ω=,向心加速度a=,则木卫一和木卫二的公转线速度大小之比为==,公转角速度之比为=,公转向心加速度大小之比为=,A正确,B、D错误。
7.A 根据角速度定义式可得“天宫”的角速度为ω=,则周期为T==,故C错误;根据万有引力提供向心力可得G=mω2r,又G=m'g,联立解得轨道半径为r=,故A正确;“天宫”运动的线速度大小为v=ωr==,向心加速度大小为a=ωv=,故B、D错误。
8.D 地球静止卫星相对于地球表面静止,其做圆周运动的角速度、周期与地球自转的角速度、周期相同,故运行周期为24 h,且地球静止卫星只能定点在地球赤道所在平面内,根据万有引力提供向心力,有G=mR,可得T=,知在周期一定的情况下,地球静止卫星做圆周运动的轨道半径是一个确定的值,因此各国发射的这种卫星的轨道半径都一样,A、B、C正确;卫星绕地球做匀速圆周运动时,万有引力提供向心力,有G=m,可得v=,知轨道半径越大,线速度越小,7.9 km/s是卫星在地球表面附近环绕地球做圆周运动时线速度的大小,而地球静止卫星的轨道半径大于地球半径,因此其线速度小于7.9 km/s,D错误。
9.B 地球静止卫星在地球赤道所在平面内运动,不可能经过北京上空,A错误;由于两种同步卫星的周期相等,都是24 h,根据万有引力提供卫星做匀速圆周运动的向心力,有G=mr=ma,可知轨道半径相等,向心加速度大小相等,B正确;倾斜地球同步卫星的周期为24 h,如果开始时位于南半球上方,则一天之内会跨过赤道某点上方到达北半球上方,然后再次跨过赤道上同一点上方回到南半球上方,故一天内2次经过赤道正上方同一位置,C错误;第41颗卫星的角速度与赤道上随地球自转物体的角速度相等,根据v=ωr可知第41颗卫星的运行速度较大,故D错误。
易错警示 地球静止卫星的运转轨道与地球赤道共面,倾斜地球同步卫星的运转轨道平面与地球赤道平面有夹角,但是两种卫星都绕地球做圆周运动,轨道的圆心均为地心。由于倾斜地球同步卫星的周期也是24 h,由开普勒第三定律知倾斜地球同步卫星的轨道半径与静止卫星的轨道半径相等。
10.D 卫星受到地球的万有引力大小为F=,因三颗同步卫星的质量不一定相等,所以三颗同步卫星受到地球的万有引力大小不一定相等,A错误;根据vT=2πr,可得同步卫星的轨道半径为r=,一颗同步卫星的信号覆盖赤道圆周(破题关键),任意两颗同步卫星的间距为s=2r sin =,B错误;同步卫星所受的万有引力提供向心力,可得G=m,解得地球的质量为M==,C错误;同步卫星的向心加速度大小为a==,根据万有引力与重力的关系有G=m'g,解得g=,则同步卫星的向心加速度与地球表面的重力加速度大小之比为=,D正确。
能力提升练
1.C a、b、c三颗卫星绕地球做匀速圆周运动,万有引力提供向心力,有G=mω2r=m,得ω=,v=,由于ra=rb>rc,得ωa=ωb<ωc,va=vb归纳总结
用“二级结论”速解参量比较问题
(1)向心加速度a∝,r越大,a越小;
(2)线速度v∝,r越大,v越小,r=R时的v即第一宇宙速度(绕行天体在圆轨道上最大的线速度,发射卫星时的最小发射速度);
(3)角速度ω∝,r越大,ω越小;
(4)周期T∝,r越大,T越大。
即“高轨低速长周期,低轨高速短周期”。
2.B 地球同步卫星的周期与地球自转的周期相等,角速度相等,所以a与c的角速度相等,根据a=ω2r可知,c的向心加速度大于a的向心加速度;根据万有引力提供向心力有G=ma,可得向心加速度a=,可知卫星的轨道半径越大,向心加速度越小,则c的向心加速度小于b的向心加速度,而b的向心加速度约为g,所以a的向心加速度小于重力加速度g,A错误。根据G=m可得v=,可知c、d的线速度小于b的线速度,根据v=ωr可知,c的线速度大于a的线速度,故a的线速度小于b的线速度,b的线速度最大,在相同时间内转过的弧长最长,B正确,C错误。由开普勒第三定律可知,地球卫星的轨道半径越大,周期越大,所以d的运动周期大于c的运动周期24 h,故D错误。
方法技巧 解答有关地球卫星运动参量比较的关键点:
(1)在比较“同步卫星”与“赤道上的物体”的向心加速度(线速度)大小时,应依据二者角速度相等的特点,运用公式a=ω2r(v=ωr)分析,而不能运用公式a=(v=)比较。
(2)在比较“同步卫星”运行速度与第一宇宙速度的大小时,由于都是由万有引力提供向心力,故要运用公式v=,而不能运用公式v=ωr或v=。
3.C 设星球的密度为ρ,半径为R,则质量为M=ρ·πR3,卫星环绕星球做匀速圆周运动,万有引力提供向心力,有G=ma,联立解得a=,则卫星A与卫星B的加速度大小之比为64∶1,故A错误;由G=m得v=,则卫星A与卫星B的线速度大小之比为8∶1,故B错误;由G=mr得T=,可知卫星A与卫星B的环绕周期之比为1∶8,C正确;由B项分析知v=,当r=R时为星球的第一宇宙速度,此时v=,可得地球与星球x的第一宇宙速度之比为4∶1,故D错误。
4.D
模型建构 卫星A和B相邻两次相冲的位置关系如图:
解析 每隔时间t会发生一次“相冲”现象,由于A的轨道半径小于B的轨道半径,知A转动的角速度大于B转动的角速度,可得(ωA-ωB)t=2π;根据万有引力提供向心力,可得G=mAr,G=mB·4r,联立解得地球质量为M=,故选D。
5.A 由题意,卫星A的线速度大于卫星B的线速度,则卫星B的轨道半径大于卫星A的轨道半径,A、B间最近距离为rB-rA=3r,A、B间最远距离为rB+rA=5r,则rA=r,rB=4r,A、B间相邻两次相距最近的时间间隔为8T0,则·8T0=2π,由开普勒第三定律可得=,联立解得卫星A、B绕地球运行的周期分别为TA=7T0,TB=56T0,故选A。
规律方法
天体运动中共线情境的规律
(1)两颗卫星由相距最近到再次相距最近满足关系:t=2π或-=1。
(2)两颗卫星由相距最远到第一次相距最近满足关系:t=π或-=。
6.答案 (1)3g (2)1.09年
解析 (1)不考虑地球自转,地球对地球表面物体的万有引力等于物体在地球表面时受到的重力,则有
G=mg
解得g=
已知木星质量是300M,半径是10R,同理可知木星表面的重力加速度为g木==3g
(2)根据开普勒第三定律有=
可得T木=5T地≈12年
设相邻两次“木星冲日”的时间间隔为t,则-=1
解得t=年≈1.09年
7.D 火星绕太阳运动的向心加速度a=r,其中T1和r分别是火星绕太阳运动的周期和轨道半径,A错误;火星表面的重力加速度为g=,忽略火星自转,则万有引力等于重力,有G=mg,可得火星的质量M=,B错误;对火星的同步卫星,有G=m(R+h0),可得火星同步卫星距火星表面的高度h0=-R,C错误;忽略火星自转时有mg=m,得火星的第一宇宙速度v1=v0,D正确。
8.AD 卫星绕地球做匀速圆周运动,由万有引力提供向心力,有=mr,整理可得r3=·T2,可知r3-T2图线的斜率k=,解得地球的质量M=,故A正确;近地卫星绕地球运动时,由万有引力提供向心力,有G=m'R,解得近地卫星的环绕周期T==R,故B错误;在地球表面,物体的重力等于地球对其的万有引力,有m″g=,解得地球表面的重力加速度大小g==,故C错误;近地卫星绕地球运动时,由万有引力提供向心力,有=m',解得v==2π,故D正确。
9.D 设每次“日全食”过程中飞船与地心的连线转过α角,所需的时间为t=T;由题知有T时间会经历“日全食”过程,则=,解得α=π;设宇宙飞船离地球表面的高度为h,由几何关系可得=sin =sin =,可得h=R,A错误。由于地球的自转周期为T0,飞船绕地球一圈的时间为T,飞船绕一圈经历一次日全食,可得一天内飞船经历“日全食”的次数为,B错误。设航天员观察地球的最大张角为θ,则由几何关系可得 sin =,可得θ=60°,C错误。飞船绕地球做匀速圆周运动,万有引力提供向心力,有=,解得M=,其中r=R+h=2R,又ρ==,联立可得ρ=,故D正确。
7(共21张PPT)
4 宇宙航行
必备知识 清单破
知识点 1
知识点 1
宇宙速度
1.第一宇宙速度
(1)概念:物体在地球附近绕地球做匀速圆周运动的速度,叫作第一宇宙速度。
(2)推导及数值
方法一:
可以看出,第一宇宙速度的值取决于中心天体的质量M和半径R,与卫星无关。
方法二:
其中地球半径R=6 400 km,重力加速度g取9.8 m/s2。
2.宇宙速度
数值 意义
第一 宇宙速度 7.9 km/s 物体在地球表面附近绕地球
做匀速圆周运动的速度
第二 宇宙速度 11.2 km/s 使物体挣脱地球引力束缚的
最小地面发射速度
第三 宇宙速度 16.7 km/s 使物体挣脱太阳引力束缚的
最小地面发射速度
1.动力学特点
一般情况下可认为人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动,其向心力由地球对它的万有引力提
供。
2.地球同步卫星
地球同步卫星位于地面上方高度约3.6×104 km处,周期等于地球自转周期。其中一种的轨道
平面与赤道平面成0度角,运动方向与地球自转方向相同,称为静止卫星。具有以下特点:
(1)轨道平面一定:卫星在赤道的正上方,其轨道平面与赤道平面重合。
(2)绕行方向一定:和地球自转方向一致。
(3)周期一定:和地球自转周期相同,即T=24 h。
(4)高度一定:位于赤道上方高度约3.6×104 km处,距地面高度固定不变。
知识点 1
知识点 2
人造地球卫星
知识辨析
1.其他星球的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度相同吗
2.地球周围的卫星都在同一圆轨道上绕地球转动吗
3.地球静止轨道卫星可以“静止”在北京的上空吗
一语破的
1.不相同。第一宇宙速度v= ,可见第一宇宙速度的值由星球的质量和半径决定,一般情
况下,不同星球的第一宇宙速度不同。
2.不是。不同的地球卫星的轨道不一定相同,地球位于卫星运行的圆轨道的圆心处或椭圆轨
道的一个焦点处。
3.不可以。北京位于北半球,地球静止轨道卫星都“静止”在赤道的上空。
1.运行速度
运行速度是指卫星绕中心天体做匀速圆周运动的线速度。设中心天体的质量为M,卫星的轨
道半径为r,则运行速度为v= ,可见轨道半径r越大,v就越小。
2.发射速度
人造卫星依靠运载火箭发射,通过火箭的推动人造卫星由地面进入轨道,并获得环绕速度,人
造卫星离开运载火箭时的速度,即在地面上发射卫星时的速度。卫星的预定轨道高度越高,
发射速度越大。
关键能力 定点破
定点1
对运行速度、发射速度和宇宙速度的理解
3.宇宙速度
为实现某种效果所需的最小地面发射速度。三个宇宙速度都是指发射速度,即在地面附近使
航天器获得的速度。第一宇宙速度是地面发射卫星的最小速度,也是近地圆轨道上卫星的运
行速度。
(1)第一宇宙速度是地面发射卫星的最小速度
由于发射卫星要克服地球对它的引力,所以向高轨道发射卫星比向低轨道发射卫星困难。近
地轨道是人造卫星的最低运行轨道,而近地轨道的发射速度就是第一宇宙速度,所以第一宇
宙速度是人造卫星的最小发射速度。
(2)第一宇宙速度是地球卫星的最大环绕速度
在所有环绕地球做匀速圆周运动的卫星中,近地卫星的轨道半径最小,由G =m 可得v=
,轨道半径越小,线速度越大,所以在这些卫星中,近地卫星的线速度即第一宇宙速度是
最大环绕速度。
典例 航天员在某星球表面以初速度v0竖直向上抛出一个物体【1】,物体上升的最大高度
为h。已知该星球的半径为R,且抛出后物体只受该星球的引力作用。求:
(1)该星球表面的重力加速度;
(2)该星球的第一宇宙速度【2】。
信息提取
【1】构建竖直上抛运动模型,竖直上抛运动的规律在其他星球同样适用;
【2】知道该星球的半径R和表面的重力加速度,可用重力等于物体做圆周运动的向心力求
得该星球的第一宇宙速度。
思路点拨
先用竖直上抛运动规律【3】求出重力加速度,再由重力提供近地卫星的向心力【4】求出第一宇
宙速度。
解析 (1)设该星球表面的重力加速度为g',物体做竖直上抛运动,则有 =2g'h,解得该星球表
面的重力加速度g'= (由【1】、【3】得到)。
(2)卫星贴近星球表面运行时,重力提供卫星做圆周运动所需的向心力,有mg'=m (由【2】、
【4】得到),解得该星球的第一宇宙速度v= =v0 。
答案 (1) (2)v0
1.人造地球卫星的轨道
卫星绕地球运动的轨道可以是椭圆轨道,也可以是圆轨道,但轨道平面一定过地心。
(1)卫星绕地球沿椭圆轨道运动时,地心在椭圆的一个焦点上,卫星的周期和半长轴的关系遵
从开普勒第三定律。
(2)卫星绕地球沿圆轨道运动时,因为地球对卫星的万有引力提供了卫星绕地球运动的向心
力,而万有引力指向地心,所以地心必定是卫星圆轨道的圆心。
(3)卫星的轨道平面可以在赤道平面上(如静止卫星),也可以和赤道平面垂直,还可以和赤道
平面成任一角度,如图所示。
定点2
卫星运动参量动态分析
2.人造地球卫星的动力学特征
人造地球卫星绕地球转动时,可以视为做匀速圆周运动,卫星受到的万有引力提供卫星做圆
周运动的向心力,故有F引=G =ma向=m =mω2r=m r,解得a向= 、v= 、ω=
、T=2π 。可以看出,r越大,a向越小,v越小,ω越小,T越大。规律可概括为“高轨低
速长周期”。
3.近地卫星、地球静止轨道卫星和赤道上随地球自转的物体的运行问题
(1)近地卫星、地球静止轨道卫星绕地球做匀速圆周运动,万有引力提供向心力,它们的运动
符合“高轨低速长周期”的运行规律。
(2)赤道上的物体,其所受的万有引力未完全提供向心力,不满足“高轨低速长周期”的规
律。但是赤道上随地球自转的物体的角速度、周期和地球静止轨道卫星的角速度、周期相
同,可以将地球静止轨道卫星作为桥梁,根据v=ωr、a向=ω2r,先比较赤道上随地球自转的物体
和地球静止轨道卫星的线速度、向心加速度的关系,再结合近地卫星、地球静止轨道卫星
“高轨低速长周期”的规律综合分析物理量的大小关系。
典例 (多选)如图所示,有甲、乙两颗卫星分别在不同的轨道围绕一个半径为R、表面重力
加速度为g的行星运动【1】。卫星甲、卫星乙各自所在的轨道平面相互垂直,卫星甲的轨道为
圆轨道,距离行星表面的高度为R【2】,卫星乙的轨道为椭圆轨道,M、N两点的连线为其椭圆轨
道的长轴,且M、N两点间的距离为4R【3】。则以下说法正确的是 ( )
A.卫星甲的线速度大小为
B.卫星乙运行的周期为4π
C.卫星乙沿椭圆轨道运行经过M点时的速度大于
卫星甲沿圆轨道运行的速度
D.卫星乙沿椭圆轨道运行经过N点时的加速度小
于卫星甲沿圆轨道运行的加速度
信息提取
【1】甲、乙两卫星绕同一中心天体运动。
【2】卫星甲做匀速圆周运动,轨道半径为2R。
【3】卫星乙沿椭圆轨道运动,轨道的半长轴为2R,等于卫星甲的轨道半径。
思路点拨
(1)甲、乙两卫星绕同一中心天体运动,卫星甲做匀速圆周运动,根据万有引力提供向心力及
行星表面物体的重力近似等于万有引力【4】,列出等式求解卫星甲的线速度大小和运行周期;
根据开普勒第三定律【5】求解卫星乙的运行周期。
(2)寻找两个绕行星做圆周运动且运行轨道分别过M点和N点的卫星,分析它们和卫星乙经过
M、N点时的线速度和加速度关系,进行解答。
解析 卫星甲绕中心天体做匀速圆周运动,由万有引力提供向心力得 =m ,解得v=
,r=2R;由行星表面物体所受的重力近似等于万有引力,得mg= ,联立解得卫星甲环
绕中心天体运动的线速度为v= (由【2】、【4】得到),故A错误。对卫星甲,由万有引力
提供向心力可得 =m r,可计算出卫星甲的周期为T甲=2π =4π ;卫星乙运行的
椭圆轨道的半长轴等于卫星甲圆轨道的半径,可知卫星乙运行的周期和卫星甲运行的周期相
等,则T乙=T甲=4π (由【5】得到),故B正确。卫星乙沿椭圆轨道经过M点时的速度大于沿
轨道半径为M至行星中心距离的圆轨道运行的卫星的线速度,根据v= 可知,轨道半径为
M至行星中心距离的圆轨道上的卫星的线速度大于卫星甲在圆轨道上的线速度,故C正确。
卫星运行时只受万有引力,加速度为a,可得 =ma,r越大,a越小,故D正确。
答案 BCD
若围绕某中心天体有两颗轨道共面的环绕天体,它们的转动方向相同。当两环绕天体与中心
天体在同一直线上,且位于中心天体同一侧时相距最近(如图甲);当两环绕天体与中心天体在
同一直线上,且位于中心天体异侧时相距最远(如图乙)。
如两环绕天体某时刻相距最近,从此时开始计时:
(1)若经过时间t,两环绕天体与中心天体连线转过的角度相差2π的整数倍,即(ωB-ωA)t=2nπ(n=
1,2,3,…),则两环绕天体又相距最近;
(2)若经过时间t,两环绕天体与中心天体连线转过的角度相差π的奇数倍,即(ωB-ωA)t'=(2n-1)π(n
=1,2,3,…),则两环绕天体相距最远。
定点3
天体运动中相距最近或最远的问题
典例 (多选)太阳系的行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动,当地球恰好运
行到某个行星和太阳之间,且三者几乎成一条直线的现象【1】,天文学称为“行星冲日”。据
报道,2014年各行星冲日时间分别是:1月6日木星冲日,4月9日火星冲日,6月11日土星冲日,8月
29日海王星冲日,10月8日天王星冲日。已知地球轨道以外的行星绕太阳运动的轨道半径如
下表所示【2】,则下列判断正确的是 ( )
行星 地球 火星 木星
轨道半径R/AU 1.0 1.5 5.2
行星 土星 天王星 海王星
轨道半径R/AU 9.5 19 30
A.各地外行星每年都会出现冲日现象
B.在2015年一定会出现木星冲日
C.天王星相邻两次冲日的时间间隔是土星的一半
D.地外行星中海王星相邻两次冲日时间间隔最短
信息提取
【1】出现“行星冲日”时,地球、另一颗行星和太阳在同一直线上,且地球和该行星在太阳
的同侧,相距最近;相邻两次“行星冲日”的时间间隔内,地球要多转一圈,则两个天体运动关
系满足(ω地-ω行星)t=2π。
【2】地球、火星、木星、土星、天王星与海王星的公转轨道半径依次增大,运动周期依次
增大。
思路点拨
(1)由六个行星的轨道半径大小结合地球的公转周期,依据开普勒第三定律【3】计算除地球外
的五个行星的公转周期。
(2)根据“行星冲日”的运动关系【4】计算下一次相距最近的时间间隔。
解析 根据开普勒第三定律有 = ,解得T= T地,则T火= 年≈1.84年,T木= 年
≈11.86年,T土= 年≈29.28年,T天= 年≈82.82年,T海= 年≈164.32年(由【2】【3】
得到);如果两次行星冲日时间间隔为1年,则地球多转动一周,有2π= t,即2π=
×1(由【1】【4】得到),解得T0为无穷大,即行星不动,才可能在每一年都发生行星
冲日,显然不可能,故A错误。2014年1月6日出现木星冲日,木星的公转周期约为11.86年,在2
年内地球转动2圈,木星转动不到一圈,故在2015年内一定会出现木星冲日,故B正确。如果两
次行星冲日时间间隔为t,则地球多转动一周,有2π= t,解得t= ,故天王星相邻两
次冲日的时间间隔t天= 年≈1.01年,土星相邻两次冲日的时间间隔t土= 年≈1.0
4年,故C错误。如果两次行星冲日时间间隔为t,则地球多转动一周,有2π= t,解得t=
= ,故地外行星中,海王星相邻两次冲日的时间间隔最短,故D正确。
答案 BD
素养解读
把握好天体共线问题的规律是解题的关键。通过本题深化运动观念,提升学生的分析综合、
推理论证的科学思维能力。
